Chuyên đề KHẢO sát hàm số thầy bùi trần duy tuấn pdf

NEW

Tái bản lần 2


Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn

/>
“Nơi nào có ý chí, nơi đó có con đường.”
Tài liệu gồm 433 trang bao gồm các chủ đề sau:
Chủ đề 1. Tính đơn điệu của hàm số
Chủ đề 2. Cực trị của hàm số
Chủ đề 3. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Chủ đề 4. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số
Chủ đề 5. Đồ thị của hàm số
Chủ đề 6. Tương giao giữa hai đồ thị
Chủ đề 7. Bài toán tiếp tuyến, sự tiếp xúc của đồ thị hàm số
Chủ đề 8. Điểm đặc biệt của đồ thị hàm số
Bố cục của các chủ đề gồm các phần sau:
1. Kiến thức cơ bản cần nắm
2. Các dạng toán và phương pháp giải (kèm theo các bài toán minh họa)
3. Thủ thuật Casio giải nhanh
3. Bài tập trắc nghiệm rèn luyện (có lời giải chi tiết)

Chuyên đề Hàm Số này được biên soạn lần 2, được chỉnh sửa về hình thức và một số lỗi mắc
phải trong lần biên soạn đầu tiên (02/2018). Tài liệu được tôi sưu tầm và biên soạn để làm
tư liệu cho các em lớp 12 ôn thi kỳ thi THPT Quốc gia tham khảo, giúp các em ôn lại kiến
thức nhanh chóng và hiệu quả hơn. Trong quá trình tổng hợp và biên soạn không tránh khỏi
những sai sót đáng tiếc do số lượng kiến thức và bài tập khá nhiều. Mong các đọc giả thông
cảm và đóng góp ý kiến để những tài liệu sau của tôi được chỉnh chu hơn!
Mọi đóng góp và liên hệ về tài liệu xin gửi về:

Facebook: />Gmail:
Truy cập Website: để xem thêm các chuyên đề luyện thi
đại học khác của tôi biên soạn.
Xin chân thành cảm ơn!!!
Quảng Nam – 15.07.2018

Tác giả: Bùi Trần Duy Tuấn


Lời nói đầu


Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn

/>
MỤC LỤC
CHỦ ĐỀ 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ..................................................... 7
A. LÝ THUYẾT VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ........................................................................ 7
I. LÝ THUYẾT CƠ BẢN CẦN NẮM ................................................................................................... 7
II. CÁC KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG BỔ TRỢ .................................................................................... 7
III. CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ .............................. 9
1. Xét tính đơn điệu của hàm số y  f ( x) trên tập xác định.................................................................. 9
2. Tìm m để hàm số tăng hoặc giảm trên từng khoảng xác định .......................................................... 13
3. Tìm m để hàm số tăng hay giảm trong khoảng con của  ............................................................... 14
4. Tìm m để hàm số y  ax3  bx 2  cx  d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) bằng l ............... 19
5. Tìm tập nghiệm của phương trình................................................................................................... 20
6. Tìm tập nghiệm của bất phương trình ............................................................................................. 24
7. Giải hệ phương trình ....................................................................................................................... 27
B. THỦ THUẬT CASIO GIẢI ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN ......................................................... 30
I. KIẾN THỨC CẦN NẮM ................................................................................................................. 30

II. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA ................................................................................................. 30
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ................................................................................................................ 37
I. ĐỀ BÀI ............................................................................................................................................... 37
II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI ................................................................................................ 45

CHỦ ĐỀ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ .................................................................. 62
A. LÝ THUYẾT VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ ..................................................................................... 62
B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ......................................................................... 64
I. TÌM CỰC TRỊ CỦA CÁC HÀM SỐ ................................................................................................ 64
II. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC .......... 73
1. Hàm số bậc 3: y  ax 3  bx 2  cx  d  a  0  . ................................................................................. 73
2. Hàm trùng phương : y  ax 4  bx 2  c  a  0  ................................................................................ 84
3. Hàm số dạng y 

a2  bx  c
........................................................................................................... 93
mx  n

C. THỦ THUẬT CASIO GIẢI CỰC TRỊ ............................................................................................. 95
I. KIẾN THỨC CẦN NẮM ................................................................................................................. 95
II. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA ................................................................................................. 95
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM .............................................................................................................. 101
I. ĐỀ BÀI ............................................................................................................................................. 101
II. ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT ................................................................................................ 113


Mục lục

Chuyên đề Hàm số

Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn

/>
CHỦ ĐỀ 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ........... 136
A. LÝ THUYẾT ...................................................................................................................................... 136
I. ĐỊNH NGHĨA ................................................................................................................................. 136
II. PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN, GTNN ......................................................................................... 136
B. CÁC DẠNG TOÁN TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ ........................................................... 138
I. TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT TRỰC TIẾP ......... 138
II. TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG MIỀN GIÁ TRỊ........... 140
III. TÌM GTNN, GTLN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN .......................................................... 142
IV. TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ, BIỂU THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 147
V. ỨNG DỤNG GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ TRONG BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH THAM SỐ ĐỂ
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM ........................................................... 160
1. Tìm m để phương trình có nghiệm ................................................................................................ 160
2. Tìm m để bất phương trình có nghiệm .......................................................................................... 170
VI. BÀI TOÁN THỰC TẾ LIÊN QUAN ĐẾN GTLN, GTNN ........................................................ 176
C. THỦ THUẬT CASIO GIẢI BÀI TOÁN MIN MAX .................................................................... 186
I. PHƯƠNG PHÁP ............................................................................................................................ 186
II. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA ............................................................................................... 186
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM .............................................................................................................. 193
I. ĐỀ BÀI ............................................................................................................................................. 193
II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI .............................................................................................. 204

CHỦ ĐỀ 4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ........................... 230
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN ..................................................................................................................... 230
I. ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG ...................................................................................................... 230
II. ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG ........................................................................................................ 230
III. QUY TẮC TÌM GIỚI HẠN VÔ CỰC ......................................................................................... 230

B. THỦ THUẬT CASIO GIẢI TIỆM CẬN........................................................................................ 232
I. KIẾN THỨC CẦN NẮM ............................................................................................................... 232
II. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA ............................................................................................... 232
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM .............................................................................................................. 242
I. ĐỀ BÀI ............................................................................................................................................. 242
II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI .............................................................................................. 248



Mục lục

Chuyên đề Hàm số


Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn

/>
CHỦ ĐỀ 5. KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ ................... 262
A. KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ DẠNG ĐỒ THỊ CỦA CÁC HÀM SỐ............................................. 262
I. SƠ ĐỒ BÀI TOÁN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ ........................................................ 262
II. CÁC DẠNG ĐỒ THỊ CỦA CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP..................................................... 262
III. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ .............................................................................. 264
B. MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ .............................................................................................. 269
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM .............................................................................................................. 272
I. ĐỀ BÀI ............................................................................................................................................. 272
II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI .............................................................................................. 294

CHỦ ĐỀ 6. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ ...................................... 302
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN ..................................................................................................................... 302
B. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN THƯỜNG GẶP ............................................................................ 302

I. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA ......................... 302
1. Kiến thức trọng tâm ...................................................................................................................... 302
2. Một số bài toán minh họa .............................................................................................................. 303
II. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG .... 306
1. Kiến thức trọng tâm ...................................................................................................................... 306
2. Một số bài toán minh họa .............................................................................................................. 306
III. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ y 

ax  b
................... 309
cx  d

1. Kiến thức trọng tâm ...................................................................................................................... 309
2. Một số bài toán minh họa .............................................................................................................. 309
C. THỦ THUẬT CASIO GIẢI BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO ........................................................... 312
I. NHẮC LẠI KIẾN THỨC CẦN NẮM ........................................................................................... 312
II. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA ............................................................................................... 312
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM .............................................................................................................. 320
I. ĐỀ BÀI ............................................................................................................................................. 320
II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI .............................................................................................. 332



Mục lục

Chuyên đề Hàm số


Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn

/>
CHỦ ĐỀ 7. BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN, TIẾP XÚC CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 365
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM................................................................................................................. 365
B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN.......................................................... 365
I. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN THƯỜNG GẶP ............................................... 365
1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  C  : y  f  x  tại M  xo ; y o  . ............................. 365
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  C  : y  f  x  có hệ số góc k cho trước. .............. 368
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  C  : y  f  x  biết tiếp tuyến đi qua điểm A  x A ; y A 
......................................................................................................................................................... 370
4. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị hàm số  C1  : y  f  x  và  C 2  : y  g  x  . ..... 372
II. MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH NHANH VÀ TÍNH CHẤT CẦN BIẾT.................................... 373
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM .............................................................................................................. 377
I. ĐỀ BÀI ............................................................................................................................................. 377
II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI .............................................................................................. 384

CHỦ ĐỀ 8. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ .................................. 397
A. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ............................................................................................ 397
I. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG ................................................... 397
II. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM CÓ TỌA ĐỘ NGUYÊN ......................................................................... 399
III. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM CÓ TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG .............................................................. 401
IV. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM ĐẶC BIỆT KHÁC, BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH ............................ 404
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM............................................................................................................... 409
I. ĐỀ BÀI ............................................................................................................................................. 409
II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI .............................................................................................. 417



Mục lục

Chuyên đề Hàm số

Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn

Chủ đề 1

/>
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ


A. LÝ THUYẾT VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
I. LÝ THUYẾT CƠ BẢN CẦN NẮM
1. Định nghĩa :
Cho hàm số y  f ( x) xác định trên K .
o Hàm số y  f ( x) đồng biến trên K nếu x1 , x2  K : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )
o Hàm số y  f ( x) nghịch biến trên K nếu x1 , x2  K : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )

2. Định lý :
Cho hàm số y  f ( x) xác định trên K .
o Nếu f '( x)  0, x  K thì hàm số f ( x) đồng biến trên K .
o Nếu f '( x)  0, x  K thì hàm số f ( x) nghịch biến trên K .
o Nếu f '( x)  0, x  K thì hàm số f ( x) khơng đổi trên K .

3. Định lý mở rộng :
Giả sử hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên K .
o Nếu f '( x)  0, x  K và f '( x)  0 tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên K
o Nếu f '( x)  0, x  K và f '( x)  0 tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên K
o Nếu f '( x)  0, x  K thì f ( x) khơng đổi trên K
 Chú ý :
o Nếu K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “ Hàm số y  f ( x) liên tục

trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”. Chẳng hạn: Nếu hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn  a; b 
và có đạo hàm f   x   0, x  K trên khoảng  a; b  thì hàm số đồng biến trên đoạn  a; b  .
o Nếu f   x   0, x  K ( hoặc f   x   0, x  K ) và f   x   0 chỉ tại một số điểm hữu hạn của

K thì hàm số đồng biến trên khoảng K (hoặc nghịch biến trên khoảng K ).

II. CÁC KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG BỔ TRỢ
1. Lập bảng xét dấu của một biểu thức P( x)
Bước 1. Tìm nghiệm của biểu thức P( x) , hoặc giá trị của x làm biểu thức P( x) khơng xác định.
Bước 2. Sắp xếp các giá trị của x tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.
Bước 3. Sử dụng máy tính tìm dấu của P( x) trên từng khoảng của bảng xét dấu.


Trang 7

Chun đề Hàm số


Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn

/>
2. Một số kiến thức liên quan đến tam thức bậc hai
Cho tam thức g( x)  ax2  bx  c (a  0)




Định lí về dấu của tam thức bậc hai g( x)  ax 2  bx  c ( a  0) :

a  0

 g( x)  0, x    
  0

a  0
 g( x)  0, x    
  0

a  0
 g( x)  0, x    
  0

a  0
 g( x)  0, x    
  0

So sánh các nghiệm x1 , x2 của tam thức bậc hai g( x)  ax 2  bx  c với số 0:
  0

 x1  x2  0   P  0
S  0




  0

 0  x1  x2   P  0
S  0


 x1  0  x2  P  0

So sánh các nghiệm x1 , x2 của tam thức bậc hai g( x)  ax 2  bx  c với số a bất kỳ:
  0

 x2  x1  a   x1  a  .  x2  a   0
 x  x  2a
2
 1

  0

 x1  x2  a   x1  a  .  x2  a   0
x  x  2a
2
 1

   0
 x1  a  x2  
 x1  a  .  x2  a   0

3. Kiến thức liên quan đến xác định tham số m.
 f ( x)  h  m  , x  (a; b)  max f ( x)  h  m
( a ;b )

 f ( x)  h  m , x  (a; b)  min f ( x)  h  m 
( a ;b )

4. Đạo hàm một số hàm số thường gặp

    .x

1. x

    .u

2. u

   e

 1

 1

7. e x
.u

13.  sin x   cos x

x

   ue

8. e u

u

14.  sin u   u.cos u

ln a

15.  cos x    sin x

1
21.  ln x  
x

16.  cos u  u.sin u

u
22.  ln u  
u

3.

 x   2 1 x

9. a x

4.

 u   2uu


10. au  uau ln a

   a

x

1
sin 2 x
u
20.  cot u   
sin 2 u

19.  cot x   

 

 1 
1
5.     2
x
x

11.  log a x  

1
x.ln a

17.  tan x  

1
cos 2 x

 ax  b 
ad  bc
23. 



2
 cx  d   cx  d 

 1 
u
6.     2
u
u

12.  log a u  

u
u.ln a

18.  tan u  

u
cos 2 u

 u  u.v  v.u
24.   
v2
v



Trang 8

Chuyên đề Hàm số

Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn

/>
III. CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1. Xét tính đơn điệu của hàm số y  f ( x ) trên tập xác định
 Phương pháp
Bước 1: Tìm tập xác định D .
Bước 2: Tính đạo hàm y  f ( x) .
Bước 3: Tìm nghiệm f ( x)  0 hoặc những giá trị x làm cho f ( x) không xác định.
Bước 4: Xác định dấu của f ( x) tại các khoảng giá trị vừa tìm được.
Bước 5: Kết luận.
MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA
Bài toán 1: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: y   x 3  6 x 2  9 x  4 .
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định trên D   .

x  1
Ta có: y  3x 2  12 x  9 . Cho y  0  3x 2  12 x  9  0  
.
x  3
Bảng xét dấu của y  :
x
y

3

1



0







0



Kết luận: Dựa vào bảng xét dấu trên, hàm số nghịch biến trên  ; 1 và  3;   , đồng biến
trên  1; 3  .
Bài toán 2: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: y   x 4  4 x 2  3 .
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định trên D   .
Ta có: y  4 x 3  8 x .

x  0
4x  0
x  0
 2

Cho y  0  4 x 3  8 x  0  4 x(  x 2  2)  0   2
.
x  2  0
x  2

 x   2
Bảng xét dấu của y :
x
y

0

 2



0





0

2
0









 



Kết luận: Dựa vào bảng xét dấu trên, hàm số đồng biến trên: ;  2 và 0; 2 , hàm số
nghịch biến trên:



 

2 ; 0 và



2 ;  .



Trang 9

Chuyên đề Hàm số


Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn

/>3  2x
.
x7

Bài toán 3: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: y 
Lời giải:
Ta có: y 

3  2 x 2 x  3

x7
x7

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên: D   \7 .
Ta có: y 

 2  .7  1.3  17
x  7
x  7
2

2

 0, x  D   \7 .

Bảng xét dấu của y :
x
y

7









Kết luận: Dựa vào bảng xét dấu trên, hàm số luôn nghịch biến trên:   ; 7  và  7;   .
Bài toán 4: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: y 

x2  2x  1
.
x2

Lời giải:
Hàm số đã cho xác định trên: D   \2 .
Ta có: y 

 x2  4 x  5

 x  2

Cho y '  0 

2

, x  D .

x2  4 x  5

 x  2

2

 x  5
 0  x2  4 x  5  0  
.
x

1


Bảng xét dấu y :
x
y

5



0



2

1



0







Kết luận: Dựa vào bảng xét dấu, hàm số nghịch biến trên:  ; 5  và  1;   , hàm số đồng
biến trên  5; 2  và  2;1 .
Bài toán 5: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: y   4  3 x  6 x 2  1 .
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định trên D   .
Ta có: y  3 6 x 2  1 

Cho y  0 

6 x  4  3x 
6 x2  1

36 x 2  24 x  3
6x2  1



36 x 2  24 x  3
6x2  1

.


x 

2
 0  36 x  24 x  3  0  
x 




Trang 10

1
2.
1
6

Chuyên đề Hàm số


Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn

/>
Bảng xét dấu của y :
x

1
6



y

0



1
2





0




1

1
Kết luận: Dựa vào bảng xét dấu, hàm số đã cho đồng biến trên  ;  và  ;   , hàm số
6

2

1 1
nghịch biến trên:  ;  .
6 2
Bài toán 6: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: y  x 2  2 x .
Lời giải:

x  0
 Tập xác định: D   ; 0    2;   .
Hàm số đã cho xác định khi: x 2  2 x  0  
x  2
x1
Ta có: y 
, x   ; 0    2;   . Hàm số không có đạo hàm tại: x  0; x  2 .
x2  2x
Cho y  0 

x 1
x2  2x

 0  x 1  0  x  1.

Bảng xét dấu y :
x
y

0



1

2







Kết luận: Dựa vào bảng xét dấu, hàm số nghịch biến trên  ; 0  và đồng biến trên  2;   .
Bài toán 7: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: y  x  sin x , x   0;   .
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định trên đoạn  0;   .
Ta có: y  1  cos x .

 x  0;  
 x  0;  
 x  0;  


 x 0.
Trên đoạn  0;   : y  0  
1  cos x  0
cos x  1
 x  k 2 ,  k   
Bảng xét dấu y :
x
y

0




Kết luận: Dựa vào bảng xét dấu, hàm số đã cho đồng biến trên  0;   .
Bài toán 8: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số: y  2 sin x  cos 2 x , x   0;  
Lời giải:



Trang 11

Chuyên đề Hàm số


Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn

/>
Hàm số đã cho xác định trên đoạn  0;   .
Ta có: y  2 cos x  2 sin 2 x  2 cos x  4 cos x.sin x  2 cos x  1  2 sin x  , x   0;   .


x  2
 x   0;  




Trên đoạn 0;   : y  0    cos x  0   x 
.


6
1


5
  sin x  2

x 
6


Bảng xét dấu của y :
x

0

y







6

2

0



0

5
6


0




 
  5
Kết luận: Dựa vào xét dấu trên, hàm số đồng biến trên  0;  và  ;
 6
2 6


 , hàm số nghịch biến


  
 5 
trên:  ;  và 
;  .
6 2
 6

Bài toán 9: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số: y  x 2  2 x  3 .
Lời giải:

 x  2 x  3
khi x   ; 1   3;  
Ta có: y  x 2  2 x  3   2
  x  2 x  3 khi x   1; 3 

2

TXĐ: D   .

2 x  2
khi x   ; 1   3;  
Tìm y  
.
 2 x  2 khi x   1; 3 
Hàm số không có đạo hàm tại x  1 và x  3 .
Ta lại có: Trên khoảng  1; 3  : y  0  x  1 .
Trên khoảng  ; 1 : y  0 . Trên khoảng  3;   : y  0
Bảng xét dấu y :
x
y

1




3

1


0






Kết luận: Dựa vào bảng xét dấu, hàm số nghịch biến trong các khoảng  ; 1 và  1; 3  , hàm số
đồng biến trong các khoảng  1;1 và  3;   .



Trang 12

Chuyên đề Hàm số


Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn

/>
2. Tìm m để hàm số tăng hoặc giảm trên từng khoảng xác định
 Phương pháp
Nếu y  f  x , m   ax 3  bx 2  cx  d  a  0  , y  f ( x , m)  3a2 x 2  2bx  c có biệt thức 

a  0
o Hàm số đồng biến trên   
  0
a  0
o Hàm số nghịch biến trên   
  0
ad  bc
ax  b
Nếu y  f  x , m  
có y  f   x , m  

2
cx  d
 cx  d 
o Hàm số đồng biến trên D  y  f ( x , m)  0, x  D  ad  bc  0
o Hàm số nghịch biến trên D  y  f ( x , m)  0, x  D  ad  bc  0
MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA
Bài toán 1: Tìm tham số m để hàm số: y  x 3  3 x 2  3( m  2) x  3m  1 đồng biến trên  .
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định trên D   .
Ta có: y  3 x 2  6 x  3  m  2  có   9  9  m  2 

 a  0
3  0

 m  1 .
Hàm số đồng biến trên   
  0
 9  9( m  2)  0
Kết luận: m  1 thì hàm số đồng biến trên  .





Bài toán 2: Tìm tham số m để hàm số: y   x 3  3 x 2  3 m2  1 x  3m2  1 nghịch biến trên  .
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định trên D   .









Ta có: y  3 x 2  6 x  3 m 2  1 có   9  3.3 m 2  1  9 m 2

a0
a  3  0

m0.
Hàm số luôn giảm trên   
2
   0
  9m  0
Kết luận: m  0 thì hàm số nghịch biến trên  .
Bài toán 3: Tìm tham số m để hàm số: y 

1
 3  m  x3   m  3  x2   m  2  x  3 luôn tăng trên 
3

Lời giải:
Hàm số đã cho xác định trên D   .
Xét a  3  m  0  m  3 khi đó a  0 loại m  3 vì hàm số bậc 2 với hệ số a  0 không đồng
biến hoặc không nghịch biến trên  .
Xét a  3  m  0  m  3


Trang 13

Chuyên đề Hàm số


Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn

/>2

Ta có: y   3  m  x 2  2  m  3  x   m  2  có    m  3   3  m m  2   2m2  5m  3 .

m  3
3
a  3  m  0

 3
   m  1 .
Hàm số luôn tăng trên   
2
2
  2m  5m  3  0
 2  m  1
Kết luận: 

3
 m  1 thì hàm số luôn tăng trên  .
2

Bài toán 4: Tìm m để hàm số y 

mx  2
nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
x m1

Lời giải:
Hàm số đã cho xác định trên: D   \m  1 .
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

 y 

m2  m  2
2

 m  1
 0, x  m  1  m2  m  2  0  
.
m  2

 x  m  1
Kết luận: m   ; 1   2;   thì hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.

3. Tìm m để hàm số tăng hay giảm trong khoảng con của 
 Phương pháp
Nếu y  f ( x)  ax 2  bx  c hoặc y  f ( x) là một hàm bất kỳ nào khác, mà ta cần y  f ( x)  0
hay y  f ( x)  0 trên  a , b  hoặc  a , b  (hoặc trên nửa đoạn hay nửa khoảng nào đó).
Trường hợp 1: Tách được tham số m (Phương pháp cô lập tham số)
o Bước 1: Tìm miền xác định của y  f ( x) .
o Bước 2: Độc lập (tách) m (hay biểu thức chứa m ) ra khỏi biến x và chuyển m về một vế.
Đặt vế còn lại là g( x) . Lưu ý khi chuyển vế thành phân thức thì phải để ý điều kiện xác
định của biểu thức để khi xét dấu g( x) ta đưa vào bảng xét dấu g( x) .

o Bước 3: Tính g( x) . Cho g( x)  0 và tìm nghiệm.
o Bước 4: Lập bảng biến thiên của g( x) .
o Bước 5: Kết luận: “Lớn hơn số lớn – Bé hơn số bé”. Nghĩa là: khi ta đặt m  g( x)  1 hoặc
m  g( x)  2  thì dựa vào bảng biến thiên ta sẽ lấy giá trị m  số lớn nhất trong bảng biến

thiên ứng với  1 hoặc m  số nhỏ nhất trong bảng ứng với  2  .
Trường hợp 2: Không tách được tham số m . (Phương pháp delta)
y  f ( x)  ax 2  bx  c

o

  0 : y  f ( x) sẽ cùng dấu với a
 a  0 thì f   x   0, x   nên hàm số đồng biến trên 



Trang 14

Chuyên đề Hàm số


Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn

/>
 Hàm số f  x  đồng biến trên  a; b 
 a  0 thì f   x   0, x   nên hàm số nghịch biến trên 
 Hàm số f  x  nghịch biến trên  a; b  .
  0 : y  f ( x) có 2 nghiệm x1 , x2 và đổi dấu khi qua hai nghiệm.

o

x



f ( x) cùng dấu với a

x1

0

x2

trái dấu với a

0



cùng dấu với a

Lúc đó bài toán đưa về dạng “So sánh hai nghiệm của phương trình bậc hai
g( x)  ax 2  bx  c  0 với 1 số a bất kì “.

  0

x2  x1  a   x1  a  .  x2  a   0

 x1  x2  2 a

  0

x1  x2  a   x1  a  .  x2  a   0

 x1  x2  2a

  0
x1  a  x2  
 x1  a  .  x2  a   0
Nếu f  x  

 d
ax  b
ad  bc
có tập xác định D   \   , y ' 
.
cx  d
( cx  d)2
 c

Tìm điều kiện để hàm số đồng biến hay nghịch biến trên ( x0 ;  ), ( ; x0 ) .

ad  bc  0
ad  bc  0


o Hàm số đồng biến trên ( x0 ; )   d
, trên ( ; x0 )   d
 c  x0
 c  x0



ad  bc  0
ad  bc  0


o Hàm số nghịch biến trên ( x0 ; )   d
, trên ( ; x0 )   d
 c  x0
 c  x0


MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA
Bài toán 1: Tìm tham số m để hàm số: y  x 3  2 mx 2   m  1 x  1 đồng biến trên đoạn  0; 2  .
Lời giải:
Hàm số y  x 3  2 mx 2   m  1 x  1 đồng biến (tăng) trên đoạn  0; 2 
 y  3 x 2  4 mx  m  1  0 ,x   0; 2   3x 2  1  m  4 x  1 , x   0; 2 

m

3x 2  1
, x  0; 2  .
 4x  1

Đặt g  x  

3x2  1
12 x 2  6 x  4
, ta có g( x) 
 0, x   0; 2  .

2
 4 x  1
4
x

1



Bảng biến thiên của g  x 



Trang 15

Chuyên đề Hàm số


Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn

/>
0

x

2

g  x 



11
9

g x

1

Dựa vào bảng biến thiên: m  1 (Vì m  g( x) nên lấy m nhỏ hơn số nhỏ trong bảng biến thiên).
Bài toán 2: Tìm m để hàm số y  x 3  3 x 2   m  1 x  4 m nghịch biến trên khoảng  1; 1
Lời giải:
Hàm số: y  x  3 x   m  1 x  4 m nghịch biến trên khoảng  1;1
3

2

 y  3 x 2  6 x  m  1  0, x   1;1
 m  3 x 2  6 x  1  g  x  , x   1; 1 .

Đặt g  x   3 x 2  6 x  1 . Ta có g  x   6 x  6 . Cho g  x   0  6 x  6  0  x  1 .
Bảng biến thiên:
x

1



g  x 



1

0





2

g x

10

Dựa vào bảng biến thiên, để hàm số nghịch biến trên khoảng  1;1 thì m  10 .





Bài toán 3: Tìm m để hàm số y  x 3   m  1 x 2  2 m 2  3m  2 x  2 m2  m đồng biến trên nửa
khoảng  2;   .
Lời giải:





Ta có: y  3 x  2  m  1 x  2 m  3m  2 .

2

2

Để hàm số đồng biến trên nửa khoảng  2;    y  0, x   2;  
Tam thức bậc hai y có   7 m2  7 m  7  0, m   nên y  0 có hai nghiệm là:

x1 

m  1  
m  1  
; x2 
.
3
3

 x  x1
Vì x1  x2 nên y  0  
.
 x  x2
Suy ra y  0, x   2;    x2  2 

m  1  
 2    5  m
3

m  5
3
m  5


 2  m  .
2  
2
2
2m  m  6  0
   5  m 



Trang 16

Chuyên đề Hàm số


Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn
Vậy 2  m 

/>
3
thỏa yêu cầu bài toán.
2

1
1
Bài toán 4: Tìm m để hàm số: y   x3   m  2  x 2  m  m  3  x  nghịch biến trên  1;   .
3
3

Lời giải:
Hàm số đã cho xác định trên  .

Ta có: y   x 2  2  m  2  x  m  m  3  .
Hàm số nghịch biến trên  1;    y  0, x   1;  
  x 2  2  m  2  x  m  m  3   0, x   1;  
2

Ta có    m  2   m  m  3   4  m .
Trường hợp 1:   0  4  m  0  m  4
Mà a  1  0 nên y  0, x    y  0, x   1;  
Vậy m  4 thỏa mãn.
Trường hợp 2:   0  4  m  0  m  4 . Khi đó y ' có 2 nghiệm x1  x2
x

x1



y



0

x2


0





Dựa vào bảng xét dấu trên, hàm số đã cho nghịch biến trên  1;  

 x  1 x2  1  0
 x x   x1  x2   1  0
 x1  x2  1   1
 1 2
 x1  x2  2  0
 x1  x2  2  0

 x1  x2  2  m  2 
Theo Viet ta có: 
 x1 x2  m  m  3 


5 5
m 
2
 
m  m  3   2  m  2   1  0
m2  5m  5  0
5 5
 

Do đó 
5 5  m 
2
m  2  1
2  m  2   2  0
m 

2


m  3
Vậy m 

5 5
 m  4 thỏa yêu cầu bài toán.
2

Bài toán 5: Tìm tham số m để hàm số: y  x  m cos x đồng biến trên  .
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định trên  .
Ta có: y  1  m sin x .
Hàm số đồng biến trên  y  0 , x    1  m sin x  0, x    m sin x  1, , x  



Với m  0 thì    luôn đúng.


Trang 17

Chuyên đề Hàm số


Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn

/>
1

1
, x    1   0  m  1 .
m
m
1
1
Với m  0 thì    sin x 
, x    1   1  m  0 .
m
m
Vậy: 1  m  1 thỏa yêu cầu bài toán.

Với m  0 thì    sin x 

Bài toán 6: Tìm m để hàm số y 

mx  2
đồng biến trên  2;   .
x  2m

Lời giải:
Hàm số y 

mx  2
2 m2  2
có tập xác định là  \2m , y 
2
x  2m
 x  2m 

2m2  2  0
m2  1

 m 1.
Hàm số đồng biến trên  2;    
2 m  2
m  1
Vậy m  1 thỏa yêu cầu bài toán.
Bài toán 7: Tìm tham số m sao cho hàm số y 
A. m  0 hoặc 1  m  2

tan x  2
đồng biến trên
tan x  m

B. m  0

C. 1  m  2

 
 0; 4  .


D. m  2

( Đề minh họa Kỳ thi THPTQG 2017 của Bộ Giáo Dục & Đào Tạo )
Lời giải:
 
Đặt t  tan x thì với x   0;   t   0;1 .
 4

t2
, t   0;1 , TXĐ:  \m
Hàm số đã cho trở thành y 
tm
m  2
, t   0;1 .
Ta có y 
2
t  m
m  2
m  2  0
m  0

Khi đó điều kiện bài toán  
.
 m  1  
1

m

2

m  (0;1)

 m0


Ta chọn đáp án A.



Trang 18

Chuyên đề Hàm số


Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn

/>
4. Tìm m để hàm số y  ax 3  bx 2  cx  d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) bằng l .
 Phương pháp
Bước 1: Tính y  f ( x) .

a  0
Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến: 
  0
2

Bước 3: Biến đổi x1  x2  l thành  x1  x2   4x1 .x2  l 2

 1 .

 2 .

Bước 4: Sử dụng định lý Viét đưa (2) thành phương trình theo m .
Bước 5: Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.
MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA
Bài toán 1: Tìm m để hàm số: y  x 3  3 x 2  mx  m nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định trên D   .

Ta có: y  3 x 2  6 x  m và    9  3m
o Với    9  3m  0  m  3
Lúc đó y  0, x   , do đó hàm số tăng trên  , không thỏa YCBT.
o Với    9  3m  0  m  3
Khi đó y  0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 (giả sử x1  x2 ) và hàm số nghịch biến trong đoạn
 x1 ; x2  với độ dài l  x1  x2

 x1  x2  2

Theo định lý Vi – ét ta có: 
m
 x1 x2  3


 m  3

Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 .
2
2
4
9
 l  x1  x2  1   x1  x2   12   x1  x2   4 x1 x2  1  4  m  1  m  (thỏa ĐK).
3
4

Vậy m 

9
thỏa yêu cầu bài toán.
4

Bài toán 2: Tìm m để hàm số: y   x 3  x 2   2  m  x  1 đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 2 .
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định trên D   .
y  3 x 2  2 x   2  m  có    5  m .

Nếu    5  m  0  m  5 thì y  0, x   , do đó hàm số tăng trên  , không thỏa YCBT.
Nếu    5  m  0  m  5 . Khi đó y  0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 (giả sử x1  x2 ) và
hàm số nghịch biến trong đoạn  x1 ; x2  với độ dài l  x1  x2 .


Trang 19

Chuyên đề Hàm số


Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn

/>

2
 x1  x2  3
Theo định lý Viét ta có: 
x x  2  m
 1 2
3

 m  5

Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 2

2

 l  x1  x2  2   x1  x2   4
2

  x1  x2   4 x1 x2  4 

Vậy m 

4
2m
14
 4.
 4  m  (thỏa mãn).
9
3
3

14
thỏa yêu cầu bài toán.
3

5. Tìm tập nghiệm của phương trình
 Phương pháp
Phương pháp 1
Bước 1: Đưa phương trình về dạng: f ( x)  k , (1).
Bước 2: Xét hàm số y  f ( x) . Dùng lập luận khẳng định hàm số đồng biến (nghịch biến).
Bước 3: Lúc đó phương trình (1) có nghiệm duy nhất x  x0 ( mà ta nhẩm được).
Phương pháp 2
Bước 1: Đưa phương trình về dạng: f ( x)  g( x) , (1)

Bước 2: Xét hai hàm số y  f ( x) và y  g( x) . Dùng lập luận để khẳng định y  f ( x) là hàm
đồng biến (nghịch biến) và y  g( x) là hàm nghịch biến (đồng biến).
Bước 3: Lúc đó nếu phương trình (1) có nghiệm x  x0 là nghiệm duy nhất.
Phương pháp 3
Bước 1: Đưa phương trình về dạng f (u)  f ( v) , (1)
Bước 2: Xét hàm số : y  f (t ) . Dùng lập luận khẳng định hàm số đồng biến (nghịch biến).
Bước 3: Khi đó từ (1) suy ra : u  v .
MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA
Bài toán 1: Giải phương trình:

4x  1  4x2  1  1

Lời giải:

 4x  1  0
1
x
Điều kiện:  2
2
4 x  1  0
Nhận xét: Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hàm số y  f  x   4 x  1  4 x 2  1
và y  1


Trang 20

Chuyên đề Hàm số


Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn

/>
1

Xét hàm số f  x   4 x  1  4 x 2  1 , tập xác định : D   ,  
2

Đạo hàm f  x  

2
4x  1



4x
4x2  1

 0, x 

1
2

1
1

Suy ra hàm số đồng biến trên  ,   và f    1
2

2
Do đó hàm số có nghiệm duy nhất và đó là x 

Bài toán 2: Giải phương trình:

1
.
2

3  sin x  2  sin x  1 .

Lời giải:
Đặt t  sin x , điều kiện t  1
Khi đó phương trình có dạng :

3  t  2 t  1  3  t  1 2  t

* 

Xét hàm số :


Hàm số f (t )  3  t là hàm đồng biến trên D   1,1



Hàm số g(t )  1  2  t là hàm nghịch biến trên D   1,1

Từ (*) suy ra : f (t )  g(t ) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất
Ta thấy t  1 là nghiệm phương trình  *  , do đó: sin x  1  x 
1
Bài toán 3: Giải phương trình: log 3 ( x  3 x  2  2)   

5


2

 k 2 ,  k   

3 x  x 2 1

2

 2 * 

Lời giải:

x  1
Điều kiện: x2  3x  2  0  
x  2
Đặt u  x 2  3x  2  0  u2  x2  3x  2  3x  x 2  1  1  u2
1
Khi đó : (*)  log 3 (u  2)   
5

1 u2

 2 (**)

1
Xét hàm số: f ( x)  log 3 ( x  2)   
5



Miền xác định: D   0,  



Đạo hàm : f ( x) 

1 x 2

2
1
1
 .2 x.5x .ln 3  0 , x  D  Hàm số tăng trên D
( x  2) ln 3 5

Mặc khác: f (1)  2 . Do đó (**) có dạng : f (u)  f (1)  u  1
Với u  1  x 

3 5
3 5
. Vậy phương trình có nghiệm x 
.
2
2



Trang 21

Chuyên đề Hàm số


Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn

/>
Bài toán 4: Giải phương trình: 2 x 1  2 x

2

x

 ( x  1)2

Lời giải:
Biến đổi phương trình về dạng : 2

x 1

 x  1  2x

2

x

 x2  x (*)

Xét hàm số f ( x)  2t  t


Miền xác định : D  R



Đạo hàm : f (t )  ln 2.2t  1  0 t  D

Suy ra hàm số đồng biến
Từ (*) có dạng f ( x  1)  f ( x 2  x)  x  1  x 2  x  x  1
Vậy x  1 là nghiệm của phương trình .
Bài toán 5: Giải phương trình: e

8 sin x  5

e

4 sin x 1



1
1

8 sin x  5 4 sin x  1

Lời giải:
Tập xác định D   .
Biến đổi phương trình về dạng: e
Xét hàm số f (t )  e t 

8 sin x  5



1
1
4 sin x 1
(*)
e

8 sin x  5
4 sin x  1

1
t



Miền xác định : D  R



Đạo hàm : f ( x)  e t 

1
 0, x  D . Suy ra hàm số đồng biến.
t2

Từ (*) có dạng : f ( 8 sin x  5 )  f ( 4 sin x  1 )  8 sin x  5  4 sin x  1

 sin x  1
8 sin x  5  4 sin x  1


sin x  1
8
sin
x

5

1

4
sin
x


2



x   k 2

2


 x   k 2  x  5  k 2

6

6

Bài toán 6: Giải phương trình: 2 x 3  x2  3 x  1  2  3 x  1 3 x  1

 k  

 1

Lời giải:
Điều kiện: x 

1
.
3

Ta có:  1  2 x3  x 2  1  2



3

 

3x  1 



2

3x  1  1  f  x   f





3x  1 .

Xét hàm số f  t   2t 3  t 2  1 liên tục trên khoảng  0;   .
Ta có: f   t   6t 2  2t  0, t   0;  
 Hàm số f  t  đồng biến trên  0;   .



Trang 22

Chuyên đề Hàm số


Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn

 f x  f



/>

3 5 1

x 
2

2
3

3x  1  x  3 x  1  x  3x  1 

3 5 1

x 
2
3




Bài toán 7: Giải phương trình: 2x3  7 x2  5x  4  2  3x  1

N
.

N 

 3x  1  2 

Lời giải:
Điều kiện: x 

1
.
3

2 x 3  7 x 2  5 x  4  2 y 3
Đặt y  3x  1  0 . Khi đó:  2   
2
3x  1  y
3

 3
.
4

2

Cộng vế theo vế của  3  cho  4  , ta được: 2  x  1   x  1  2 y 3  y 2  f  x  1  f  y  .
Xét hàm số: f  t   2t 3  t 2 liên tục trên khoảng  0;   .
f   t   6t 2  2t  0, t   0;    Hàm số f  t  đồng biến trên  0;   .
 f  x  1  f  y   x  1  y .

Thay y  x  1 vào  3  , ta được: 2 x3  6 x 2  6 x  2  2 x3  7 x 2  5x  4  x 2  x  2  0 .

 Phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài toán 8: Giải phương trình: x 3  4 x 2  5 x  6  3 7 x 2  9 x  4 .
Lời giải:
Tập xác định: D   .
Đặt y  3 7 x 2  9 x  4 . Khi đó, phương trình đã cho được viết lại thành h

 x 3  4 x 2  5x  6  y
 x 3  4 x 2  5x  6  y
 x3  4 x 2  5x  6  y
 2
 3

 3
 a
3
3
3
2
 y  y   x  1  x  1  
7 x  9 x  4  y
 y  y  x  3x  4 x  2
Khi đó,    có dạng: f  y   f  x  1

 .

Xét hàm số: f  t   t 3  t , t   .
Ta có: f   t   3t 2  1  0, t    f  t  đồng biến trên  .
Lúc này,    y  x  1 .

x  5
 x 3  4 x 2  5x  6  y
 x3  4 x2  6 x  5  0


Và hệ phương trình  a   
.
 x  1  5
 y  x  1
 y  x  1

2



Bài toán 9: Giải phương trình: 3 x 2  9 x 2  3





 4x  2 



1  x  x2  1  0

 1 .

Lời giải:
Tập xác định: D   .


Trang 23

Chuyên đề Hàm số


Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn

/>

Lúc này phương trình  1   3 x   2 



 3x 

2



 3    2 x  1  2 



 2 x  1

2


3


 2 .

Đặt u  3 x ; v  2 x  1 với u, v  0 .

 



Khi đó ta có  2   u 2  u2  3  v 2  v 2  3



3 .

Xét hàm: f  t   2t  t 4  3t 2 liên tục trên khoảng  0;   .
Ta có: f (t )  2 

2t 3  3t
t 4  3t 2

 0; t  0  f  t  đồng biến trên  0;   .

1
Khi đó phương trình  3   f  u   f  v   u  v  3 x  2 x  1  x   .
5
1
Vậy x   là nghiệm của phương trình.
5

6. Tìm tập nghiệm của bất phương trình
 Phương pháp
Phương pháp 1
Bước 1: Đưa phương trình về dạng : f ( x)  k (1).
Bước 2: Xét hàm số y  f ( x) . Dùng lập luận khẳng định hàm số đồng biến (nghịch biến).
Bước 3: Từ (1) ta thấy f ( x)  f ( )
Bước 4: Dựa vào định nghĩa về đơn điệu suy ra x   nếu hàm số đồng biến hay x   nếu
hàm số nghịch biến.
Phương pháp 2
Bước 1: Đưa phương trình về dạng : f (u)  f ( v) (1)
Bước 2: Xét hàm số y  f ( x) . Dùng lập luận khẳng định hàm số đồng biến (nghịch biến).

Bước 3: Khi đó từ (1) suy ra: u  v nếu đồng biến , u  v nếu nghịch biến.
MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA
Bài toán 1: Giải bất phương trình:

5x  1  x  3  4 .

Lời giải:
Điều kiện: x 

1
.
5

1

Xét hàm số: y  5 x  1  x  3 liên tục trên nửa khoảng  ;   .
5

Ta có: f   x  

5
2 5x  1



1
2 x3

 0, x 

1
1

 f  x  là hàm số đồng biến trên  ;   .
5
5


Mặt khác: f  1  4 . Khi đó bất phương trình đã cho  f  x   f  1  x  1 .
Vậy x  1 là nghiệm của bất phương trình đã cho.


Trang 24

Chuyên đề Hàm số


Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn

/>x  9  2 x  4  5 (1)

Bài toán 2: Giải bất phương trình:

Lời giải:

x  9  0
 x  2
Điều kiện: 
2 x  4  0
Xét hàm số y  f ( x)  x  9  2 x  4 liên tục trên nửa khoảng 

 2;   .
Ta có: f '( x) 

1
2 x9



1
2x  4

 0, x  2  f  x  là hàm số đồng biến trên 
 2;   .

Mặt khác: f (0)  5 ,do đó :


Nếu x  0 thì f ( x)  f (0)  x  9  2 x  4  5 , nên x  0 là nghiệm



Nếu 2  x  0 thì f ( x)  f (5)  x  9  2 x  4  5 nên 2  x  0 không là nghiêm.

Vậy với x  0 là nghiệm của (1).

5

Bài toán 3: Giải bất phương trình: 3 3  2 x 

2x  1

 2x  6

 1

Lời giải:
Điều kiện:

1
3
x .
2
2

5

Bất phương trình:  1  3 3  2 x 
Xét hàm số: f ( x)  3 3  2 x 
Ta có: y  f  x  

3
3  2x



2x  1

  .

5

 1 3
liên tục trên nửa khoảng  ;  .
2x  1
 2 2
5



 2x  6  f  x   g  x 

2x  1



3

 1 3
 1 3
 0 ; x   ;   f  x  nghịch biến trên  ;  .
 2 2
 2 2

Hàm số g  x   2 x  6 là hàm số đồng biến trên  và f  1  g  1  8 .
o Nếu x  1  f  x   g  1  8  g  1  g  x     đúng.
o Nếu x  1  f  x   f  1  8  g  1  g  x     vô nghiệm.
Kết hợp với điều kiện ta chọn nghiệm: 1  x 

Bài toán 4: Giải bất phương trình:

3
.
2

2 x 3  3 x 2  6 x  16  2 3  4  x

1 .

Lời giải:
3
2
2 x  3x  6 x  16  0
 2  x  4 .
Điều kiện: 
4  x  0

Lúc đó:  1  2 x 3  3 x 2  6 x  16  4  x  2 3  f  x   2 3

2 .

Xét hàm số: f  x   2 x 3  3 x 2  6 x  16  4  x liên tục trên đoạn  2; 4  .


Trang 25

Chuyên đề Hàm số