11 TOÀN bộ đề CƯƠNG TOÁN 11 học kì 1 THI THPT QUỐC GIA

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (0 B, 194 trang )

TRUNG TM HONG GIA

CNG TON 11
Học kì 1 Năm học 2018 2019

Biên soạn & Giảng dạy:
Ths. Lê Văn Đoàn

(sin x cos x )2 2 sin2 x
2

sin x sin 3x
2

2 4
1 cot x

4

1
x

2
x

3

x

u 2
2

un 1 2un 3, n

2

C 6C 6C 9x 14x

S
C'

A'

A'

B'

E'

H

D'

B'

C'
M
A

E
D

A

C

F
G

E
B

B

C

a ch Facebook: Thớch Hc Chui

I

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600

Mơn: Tốn, Năm học: 2018 – 2019

PHẦN i. Giải tích
Chương 1 : HÀM SỐ LƯNG GIÁC – PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
§ 0. CÔNG THỨC LƯNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG

1. Đường tròn lượng giác và dấu của các giá trò lượng giác
sinx
1
π

Cung phần tư

2

(II)

(I)

π

0 1
2π

O

-1

cosx

(IV)

(III)

I

II

III

IV

sin 

+

+

–

–

cos 

+

–

–

+

tan 

+

–

+

–

cot 

+

–

+

–

Giá trị LG

3π
2

(Nhất cả – Nhì sin – Tam tan – Tứ cos)

-1

2. Công thức lượng giác cơ bản
tan . cot   1

sin2   cos2   1

1  tan2  

1
cos2 

1  cot2  

1
sin2 

3. Cung góc liên kết
Cung đối nhau

Cung bù nhau

cos(a )  cos a

sin(  a )  sin a

sin(a )   sin a

cos(  a )   cos a

tan(a )   tan a

tan(  a )   tan a

cot(a )   cot a

cot(  a )   cot a

Cung hơn kém 

sin(  a )   sin a
cos(  a )   cos a

Cung phụ nhau



sin   a   cos a
2



cos   a   sin a
 2



tan   a   cot a
 2




cot   a   tan a
2


Cung hơn kém


2



sin   a   cos a
2



cos   a    sin a
2


Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Địa chỉ Facebook: Thích Học Chui

Trang - 1 -

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600

Mơn: Tốn, Năm học: 2018 – 2019



tan   a    cot a
2



cot   a    tan a
 2


tan(  a )  tan a
cot(  a )  cot a

4. Công thức cộng cung
sin(a  b )  sin a  cos b  cos a  sin b.
tan(a  b) 

cos(a  b)  cos a  cos b  sin a  sin b.

tan a  tan b

1  tan a  tan b

tan(a  b) 

tan a  tan b

1  tan a  tan b


 1  tan x

 1  tan x
 
và tan   x  

x

 4
 4
 1  tan x
 1  tan x

Hệ quả: tan 

5. Công thức nhân đôi và hạ bậc
Nhân đơi

Hạ bậc

sin 2  2 sin   cos 

sin2  

1  cos 2
2

 cos2   sin2 
cos 2  
2
2
2 cos   1  1  2 sin 

cos2  

1  cos 2
2

tan 2 

2 tan 
1  tan2 

tan2  

1  cos 2
1  cos 2

cot2 

cot2   1
2 cot 

cot2  

1  cos 2
1  cos 2

Nhân ba

 sin 3  3 sin   4 sin 3 

 cos 3  4 cos 3   3 cos 


tan 3 

3 tan   tan3 
1  3 tan2 

6. Công thức biến đổi tổng thành tích
cos a  cos b  2 cos
sin a  sin b  2 sin

a b
a b
 cos
2
2

cos a  cos b  2 sin

a b
a b

 cos
2
2

sin a  sin b  2 cos

a b
a b
 sin
2
2

a b
a b
 sin
2
2

tan a  tan b 

sin(a  b)
cos a  cos b

tan a  tan b 

sin(a  b)
cos a  cos b

cot a  cotb 

sin(a  b)
sin a  sin b

cot a  cotb 

sin(b  a )
sin a  sin b

Đặc biệt

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Địa chỉ Facebook: Thích Học Chui

Trang - 2 -

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
 
 
sinx  cos x  2 sinx    2 cosx  
4

 4 

Mơn: Tốn, Năm học: 2018 – 2019






sin x  cos x  2 sinx     2 cos x  
4 
4 



7. Công thức biến đổi tích thành tổng
cos a  cos b 

1 
 cos(a  b )  cos(a  b)
2 
sin a  cos b 

sin a  sin b 

1 
 cos(a  b)  cos(a  b)
2 

1 
 sin(a  b)  sin(a  b)
2

Bảng lượng giác của một số góc đặc biệt
00
0

300

6
1
2

450

4

600

2
2


3

900

2

sin 

0

cos 

1

3
2

2
2

3
2
1
2

tan 

0

3
3

1

3

kxđ

cot 

kxđ

3

1

3
3

0

1
0

1200
2
3
3
2
1

2

1350
3
4

1500
5
6
1
2

2
2
2
2



3600



2

0

0



3
2

1

1

3
3

0

0

kxđ

kxđ

 3

1



3
3

1

 3



1800

Một điểm M thuộc đường tròn lượng giác sẽ có tọa độ M(cosα, sinα)

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Địa chỉ Facebook: Thích Học Chui

Trang - 3 -

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600

Mơn: Tốn, Năm học: 2018 – 2019

§ 1. HÀM SỐ LƯNG GIÁCd
1. Tính chất của hàm số
a. Hàm số chẵn, hàm số lẻ:

 Hàm số y  f (x ) có tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu với mọi x  D thì x  D
và f (x )  f (x ). Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
 Hàm số y  f (x ) có tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu với mọi x  D thì x  D và
f (x )  f (x ). Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
b. Hàm số đơn điệu: Cho hàm số y  f (x ) xác định trên tập (a;b)  .

 y  f (x ) gọi là đồng biến trên (a;b) nếu x 1, x 2  (a;b) có x 1  x 2  f (x 1 )  f (x 2 ).
 y  f (x ) gọi là nghịch biến trên (a;b) nếu x 1, x 2  (a;b) có x 1  x 2  f (x 1 )  f (x 2 ).
c. Hàm số tuần hồn:

 Hàm số y  f (x ) xác định trên tập hợp D, được gọi là hàm số tuần hồn nếu có số
T  0 sao cho với mọi x  D ta có (x  T )  D và (x  T )  D và f (x  T )  f (x ) .
 Nếu có số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì T gọi là chu kì của hàm
tuần hồn f .
2. Hàm số y  sin x .

 Hàm số y  sin x có tập xác định là D    y  sin  f (x ) xác định  f (x ) xác định.

 Tập giá trị T  1;1 , nghĩa là: 1  sin x  1 

 0  sin x  1
 0  sin2 x  1



 Hàm số y  f (x )  sin x là hàm số lẻ vì f (x )  sin(x )   sin x  f (x ). Nên đồ thị
hàm số y  sin x nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
 Hàm số y  sin x tuần hồn với chu kì To  2, nghĩa là: sin(x  k 2)  sin x . Hàm số
y  sin(ax  b) tuần hồn với chu kì To 

2

a

 


 Hàm số y  sin x đồng biến trên mỗi khoảng :   k 2;
 k 2  và nghịch biến
2
 2



3
trên mỗi khoảng :   k 2;
 k 2 , với k  .
 2

2




 Hàm số y  sin x nhận các giá trị đặc biệt:





 k 2
2
sin x  0  x  k 
, (k  ).

sin x  1  x    k 2
2
sin x  1  x 

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Địa chỉ Facebook: Thích Học Chui

Trang - 4 -

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600

 Đồ thị hàm số:

Mơn: Tốn, Năm học: 2018 – 2019

y

y  sin x

1





3
2



O


2


2



3
2

x

5
2



–1

Hình dạng đồ thị hàm số y  sin x
4. Hàm số y  cos x .

 Hàm số y  cos x có tập xác định D    y  cos  f (x ) xác định  f (x ) xác định.
 Tập giá trị T  1;1 , nghĩa là: 1  cos x  1 

 0  cos x  1
 0  cos2 x  1



 Hàm số y  f (x )  cos x là hàm số chẵn vì f (x )  cos(x )  cos x  f (x ), nên đồ thị
của hàm số nhận trục tung Oy làm trục đối xứng.
 Hàm số y  cos x tuần hồn với chu kì To  2, nghĩa là cos(x  k 2)  cos x . Hàm số
y  cos(ax  b ) tuần hồn với chu kì To 

2


a

 Hàm số y  cos x đồng biến trên mỗi khoảng (  k 2; k 2) và nghịch biến trên mỗi
khoảng (k 2;   k 2).

 Hàm số y  cos x nhận các giá trị đặc biệt:



cos x  1  x  k 2



cos x  0  x 


 k  , (k  ).
2
cos x  1  x    k 2


y

 Đồ thị hàm số:

y  cos x 

1



3
2






2

O


2



3
2



5
2

x

–1

4. Hàm số y  tan x .

 Hàm số y  tan x có
hàm số y  tan  f (x )

Hình dạng thị hàm số y  cos x
 


tập xác định D   \ 
  k , k   , nghĩa là x   k  
 2

2

xác định  f (x )   k ; (k  ).
2

 Tập giá trị T  .
 Hàm số y  f (x )  tan x là hàm số lẻ vì f (x )  tan(x )   tan x  f (x ) nên đồ thị
của hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O.
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Địa chỉ Facebook: Thích Học Chui

Trang - 5 -

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM

Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600

Mơn: Tốn, Năm học: 2018 – 2019

 Hàm số y  tan x tuần hồn với chu kì To    y  tan(ax  b ) tuần hồn với chu
kì To 



a

 Giá trị đặc biệt:



tan x  0  x  k 



tan x  1  x 


 k
, (k  ).
4

tan x  1  x    k 
4



y

 Đồ thị hàm số y  tan x



3
2






2

y  tan x

O


2

3
2



2

x

5
2

5. Hàm số y  cot x .

 Hàm số y  cot x có tập xác định là D   \ k , k  , nghĩa là x  k ; (k  ) 
hàm số y  cot  f (x ) xác định  f (x )  k ; (k  ).

 Tập giá trị T  .
 Hàm số y  f (x )  cot x là hàm số lẻ vì f (x )  cot(x )   cot x  f (x ) nên đồ thị
của hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O.
 Hàm số y  cot x tuần hồn với chu kì To    y  cot(ax  b ) tuần hồn với chu
kì To 



a


 Giá trị đặc biệt :





 k
2


cot x  1  x   k 
, (k  ).
4

cot x  1  x    k 
4
cot x  0  x 

y

 Đồ thị hàm số y  cot x :

y  cot x

2



3
2






2

O


2



3
2

2

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Địa chỉ Facebook: Thích Học Chui

x

Trang - 6 -

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600

Mơn: Tốn, Năm học: 2018 – 2019

Dạng toán 1: Tìm tập xác đònh của hàm số lượng giác
 Phương pháp giải. Để tìm tập xác định của hàm số lượng giác ta cần nhớ:

 y  tan f (x ) 

sin f (x )

ĐKXĐ

 cos f (x )  0  f (x )   k , (k  ).
cos f (x )
2

 y  cot f (x ) 

cos f (x ) ĐKXĐ
 sin f (x )  0  f (x )  k , (k  ).
sin f (x )

 Một số trường hợp tìm tập xác định thường gặp:
 y

 y

1
ĐKXĐ

 P (x )  0.
P (x )

1
2n

P (x )

ĐKXĐ
 y  2n P (x ) 
 P (x )  0.

ĐKXĐ

 P (x )  0.

A  0
 Lưu ý rằng: 1  sin f (x ); cos f (x )  1 và A.B  0  

B  0

 Với k  , ta cần nhớ những trường hợp đặc biệt:


 k 2
2
 sin x  0  x  k 


 sin x  1  x    k 2
2

 cos x  1  x  k 2

 sin x  1  x 





 k

4

 tan x  1  x    k 
4
 tan x  1  x 

Ví dụ 1. Tìm tập xác định của hàm số: y  f (x ) 


 k
2

 cot x  1  x   k 

4

 cot x  1  x    k 
4
 cot x  0  x 

 tan x  0  x  k 



 k 

2
 cos x  1  x    k 2
 cos x  0  x 



sin 3x
2  cos x


2
1  cos x
tan x  1

Giải: ..........................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Địa chỉ Facebook: Thích Học Chui

Trang - 7 -

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600

Mơn: Tốn, Năm học: 2018 – 2019

Ví dụ 2. Tìm tập xác định của hàm số: y  f (x ) 

 2  x 2

cos x

Giải: ..........................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
BÀI TẬP VẬN DỤNG
BT 1.

Tìm tập xác định của các hàm số lượng giác sau:

4

x
1  cos x
c) y 

sin x

2 tan 2x  5
e) y 

sin 2x  1

b) y  cos 2x .

a) y  cos

g) y 
i) y 
k) y 

BT 2.

d) y  tan x  cot x  2x 2 .
f)

tan 2x

sin x  1

h) y 

cos x  2

1  sin x
cot 2x
1  cos2 x

y



tan 2x

1  cos2 x
cos x  4

sin x  1

j)

y

1  sin x

1  sin x cos x

l)

y

1  sin x

1  cos x

m) y 

x


sin x

n) y 

o) y 

x2  1

x cos x

p) y 

cos 2x
 tan x .
1  sin x
tan 2x
sin x  1



Tìm tập xác định của các hàm số lượng giác sau:
a) y 

c) y 

2  x 2

sin 2x



tan 2x  

4 

b) y  2  4x 2  tan 2x .



1  sin x  
8 






tan x  

4 
d) y 


 

1  cos x  

3 

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789

Địa chỉ Facebook: Thích Học Chui

Trang - 8 -

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600



1  tan   x 
4

e) y 

cos x  2
g) y 
i)

f)

y

3  sin 4x

cos x  1




h) y  cot 2x   . tan 2x .

3 

3

cos x  cos 3x

y  2  sin x 

Mơn: Tốn, Năm học: 2018 – 2019

1

tan x  1

4

sin x  cos2 x


1  cot   x 
 3

l) y 


 
2

tan 3x  

4 
j)

2



1  cos x
k) y  cot x   


6 
1  cos x

y

2

Dạng toán 2: Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số lượng giác
 Phương pháp giải.

 Dựa vào tập giá trị của hàm số lượng giác, chẳng hạn:
  1  sin x  1 

0  sin x  1
0  sin2 x  1

hoặc 1  cos x  1 

0  cos x  1
0  cos2 x  1



 Biến đổi về dạng: m  y  M .

 Kết luận: max y  M và min y  m.
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f (x ) 

4
5  2 cos2 x sin2 x



Giải: ..........................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f (x )  3 sin 2 x  5 cos 2 x  4 cos 2x  2.
Giải: ..........................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Địa chỉ Facebook: Thích Học Chui

Trang - 9 -

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600

Mơn: Tốn, Năm học: 2018 – 2019

  
Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f (x )  sin6 x  cos 6 x  2, x   ;  
 2 2


Giải: ..........................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................

BÀI TẬP VẬN DỤNG
BT 3.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau:
a) y  5 3  cos 2x  4.
2

c) y  3 sin 2x  4.

d) y  4  5 sin2 2x cos2 2x .

e) y  3  2 sin 4x .

f)

g) y 
i)

y

4

1  3 cos2 x

2



j)

y

l) y 

4
5  2 cos2 x sin2 x
3

3  1  cos x
2





3 sin 2x  cos 2x



Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau:
a) y   sin2 x  cos x  2.

b) y  sin4 x  2 cos2 x  1.

c) y  cos x  cos(x  60o ).

d) y  sin 4 x  cos4 x  4.

e) y  2  cos 2x  sin2 x .

f)

g) y  sin 2x  3 cos 2x  4.

h) y  cos2 x  2 cos 2x .

y  2 sin2 x  cos 2x .

y  sin6 x  cos6 x .

j)

y  2 sin 2x (sin 2x  4 cos 2x ).

k) y  3 sin2 x  5 cos2 x  4 cos 2x .

l)

y  4 sin2 x  5 sin 2x  3.

m) y  (2 sin x  cos x )(3 sin x  cos x ).

n) y  sin x  cos x  2 sin x cos x  1.

o) y  1  (sin 2x  cos 2x )3 .

p) y  5 sin x  12 cos x  10 .



q) y  2 sin x  2 sin   x   1.
 4




2 
  3.

r) y  2 cos 2x  cos 2x 

3 


i)

BT 5.

y  4  2 sin5 2x  8.

h) y 

4  2 sin2 3x
4
k) y 




2  cos x    3

6 
BT 4.

b) y  1  cos 4x .

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau:

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789

Địa chỉ Facebook: Thích Học Chui

Trang - 10 -

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
 
a) y  sin 2x , x  0;  
 2



  

c) y  sin 2x  , x   ;  
 4 4

4 




f) y  2 sin2 x  cos 2x , x   0;  
 3



Mơn: Tốn, Năm học: 2018 – 2019


 2 

b) y  cos x  , x   ; 0 

 3 
3 


 
d) y  sin4 x  cos4 x , x   0;  
 6






3  
g) y  cot x   , x  
; 

 4
4 
4 


Dạng toán 3: Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

 Phương pháp giải.

 Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số lượng giác.
Nếu x  D thì x  D  D là tập đối xứng và chuyển sang bước 2.
 Bước 2. Tính f (x ), nghĩa là sẽ thay x bằng x , sẽ có 2 kết quả thường gặp sau:
 Nếu f (x )  f (x )  f (x ) là hàm số chẵn.
 Nếu f (x )  f (x )  f (x ) là hàm số lẻ.
Lưu ý:
 Nếu khơng là tập đối xứng (x  D  x  D ) hoặc f (x ) khơng bằng f (x ) hoặc
f (x ) ta sẽ kết luận hàm số khơng chẵn, khơng lẻ.
 Ta thường sử dụng cung góc liên kết dạng cung đối trong dạng tốn này, cụ thể:
cos(a )  cos a, sin(a )   sin a, tan(a )   tan a, cot(a )   cot a.
Ví dụ. Xét tính chẵn lẻ của hàm số:
b) f (x )  cos x 2  16.

a) f (x )  sin2 2x  cos 3x .
........................................................................................

........................................................................

........................................................................................

........................................................................

........................................................................................

........................................................................

.................................................................................

..................................................................

BT 6.

BÀI TẬP VẬN DỤNG
Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
a) y  f (x )  tan x  cot x .
b) y  f (x )  tan 7 2x . sin 5x .


9 

 
c) y  f (x )  sin 2x 
d) y  f (x )  2 cos3 3x   


2 
2 
e) y  f (x)  sin3(3x  5)  cot(2x  7).

f)

g) y  f (x )  sin 9  x 2 .

h) y  f (x )  sin2 2x  cos 3x .

y  f (x )  cot(4x  5) tan(2x  3).

Cố gắng hết sức ở giây phút này sẽ đặt bạn vào vò trí tuyệt vời nhất ở những khoảng khắc sau.

O. Winfrey
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Địa chỉ Facebook: Thích Học Chui

Trang - 11 -

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600

Mơn: Tốn, Năm học: 2018 – 2019

§ 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC


I. Phương trình lượng giác cơ bản
Với k  , ta có các phương trình lượng giác cơ bản sau:

a  b  k 2
a  b  k 2

 sin a  sin b  

 cos a  cos b  

a




b

k
2


a  b  k 2
 tan a  tan b  a  b  k.
 cot a  cot b  a  b  k.
Nếu đề bài cho dạng độ () thì ta sẽ chuyển k 2  k 360, k   k 180, với   180.
Những trường hợp đặc biệt:


 k 2
2
 sin x  0  x  k 


 sin x  1  x    k 2
2

 cos x  1  x  k 2

 sin x  1  x 





 k
2

 cot x  1  x   k 

4

 cot x  1  x    k 
4
 cot x  0  x 

 tan x  0  x  k 



 k 
2
 cos x  1  x    k 2
 cos x  0  x 


 k

4

 tan x  1  x    k 
4
 tan x  1  x 



Ví dụ 1. Giải các phương trình lượng giác sau:

1
a) sin 2x   
2

b) 2 sin 3x  2  0.

........................................................................................

........................................................................

........................................................................................

........................................................................

........................................................................................

........................................................................
d) 2 sin(x  20)  3  0.

c) sin(4x  45)  sin 2x .
........................................................................................

........................................................................

........................................................................................

Ví dụ 2. Giải các phương trình lượng giác sau:
a) cos 2x  



b) 2 cos 2x    3  0.

3 

2

2

........................................................................................

........................................................................

........................................................................................

........................................................................

........................................................................................

........................................................................

c) 2 cos(3x  15)  3  0.

d) 2 cos(x  55)  2.

........................................................................................



3
tan x   

12 
3


b) tan(2x  30)  3  0.

........................................................................................

........................................................................

........................................................................................

........................................................................

........................................................................................

........................................................................

 2x

d) 3 cot   20  3  0.
 3


c) cot(4x  2)   3.

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600

Mơn: Tốn, Năm học: 2018 – 2019

Ví dụ 4. Giải các phương trình lượng giác sau (tích số cơ bản):
b) ( 3 tan x  3)(2 cos 2x  1)  0.

a) (2 sin x  1)(3 cos x  4)  0.
........................................................................................

........................................................................

........................................................................................

........................................................................

........................................................................................

........................................................................

........................................................................................

........................................................................

c) ( 2 sin 2x  2)(2 cos x  2)  0.

d) (sin x  1)(2 cos 2x  2)  0.

........................................................................
j) 8 cos 3 x  1  0.

i) sin 4x  3 sin 2x  0.
........................................................................................

........................................................................

........................................................................................

........................................................................

........................................................................................

........................................................................

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Địa chỉ Facebook: Thích Học Chui

Trang - 14 -

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
Mơn: Tốn, Năm học: 2018 – 2019

Ví dụ 5. Giải các phương trình lượng giác sau (nghiệm thuộc miền cho trước):
a) sin x 

1
với   x  2.
2

......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................


  8 

1
b) cos 2x     ; x   ;  

 2 3 
6 
2
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
c) tan(x  1)  tan 2; x  (1;5).
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................
d) cot(x  45)  3; x  (0; 420).
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Địa chỉ Facebook: Thích Học Chui

Trang - 15 -

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
Mơn: Tốn, Năm học: 2018 – 2019

Ví dụ 6. Giải các phương trình lượng giác sau (phương trình lượng giác có điều kiện cơ bản):
a)

sin 2x
 0.
sin x

.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
b) sin 2x (1  tan2 x )  0.
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
c)

cos 2x  1
 0.
1  cos x

.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
d)

cos 2x
 0.
tan x  1

.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Địa chỉ Facebook: Thích Học Chui

Trang - 16 -

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600

Mơn: Tốn, Năm học: 2018 – 2019

BÀI TẬP VẬN DỤNG
BT 7.

Giải các phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện được xác định):



c) sin 2x    1.

6 


 1
b) sin 2x    

6  2




d) cos 2x    cos 

3 
4

1
e) cos x   
2



f) cos x    1.

6 

g) 2 sin(x  300 )  3  0.


i) 2 cos 2x    2  0.

4 

h) cot(4x  35o )  1.


j) 2 cos x    3  0.

6 

a) sin x  sin

2

3

k)
k) (1  2 cos x )(3  cos x )  0.
m)

tan(x  300 ). cos(2x  1500 )  0.

n) sin x  3 sin

2 sin 2x  2 cos x  0.

o) sin 2x .cos 2x 

l)

1
 0.
4

x
 0.
2

p) sin x cos x cos 2x cos 4x cos 8x 

1

16

II. Một số kỹ năng giải phương trình lượng giác
1. Sử dụng thành thạo cung liên kết
Cung đối nhau

Cung bù nhau

cos(a )  cos a

sin(  a )  sin a

sin(a )   sin a

cos(  a )   cos a

tan(a )   tan a

tan(  a )   tan a

cot(a )   cot a

cot(  a )   cot a

Cung hơn kém 

sin(  a )   sin a

cos(  a )   cos a
tan(  a )  tan a

Cung phụ nhau


sin   a   cos a
2




cos   a   sin a
 2



tan   a   cot a
2



cot   a   tan a
2

Cung hơn kém


2



sin   a   cos a
2



cos   a    sin a
 2



tan   a    cot a
 2


Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Địa chỉ Facebook: Thích Học Chui

Trang - 17 -

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600

Mơn: Tốn, Năm học: 2018 – 2019




cot   a    tan a
2


cot(  a )  cot a
Tính chu kỳ

sin(x  k 2)  sin x

cos(x  k 2)  cos x

sin x  (  k 2)   sin x

cos x  (  k 2)   cos x

tan(x  k )  tan x

cot(x  k )  cot x

Ví dụ 1. Giải phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện được xác định):


a) sin 2x  cos x   

3 






b) tan 2x    cot x   

3 
3 


........................................................................................

........................................................................

........................................................................................

........................................................................

........................................................................................

........................................................................

........................................................................................

........................................................................

Ví dụ 2. Giải phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện được xác định):


a) sin 3x  cos   x   0.
 3


b) tan x . tan 3x  1  0.

........................................................................................

........................................................................

........................................................................................

........................................................................

........................................................................................

........................................................................

........................................................................................

........................................................................

........................................................................................

........................................................................

........................................................................................

........................................................................

BÀI TẬP VẬN DỤNG
BT 8.

Giải các phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện được xác định):



a) sin 2x  cos   x  
 6




2 
9 
  cos x   
b) sin 3x 


3 
4 



c) cos 2x    sin x .

4 


2 
d) cos 2x  sin x   

3 



e) cos 4x    sin 2x  0.

5 

f)



2 
9 
sin 3x    cos x   
3 
4 



Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Địa chỉ Facebook: Thích Học Chui

Trang - 18 -

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600



3 

  tan x   
g) cot 2x 

4 
6 


Mơn: Tốn, Năm học: 2018 – 2019



h) tan 3x    cot x .

5 

 Muốn biến đổi sin thành cos, tan thành cot và ngược lại, ta sẽ làm như thế nào ?
.....................................................................................................................................................

 Hãy viết các cơng thức cung góc liên kết dạng cung góc phụ nhau ?
.....................................................................................................................................................
BT 9.

Giải các phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện được xác định):
a) cos(3x  450 )   cos x .






b) cos 2x     cos x   

3 
4 






c) sin x     sin 2x   

4 
6 



e) tan 3x     tan x .

3 



d) sin 2x    sin x  0.

3 





f) cot x    cot   x   0.

4 
 2




g) cos 3x    cos x  0.

3 


i) sin 2x    cos x  0.

4 



2 
7 
  sin x    0.
h) sin 3x 

3 
5 






j) cos 4x    sin x    0.

3 
4 




k) tan 3x    tan 2x  0.

4 

l) tan 2x . tan 3x  1.

 Muốn bỏ dấu "  " trước sin, cos, tan, cotan ta sẽ làm như thế nào ?
.....................................................................................................................................................

 Hãy viết cơng thức cung góc liên kết dạng cung đối nhau ?
.....................................................................................................................................................
BT 10. Giải các phương trình lượng giác sau:
a) sin 4x  2 cos2 x  1  0.
2

b) 2 cos 5x . cos 3x  sin x  cos 8x .

c) sin 5x  2 cos x  1.



e) cos   x   sin 2x  0.
 2


d) cos 2x cos x  cos x  sin 2x sin x .
1  tan x
f) cot2x 

1  tan x

x
 cos 5x  1.
2
 4



h) sin 
 x   cos   x   3.
 9

 18



 4


 
g) sin 3x    sin 


3
x

5 
 5


f) 2 sin2

i)

3.


 5


cos 3x    sin   3x   2.

3 
 6


Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Địa chỉ Facebook: Thích Học Chui

Trang - 19 -

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600

Mơn: Tốn, Năm học: 2018 – 2019

2. Ghép cung thích hợp để áp dụng công thức tích thành tổng

a b
a b
 cos

2
2

 cos a  cos b  2 sin

a b
a b
 cos

2
2

 sin a  sin b  2 cos

 cos a  cos b  2 cos

 sin a  sin b  2 sin

a b
a b
 sin

2
2

a b
a b
 sin

2
2

Khi áp dụng tổng thành tích đối với hai hàm sin và cosin thì được hai cung mới là:
a  b a b
;
 Do đó khi sử dụng nên nhẩm (tổng và hiệu) hai cung mới này trước để
2
2
nhóm hạng tử thích hợp sao cho xuất hiện nhân tử chung (cùng cung) với hạng tử còn lại
hoặc cụm ghép khác trong phương trình cần giải.
Ví dụ 1. Giải phương trình: sin 5x  sin 3x  sin x  0.
Giải: ..........................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
Ví dụ 2. Giải phương trình: cos 3x  cos 2x  cos x  1  0.
Giải: ..........................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................

BÀI TẬP VẬN DỤNG
BT 11. Giải các phương trình lượng giác sau:
a) sin x  sin 2x  sin 3x  0.

b) cos x  cos 3x  cos 5x  0.

c) 1  sin x  cos 2x  sin 3x  0.

d) cos x  cos 2x  cos 3x  cos 4x  0.

e) sin 3x  cos 2x  sin x  0.

f)

g) cos 3x  2 sin 2x  cos x  0.

h) cos x  cos 2x  sin 3x .

sin x  4 cos x  sin 3x  0.

BT 12. Giải các phương trình lượng giác sau:
a) sin 5x  sin x  2 sin2 x  1.

b) sin x  sin2x  sin 3x  1  cos x  cos2x.

c) cos 3x  2 sin 2x  cos x  sin x  1.

d) 4 sin 3x  sin 5x  2 sin x cos 2x  0.

e) sin 5x  sin 3x  2 cos x  1  sin 4x .

f)

cos2x  sin 3x  cos 5x  sin10x  cos 8x .

g) 1  sin x  cos 3x  cos x  sin 2x  cos 2x .
h) sin x  sin 2x  sin 3x  cos x  cos 2x  cos 3x .

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Địa chỉ Facebook: Thích Học Chui

Trang - 20 -

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600

Mơn: Tốn, Năm học: 2018 – 2019

3. Hạ bậc khi gặp bậc chẵn của sin và cos
 sin2  

1  cos 2

2

 tan2  

 cos2  

1  cos 2

1  cos 2

1  cos 2

2

 cot2  

1  cos 2

1  cos 2

 Lưu ý đối với cơng thức hạ bậc của sin và cosin:
― Mỗi lần hạ bậc xuất hiện hằng số

1
và cung góc tăng gấp đơi.
2

― Mục đích của việc hạ bậc: hạ bậc để triệt tiêu hằng số khơng mong muốn và nhóm
hạng tử thích hợp để sau khi áp dụng cơng thức (tổng thành tích sau khi hạ bậc) sẽ
xuất hiện nhân tử chung hoặc làm bài tốn đơn giản hơn.
Ví dụ 1. Giải phương trình: sin2 2x  cos2 8x 

1
cos10x .
2

Giải: ..........................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
Ví dụ 2. Giải phương trình: cos2 x  cos2 2x  cos2 3x  cos2 4x 

3

2

Giải: ..........................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................

BÀI TẬP VẬN DỤNG
BT 13. Giải các phương trình lượng giác sau:
a) sin2 x 

1

2


 3
b) cos2 2x    

4  4

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Địa chỉ Facebook: Thích Học Chui

Trang - 21 -

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
2 3

4

 7

2 
  sin2   x  
e) sin2 3x 

3 
 4

c) cos2 x 

g) sin2 2x  sin2 x  1.

d) 4 sin2 x  1  0.
f)


 1
cos4 x  sin 4 x    
4  4


h) sin2 2x  cos2 3x  1.

3

2
k) sin2 x  sin2 2x  sin2 3x  2.
i)

Mơn: Tốn, Năm học: 2018 – 2019

sin2 x  sin2 2x  sin2 3x 

2

8
BT 14. Giải các phương trình lượng giác sau:
m) sin 3 x cos x  sin x cos3 x 

j)
l)

3

2
sin2 x  sin2 3x  cos2 2x  cos2 4x .

cos2 x  cos2 2x  cos2 3x 

n) sin 3 x cos x  sin x cos3 x  

2

4

 
  5x 
9x
a) sin2 4x  cos2 6x  sin10x, x  0;   b) cos3x  sin7x  2sin2     2cos2 
 2 
 4 2 
2
c) 2 sin2 2x  sin 7x  1  sin x .

d) cos2 x  cos2 2x  cos2 3x  cos2 4x  2.


 7
e) cos2 x  cos2 2x  cos2   3x   

 3
 4

f)

g) sin2 3x  cos2 4x  sin2 5x  cos2 6x.

h) tan2 x  sin2 2x  4 cos2 x .

i)

cos2 3x .cos 2x  cos2 x  0.

j)



 
sin2 4x  cos2 6x  sin 10x, x  0;  
2

 2 

4 sin2


x
3 
 3 cos2x  1  2cos2 x   


2
4 

4. Xác đònh nhân tử chung để đưa về phương trình tích số
Đa số đề thi, kiểm tra thường là những phương trình đưa về tích số. Do đó, trước khi giải
ta phải quan sát xem chúng có những lượng nhân tử chung nào, sau đó định hướng để
tách, ghép, nhóm phù hợp. Một số lượng nhân tử thường gặp:

— Các biểu thức có nhân tử chung với cos x  sin x thường gặp là:
 1  sin 2x  sin2 x  2 sin x cos x  cos2 x  (sin x  cos x )2 .
 cos 2x  cos2 x  sin2 x  (cos x  sin x )(cos x  sin x ).
 cos4x  sin4 x  (cos2 x  sin2 x )(cos2 x  sin2 x )  (cos x  sin x )(cos x  sin x ).
 cos3x  sin 3 x  (cos x  sin x )(1  sin x cos x ).

sin x
cos x  sin x
cos x
sin x  cos x

  1  cot x  1 


cos x
cos x
sin x
sin x





1
 cos x    sin x   
(sin x  cos x ).




4
4

2
 1  tan x  1 





1
 sin x     cos x   
(sin x  cos x )............
4 
4 


2

— Nhìn dưới góc độ hằng đẳng thức số 3, dạng a 2  b 2  (a  b )(a  b), chẳng hạn:

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Địa chỉ Facebook: Thích Học Chui

Trang - 22 -

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
Mơn: Tốn, Năm học: 2018 – 2019

sin2 x  12  cos2 x  (1  cos x )(1  cos x )
 sin x  cos x  1   2

2
2
cos x  1  sin x  (1  sin x )(1  sin x )
2

2

 cos3 x  cos x . cos2 x  cos x .(12  sin2 x )  cos x (1  sin x )(1  sin x ).
 sin 3 x  sin x .sin 2 x  sin x .(12  cos 2 x )  sin x (1  cos x )(1  cos x ).
 3  4 cos2 x  3  4(1  sin2 x )  (2 sin x )2  12  (2 sin x  1)(2 sin x  1).
 sin 2x  (1  sin 2x )  1  (sin x  cos x )2  12  (sin x  cos x  1)(sin x  cos x  1).

  sin2x  (1  sin2x )  1  (sin x  cos x )2  12  (sin x  cos x  1)(sin x  cos x  1).
 2(cos4x  sin 4 x )  1  3 cos2 x  sin2 x  ( 3 cos x  sin x )( 3 sin x  cos x ).........
— Phân tích tam thức bậc hai dạng: f (X )  aX 2  bX  c  a.(X  X1 )  (X  X 2 ) với X
có thể là sin x , cos x ,.... … và X1, X 2 là hai nghiệm của f (X )  0.
Ví dụ 1. Giải phương trình: 2 cos x  3 sin x  sin 2x  3.

Giải: ..........................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
Ví dụ 2. Giải phương trình: cos 2x  (1  sin x )(sin x  cos x )  0.
Giải: ..........................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
Ví dụ 3. Giải phương trình: (sin x  cos x  1)(sin x  cos x )  sin 2x  0.
Giải: ..........................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Địa chỉ Facebook: Thích Học Chui

Trang - 23 -

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600

Mơn: Tốn, Năm học: 2018 – 2019

Ví dụ 4. Giải phương trình: (2 sin x  3)(sin x cos x  3)  1  4 cos2 x .
Giải: ..........................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................

BÀI TẬP VẬN DỤNG
BT 15. Giải các phương trình lượng giác sau:
a) sin 2x  3 sin x  0.

b) (sin x  cos x )2  1  cos x .

c) sin x  cos x  cos 2x .

d) cos 2x  (1  2 cos x )(sin x  cos x )  0.

e) (tan x  1)sin 2 x  cos 2x  0.

f)

sin x .(1  cos 2x )  sin 2x  1  cos x .



g) sin 2x  cos x  2 sin x    1.

4 

h)


 1  cos 2x
2 cos   x  
 1  cot x .
sin x
4


i)



1  tan x  2 2 sin x   

4 

j)



cos x  cos 3x  1  2 sin 2x   

4 

BT 16. Giải các phương trình lượng giác sau:
a) 2 sin2 x  3 sin x cos x  cos2 x  1. b) 4sin2x sin x  2sin2x  2sin x  4  4cos2 x.
c) 4 sin2 x  3 3 sin 2x  2 cos 2 x  4.

d) (cos x  1)(cos2x  2cos x )  2 sin2 x  0.

e) (2cosx 1)(sin2x 2sinx 2)  4cos2 x 1. f)
g) (2sin x  1)(2sin2x  1)  4 cos2 x  3.
i)

(2sinx 1)(2cos2x 2sinx 3)  4sin2 x 1.

h) 2(cos4 x  sin 4 x )  1  3 cos x  sin x .

3 sin x  cos x  1  2(sin4 x  cos4 x). j)

sin2x  (sin x  cos x 1)(2sinx  cos x  2).

BT 17. Giải các phương trình lượng giác sau:
a) sin x  4 cos x  2  sin 2x .
c)

2(sin x  2 cos x )  2  sin 2x .

b) sin 2x  3  2 cos x  3 sin x .
d) sin 2x  sin x  2  4 cos x .

e) sin 2x  2 cos x  sin x  1  0.

f)

sin 2x  2 sin x  2 cos x  2  0.

g) sin 2x  1  6 sin x  cos 2x .

h) sin 2x  cos 2x  2 sin x  1.

sin x (1  cos 2x )  sin 2x  1  cos x .

i)

sin 2x  2 sin x  1  cos 2x .

j)

l)

sin 2x  sin x  2 cos 2x  1.

m) (2cos x  1)(2sin x  cos x)  sin2x  sin x.

n) tan x  cot x  2(sin 2x  cos 2x ).

o) (1  sin2 x)cosx (1  cos2 x)sinx 1 sin2x.

p) sin 2x  2 sin2 x  sin x  cos x .

q) cos 3x  cos x  2 3 cos 2x sin x .

r)

cos 3x  cos x  2 sin x cos 2x .

s) 2 sin2 x  sin 2x  sin x  cos x  1.

t)

cos x  tan x  1  tan x sin x .

u) tan x  sin 2x  2 cot2x .

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789
Địa chỉ Facebook: Thích Học Chui

Trang - 24 -

11 TOÀN bộ đề CƯƠNG TOÁN 11 học kì 1 THI THPT QUỐC GIA

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về