áp dụng khoảng cách vào bất đẳng thức

Sáng kiến kinh nghiệm

KHOẢNG CÁCH HÌNH HỌC
VÀ MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ.
Người viết: Vũ Đức Bình
Tổ : Toán
Trường T.H.P.T-C Nghĩa Hưng-Nam Định.
1
A. Đặt vấn đề : Trong quá trình giảng dạy tôi tích lũy được một số bài toán
có dạng : Chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
mà trong cách giải có thể sử dụng phương pháp hình học cụ thể là
khoảng cách hình học có hiệu quả cao như dễ thuyết phục, trình bày
ngắn gọn…Sau đây tôi xin trình bày nội dung bài viết này.
B. Giải quyết vấn đề :
I. Lý thuyết, và một số kỹ năng mà học sinh phải nắm được:
1) Khái niệm khoảng cách giữa hai vật thể hình học trong hình học phẳng
cũng như trong không gian:
Cho hai hình (H
1
) và (H
2
), d là khoảng cách của hai hình đó khi đó ta
có:
a) d = min {MN , với M túy ý thuộc (H
1
) và N túy ý thuộc(H
2
)}.
b) d
≤
NM với M túy ý thuộc (H

1
) và N túy ý thuộc(H
2
).
2) Khái niệm khoảng cách thường dùng trong hình học phẳng và trong
hình học không gian, công thức tọa độ của các khoảng cách đó như:
- Khoảng cách của hai điểm.
- Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
- Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
- Khoảng cách của hai đường thẳng song song.
- Khoảng cách của hai chéo nhau.
- Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mp song song .
- Khoảng cách của hai mp song song.
- Khoảng cách .
3) Các quỹ tích cơ bản, phương trình của các yếu tố cơ bản của hình học
phẳng và của hình học không gian như:
-Trong mặt phẳng tọa độ: đường thẳng, đường tròn, e- líp, hypeol,
parabol,
-Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz: Đường thẳng, mặt phẳng, mặt
cầu.
4) Các kỹ năng:
- Tìm giao điểm của đường thẳng.
- Tìm giao điểm của đt và đường tròn.
- Tìm giao điểm của hai đường tròn.
- Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
- Tìm hình chiếu của một điểm trên một đường thẳng, trên một mặt
phẳng
-
II. Các dạng bài tập
1) Dạng bài sử dụng công thức khoảng cách của hai điểm hoặc độ dài

của một véc tơ:
2
+) Sử dụng tính chất khoảng cách: AB+ BC
≥
AC
Mở rộng: BA+ BC+…+MN+NI
≥
AI ta có các bất đăng thức sau:
1a)
≥−+−+−+−
2
22
2
11
2
22
2
11
)()()()( cbcbbaba
2
22
2
11
)()( caca
−+−
1b)
2
22
2
11

2
22
2
11
)()()()( cbcbbaba
−+−+−+−
+…+
2
22
2
11
)()( inin
−+−
≥
2
22
2
11
)()( iaia
−+−
1c)
≥−+−+−+−+−+−
2
33
2
22
2
11
2
33

2
22
2
11
)()()()()()( cbcbcbbababa
2
33
2
22
2
11
)()()( cacaca
−+−+−
1d)
++−+−+−+−+−+−
...)()()()()()(
2
33
2
22
2
11
2
33
2
22
2
11
cbcbcbbababa
2

33
2
22
2
11
)()()( cininin
−+−+−

≥
2
33
2
22
2
11
)()()( iaiaia
−+−+−
+) Sử dụng tính chất bất đẳng thức độ dài vec tơ tổng:

||||
→→
+
ba

≥
||
→→
+
ba
+++

→→
...|||| ba
||
→
e

≥
|...|
→→→
+++
eba
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
các vec tơ đã cho cùng hướng. Ta có được một số bất đẳng
thức sau:
2a)
≥+++
2222
yxba
22
)()( ybxa
−+−
2b)
2
2
2
1
2
2
2
1

bbaa
+++
+…+
2
2
2
1
ii
+
≥
2
222
2
111
)...()...( ibaiba +++++++
2c)
≥+++++
2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
bbbaaa

2
33
2
22
2
11
)()()( bababa
−+−+−
2d)
++−+−+−+−+−+−
...)()()()()()(
2
33
2
22
2
11
2
33
2
22
2
11
cbcbcbbababa
2
33
2
22
2
11

)()()( cininin
−+−+−

≥
2
33
2
22
2
11
)()()( iaiaia
−+−+−
+) Các bài tập dạng này có khá nhiều, sau đây tôi nêu một số bài
và mong các đồng nghiệp bổ xung thêm cho phong phú .
Bài 1. Chứng minh các B.Đ.T sau:
1. CMR: Với ba số a, b, c bất kỳ ta có b.đ.t sau

≥+++++
2222
cacxbaba
22
cbcb
++
2. CMR: Với ba số dương a, b, c bất kỳ ta có b.đ.t sau

2222
cacxbaba +++++
>
22
cbcb

++
Hướng dẫn: câu 1 và 2 . Xét các vec tơ sau trong mp với hệ
trục tọa độ Oxy

→
u
=( -x-y/2;
2
3y
) và
→
v
=(-x-z/2;
2
3z
)
(Trong câu 2 thì các vec tơ đã chọn không thể cùng hướng nên
đẳng thức
không thể xảy ra = đpcm).
3. CMR: Với số thực a bất kỳ ta có b.đ.t sau

≥+−+++
11
22
aaaa
2
4. Cho là ba số dương và x+y+z = 1. Chứng minh rằng

3

82
111
2
2
2
2
2
2
≥+++++
z
z
y
y
x
x
(4)
HD: Áp dụng b.đ.t 2b) Ta có (4) có
VT
≥
22
)
111
()(
zyx
zyx
+++++
=
2
)
111

(1
zyx
+++
Và sử dụng b.đ.t. Cô si cho ba số dương x, y, z ta có
(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)
≥
9 => đpcm.
5. Chứng minh rằng với mọi x, y ta đều có:

≥−++−+
)(sinsinsin4)(sincoscos4
222222
yxyxyxyx
2
6. Cho . Chứng minh rằng:
9. Chứng minh rằng với mọi số thực a,b ta luôn có:
1.
2.
10. CMR:
|2cos||1sin1cos|
44
xxx
≤+−+
Bài 2 . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất:
1. Tìm giá trị nhỏ nhấtcủa hàm số: y =
2222
2222 bbxxaaxx
+−++−
Với a và b là hai số cho trước và khác nhau.
2.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

y =
)11(2)11(2
3333
+−−++++
xxxx

3.Cho là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:

|2|)1()1(
2222
−+++++−
yyxyx

4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
y =
8cos4cos3cos2cos
22
++++−
xxxx

5. Cho các số a, b, c, x, y, z thỏa điều kiện: a
2
+c
2
+b
2
= 1 và
x
2

+y
2
+z
2
= 9. Hãy tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các biểu
thức sau:
4
M = (x-a)
2
+(y-b)
2
+ (z-c)
2

N =
222222
)3()1( zyxcba
+−++++−
6.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:

2cos2cos13cos6cos)(
22
++++−==
xxxxxfy
Hd: Đặt
→
u
=( 3-cosx ; 2) và
→
v

=(1+cosx ; 1) .
Bài 3 . Giải các p.t, bpt sau:
1.
=++++−
2512422
22
xxxx
29129
2
++
xx
HD : Xét các vec tơ sau trong mp với hệ trục tọa độ Oxy

→
u
=( x-1; 1) và
→
v
=(2x+3; 5) từ pt suy ra hai vec tơ này
cùng phương
=> nghiệm của pt là x = 7/2
2.
112112
+−−++−+
xxxx

≥

2
5 x

−
HD MinVT=MaxVP
2) Dạng bài sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một
đường hoặc một mặt phẳng
Bài 1: Cho hai số x và y thỏa điều kiện: 3x+ 4y =25 (1) , cmr: (x-2)
2
+ y
2
≥
361/25, tìm x và y để đẳng thức xảy ra.
HD: Đây là bài tập khá đơn giản, có nhiều cách giải như tam
thức bậc hai, Bunhiacopxki còn phương pháp dùng khoảng cách
đưa ra để hs tham khảo lựa chọn
Xét trong mp với hệ tọa độ Oxy, điểm M(x;y) thỏa (1)  M
thuộc đ/t
∆
có pt (1) .Khi đó gọi d = k/c(M,
∆
) = 19/5 và với điểm
I(2;0) thì IM
2
= (x-2)
2
+ y
2
Dễ thấy IM
≥
d => đ.c.m. Đẳng thức xảy
ra khi và chỉ khi (x;y) là tọa độ của H là hình chiếu của I trên
∆

.
Bài 2. Cho . (1) Chứng minh rằng:
22
≤+≤−
yx
Hd: Có thể thấy M(x;y) thỏa (1)  m thuộc đường
Tròn tâm O bán kính R = 1 và d là đường thẳng có pt:
x+y = 0 thì khoảng cách từ M đến
đường thẳng d là
|
2
|
yx
+
, do d đi qua tâm O của
5