Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán năm 2014 2015 so gd dt long an 7767

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

SỞ GD&ĐT LONG AN
---------------ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có 01trang)

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN LONG AN
NĂM HỌC 2014-2015
Môn thi: TOÁN CHUYÊN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1 (1,5 điểm)

x xy y
  x y 
Cho biểu thức P  
với điều kiện x, y  0, x  y .
 xy  : 

  x  y 
x y

 

a) Rút gọn biểu thức P .
b) Tìm tất cả các số tự nhiên x, y để P  3 .
Câu 2 (2,0 điểm)
Cho phương trình x 2  x  m  0 . Tìm tất cả giá trị của tham số m để phương trình có hai
nghiệm phân biệt x1 , x2 sao cho x1  x2  2 .

Câu 3 (1,0 điểm)
Giải phương trình x 2  4 x  7  ( x  4) x 2  7 .
Câu 4 (2,5 điểm)
Gọi O  là đường tròn tâm O , đường kính AB . Gọi H là điểm nằm giữa A và O , từ H vẽ
dây CD vuông góc với AB . Hai đường thẳng BC và DA cắt nhau tại M . Gọi N là hình
chiếu vuông góc của M lên đường thẳng AB .
a) Chứng minh: tứ giác MNAC nội tiếp.
b) Chứng minh: NC là tiếp tuyến của đường tròn O  .
c) Tiếp tuyến tại A của đường tròn O  cắt đường thẳng NC tại E . Chứng minh đường
thẳng EB đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH .
Câu 5 (1,0 điểm)
Kì thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên Long An năm nay có 529 học sinh đến từ 16 địa
phương khác nhau tham dự. Giả sử điểm bài thi môn Toán của mỗi học sinh đều là số
nguyên lớn hơn 4 và bé hơn hoặc bằng 10. Chứng minh rằng luôn tìm được 6 học sinh có
điểm môn Toán giống nhau và cùng đến từ một địa phương.
Câu 6 (1,0 điểm)
Cho các số thực a , b, c, d sao cho 1  a , b, c, d  2 và a  b  c  d  6 .
Tìm giá trị lớn nhất của P  a 2  b 2  c 2  d 2 .
Câu 7 (1,0 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD với AB  a , AD  b . Trên các cạnh AD, AB, BC , CD lần lượt
lấy các điểm E , F , G, H sao cho luôn tạo thành tứ giác EFGH . Gọi P là chu vi của tứ
giác EFGH . Chứng minh: P  2 a 2  b2 .
--------HẾT--------Giám thị coi thi không giải thích gì thêm

Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

Trang | 1


Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên

Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN CHUYÊN

CÂU
Câu 1a
(0,75
điểm)

NỘI DUNG
x xy y
 xy 
x y



x

y



ĐIỂM

2

0,25
0,25

x y
 x y
x y
P

Câu 1b
(0,75
điểm)

Câu 2
(2,0 điểm)

x

0,25

y

Vì P  x  y và P  3 nên 0  x  3;0  y  3

0,25

Suy ra 0  x  9;0  y  9

0,25

x  0 x  9 x  1 x  4
x, y cần tìm là : 
,
,

,
y  9 y  0 y  4 y 1

0,25

  1  4m

0,25

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt  m 

0,25

x1 

1  1  4m
2

0,25

x2 

1  1  4m
2

0,25
0,25

1  1  4m
2

2

Vì x 1  x2  2 nên
Suy ra 1  4m  3

0,25

Suy ra m  2

0,25

Giá trị của m cần tìm là 2  m 
Câu 3
(1,0 điểm)

1
4

1
4

x 2  4 x  7  ( x  4) x 2  7  x 2  7  x x 2  7  4 x  4 x 2  7  0





x2  7  4





x2  7  x  0

 x2  7  4  0

 x 2  7  x  0

Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

0,25
0,25
0,25
0,25

Trang | 2


Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

0,25

x  3

 x  3

Câu 4a

(0,75
điểm)

M

C
E

I
N

A
H
O
B

D

  900 (giả thiết)
Ta có : MNA

0,25
0,25

  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))
Ta có ACB
  900
Suy ra ACM
0

Câu 4b
(0,75
điểm)

  MNA
  1800 nên nội tiếp
Vì tứ giác MNAC có ACM

0,25


Vì MNAC nội tiếp và MN song song CD nên ACN
ADC (*)

0,25

  ABC
 (**)
Vì ADBC nội tiếp nên ADC

0,25

  ABC
 .Vậy NC là tiếp tuyến của  O 
Từ (*) và (**) suy ra ACN

0,25

Gọi I là giao điểm cùa BE và CH
Câu 4c


(1,0 điểm) Ta có AB  CD  
AC  
AD  ECA
ACD
Suy ra CA là phân giác trong của tam giác ECI
Ta có CB  CA  CB là phân giác ngoài của tam giác ECI


0,25

0,25

BI CI

(1)
BE CE

Ta có IH song song EA (cùng  AB ) 

Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

IH
BI

(2)
AE BE

0,25

Trang | 3


Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Câu 5
(1,0 điểm)

Mặt khác: AE  CE (3) ( AE , CE là tiếp tuyến )
Từ (1), (2) và (3) suy ra CI  IH
Vậy BE đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH .
Ta có 529 học sinh có điểm bài thi từ 5 điểm đến 10 điểm

0,25

Theo nguyên lý Dirichlet ta có 89 học sinh có điểm bài thi như
nhau (từ 5 điểm đến 10 điểm)

0,25

Ta có 89 học sinh có điểm bài thi như nhau và đến từ 16 địa
phương
Theo nguyên lý Dirichlet tìm được 6 em có cùng điểm thi môn toán
và đến từ cùng một địa phương

0,25

0,25

0,25
0,25

Câu 6
Ta có 1  a  2 suy ra  a  1 a  2   0
(1,0 điểm)
Suy ra a 2  3a  2

Câu 7
( 1,0
điểm)

0,25

Suy ra a 2  b 2  c 2  d 2  3  a  b  c  d   8  10

0,25

Giá trị lớn nhất của P là 10 ( P  10 với a  2, b  2, c  1, d  1 hoặc
các hoán vị )

0,25

F

A

0,25

B

I

E

G
K
M

D

H

C

Gọi I, K, M theo thứ tự là trung điểm của EF, EG và GH.
1
2

AEF vuông tại A có AI là trung tuyến nên AI= .EF
Tương tự MC=

1
.GH .
2
1
2

0,25

P= EF + FG + GH +HE= 2(AI + IK + KM + MC)

0,25

IK là đường trung bình của EFG nên IK= .FG . Tương tự KM=
1
.EH
2

Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

Trang | 4


Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Ta có: AI + IK + KM + MC  AC
Suy ra P 2AC= 2 a 2  b 2

0,25

-------HẾT-------

Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

Trang | 5

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TRÊN HỌC247
-

Chương trình luyện thi được xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, các em yêu thích toán và muốn

thi vào lớp 10 các trường chuyên.
-

Nội dung được xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 các trường chuyên của cả nước trong

những năm qua.
-

Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm các thầy nổi tiếng có nhiều năm kinh nghiệm trong việc ôn luyện học

sinh giỏi.

-

Hệ thống bài giảng được biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa học, hợp lý mang lại

kết quả tốt nhất.
-

Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.

-

Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.

-

Mỗi lớp từ 5 đến 10 em để được hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất.

-

Đặc biệt, các em còn hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên của HỌC247.

 />
Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

Trang | 6