De cương on tap hoc ki 1- Toan 8

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I
PHẦN 1: ĐẠI SỐ
A. KIẾN THỨC TỔNG QUÁT
(B+C) = A.B + A.C
2 2 2
2 2
3 3 2 2 3
3 3 2 2
3 3 2 2
( ) 2. .
( )( )
( ) 3A 3
( )( )
( )( )
A B A A B B
A B A B A B
A B A B AB B
A B A B A AB B
A B A B A AB B
± = ± +
− = − +
± = ± + ±
+ = + − +
− = − + +
. . ; . . ;( ; 0)
. :
; ( ; ; 0);
. :
. .
. ; : . ( ; ; 0)
. .

A C A C
A D B C A D B C B D
B D B D
A A M A A N
B M N
B B M B B N
A C A C A C A D A D
B D C
B D B D B D B C B C
= ⇒ = = ⇒ = ≠
= = ≠
= = = ≠
B. BÀI TẬP
DẠNG 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH
VD1: Đơn thức, đa thức:
2 3 5 3 2
1 1
x (5x ) 5x
2 2
x x x− − = − −
Bài tập vận dụng:
2 2 2
3 1
1/ (3x );2 / ( 2x 3)( 5)
5 2
xy y x y x x
−
− + − + −
VD2: Phân thức đại số:
xx

x
x
x
6
54
6
7
2
+
−
+
−
=
)6(
54
6
7
+
−
+
−
xxx
x
x
=
)6(
54
).6(
.
)6(

)6(7
+
−
+
−
+
+
xxxx
xx
xx
x
=
)6(
54)6(7
2
+
−−+
xx
xx
=
)6(
54427
2
+
−−+
xx
xx
=
)6(
127

2
+
−−
xx
xx
Bài tập vận dụng

3 2 2
2 2 2 2 2
20x 4x 38 4 3 4 2 5 7 11
, : ; , ; ,
3 5 2 17 1 2 17 1 6 12 8
x x x x
a b c
y y x x x x x y xy xy
 
 
+ + − −
− − + + +
 ÷
 ÷
+ + + +
 
 

2
2 2 2 3 2
3 2 3 2 1 2 2 1
, ; , ; ,
2 1 2 4 6 9 9 1 1 1

x x x x
d e f
x x x x x x x x x x
− − +
+ + + +
− − + + − − + + −
g)
3 2 7 4
2 2
x x
xy xy
− −
−
; i)
2
2 2 2 2
xy x
x y y x
−
− −
; h)
− +
2 2
2 2
x y x y
:
6x y 3xy
; m)
3
27 2 6

:
5 5 3 3
x x
x x
− −
+ +
;
2
3 6
,(4 16) :
7 2
x
n x
x
+
−
−

DẠNG 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC
VD1: Đơn thức, đa thức
( x + 2 ) ( x – 2 ) – ( x – 3 ) ( x + 1 ) = x
2
– 2
2
– (x
2
+x–3x–3)
= x
2
– 4 – x

2
–x +3x +3
= 2x –1
Phương pháp: AD quy tắc nhân đơn thức, đa thức với nhau; 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
chọn các hạng tử đồng dạng rút gọn
Bài tập vận dụng:
1/ (x-1)(x
3
+x
2
+x+1); 2/ (2x+1)
2
+2(4x
2
-1)+(2x-1)
2
3/ (x
2
+xy+y
2
)(x-y) + (x
2
-xy+y
2
)(x+y); 4/ (x – 3)(x + 3) – (x – 3)
2
5/ ( x – 1 ) ( x + 1 ) – ( x – 1)
2
; 6/ (x
2

–1)(x+2) – (x–2)(x
2
+2x+4)
VD2: Phân thức đại số:
3 2
2
2
1
x x x
x
+ +
−
=
)1)(1(
)12(
2
+−
++
xx
xxx
=
)1)(1(
)1(
2
+−
+
xx
xx
=
1

)1(
−
+
x
xx
Bài tập vận dụng a)
2
3(x y)(x z)
6(x y)(x z)
− −
− −
;b)
3
36( 2)
32 16
x
x
−
−
;c)
2
x 2x 1
x 1
+ +
+
;d)
2
2
x 2x 1
x 1

− +
−
;
e)
2
4
3 12 12
8
x x
x x
− +
−
;f)
3223
22
33 yxyyxx
xy
−+−
−
DẠNG 3: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Phân tích đa thức thành nhân tử tức là phân tích, biến đổi đa thức đó về dạng tích
VD1: Phương pháp đặt nhân tử chung:
x
3
- 2x
2
+ x = x(x
2
–2x+1) = x(x–1)
2

VD2: Phương pháp dùng hằng đẳng thức:
x
3
– 3x
2
+3x – 1 = (x – 1)
3
VD3: Phương pháp nhóm hạng tử :
5x–5y+ax–ay = (5x – 5y)+(ax – ay)
= 5(x – y)+a(x – y)
= (x – y)(5+a)
VD4: Phối hợp nhiều phương pháp:
x
2
-y
2
-5x+5y = (x
2
– y
2)
– (5x – 5y)
= (x – y)(x+y) – 5(x – y)
= (x – y)(x+y – 5)
Bài tập vận dụng
1/ x
3
–2x
2
+x–xy
2

; 2 / y
2
(x – 1) – 7y
3
+ 7xy
3
; 3 / 2x – y
2
+ x
2
+ 1; 4 / 5x
2
+ 5xy – x – y;
5 / 3x
2
–6xy+3y
2
–12z
2
; 6 / 5x
2
( x – 2y ) – 15x ( 2y – x ); 7 / 2x + 2y – x( x + y );
8 / x
2
– 16 + y
2
+ 2xy
DẠNG 4: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
VD1: Đơn thức; đa thức: A =
( ) ( )

2 2
4 5 3 5 4x x y x x y
− − +
với x = -2; y = -3

3 2 3 2 2
20x 12x 20x 5x 17xA y y y= − − − = −
Với x = -2; y = -3 => A = -17(-2)
2
.(-3) = 204
Bài tập vận dụng: B =
( ) ( ) ( ) ( )
4 2 1 3x x x x
− − − − −
với
7
4
x =
C = (3x + 4x
2
− 2)( −x
2
+1 + 2x) víi x =1
D =
( )
( )
2 2
2 4 2x y x xy y
− + +
víi

1 5
;
4 2
x y x y= + =
VD2: Phân thức đại số
Phương pháp: phân tích tử và mẫu thành nhân tử sau đó đơn giản nhân tử chung
Cho phân thức M=
3 2
2
2
1
x x x
x
+ +
−
Rút gọn rồi tính giá trị của phân thức M tại x = 3
M=
3 2
2
2
1
x x x
x
+ +
−
=
)1)(1(
)12(
2
+−

++
xx
xxx
=
)1)(1(
)1(
2
+−
+
xx
xx
=
1
)1(
−
+
x
xx
Khi x=3 thì M =
13
)13(3
−
+
=
2
12
=6
Bài tập vận dụng:
1/Cho phân thức B =
5

2
14 (2 3 )
21 (3 2 )
xy x y
x y y x
−
−
Rút gọn rồi tính giá trị của phân thức B tại x =
3
1
, y=2
2/ Cho phân thức Q =
2 2
2 2
x y
x y xz yz
−
− + −
Rút gọn rồi tính giá trị của phân thức Q tại x = 2; y=3; z=4
3/Cho phân thức A =
315
125
2
+
−
x
x
Rút gọn rồi tính giá trị của phân thức A tại x = 2
DẠNG 5: TÌM X
Cách giải : Phân tích vế trái thành nhân tử (Ta được tích các nhân tử bằng 0 ,Từ mỗi

nhân tử bằng 0 ta tìm được một giá trị của x )
VD1: Đơn thức; đa thức: x
2
– 49 =0 ⇔ x
2
– 7
2
= 0
⇔ (x–7)(x+7) =0
⇔ (x–7) = 0 suy ra x=7
Và (x+7) =0 suy ra x= – 7
Vậy: x=7 và x= – 7
Bài tập vận dụng: 1/(x + 3)
2
+ x
2
– 9 = 0; 2/ (x – 2)
2
- (x+3)
2
– 4(x+1) = 5.
3/ (2x – 3) (2x + 3) – (x – 1)
2
– 3x(x – 5) = - 44; 4/ (5x + 1)
2
- (5x + 3) (5x - 3) = 30.
VD2: Phân thức đại số: Tìm x biết :
a)
0
1

32
12
12
22
=
−
+
−
+−
+
x
x
xx
x
b) Giá trị biểu thức
3
9
6
3
3
2
+
+
−
−
− x
x
x
x
x

bằng 0.
DẠNG 5: BÀI TẬP QUY ĐỒNG MẪU NHIỀU PHÂN THỨC

4
2
2 2 2
1 8 5
, , ; , 1, ; , ,
2 2x-x 1 4x+4 3x 6
x x x
a b x c
x x x
+
+
+ − + +
DẠNG 5: BÀI TẬP CHIA ĐA THỨC
Tìm kết quả của phép chia:
5 2 3 2 3 2 4 3 2 2
a,( 2x 3x 4x ) : 2x ; ,( 7x 3 ) : ( 3); ,(2x 3x 3x 2 6x) : ( 2)b x x x c x− + − − + − − − − − + −
DẠNG 6: BÀI TẬP CHỨNG MINH
Bài 1: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến
(x - 5)(2x + 3) - 2x(x - 3) + x + 7;
Bài 2: Chứng minh rằng:
a, (10a + 5)
2
= 100a. (a + 1) + 25 ( vận dụng tính nhẩm: 25
2
; 352; 45
2
...);

b, (a + b)
2
= (a - b)
2
+ 4ab; c, (a - b)
3
= - (b - a)
3
;
d,55
n+1
– 55
n
chia hết cho 54 với n la số tự nhiên
DẠNG 7: BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1: Cho biểu thức: P =






−
−









−
+
+
xxx
x 2
1
4
1
1
1
2
a/ Tìm các giá trị của x để biểu thức P xác định
b/ Rút gọn P.
Bài 2 : Cho biểu thức:
2
2
1
2 2 2 2
x x
A
x x
+
= +
− −
a) Với giá trị nào của x thì biểu thức A có nghĩa?
b) Rút gọn biểu thức A
c) Tìm giá trị của x để A =
1

2
−
?
Bài 3 : Cho biểu thức A =
55
2
:)
1
1
1
1
(
−+
−
−
−
+
x
x
x
x
x
x
a) Rút gọn A.
b) Tìm giá trị của A tại x=3; x = -1.
c) Tìm x để A = 2.
PHẦN 2: HÌNH HỌC
Hình Nội dung
- Là hình gồm 4 đoạn thẳng trong đó bất kì 2 đoạn
thẳng nào cũng không cùng nằm trên 1 đường

thẳng
- Tứ giác lồi luôn nằm trong 1 nửa mặt phẳng có
bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác
- Tổng các góc của một tứ giác bằng 360
0
- Là tứ giác có 2 cạnh đối song song
- Đường trung bình của hình thang có độ dài bằng
nửa tổng 2 đáy
- Đường trung bình của tam giác bằng 1 nửa độ dài
cạnh đáy
- Là hình thang có 2 cạnh bên bằng nhau và 2 góc
kề 1 đáy bằng nhau
- có 2 đường chéo bằng nhau
- Là tứ giác có các cặp cạnh đối song song và bằng
nhau
- có các góc đối bằng nhau
- 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi
đường
- Là tứ giác có 4 góc vuông , có độ dài 2 cạnh đối
bằng nhau
- 2 đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung
điểm của mỗi đường
S = a.b
- Là tứ giác có độ dài 4 cạnh bằng nhau
- 2 đường chéo vuông góc với nhau tại trung diểm
mỗi đường
- có các góc đối bằng nhau
- Là tứ giác có 4 góc vuông , có độ dài 4 cạnh bằng
nhau
- có 2 đường chéo bằng nhau và vuông góc với

nhau tại trung điểm của mỗi đường.
S = a
2
Diện tích tam giác vuông:
1
.
2
S a b=
a, b là độ dài 2 cạnh góc vuông
Diện tích tam giác vuông:
1
.
2
S a h=
a là độ dài cạnh đáy, h là đường cao ứng với cạnh
đáy
Bài 1: Cho
∆
ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AC, K là điểm
đối xứng với điểm M qua điểm I.
a/ Chứng minh tứ giác AMCK là hình chữ nhật
b/ Chứng minh tứ giác AKMB là hình bình hành
c/ Biết AC = 5cm, BC = 6cm. Tính S
AMCK

d/ Tìm điều kiện của
∆
ABC để tứ giác AMCK là hình vuông
Giải
a/ Chứng minh tứ giác AMCK là hình chữ nhật

IA = IC và IM = IK nên AMCK là hình bình hành
Mà AM vuông góc với BC ( do tam giác ABC cân tại A)
Do đó hình bình hành AMCK có một góc vuông là hình chữ nhật
b/Chứng minh tứ giác AKMB là hình bình hành
MI là đường trung bình của tam giác ABC ,nên MI ∥AC ⇒ MK ∥AC
Và MI=
2
AC
⇒ 2MI =AC ⇒ MK = AC
Tứ giác AKMB có hai cạnh đối vừa song song , vừa bằng nhau nên là hình bình hành
c/ Biết AC = 5cm, BC = 6cm. Tính S
AMCK

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông MAC : AM
2
= AC
2
-MC
2

AM
2
= 5
2
-3
2
AM
2
= (5-3)(5+3)=16 => AM = 4 (cm)
S

AMCK
=AM.MC= 4cm .3 cm = 12 cm
2
d/Tìm điều kiện của
∆
ABC để tứ giác AMCK là hình vuông
Để AMCK là hình vuông thì AM = MC hay AM =
2
BC

Vì vậy Tam giác cân ABC phải vưông tại A ( Trung tuyến AM bằng nửa cạnh huyền )
Bài 2: Cho ∆ ABC vuông tại A, điểm D là trung điểm của BC. Gọi M là điểm đối xứng với D
qua AB, E là giao điểm của DM với AB. N là điểm đối xứng với B qua AC; F là giao điểm
của DN và AC.
a) Tứ giác AEDF là hình gì ? Vì sao ?
b) Các tứ giác ADBM; ADCN là hình gì ? Vì sao ?
c) Chứng minh rằng: M đối xứng N qua A.
d) ∆ ABC có điều kiện gì thì tứ giác AEDF là hình vuông ?
Bài 3 : Cho tam giác ABC cân tại A , trung tuyến AM . Gọi I là trung điểm của AC , N là điểm
đối xứng với M qua I .
a/ Chứng minh tứ giác AMCN là hình chữ nhật .
b/ Tứ giác ABMN là hình gì ? Vì sao ?
c/ Tìm điều kiện của tam giác ABC để AMCN là hình vuông ? Khi đó hãy tính chu vi và diện
tích của hình vuông AMCN . Biết rằng BC = 20 Cm .
Bài 4: (3đ) Cho tứ giác ABCD có BC = AD và BC không song song với AD, gọi M, N, P, Q, E,
F lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, AC, BD.
a/ (1,25đ) Chứng minh tứ giác MEPF là hình thoi .
b/ (1,25đ) Chứng minh các đoạn thẳng MP, NQ, EF cùng cắt nhau tại một điểm .
c/ (0,5đ) Tìm thêm điều kiện của tứ giác ABCD để N, E, F, Q thẳng hàng .
Bài 5:

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC), M là trung điểm BC, từ M kẻ đường thẳng song song với
AC, AB lần lượt cắt AB tạt E, cắt AC tại F