2H3 PHUONG PHAP TOA DO TRONG KHONG GIAN

A ( 1;1; − 1)
Câu 1: (Tham khảo THPTQG 2019) ) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
và
u
u
u
r
B ( 2;3; 2 )
. Véctơ AB có tọa độ là
( 1; 2;3) .
( −1; − 2;3) .
( 3;5;1) .
( 3; 4;1) .
A.
B.
C.
D.
Lời giải
uuur
AB = ( 1; 2;3)
Ta có
.

( Oxz ) có phương
Câu 2: (Tham khảo THPTQG 2019) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng
trình là
A. 5 .
B. x + y + z = 0 .
C. y = 0 .
D. x = 0 .
Lời giải

d:

x −1 y − 2 z − 3
=
=
2
−1
2

Câu 3: (Tham khảo THPTQG 2019) Trong không gian Oxyz , đường thẳng
đi qua điểm nào sau đây?
Q ( 2; −1; 2 )
M ( −1; −2; −3)
P ( 1; 2;3 )
N ( −2;1; −2 )
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
1 −1 2 − 2 3 − 3
=
=
−1
2 .
Thay tọa độ điểm P vào phương trình d ta được: 2

P ( 1; 2;3)
Vậy đường thẳng d đi qua điểm
.

Câu 4:

I ( 1;1;1)
(Tham khảo THPTQG 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
và
A ( 1; 2;3)
. Phương trình của mặt cầu có tâm I và đi qua điểm A là

( x + 1)

2

A.
C.

( x − 1)

2

+ ( y + 1) + ( z + 1) = 29
2

2

+ ( y − 1) + ( z − 1) = 25

2

.

B.

2

.

( x − 1)

2

+ ( y − 1) + ( z − 1) = 5

.

( x + 1)

2

+ ( y + 1) + ( z + 1) = 5

.

D.
Lời giải

2

2

2

2

Mặt cầu có bán kính R = IA = 0 + 1 + 4 = 5 .
Suy ra phương trình mặt cầu là

( x − 1)

2

+ ( y − 1) + ( z − 1) = 5
2

2

.

( P ) : x + 2 y + 3z − 5 = 0 có một
Câu 5: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng
véc tơ pháp tuyến là
A.

r
n1 = ( 3; 2;1)

B.

r
n3 = ( −1; 2;3)

Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng

C.

r
n4 = ( 1; 2; −3)

Lời giải
( P ) : x + 2 y + 3z − 5 = 0

là:

D.

r
n2 = ( 1; 2;3)

Câu 6: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , đường thẳng
vectơ chỉ phương là:

r
n2 = ( 1; 2;3)

.
x = 2 − t


d :  y = 1 + 2t
z = 3 + t


có một


uu
r
u3 = ( 2;1;3)

A.
ur
u1 = ( −1; 2;3)

B.

uu
r
u4 = ( −1; 2;1)

uu
r
u2 = ( 2;1;1)

C.

D.

Lời giải

x = 2 − t

d :  y = 1 + 2t
z = 3 + t


có một vectơ chỉ phương là

uu
r
u4 = ( −1; 2;1)

.

A ( 2; −4;3)
B ( 2; 2;7 )
Câu 7: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
và
. Trung
điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là

A.

( 1;3; 2 )

B.

( 2; 6; 4 )

( 2; −1;5)

C.
Lời giải

D.

( 4; −2;10 )

x A + xB

 xI = 2 = 2

y A + yB

= −1
 yI =
2

z A + zB

 zI = 2 = 5
Gọi I là trung điểm của AB , ta có tọa độ điểm I là 
.
I ( 2; − 1;5 )
Vậy
.
Câu 8: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không giam Oxyz, mặt phẳng

( P ) : 2 x + 3 y + z − 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là
A.

ur
n1 = ( 2;3; −1)

B.

uu
r
n3 = ( 1;3; 2 )

( P ) : 2 x + 3 y + z −1 = 0
Mặt phẳng

uu
r
n4 = ( 2;3;1)

D.

có một vectơ pháp tuyến là

uu
r
n4 = ( 2;3;1)

C.

Lời giải

uu

r
n2 = ( −1;3; 2 )

.

Câu 9: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây thuộc đường
thằng

A.

P ( 1;1;2 )

d:

x + 2 y −1 z + 2
=
=
1
1
2 .

B.

N ( 2; −1; 2 )

C.

Q ( −2;1; −2 )

D.

M ( −2; −2;1)

Lời giải
Đường thằng

d:

x + 2 y −1 z + 2
=
=
1
1
2 đi qua điểm ( −2;1; −2 ) .

Câu 10: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu

( S ) : ( x + 3)
A.

( 3;1; −1)

2

+ ( y + 1) + ( z − 1) = 2
2

2

B.

. Tâm của

( 3; −1;1)

( S)

có tọa độ là

( −3; −1;1)

C.
Lời giải

D.

( −3;1; −1)


Tâm của

( S)

có tọa độ là

( −3; −1;1) .

Câu 11: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng

( P ) : 2 x + y + 3z − 1 = 0

có một vectơ pháp tuyến là:
ur
uu
r
n1 = ( 3;1; 2 )
n3 = ( 2;1;3)
A.
B.
C.
Lời giải
( P ) : 2 x + y + 3z − 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là ( 2;1;3) .
Mặt phẳng
uu
r
n4 = ( 1;3; 2 )

D.

uu
r
n2 = ( −1;3; 2 )

Câu 12: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây thuộc đường

A.

x = 1− t

y = 5+t

 z = 2 + 3t
thẳng d : 
?
P ( 1; 2;5 )

B.

N ( 1;5; 2 )

C.

Q ( −1;1;3)

D.

M ( 1;1;3)

Lời giải
Cách 1. Dựa vào lý thuyết: Nếu d qua

M ( x0 ; y0 ;z 0 )

, có véc tơ chỉ phương

r
u ( a; b; c )

thì

 x = x0 + at


 y = y0 + bt
 z = z + ct
0


phương trình đường thẳng d là:
Cách 2. Thay tọa độ các điểm M

, ta chọn đáp án B.
vào phương trình đường thẳng d , ta có:

1 = 1 − t
t = 0


 2 = 5 + t ⇔ t = −3
5 = 2 + 3t
t = 1


(Vô lý). Loại đáp án A.
Thay tọa độ các điểm N vào phương

trình

đường

thẳng

d,

ta

có:

1 = 1 − t

5 = 5 + t ⇔ t = 0
 2 = 2 + 3t

. Nhận đáp án B.
Câu 13: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , mặt cầu

( S ) : ( x − 5)
A.

3

2

+ ( y − 1) + ( z + 2 ) = 3
2

2

có bán kính bằng

B. 2 3

C. 3

D. 9

Lời giải

A ( 1;1; − 2 )
Câu 14: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
và
u
u
u
r
B ( 2; 2;1)
. Vectơ AB có tọa độ là
( 3;3; − 1) .
( −1; − 1; − 3) .
( 3;1;1) .
( 1;1;3) .
A.
B.
C.
D.
Lời giải
uuur
uuu
r
AB = ( 2 − 1; 2 − 1;1 − ( −2 ) )
AB = ( 1;1;3)
hay

.


Câu 15: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Trong không gian Oxyz , đường thẳng
một vectơ chỉ phương là

A.

ur
u1 = ( 3; − 1;5 )

Đường thẳng

.

d:

B.

uu
r
u4 = ( 1; − 1; 2 )

.

uu
r
u2 = ( −3;1;5 )

C.

Lời giải

.

d:

x + 3 y −1 z − 5
=
=
1
−1
2 có

D.

uu
r
u3 = ( 1; − 1; − 2 )

.

x + 3 y −1 z − 5
uu
r
=
=
u
1
−1
2 có một vectơ chỉ phương là 4 = ( 1; − 1; 2 ) .

(THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng

Câu 16:

( P ) :3x + 2 y + z − 4 = 0

có một vectơ pháp tuyến là
uu
r
uu
r
ur
n4 = ( 1; 2; − 3)
n2 = ( 3; 2;1)
n1 = ( 1; 2;3)
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
uu
r
P ) :3 x + 2 y + z − 4 = 0
n2 = ( 3; 2;1)
(

Mặt phẳng
có một vectơ pháp tuyến là
.
uu
r
n3 = ( −1; 2;3)

A ( 1; 2; −2 )
Câu 17: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng đi qua điểm
và
x +1 y − 2 z + 3
=
=
2
1
3 có phương trình là
vuông góc với đường thẳng
A. 3 x + 2 y + z − 5 = 0 .
B. 2 x + y + 3 z + 2 = 0 . C. x + 2 y + 3 z + 1 = 0 .
∆:

Mặt phẳng qua

A ( 1; 2; −2 )

và nhận

D. 2 x + y + 3z − 2 = 0 .

Lời giải

uur
u∆ = ( 2;1;3)

Vậy phương trình của mặt phẳng là :
⇔ 2 x + y + 3z + 2 = 0 .

làm VTPT
2 ( x − 1) + ( y − 2 ) + 3 ( z + 2 ) = 0

A ( 3; −1;1)
Câu 18: (Tham khảo 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm
. Hình chiếu vuông góc của

( Oyz ) là điểm
điểm A trên mặt phẳng
A.

M ( 3;0;0 )

B.

N ( 0; −1;1)

C.
Lời giải

P ( 0; −1;0 )

Khi chiếu vuông góc một điểm trong không gian lên mặt phẳng
phần tung độ và cao độ nên hình chiếu của

A ( 3; −1;1)

lên

D.

( Oyz ) , ta giữ lại các thành

( Oyz )

Câu 19: (Tham khảo 2018) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
thẳng d có một vectơ chỉ phương là
A.

r
u1 = ( - 1;2;1)

B.

uur
u2 = ( 2;1;0)

C.
Lời giải

r
u3 = ( 2;1;1)

Q ( 0;0;1)

là điểm
d:

N ( 0; −1;1)

.

x- 2 y- 1 z
=
= .
- 1
2
1 Đường

D.

r
u4 = ( - 1;2;0)

M ( 2;0;0 ) N ( 0; − 1;0 )
Câu 20: [2H3--3--1] (Tham khảo 2018) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm
,
,

P ( 0;0; 2 )

. Mặt phẳng

( MNP )

có phương trình là:


x y z
+ + =0
A. 2 −1 2
.

x y z
x y z
+ + = −1
+ + =1
B. 2 −1 2
. C. 2 1 2
.
Lời giải
x y z
M ( 2;0;0 ) N ( 0; − 1;0 ) P ( 0;0;2 ) ⇒ ( MNP ) : 2 + −1 + 2 = 1
Ta có:
,
,

x y z
+ + =1
D. 2 −1 2

Câu 21: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu

( S) :

x2 + ( y + 2) + ( z − 2) = 8
2

2

A. R = 8

( S) .
. Tính bán kính R của
D. R = 64

C. R = 2 2
Lời giải

B. R = 4

( x − a)
Phương trình mặt cầu tổng quát:

2

+ ( y − b) + ( z − c ) = R2 ⇒ R = 2 2
2

2

.

Câu 22: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm

A ( 1;1;0 )
B ( 0;1; 2 )
và
. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB .
r
r
r
r
c = ( 1; 2; 2 )
a = ( −1;0; −2 )
b = ( −1; 0; 2 )
d = ( −1;1; 2 )
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải.
uuur
r
AB = ( −1;0; 2 )
b
= ( −1;0; 2 )
Ta có
suy ra đường thẳng AB có VTCP là
.

Câu 23: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Trong không gian với hệ tọa độ
dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm

M ( 1; 2; −3)

Oxyz

, phương trình nào

và có một vectơ pháp tuyến

.
r
n = ( 1; −2;3)
A. x − 2 y + 3z − 12 = 0
C. x − 2 y + 3 z + 12 = 0

B. x − 2 y − 3z + 6 = 0
D. x − 2 y − 3z − 6 = 0
Lời giải

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm

M ( 1; 2; −3)

và có một vectơ pháp tuyến

r
n = ( 1; 2; −3)

là

1( x − 1) − 2 ( y − 2 ) + 3 ( z + 3) = 0 ⇔ x − 2 y + 3z + 12 = 0
Câu 24: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng
( α ) :x + y + z − 6 = 0 . Điểm nào dưới đây không thuộc ( α ) ?
Q ( 3;3;0)
N ( 2;2;2)
P ( 1;2;3)
M ( 1; −1;1)
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Ta có:
Câu 25:

1− 1+ 1− 6 = −5 ≠ 0 ⇒ M ( 1; −1;1)

là điểm không thuộc

( α) .

(THPT QG 2017 Mã đề 105) Trong không gian với hệ toạ độ

( S) : ( x − 5) + ( y − 1) + ( z + 2)
2

2

2

=9

( S) .
. Tính bán kính R của

Oxyz

, cho mặt cầu


A. R = 3

B. R = 18

Phương trình mặt cầu tâm

( x − a) + ( y − b) + ( z − c)
2

2

I ( a; b; c)
2

C. R = 9
Lời giải

D. R = 6

, bán kính R có dạng:

= R2 ⇒ R = 3

.

M ( 3; − 1; − 2)
Oxyz
Câu 26: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Trong không gian với hệ toạ độ
, cho điểm
( )
và mặt phẳng α :3x − y + 2z + 4 = 0. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi
qua M và song song với ( α ) ?
3x − y + 2z − 6 = 0
3x − y + 2z + 6 = 0
3x − y − 2z + 6 = 0
3x + y + 2z − 14 = 0
A.
B.
C.
D.
Lời giải
( )
Gọi ( β ) // α , PT có dạng ( β ) : 3x − y + 2z + D = 0 (điều kiện D ≠ 4 );

( β ) qua M ( 3; − 1; − 2) nên 3.3− ( −1) + 2.( −2) + D = 0 ⇔ D = −6 (thoả đk);
Ta có:
β : 3x − y + 2z − 6 = 0
Vậy ( )

Oxyz , tìm tất cả các giá trị của m
Câu 27: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Trong không gian hệ tọa độ
2
2
2
để phương trình x + y + z − 2x − 2y − 4z + m = 0 là phương trình của một mặt cầu.
A. m≤ 6

B. m > 6

C. m< 6
Lời giải

D. m≥ 6

x2 + y2 + z2 − 2x − 2y − 4z + m= 0
Phương trình
là một phương trình mặt cầu
2
2
2
⇔ 1 + 1 + 2 − m> 0 ⇔ m< 6 .

( P ) : x − 2y + z − 5 = 0. Điểm nào dưới
Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng
( P) ?
đây thuộc
Q ( 2; −1;5)
N ( −5;0;0)

P ( 0;0; −5)
M ( 1;1;6)
A.
B.
C.
D.
Lời giải
M ( 1;1;6)
( P) .
Ta có 1− 2.1+ 6 − 5 = 0 nên
thuộc mặt phẳng

Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , vectơ nào dưới đây là một véctơ pháp tuyến của mặt
( Oxy) ?
phẳng
A.

r
i = ( 1;0;0)

( Oxy)
Do mặt phẳng

r
j = ( 0;1;0)

D.

vuông góc với trục Oz nên nhận véctơ

r
k = ( 0;0;1)

B.

ur
m= ( 1;1;1)

C.
Lời giải

r
k = ( 0;0;1)

làm một véc tơ

pháp tuyến.
Câu 30: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình của đường
A ( 2;3;0)
( P ) : x + 3y − z + 5 = 0?
thẳng đi qua
và vuông góc với mặt phẳng
 x = 1+ t
 x = 1+ t
 x = 1+ 3t
 x = 1+ 3t





 y = 1+ 3t
 y = 3t
 y = 1+ 3t
 y = 1+ 3t
 z = 1− t
 z = 1− t
 z = 1− t
 z = 1+ t
A. 
B. 
C. 
D. 


Vectơ chỉ phương của đường thẳng là
tọa độ điểm

A ( 2;3;0)

Lời giải
r
u = ( 1;3; −1)

nên suy ra chỉ đáp án A hoặc B đúng. Thử

vào ta thấy đáp án B thỏa mãn

( P ) : 3x − z + 2 = 0 .
Câu 31: (Đề minh họa lần 1 2017) Trong không gian với hê tọa đ ô Oxyz , cho măt phẳng
Vectơ nào dưới đây là môt vectơ pháp tuyến của

A.

r
n4 = ( −1;0; −1)

B.

( P) ?

r
n1 = ( 3; −1; 2 )

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

C.
Lời giải
( P ) : 3x − z + 2 = 0

r
n3 = ( 3; −1;0 )

là

D.

r
n2 = ( 3;0; −1)

r

n2 = ( 3;0; −1)

.

( P ) có
Câu 32: (Đề minh họa lần 1 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng cho măt phẳng
A ( 1; −2;3)
( P)
phương trình 3 x + 4 y + 2 z + 4 = 0 và điểm
. Tính khoảng cách d từ A đến

A.

d=

5
9

B.

d=

5
29

( P ) là
Khoảng cách từ điểm A đến

d=

5
29

C.
Lời giải
3.1 + 4. ( −2 ) + 2.3 + 4

d=

32 + 42 + 22

D.
=

d=

5
3

5
×
29

Câu 33: (Đề minh họa lần 1 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu

( S ) : ( x + 1) 2 + ( y − 2 ) 2 + ( z − 1) 2 = 9 .Tìm tọa độ tâm
I ( −1; 2;1)
A.
và R = 3
I ( −1; 2;1)

C
và R = 9

( S ) : ( x + 1)
Mặt cầu

2

I và tính bán kính R của ( S )

I ( 1; −2; −1)
B.
và R = 3
I ( 1; −2; −1)
D
và R = 9
Lời giải

+ ( y − 2 ) + ( z − 1) = 9
2

2

có tâm

I ( −1; 2;1)

và bán kính R = 3

A ( 0;1;1)

B ( 1; 2;3)
Câu 34: (Đề minh họa lần 1 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm
) và
.
Viết phương trình của mặt phẳng

A. x + y + 2 z − 3 = 0
C. x + 3 y + 4 z − 7 = 0

( P ) đi qua

A và vuông góc với đường thẳng AB .

B. x + y + 2 z − 6 = 0
D. x + 3 y + 4 z − 26 = 0

Lời giải
uuu
r
P)
A ( 0;1;1)
AB = ( 1;1; 2 )
(
Mặt phẳng
đi qua
và nhận vecto
là vectơ pháp tuyến
( P ) :1( x − 0 ) + 1( y − 1) + 2 ( z − 1) = 0 ⇔ x + y + 2 z − 3 = 0 .

Câu 35: (Đề tham khảo lần 2 2017) Trong không gian tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là
 x = 1 + 2t

d :  y = 3t
?
 z = −2 + t

phương trình chính tắc của đường thẳng
x +1 y z − 2
x −1 y z + 2
= =
= =
3
1
3
−2
A. 2
B. 1

x +1 y z − 2
= =
3
−2
C. 2

Do đường thẳng

x −1 y z + 2
= =
3

1
D. 2
Lời giải

 x = 1 + 2t

d :  y = 3t
 z = −2 + t


r
đi qua điểm M (1;0; −2) và có véc tơ chỉ phương u (2;3;1) nên

x −1 y z + 2
= =
.
3
1
có phương trình chính tắc là 2
Câu 36: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm

A ( 3; −2;3)
A.

và

I ( −2; 2;1)

B ( −1; 2;5 )

.

B.

. Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB .

I ( 1;0; 4 )

.

C.
Lời giải

I ( 2;0;8 )

.

D.

I ( 2; −2; −1)

.

A ( 3; −2;3)
B ( −1; 2;5 )
Tọa độ trung điểm I của đoạn AB với
và
được tính bởi
x A + xB


x
=
=1
I

2


y +y
 yI = A B = 0 ⇒ I ( 1;0; 4 )
2


z A + zB
 z I = 2 = 4
Câu 37: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng

x = 1

d :  y = 2 + 3t ; ( t ∈ ¡
z = 5 − t

A.

r
u1 = ( 0;3; −1)

Đường thẳng

)

. Véctơ nào dưới đây là véctơ chỉ phương của d ?
B.

r
u2 = ( 1;3; −1)

x = 1

d :  y = 2 + 3t ; (t ∈ ¡ )
z = 5 − t


r
u3 = ( 1; −3; −1)

C.
Lời giải

nhận véc tơ

r
u = ( 0;3; −1)

D.

r
u4 = ( 1; 2;5 )

làm VTCP

Câu 38: [2H3--3--1] (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 3


điểm

A ( 1;0;0 ) B ( 0; −2;0 ) C ( 0;0;3)
;

;

. Phương trình nào dưới dây là phương trình mặt phẳng

( ABC ) ?
x
y
z
+
+ =1
A. 3 −2 1
.

x
y z
+ + =1
B. −2 1 3
.

x
y
z

+
+ =1
C. 1 −2 3
.

x y
z
+ +
=1
D. 3 1 −2
.

Lời giải
x y z
+
+ = 1.
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn đi qua 3 điểm A , B , C là 1 −2 3

Câu 39: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
d:

x +1 y
z −5
=
=
1
−3
−1 và mặt phẳng ( P ) : 3x − 3 y + 2 z + 6 = 0 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

( P)

A. d cắt và không vuông góc với

( P)
B. d vuông góc với

( P ) D. d nằm trong ( P )
C. d song song với
Lời giải

r

M ( −1;0;5 )
u = ( 1; − 3; − 1)
( P ) có vtpt
Ta có đường thẳng d đi qua
có vtcp
và mặt phẳng
r
n = ( 3; − 3; 2 )
M ∉( P) ⇒

loại đáp án

D.

r r
n , u không cùng phương ⇒ loại đáp án B.
r r
r r
n . u = 10 ⇒ n , u không vuông góc ⇒ loại đáp án C.

Câu 1: (Tham khảo THPTQG 2019) Trong không gian Oxyz , khoảng cách giữa hai mặt phẳng
( P ) : x + 2 y + 2 z − 10 = 0 và ( Q ) : x + 2 y + 2 z − 3 = 0 bằng
8
7
4
A. 3 .
B. 3 .
C. 3 .
D. 3 .
Lấy điểm
Do
Câu 2:

M ( 0;0;5 ) ∈ ( P )

( P ) // ( Q )

nên

Lời giải
.

d ( ( P) , ( Q) ) = d ( M , ( Q) ) =

xM + 2 yM + 2 zM − 3
12 + 22 + 22

=

7
3.

A ( 2;− 2;4 )
(Tham khảo THPTQG 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
,
B ( −3;3; − 1)
( P ) : 2 x − y + 2 z − 8 = 0 . Xét M là điểm thay đổi thuộc ( P ) , giá trị
và mặt phẳng
2
2
nhỏ nhất của 2MA + 3MB bằng
A. 135 .
B. 105 .
C. 108 .
D. 145 .
Lời giải
• Tìm tọa độ điểm I :
uur uur r
2
I
 Cách 1: Gọi là điểm thỏa mãn IA + 3IB = 0


 2 ( xI − 2 ) + 3 ( x I + 3 ) = 0
5 x1 + 5 = 0
 x1 = −1


⇒  2 ( yI + 2 ) + 3 ( yI − 3) = 0 ⇔ 5 y − 5 = 0 ⇔  y = 1

1
1



 2 ( zI − 4 ) + 3 ( z I + 1) = 0
5 z1 − 5 = 0
 z1 = 1 . Vậy I ( −1;1;1) cố định.
uur uur r
 Cách 2: Gọi I là điểm thỏa mãn 2 IA + 3IB = 0
uu
r uur r
uuu
r uur
uuu
r uur r
uur 1 uuu
r uuur
2 IA + 3IB = 0 ⇔ 2 OA − OI + 3 OB − OI = 0 ⇔ OI = 2OA + 3OB ⇒ I ( 1;1;1)
5
Ta có
.
uur
uuu
r uuur
1
uu
r uur
OI =
mOA + nOB

m+n
 Tổng quát: Cho điểm I thỏa mãn mIA + nIB với m + n ≠ 0 thì

(

) (

)

(

)

(

.

)

uuu
r uu
r
uuu
r uur
uuur 2
uuur 2 = 2 MI + IA 2 + 3 MI + IB 2
• Khi đó 2MA + 3MB = 2MA + 3MB
uuu
r2
uuu

r uu
r uur
uu
r2
uur2
= 5MI + 2 MI 2 IA + 3IB + 2 IA + 3IB
= 5MI 2 + 2 IA2 + 3IB 2 .
2

(

2

)

(

(

)

)

2
2
2
2
2
Vậy 2 MA + 3MB nhỏ nhất thì 5MI + 2 IA + 3IB nhỏ nhất hay M là hình chiếu của điểm

 xM = 2k − 1

⇒  yM = − k + 1
uuur
uuur
 z = 2k + 1
 M
I trên mặt phẳng ( P ) ⇒ IM = k n( P )
.
M ∈ ( P ) ⇒ 2 ( 2k − 1) − ( −k + 1) + 2 ( 2k + 1) − 8 = 0 ⇔ 9k − 9 = 0 ⇔ k = 1 ⇒ M ( 1;0;3)
Mà
.
2
2
2
2
2
Vậy giá trị nhỏ nhất của 2 MA + 3MB = 5MI + 2 IA + 3IB = 135 .

Câu 3: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng đi qua điểm A ( 2; −1; 2 ) và song

( )
song với mặt phẳng P : 2 x − y + 3 z + 2 = 0 có phương trình là
A. 2 x + y + 3 z − 9 = 0

B. 2 x − y + 3 z + 11 = 0 C. 2 x − y − 3 z + 11 = 0 D. 2 x − y + 3 z − 11 = 0
Lời giải

Gọi ( Q ) là mặt phẳng đi qua điểm A ( 2; −1; 2 ) và song song với mặt phẳng ( P ) .
( )

Do ( Q ) // P nên phương trình của ( Q ) có dạng 2 x − y + 3 z + d = 0 ( d ≠ 2 ).

Do A ( 2; −1; 2 ) ∈ ( Q ) nên 2.2 − ( −1) + 3.2 + d = 0 ⇔ d = −11 (nhận).
Vậy ( Q ) : 2 x − y + 3z − 11 = 0 .

A ( 1; 2;3 )
Câu 4: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz cho điểm
và đường thẳng

x − 3 y −1 z + 7
=
=
2
1
−2 . Đường thẳng đi qua A , vuông góc với d và cắt trục Ox có phương
trình là
 x = −1 + 2t
x = 1+ t
 x = −1 + 2t
x = 1+ t




 y = 2t
 y = 2 + 2t
 y = −2t
 y = 2 + 2t
 z = 3t
 z = 3 + 2t

z = t
 z = 3 + 3t




d:

A.

B.

C.

D.


Lời giải
∆
Gọi là đường thẳng cần tìm.
M = ∆ ∩ Ox . Suy ra M ( a;0;0 ) .
Gọi
uuuu
r
AM = ( a − 1; −2; −3 )
.
uu
r
d có VTCP: ud = ( 2;1; −2 ) .
uuuu

r uu
r
AM .ud = 0 ⇔ 2a − 2 − 2 + 6 = 0 ⇔ a = −1
∆
⊥
d
Vì
nên
.
uuuu
r
M ( −1;0; 0 )
AM = ( −2; −2; −3) = − ( 2; 2;3)
Vậy ∆ qua
và có VTCP
nên ∆ có phương trình:
 x = −1 + 2t

 y = 2t
 z = 3t

.

A ( −1;1;1) B ( 2;1;0 )
Câu 5: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm
,
C ( 1; −1;2 )

. Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC có phương trình là

A. x + 2 y − 2 z + 1 = 0

B. x + 2 y − 2 z − 1 = 0

C. 3 x + 2 z − 1 = 0

D. 3 x + 2 z + 1 = 0

Lời giải
uuur
BC = ( −1; −2; 2 )
( P ) cần tìm.
Ta
là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng
r cóuuur
n = − BC = ( 1; 2; −2 )
( P) .
cũng là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng
( P ) là x + 2 y − 2 z + 1 = 0 .
Vậy phương trình mặt phẳng
Câu 6: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
x +1 y
z+2
=
=
2
−1
2 và mặt phẳng ( P ) : x + y − z + 1 = 0 . Đường thẳng nằm trong mặt phẳng
( P ) đồng thời cắt và vuông góc với d có phương trình là:
d:

A.

 x = −1 + t

 y = −4t
 z = −3t


B.

x = 3 + t

 y = −2 + 4t
z = 2 + t


x = 3 + t

 y = −2 − 4t
 z = 2 − 3t


C.
Lời giải

D.

 x = −1 + 2t


 y = −t

d :  z = −2 + 2t
Gọi ∆ là đường thẳng nằm trong ( P ) vuông góc với d .
uur
uu
r uu
r
u∆ = ud ; nP  = (−1; 4;3)

Gọi A là giao điểm của d và ( P) . Tọa độ A là nghiệm của phương trình:
( −1 + 2t ) + ( − t) − ( −2 + 2 t) + 1 = 0 ⇔ t = 2 ⇒ A(3; −2; 2)

Phương trình ∆

uur

u
qua A(3; −2;2) có vtcp ∆

= (−1;4;3)

có dạng:

x = 3 + t

 y = −2 − 4t
 z = 2 − 3t


 x = 3 + 2t

 y = −2 + 6t
z = 2 + t



A ( 5; −4; 2 )
Câu 7: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz, Cho hai điểm
và
B ( 1; 2; 4 ) .

Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB có phương trình là
A. 2 x − 3 y − z + 8 = 0
B. 3 x − y + 3 z − 13 = 0
C. 2 x − 3 y − z − 20 = 0
D. 3 x − y + 3z − 25 = 0
uuu
r
AB = ( −4;6; 2) = −2(2; −3; −1)

Lời giải
r

( P ) đi qua A ( 5; −4; 2 ) nhận n = (2; −3; −1)
( P ) : 2 x − 3 y − z − 20 = 0

làm VTPT

Câu 8: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng

∆:

x y +1 z −1
=
=
1
2
1 và mặt phẳng ( P ) : x − 2 y − z + 3 = 0 . Đường thẳng nằm trong ( P ) đồng

thời cắt và vuông góc với ∆ có phương trình là:
x = 1
 x = −3


y = 1− t
 y = −t
 z = 2 + 2t
 z = 2t
A. 
B. 
C.
Lời giải
x = t

⇒
∆
:
 y = −1 + 2t
x y +1 z −1
∆: =

=
z = 1 + t

1
2
1
Ta có

x = 1 + t

 y = 1 − 2t
 z = 2 + 3t


D.

 x = 1 + 2t

y = 1− t
z = 2


M = ∆ ∩ ( P ) ⇒ M ∈ ∆ ⇒ M ( t ; 2t − 1; t + 1)
Gọi
M ∈ ( P ) ⇒ t − 2 ( 2t − 1) − ( t + 1) + 3 = 0 ⇔ 4 − 4t = 0 ⇔ t = 1 ⇒ M ( 1;1; 2 )
r
P)
n = ( 1; −2; −1)
(
Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng

là r
u = ( 1; 2;1)
Véc tơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là
( P ) đồng thời cắt và vuông góc với ∆
Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng
1 r r
 n, u  = ( 0; −1; 2 )
M ( 1;1; 2 ) ∈ d
⇒ Đường thẳng d nhận 2  
làm véc tơ chỉ phương và
x = 1

d : y =1− t
 z = 2 + 2t

⇒ Phương trình đường thẳng

A ( 2;1;3)
Câu 9: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Trong không gian Oxyz , cho điểm
và đường thẳng
d:

x +1 y −1 z − 2
=
=
1
−2
2 . Đường thẳng đi qua A , vuông góc với d và cắt trục Oy có phương trình

là.

A.

 x = 2t

 y = −3 + 4t
 z = 3t


.

B.

 x = 2 + 2t

y =1+ t
 z = 3 + 3t


.

Lời giải

C.

 x = 2 + 2t

 y = 1 + 3t
 z = 3 + 2t


.

D.

 x = 2t

 y = −3 + 3t
 z = 2t


.


Gọi đường thẳng cần tìm là ∆
x +1 y −1 z − 2
r
d:
=
=
1
−2
2 có VTCP u = ( 1; − 2; 2 ) .
uuuu
r
M ( 0; m; 0 ) ∈ Oy
AM = ( −2; m − 1; − 3)
Gọi
, ta có
uuuu

rr
⇔ −2 − 2 ( m − 1) − 6 = 0 ⇔ m = −3
Do ∆ ⊥ d ⇔ AM .u = 0
 x = 2t

 y = −3 + 4t
uuuu
r
 z = 3t
AM = ( −2; − 4; − 3)
Ta có ∆ có VTCP
nên có phương trình 
.

A ( −1; 2;1)
B ( 2;1;0 ) .
Câu 10: (Tham khảo 2018) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
và
Mặt phẳng
qua A và vuông góc với AB có phương trình là
A. 3 x − y − z − 6 = 0
B. 3x − y − z + 6 = 0 C. x + 3 y + z − 5 = 0
D. x + 3 y + z − 6 = 0
Lời giải
uuu
r
uuu
r
α)
α

AB ( 3; −1; −1) .
AB
(
(
)
( 3; −1; −1)
Do mặt phẳng
cần tìm vuông góc với AB nên
nhận
làm
vtpt.
Suy
ra,
phương
trình
mặt
phẳng

( α ) : 3 ( x + 1) − ( y − 2 ) − ( z − 1) = 0 ⇔ 3x − y − z + 6 = 0.
Câu 11: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm

M ( 2;3; − 1) N ( −1;1;1)
P ( 1; m − 1; 2 )
,
và
. Tìm m để tam giác MNP vuông tại N .
A.
.
B.
.

C.
.
D.
.
m = −6
m=0
m = −4
m=2
Lời giải
uuuu
r
uuur
MN ( −3; −2; 2 ) ; NP ( 2; m − 2;1)
Tam giác MNP vuông tại

uuuu
r uuur
N ⇔ MN .NP = 0 ⇔ −6 − 2 ( m − 2 ) + 2 = 0 ⇔ m − 2 = −2 ⇔ m = 0

Câu 12: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Trong không gian với hệ tọa độ
Gọi

M1 , M 2

lần lượt là hình chiếu vuông góc của

là một véctơ chỉ phương của đường thẳng
A. uu
r
u2 = ( 1; 2;0 )

B. uu
r
u3 = ( 1;0;0 )

M 1M 2

M

lên các trục

M2

là hình chiếu của
là hình chiếu của

M
M

lên trục
lên trục

, cho điểm

Ox, Oy

M ( 1; 2;3)

C. uu
r

u4 = ( −1; 2;0 )

Ox ⇒ M 1 ( 1;0;0 )

.

Oy ⇒ M 2 ( 0; 2;0 )

.

Khi đó: uuuuuur
là một vecto chỉ phương của
.
M 1M 2
M 1M 2 = ( −1; 2;0 )

.

. Vectơ nào dưới đây

?

Lời giải
M1

Oxyz

.

D. ur

u1 = ( 0; 2;0 )


Câu 13: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm

A ( 1; − 1; 2 )

,

d:

B ( −1; 2; 3 )

và đường thẳng
thuộc d sao cho MA + MB = 28 , biết c < 0.
M ( −1; 0; − 3)
M ( 2; 3; 3)
A.
B.
2
7
2
1 7
 1
M ; ; − ÷
M  − ; − ; − ÷.
3
6
3
6 6

 6
C.
D.
2

x −1 y − 2 z −1
=
=
.
M ( a; b; c )
1
1
2
Tìm điểm

2

Lời giải
Ta có : M ∈ d nên

∃t ∈ ¡ : M ( 1 + t ; 2 + t; 1 + 2t )

.Đk :

1 + 2t < 0 ⇒ t <

−1
( *)
2

MA2 + MB 2 = 28

⇔ ( −t ) + ( −3 − t ) + ( 1 − 2t ) + ( −2 − t ) + ( −t ) + ( 2 − 2t ) = 28
2

2

2

2

2

2

t = 1( L )
⇔
t = − 5 ( T / m )

6
⇔ 12t 2 − 2t − 10 = 0

Với

t=−

1 7 2
5
M  ; ; − ÷.
6 6 3

6 , ta có

Câu 14: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình nào
dưới đây là phương trình mặt cầu đi qua ba điểm

( α ) : 2 x + 3 y − z + 2 = 0.
tâm thuộc mặt phẳng
2
2
2
A. x + y + z − 2 x + 2 y − 2 z − 10 = 0
2
2
2
C. x + y + z + 4 x − 2 y + 6 z + 2 = 0

M ( 2;3;3)

,

N ( 2; −1; −1) P ( −2; −1;3)
,
và có

2
2
2
B. x + y + z − 4 x + 2 y − 6 z − 2 = 0
2
2

2
D. x + y + z − 2 x + 2 y − 2 z − 2 = 0

Lời giải

( S ) có dạng x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 .
Giả sử phương trình mặt cầu
a 2 + b 2 + c 2 − d > 0 ( *)
Điều kiện:
Vì mặt cầu

( S)

đi qua 3 điểm

M ( 2;3;3)

,

N ( 2; −1; −1)

,

P ( −2; −1;3)

và có tâm I thuộc

 4a + 6b + 6c − d = 22
a = 2
 4a − 2b − 2c − d = 6

b = −1


⇔
: T / m ( *)


4
a
+
2
b
−
6
c
+
d
=
−
14
c
=
3


 2a + 3b − c = −2
d = −2
mp ( P )
nên ta có hệ phương trình
2

2
2
Vậy phương trình mặt cầu là : x + y + z − 4 x + 2 y − 6 z − 2 = 0.


Câu 15:

Oxyz , cho hai điểm
(THPT QG 2017 Mã đề 105) Trong không gian với hệ tọa độ
x+ 2 y− 2 z + 3
d:
=
=
A ( 1; −2; −3) B( −1;4;1)
1
−1
2 . Phương trình nào dưới đây
;
và đường thẳng
là phương trình của đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn AB và song song với d ?
x y− 1 z+ 1
x− 1 y− 1 z+ 1
=
=
=
=
2
−1
2
A. 1 −1

B. 1
x y− 2 z+ 2
x y−1 z+ 1
=
=
=
=
−1
2
1
2
C. 1
D. 1
Lời giải
I ( 0;1; −1)
Trung điểm của AB là
r
x+ 2 y− 2 z+ 3
d:
=
=
u
1
−1
2 có VTCP là ( 1; −1;2) nên đường thẳng ∆ cần tìm cũng có VTCP
r
u( 1; −1;2)
.
x y−1 x+ 1
∆: =

=
.
1 −1
2
Suy ra phương trình đường thẳng

Oxyz , cho hai vectơ
Câu 16: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Trong không gian với hệ trục tọa độ
r
r
r r
a = ( 2;1;0) và b = ( −1;0; −2) . Tính cos( a,b) .
r r
r r
r r
r r 2
2
2
2
cos a,b = −
cos a,b = −
cos a, b =
cos a,b =
25
5
25
5
A.
B.
C.

D.

( )

( )

rr
r r
ab
.
−2
2
cos( a, b) = r r =
=−
5
5. 5
a. b
Ta có:
.

( )

( )

Lời giải

Oxyz , cho hai đường thẳng
Câu 17: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Trong không gian với hệ tọa độ
 x = 2+ 3t


d :  y = −3 + t
x− 4 y+ 1 z
 z = 4 − 2t
d′ :
=
=

3
1
−2 . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường
và
thẳng thuộc mặt phẳng chứa d và d′ , đồng thời cách đều hai đường thẳng đó.
x+ 3 y− 2 z+ 2
x+ 3 y+ 2 z+ 2
=
=
=
=
1
−2
1
−2 .
A. 3
B. 3
x− 3 y− 2 z− 2
x− 3 y+ 2 z− 2
=
=
=
=

1
−2
1
−2
C. 3
D. 3
Lời giải
Ta thấy hai đường thẳng d và d′ có cùng véctơ chỉ phương hay d / / d′
r
u = ( 3;1; −2)
Vậy đường thẳng cần tìm có véctơ chỉ phương là
và đi qua trung điểm
I ( 3; −2;2)
A ( 2; −3;4) ∈ d
B( 4; −1;0) ∈ d′
của AB với
và
x− 3 y+ 2 z− 2
=
=
1
−2 .
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là 3


Oxyz , cho điểm I ( 1;2;3) và
Câu 18: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Trong không gian với hệ tọa độ
( P ) : 2x − 2y − z − 4 = 0. Mặt cầu tâm I tiếp xúc với ( P ) tại điểm H . Tìm tọa độ
mặt phẳng
điểm H .

H ( −3;0; −2)
H ( −1;4;4)
H ( 3;0;2)
H ( 1; −1;0)
A.
B.
C.
D.
Lời giải
( P) .
Tọa độ điểm H là hình chiếu của điểm I trên mặt phẳng
 x = 1+ 2t

 y = 2 − 2t
( P ) là:  z = 3− t .
Phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với mặt phẳng
( P ) , ta có:
Tọa độ điểm H là giao điểm của d và
2( 1+ 2t ) − 2( 2 − 2t ) − ( 3 − t ) − 4 = 0 ⇔ t = 1
Vậy

H ( 3;0;2)

.

Câu 19: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Trong không gian với hệ trục toạ độ
Tính độ dài đoạn thẳng OA .
A. OA = 3
B. OA = 9
C. OA = 5

Oxyz

, cho điểm

A ( 2;2;1)

.

D. OA = 5

Lời giải
OA = 22 + 22 + 12 = 3 .

Oxyz , phương trình nào
Câu 20: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Trong không gian với hệ trục toạ độ
( Oyz) ?
dưới đây là phương trình của mặt phẳng
y= 0
y− z = 0
A.
B. x = 0
C.
D. z = 0
Lời giải
r
i = ( 1;0;0)
Oyz)
O ( 0;0;0)
(

Mặt phẳng
đi qua điểm
và có vectơ pháp tuyến là
nên ta có
( Oyz) là 1( x − 0) + 0( y − 0) + 0( z − 0) = 0 ⇔ x = 0 .
phương trình mặt phẳng
A ( 4;0;1)
Câu 21: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm
B( −2;2;3)
và
. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn
AB
thẳng
?
3
x
+
y
+
z− 6= 0
3x − y − z = 0 C. 6x − 2y − 2z − 1 = 0
3x − y − z + 1 = 0
A.
B.
D.
Lời giải

( α ) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB . Gọi
uuu

r
( α ) đi qua I ( 1;1;2) và nhận AB = ( −6;2;2) làm một VTPT.
⇒ ( α ) : −6( x − 1) + 2( y − 1) + 2( z − 2) = 0 ⇒ ( α ) : 3x − y − z = 0 .


Oxyz cho ba điểm A ( 0; −1;3) ,
Câu 22: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Trong không gian với hệ tọa độ
B( 1;0;1) C ( −1;1;2)
,
. Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng
A
đi qua
và song song với đường thẳng BC ?
 x = −2t

 y = −1+ t
x y+ 1 z− 3
 z = 3+ t
=
=
1
1 .
A. 
.
B. −2
x− 1 y z− 1
= =
x − 2y + z = 0
1 .
C. −2 1

D.
.
Lời giải
uuu
r
BC
= ( −2;1;1)
Đường thẳng đi qua A và song song BC nhận
làm vecto chỉ phương
y
+
1
x
z− 3
=
=
⇒ Phương trình đường thẳng cần tìm: −2
1
1 .
Chú ý: Đáp án A không nhận được, vì đó là phương trình tham số của đường thẳng cần tìm,
chứ không phải phương trình chính tắc.
Oxyz , cho điểm A ( 1; −2;3) và
Câu 23: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Trong không gian với hệ toạ độ
( P ) : x + y + z + 1= 0 , ( Q ) : x − y + z − 2 = 0. Phương trình nào dưới đây là
hai mặt phẳng
( P ) và ( Q ) ?
phương trình đường thẳng đi qua A , song song với
x = 1
 x = −1+ t
 x = 1+ 2t

 x = 1+ t




 y = −2
y = 2
 y = −2
 y = −2
 z = 3− 2t
 z = −3− t
 z = 3+ 2t
 z = 3− t
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải
r
n( P ) = ( 1;1;1)

r
r r 
n
n( Q ) = ( 1; −1;1)
( P ) ,n( Q )  = ( 2;0; −2) = 2( 1;0; −1)
Ta có
và 
. Vì đường thẳng d song song với
hai mặt phẳng, nên nhận véc tơ

( 1;0; −1)

làm véc tơ chỉ phương.

M ( 3; −1;1)
Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm
. Phương trình nào dưới đây là
phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng
∆:

x− 1 y+ 2 z− 3
=
=
?
3
−2
1

A. x − 2y + 3z + 3 = 0

B. 3x + 2y + z − 8 = 0

C. 3x − 2y + z + 12 = 0

D. 3x − 2y + z − 12 = 0

Mặt phẳng cần tìm đi qua

M ( 3; −1;1)

Lời giải
và nhận VTCP của ∆ là

uu
r
u∆ = ( 3; −2;1)

làm VTPT nên

có phương trình: 3x − 2y + z − 12 = 0.
M ( 1; −2;3)
Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm
. Gọi I là hình chiếu vuông góc của
M trên trục Ox . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm I bán kính IM ?

A.

( x − 1)

2

+ y2 + z2 = 13

B.

( x − 1)

2

+ y2 + z2 = 13


( x + 1)
C.

2

( x + 1)
D.

+ y2 + z2 = 17

2

+ y2 + z2 = 13

Lời giải

I ( 1;0;0) => IM = 13
Hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox là
.Suy ra phương trình

( x − 1) + y2 + z2 = 13 .
mặt cầu tâm I bán kính IM là:
2

Câu 26: (Đề minh họa lần 1 2017) Trong không gian với hê tọa đô Oxyz , cho đường thẳng ∆ có phương trình:

x − 10 y − 2 z + 2

=
=
5
1
1 . Xét mặt phẳng ( P ) :10 x + 2 y + mz + 11 = 0 , m là tham số thực. Tìm tất

( P ) vuông góc với đường thẳng ∆ .
cả các giá trị của m để mặt phẳng
A. m = −2
B. m = 2
C. m = −52
D. m = 52
Lời giải
x − 10 y − 2 z + 2
r
∆:
=
=
u = ( 5;1;1)
5
1
1
Đường thẳng
có vectơ chỉ phương
r
P ) :10 x + 2 y + mz + 11 = 0
n = ( 10;2; m )
(
Mặt phẳng
có vectơ pháp tuyến

r
r
P)
(
u
n
∆
Để mặt phẳng
vuông góc với đường thẳng thì phải cùng phương với
⇒

5 1 1
= = ⇔m=2
10 2 m
.

( S ) có tâm I ( 2;1;1) và
Câu 27: (Đề minh họa lần 1 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu
mặt phẳng

( P ) : 2 x + y + 2 z + 2 = 0 . Biết mặt phẳng ( P )

cắt mặt cầu

đường tròn có bán kính bằng 1. Viết phương trình của mặt cầu

( S)

theo giao tuyến là một

( S)

2
2
2
S ) : ( x + 2 ) + ( y + 1) + ( z + 1) = 8
(
A.

2
2
2
S ) : ( x + 2 ) + ( y + 1) + ( z + 1) = 10
(
B.

2
2
2
S ) : ( x − 2 ) + ( y − 1) + ( z − 1) = 8
(
C.

2
2
2
S ) : ( x − 2 ) + ( y − 1) + ( z − 1) = 10
(
D.

Lời giải
( S ) và đường tròn giao tuyến
Gọi R, r lần lượt là bán kính của mặt cầu

Ta có

(

R = r + d ( I ,( P) )
2

2

)

2

2

 2.2 + 1.1 + 2.1 + 2 
= 1+ 
÷ = 10
2
2
2
+
1
+
2




( S ) tâm I ( 2;1;1) bán kính
Mặt cầu

R = 10 là ( x − 2 ) + ( y − 1) + ( z − 1) = 10 .
2

2

2

Câu 28: (Đề tham khảo lần 2 2017) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , tìm tọa độ tâm I và

( x − 1) + ( y + 2) + ( z − 4 ) = 20 .
bán kính R của mặt cầu
I ( −1; 2; −4 ) , R = 5 2
I ( −1; 2; −4 ) , R = 2 5
A.
B.
I ( 1; −2;4 ) , R = 20
I ( 1; −2; 4 ) , R = 2 5
C.
D.
Lời giải
2

2

2

( S ) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2 có
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt cầu
2

tâm

I ( a; b; c )

2

2

và bán kính R .

( x − 1)
Nên mặt cầu

2

+ ( y + 2 ) + ( z − 4 ) = 20
2

2

có tâm và bán kính là

I ( 1; −2; 4 ) , R = 2 5.

A ( 3; −4;0 )
Câu 29: (Đề tham khảo lần 2 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm
,

B ( −1;1;3) C ( 3,1,0 )
,

. Tìm tọa độ điểm D trên trục hoành sao cho AD = BC .

D ( −2;1;0 ) D ( −4;0;0 )
,
D ( 6;0;0 ) D ( 12;0;0 )
C.
,

D ( 0;0;0 ) D ( −6;0;0 )
,
D ( 0;0;0 ) D ( 6;0;0 )
D.
,
Lời giải

A.

Gọi

B.

D ( x;0;0 ) ∈ Ox

AD = BC ⇔

( x − 3)

2

x = 0
+ 16 = 5 ⇔ 
x = 6 .

( S ) có tâm
Câu 30: (Đề tham khảo lần 2 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu
I ( 3;2; −1)

A ( 2;1; 2 )

và đi qua điểm
. Mặt phẳng nào dưới đây tiếp xúc với
A. x + y − 3 z − 8 = 0
B. x − y − 3 z + 3 = 0
C. x + y + 3z − 9 = 0
D. x + y − 3 z + 3 = 0

( S)

tại A ?

Lời giải

( P ) tiếp xúc với ( S ) tại A khi chỉ khi ( P ) đi qua

là mặt phẳng cần tìm. Khi đó,
uu
r
A ( 2;1; 2 )
IA = ( −1; −1;3)
( P ) là
và nhận vectơ
làm vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng
− x − y + 3z − 3 = 0 ⇔ x + y − 3z + 3 = 0 .

Gọi

Câu 31:

( P)

(Đề tham khảo lần 2 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng

( P) : 2x − 2 y − z +1 = 0
và
A.

và đường thẳng

∆:

x −1 y + 2 z −1
=
=
2

1
2 . Tính khoảng cách d giữa ∆

( P) .
d=

1
3.

B.

d=

5
3.

C.
Lời giải

d=

2
3.

D. d = 2 .

r
r
(P ) có vecto pháp tuyến n(2; −2; −1) và đường thẳng ∆ có vecto chỉ phương u(2;1;2) thỏa
rr

. = 0 nên ∆ //(P) hoặc ∆ ⊂ (P )
mãn nu
Do đó: lấy A(1; −2;1) ∈ ∆ ta có:

d(∆(P )) = d( A ;(P )) =

2.1− 2.(−2) − 1+ 1
=2
4+ 4+ 1
.


Câu 32: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào
dưới dây là phương trình mặt cầu có tâm

I ( 1;2; −1)

và tiếp xúc với mặt phẳng

( P) : x − 2 y − 2z − 8 = 0 ?
( x + 1)
A.

2

+ ( y + 2 ) + ( z − 1) = 3

( x − 1)
B.

2

+ ( y − 2 ) + ( z + 1) = 3

( x − 1)
C.

2

+ ( y − 2 ) + ( z + 1) = 9

( x + 1)
D.

2

+ ( y + 2 ) + ( z − 1) = 9

2

2

2

2

2

2

2

2

Lời giải
Gọi mặt cầu cần tìm là ( S ) .

I ( 1; 2; −1)

Ta có ( S ) là mặt cầu có tâm
và bán kính R .
(
S
)
(
P
)
:
x
−
2 y − 2 z − 8 = 0 nên ta có
Vì
tiếp xúc với mặt phẳng
1 − 2.2 − 2.(−1) − 8
R = d ( I;( P) ) =
=3
2
2
2
1 + ( −2 ) + ( −2 )

.
2
2
2
x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 9
(
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:
.
Câu 33: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm

A ( −2;3;1)

và

B ( 5; 6; 2 )

AM
BM .
AM 1
=
A. BM 2

( Oxz ) tại điểm M . Tính tỉ số
. Đường thẳng AB cắt mặt phẳng

AM
=2
B. BM

AM 1

=
C. BM 3

AM
=3
D. BM

Lời giải

M ∈ ( Oxz ) ⇒ M ( x;0;z )

;

uuur
AB = ( 7;3;1) ⇒ AB = 59

uuuur

uuur

;

uuuur
AM = ( x + 2; − 3;z − 1)

và

 x + 2 = 7k
 x = −9



⇔  −3 = 3k ⇔  −1 = k
z −1 = k
 z = 0 ⇒ M ( −9;0;0 ) .



( k ∈¡ )
uuuu
r
uuuur
BM = ( −14; − 6; − 2 ) ; AM = ( −7; − 3; − 1) ⇒ BM = 2 AB.
A, B, M thẳng hàng ⇒ AM = k . AB

Câu 1: (Tham khảo THPTQG 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
x y +1 z − 2
d
:
=
=
P
:
x
+
y
+
z
−
3
=

0
( )
1
2
−1 . Hình chiếu của d trên ( P ) có
và đường thẳng
phương trình là
x +1 y +1 z +1
x −1 y −1 z −1
=
=
=
=
−4
5 .
−2
−1 .
A. −1
B. 3

x −1 y −1 z −1
=
=
4
−5 .
C. 1
Cách 1: phương pháp tự luận

x −1 y + 4 z + 5
=

=
1
1 .
D. 1
Lời giải


r
M ( 0; − 1;2 )
u = ( 1; 2; − 1)
Đường thẳng d đi qua điểm 0
và có VTCP d
( Q ) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với ( P ) .
Gọi
r r
Q)
M 0 ( 0; − 1; 2 )
nP , ud ] = ( −3; 2;1) = − ( 3; − 2; − 1)
(
[
Mặt phẳng
đi qua điểm
và có VTPT là
⇒ ( Q ) : 3x − 2 y − z = 0
.
( P ) , nên tập hợp các điểm thuộc ∆ là nghiệm của hệ phương
Gọi ∆ là hình chiếu của d trên
3x − 2 y − z = 0

trình  x + y + z − 3 = 0

Cho x = 0 ⇒ M (1;1;1) .
3 9
⇒ N  ;0; ÷
4 4.
Cho y = 0

( P ) là đường thẳng qua M ( 1;1;1)
Phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng
r  1
5
1
r uuuu
x −1 y −1 z −1
u = MN =  − ; − 1; ÷ = − ( 1; 4; − 5 )
=
=
4
4
 4
4
−5 .
và có vectơ chỉ phương
là 1
Câu 2: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu

( S ) : ( x + 1)

2

+ ( y + 1) + ( z + 1) = 9

2

2

và điểm

A ( 2;3; −1)

( S ) sao cho
. Xét các điểm M thuộc

( S ) , M luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là
đường thẳng AM tiếp xúc với
A. 6 x + 8 y + 11 = 0

B. 3 x + 4 y + 2 = 0

C. 3 x + 4 y − 2 = 0

D. 6 x + 8 y − 11 = 0

Lời giải

Mặt cầu

( S)

có tâm

I ( −1; −1; −1)

.
2

1
25
2
2

 x − ÷ + ( y − 1) + ( z + 1) =
′
S ′)
S
(
(
)
2
4 .
Gọi
là mặt cầu đường kính AI ⇒
:

( S ) tại M nên AM ⊥ IM ⇒ ·AMI = 90° ⇒ M thuộc giao hai mặt cầu là
Ta có AM tiếp xúc
mặt cầu

( S)

và mặt cầu

( S ′) .

 M ∈ ( S )

M ∈ ( S ′) ⇒
Ta có 
Tọa độ của M thỏa hệ phương trình:


2

1
25
2
2
 x − ÷ + ( y − 1) + ( z + 1) =
2
4

2
2
2

( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) = 9

( 1)
( 2)

∈ ( P ) : 3x + 4 y − 2 = 0
Hay M

.

( 1) −( 2 )

⇒ 6 x + 8 y − 11 = −7 .

Câu 3: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng

A ( 1;1;1)

đường thẳng đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
nhọn tạo bởi d và ∆ có phương trình là.

A.

 x = 1 + 7t

y = 1+ t
 z = 1 + 5t


B.

 x = −1 + 2t

 y = −10 + 11t
 z = −6 − 5t


C.

r
u = ( 1; −2; 2 )

 x = −1 + 2t

 y = −10 + 11t
 z = 6 − 5t


Lời giải

Phương trình
Ta có
Gọi

x = 1 + t '

∆ :  y = 1 − 2t '
 z = 1 + 2t '


d ∩ ∆ = A ( 1;1;1)

. Lấy

.
uur
I ( 4;5;1) ∈ d ⇒ AI = ( 3; 4; 0 ) ⇒ AI = 5

M ( 1 + t ';1 − 2t ';1 + 2t ' ) ∈ ∆

sao cho AM = AI .

.

 x = 1 + 7t

d :  y = 1 + 4t
z = 1


. Gọi ∆ là

. Đường phân giác của góc

D.

 x = −1 + 3t

 y = 1 + 4t
 z = 1 − 5t



5

t ' = 3
3t' =5 ⇔ 

t ' = − 5

3.
Khi đó

Với

t'=

uuu
r  5 −10 10 
15
5 ⇒ M  8 ; − 7 ; 13  ⇒ u
; ÷ ⇒ AM =

÷ AM =  ;
3 .
3 3 3 
3 3 3 
3

1
·
·
0
cos IAM
= − ⇒ IAM
> 900
⇒ trong trường hợp này ( d ; ∆ ) > 90 ( loại)
3

Khi đó

Với

t'= −

Khi đó

uur  5 10 10 
15
5 ⇒ N  − 2 ; 13 ; −7  ⇒ u
AN
=  − ; ; − ÷ ⇒ AN =

÷
3
3 .
 3 3 3 
 3 3
3

·
cos IAN
=

1
·
0
⇒ IAM
< 900

⇒ trong trường hợp này ( d ; ∆ ) < 90 (thỏa mãn)
3

 5 14 −2  uuur 1
NI ⇒ H  ; ; ÷ ⇒ AH = ( 2;11; −5 )
3
3 3 3 
Gọi H là trung điểm của
.
 5 14 −2 
H ; ; ÷
A ( 1;1;1)
Khi đó đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d và ∆ đi qua  3 3 3  hoặc

và nhận làm

r
u = ( 2;11; −5 )

VTCP ⇒ phương trình phân giác là

 x = −1 + 2t

 y = −10 + 11t
 z = 6 − 5t


.

Câu 4: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu

( S ) : ( x − 1)2 + ( y − 2) 2 + ( z − 3) 2 = 1 và điểm

A(2;3; 4) . Xét các điểm

M thuộc ( S ) sao cho

đường thẳng AM tiếp xúc với ( S ) , M luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là
A. 2 x + 2 y + 2 z − 15 = 0
C. 2 x + 2 y + 2 z + 15 = 0

B. x + y + z − 7 = 0
D. x + y + z + 7 = 0
Lời giải

Dễ thấy A nằm ngoài mặt cầu ( S ) . Tâm mặt cầu là I (1; 2;3) .

uuuur uuur
(
S
)
⇔
AM
⊥
IM
⇔
AM .IM = 0
Đường thẳng AM tiếp xúc với
⇔ ( x − 2)( x − 1) + ( y − 3)( y − 2) + ( z − 4)( z − 3) = 0
⇔ ( x − 1 − 1)( x − 1) + ( y − 2 − 1)( y − 2) + ( z − 3 − 1)( z − 3) = 0

⇔ ( x − 1) 2 + ( y − 2)2 + ( z − 3)2 − ( x + y + z − 7) = 0

⇔ x + y + z − 7 = 0 ( Do ( x − 1)2 + ( y − 2) 2 + ( z − 3) 2 = 0) .

Câu 5: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng
r

x = 1+ t

d : y = 2 +t.
z = 3


Gọi ∆ là đường thẳng đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương u = (0; −7; −1). Đường
phân giác của góc nhọn tạo bởi d và ∆ có phương trình là


A.

 x = 1 + 6t

 y = 2 + 11t .
 z = 3 + 8t


B.

 x = −4 + 5t


 y = −10 + 12t .
z = 2 + t


C.

 x = −4 + 5t

 y = −10 + 12t .
 z = −2 + t


D.

 x = 1 + 5t

 y = 2 − 2t .
z = 3 − t


Lời giải
r

Đường thẳng d đi qua A(1; 2;3) và có VTCP a = (1;1;0) .

rr
r r
a.u = 1.0 + 1.(−7) + 0.(−1) = −7 < 0 ⇒ (a, u ) > 90°.

Ta có

Đường
phân
giác
của
góc
r
r
r
u a
1
b =− r + r =
( 5;12;1) // ( 5;12;1)
u a 5 2

Phương trình đường thẳng cần tìm là

nhọn

tạo

bởi

d

và

∆

có

VTCP:

.
 x = −4 + 5t

 y = −10 + 12t .
z = 2 + t


Câu 6: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

( S ) :( x − 2 )

2

+ ( y − 3) + ( z + 1) = 16
2

2

đường thẳng AM tiếp xúc với
A. 3 x + 4 y − 2 = 0

C. 6 x + 8 y + 11 = 0

và điểm

A ( −1; −1; −1) .

Xét các điểm M thuộc

( S ) sao cho

( S ) . M luôn thuộc một mặt phẳng cố định có phương trình là

B. 3 x + 4 y + 2 = 0

D. 6 x + 8 y − 11 = 0
Lời giải

( S ) có tâm I ( 2;3; −1) ; bán kính R = 4
uur
A ( −1; −1; −1) ⇒ IA = ( −3; −4;0 )
, tính được

IA = 5 .

Mặt phẳng cố định đi qua điểm H là hình chiếu của M xuống IA và nhận
pháp tuyến.

uur
IA = ( −3; −4;0 )

làm vectơ

IM 2 16
IM = IH .IA ⇒ IH =
=
IA
5 , từ đó tính

Do hai tam giác MHI và AMI đồng dạng nên tính được
uuur 16 uur
 2 11

H  ; ; −1÷
IH =
IA

25
được
tìm được  25 25
2

2  
11 

−3  x − ÷− 4  y − ÷ = 0 ⇔ 3 x + 4 y − 2 = 0.
25  
25 

Mặt phẳng cần tìm có phương trình là:


 x = 1 + 3t

d :  y = 1 + 4t
z = 1

Câu 7: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng
.

r
A ( 1;1;1)
u = ( −2;1; 2 )
Gọi ∆ là đường thẳng đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
. Đường phân
giác của góc nhọn tạo bởi d và ∆ có phương trình là.

A.

 x = 1 + 27t

 y = 1+ t
z = 1+ t


A = d ∩∆

 x = −18 + 19t

 y = −6 + 7t
 z = 11 − 10t
B. 
C.
Lời giải

 x = −18 + 19t

 y = −6 + 7t
 z = −11 − 10t



x = 1− t

 y = 1 + 17t
 z = 1 + 10t
D. 

 x = 1 − 2t

∆ :  y = 1 + 1t
 z = 1 + 2t


Phương trình tham số của đường thẳng
.
B ( −1; 2;3) ∈ ∆, AB = 3
Chọn điểm
.
 14 17 
 4 7 
⇒ C  ; ;1÷
C  − ; − ;1 ÷
 5 5  hoặc  5 5 
Gọi C ∈ d thỏa mãn AC = AB
 4 7 
C  − ; − ;1÷
Kiểm tra được điểm  5 5  thỏa mãn BAC là góc nhọn.
 9 3 
I − ; ;2÷

Trung điểm của BC là  10 10  .Đường phân giác cần tìm là AI có vectơ chỉ phương là
 x = 1 + 19t

 y = 1 + 7t
r
 z = 1 − 10t
u = ( 19; 7; −10 )
có phương trình là 
. Tọa độ điểm của đáp án B thuộc AI .
Câu 8: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ có tâm O. Gọi I là tâm của
hình vuông A′B′C ′D′ và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho

MO =

1
MI
2
(tham khảo hình

′ ′
vẽ). Khi đó cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng ( MC D ) và ( MAB) bằng

6 13
.
A. 65

7 85
.
B. 85

6 85
.
C. 85

17 13
.
D. 65