các bất đẳng thức áp dụng hay

Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong
1. Bất đẳng thức AM-GM: Với m số không âm ta có:
. Đẳng thức xảy ra khi
AM-GM suy rộng:Với m số không âm và m số thực dương: ta
có:
Mình chỉ mới thấy lời giải cho : là số hữu thỉ dương thui.
2.Cauchy - Schwazs: . với 2 bộ n số và thì :
Đẳng thức xảy ra khi :
3. Bất đẳng thức Xvác (Schwars). Với bất k“ và ta có :
Đẳng thức xảy ra khi
4.Bất đẳng thức Mincopxki ( Mincowski): Với 2 bộ n số và ;1<p
hửu tỉ thì :
Đẳng thức xảy ra khi :
5. Bất đẳng thức Holder : Cho hai bộ
thì BĐT sau đúng :
Đẳng thức xảy ra khi : các bộ số tương ứng tỉ lệ với nhau
Các hệ quả đơn giãn hay dùng:
Đẳng thức xảy ra khi : các bộ số tương ứng tỉ lệ với nhau.
Ngoài ra như chúng ta biết là còn 4 bất đẳng thức mở rộng nữa tuy nhiên nó ít được ứng
dụng,xin không nêu.
6. Bất đẳng thức Schur : 6.1) Dạng tổng quát:
Cho và ta có :
Đẳng thức xảy ra khi : hoặc hoặc các hoán vị.
Các trường hợp thường dùng là TH: và
.
Trong trường hợp thì ở THCS ta thường có các cách diễn đạt tương đương sau :
Hệ quả rất thông dụng:
Với ta có dạng quen thuộc hơn:
Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong
.
6.2) Schur suy rộng:

Bất đẳng thức sẽ đúng nếu như với mọi a b c 0 và x;y;z 0 nếu có 1 điều kiện sau
đúng:
a) x y (hoặc z y) (Rất hay)
b)ax by
c)bz cy (Nếu a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác)
d)
e)
Ngoài ra cũng còn hai bất Suy rộng của bất đẳng thức SChur nhưng cũng ít được ứng
dụng.Đối với Suy rộng thứ 2 thì chúng ta có thể biến về suy rộng kiểu1.
7. Bất đẳng thức Trêbưsep Chebyshev):7.1) Với và là 2 bộ
cùng tính thì:
Đẳng thức xảy ra khi : và
Nếu và thì .
7.2)Bất đẳng Chebyshev suy rộng:Cho thõa mãn
Với 2 bộ cùng tính thì:
Nếu là 2 bộ đơn điệu ngược tính thì BDT đổi chiều.
Ngoài ra các bạn cũng thấy có vài kết quả làm mạnh của Trê nữa,xin phép được để mọi
người nhớ lại.
8. Bất đẳng thức Nét bít ( Nesbitt):2 trương hợp hay dùng là:
BĐT Nesbitt 3 biến : Với thì
BĐT Nesbitt 4 biến : với thì :
Bất đẳng thức cũng đúng cho đến 14 biến.
ĐẲng thức xẩy ra khi các biến bằng nhau.
9.Bất đẳng thức hoán vị:
Với và và là hoán vị của :
Nếu cùng tính thì:
Nếu ngược tính thì:
Chúng ta cũng biết có BDt hoán vị tổng quát nhưng xin phép được để mọi người tự nhớ
Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong
lại.

[u] 10.Bất dẳng thức Jensen:
Cho
Nếu là hàm lồi trên I thì ta có:
Nếu là hàm lõm trên I thì ta có:
Cái Jensen trình độ mới chỉ vận dụng làm được vài bài đơn giãn nên dừng tại cái cơ bản
này.(Nhìn đơn giãn quá nhỉ)
11.Bất đẳng thức karamataCho 2 bộ được sắp xếp theo thứ tự
với (a) trội hơn (b) khi đó ta có:
Nếu là hàm lồi trên I thì ta có:
Nếu là hàm lõm trên I thì ta có:
Ngoài ra ta còn có RCF;LCF;LCRCF,SIP nhưng chưa học kĩ hàm lồi bên trái bên phải nên
không giám viết bậy.
12.Bất đẳng thức đổi biến P,Q,R[/u]Đặt
Khi đó ta có:
;
13.Vài tiêu chuẩn S.O.S
1)
2)
3)
4)
5)
HeHe.Mình thất Phân tích thành bình phương không khó mà cái khó là dùng tiêu chuẩn
nào để cm được thui.
14.Các dạng dồn biến:
1) Dồn biến có điều kiện:Để chứng minh với a,b,c là các biến và tồn tại
thì chỉ cần chứng minh
với t là biến thõa mãn .Thường t= tb cộng,tb nhân,tb điều
hòa;căn tb tổng các bình phương ....
2)Ngoài ra còn SMV;UMV;dồn biến bằng quy nạp thừa;EMV;GMV
mình chỉ mới biết vận dụng cái đầu tiên là dồn biến về giá trị trung bình nên cũng không

giám viết nhiều.
Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong
Ngoài ra hai bất đẳng thức Bernuli vàMuidhead cũng rất dễ học(ko tin mời thử) và sữ dụng
rộng rãi chẳng phải dính đến đạo hàm khi chưa học đến,đều là BDT đa năng.
15.Bất đẳng thức Bernuli: Chỉ xin đề cập đến dạng cơ bản còn dạng tổng quát để mọi
người tự nhớ lại:
Với số mũ tự nhiên; ta có ngay
Với số mũ thực :
.
16.MurihealMình cũng chỉ xin nêu cái tổng quát nhất:
Với mũ số thực:
Cho dãy biến
trội hơn .
p/s:Mình không tìm thấy kí hiệu trội hơn trên diễn đàn,mọi người thông cảm cho.
17.Bất đẳng thức Vâyetstrt:Cho "
border="0" align="absmiddle"> Khi đó ta có bất đẳng thức:
) \geq 1+S_{n} " border="0" align="absmiddle">
) \geq 1-S_{n} \forall a_{i} \in [0;1] " border="0"
align="absmiddle">
) \leq \frac{1}{1-S_{n}} \forall S_{n}<1 " border="0"
align="absmiddle">
) \leq \frac{1}{1-S_{n}} \forall S_{n}<1;a_{i} \in [0;1]
" border="0" align="absmiddle">.
Ngoài ra cũng còn các pp ABC;GLA;... nhưng trình độ còn thấp chưa giám đề cập đến
Một số bất đẳng thức dùng tam thức bậc hai như Aczela
;G.Polya;Abrl;Diaz;Kantorovis ...vv