ks hsg -de toan 9-lan 2 06-07

Phòng giáo dục vĩnh tờng
Đề khảo sát đội tuyển hsg lớp 9 lần ii
Năm học: 2006-2007
Môn: Toán
Câu1:
a.Tính giá trị biểu thức
B=
33
1745712162017457121620
++
b.Chứng minh rằng số x sau là một số hữu tỷ:
x=
33
27
125
93
27
125
93
++++
Câu 2: Cho đa thức bậc bốn P(x) thoả mãn:
P(-1)=0
P(x) P(x-1) = x(x+1)(2x+1)
a. Xác định P(x)
b. Suy ra giá trị của tổng:
S= 1.2.3 + 2.3.5 + + n(n+1)(2n+1) với n là số nguyên d ơng.
Câu 3:
a. Hai số dơng x, y thoả mãn
6
32
=+

yx
.Tìm giá trị lớn nhất của tổng x + y.
b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: x
2
+ xy + y
2
.Trong đó x, y là các số thực
thoả mãn 2 điều kiện
32

yx
và
13

yx
.
Câu 4: Chứng minh rằng không thể chia 6 số tự nhiên liên tiếp thành 2 nhóm mà tích
các phần tử trong mỗi nhóm bằng nhau.
Câu 5: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. AA, BB, CC là các đờng cao tơng ứng với
các cạnh AB, BC, CA của

ABC. Gọi H là trực tâm của

ABC, O là tâm đờng tròn
ngoại tiếp

ABC. Các đờng cao AA, BB, CC cắt đờng tròn tâm O tại A, B, C.
Chứng minh rằng:
a. H là tâm đờng tròn nội tiếp của

ABC
b. S

ABC = (1 cos
2
A cos
2
B cos
2
C).S

ABC
c. Tìm tập hợp các điểm M của

ABC sao cho S

MAB = S

MBC.
CC TI LIU KHC VUI LềNG VO WEBSITE:
Phòng giáo dục vĩnh tờng
Đáp án chấm khảo sát đội tuyển
Môn:Toán 9
Câu 1: (2 điểm)
a.Đặt b
1
=
3
17457121620
+

; b
2
=
3
17457121620

0.25
suy ra b
1
*b
2
= 48
Khi đó: B = b
1
+ b
2

B
3
= (b
1
+ b
2
)
3
= b
1
3
+ b
2

3
+ 3b
1
b
2
(b
1
+ b
2
)
= 3240 +144 B

B
3
144B -3240 = 0

(B 18)(B
2
+ 18B + 180) = 0

B 18 = 0

B = 18
Vậy B = 18
b. Đặt x
1
=
3
27
125

93
++
; x
2
=
3
27
125
93
++
Suy ra: x
1
*x
2
=5/3
Khi đó x= x
1
- x
2

x
3
=(x
1
x
2
)
3
= x
1

3
- x
2
3
3x
1
x
2
(x
1
- x
2
)

x
3
+ 5x 6 = 0

(x 1)(x
2
+ x + 6) = 0

x 1= 0

x=1
Vậy x = 1 là số hữu tỷ
0.25
0.25
0.25
0.5

0.5
Câu 2: (2 điểm)
Đặt P (x) P(x-1) = x( x+ 1)(2x+1) (1)
a.Thay x lần lợt bằng -1; 0; 1; 2 vào (1) ta đợc
P(-1) P(-2) = 0

P(-2)=0
P(0) P(-1) = 0

P(0) = 0
P(1)-P(0) = 1.2.3

P(1)=6
P(2) P(1) = 2.3.5

P(2) = 36
Đặt P(x) = b
0
+b
1
(x+1) + b
2
(x+1)x + b
3
(x+1)x(x-1) +b
4
(x+1)x(x-1)(x-2)
(2)
Thay x lần lợt bằng-1; 0; 1; 2; -2 vào (2) ta đợc:
0= b

0
0=b
1


b
1
=0
6= b
2
.2.1

b
2
=3
36 = 3.3.2 + b
3
.3.2.1

b
3
=3
0= 3.(-1).(-2)= 3 .(-1).(-2).(-3) + b
4
.(-1).(-2).(-3).(-4)

b
4
=1/2
Vậy đa thức cần tìm có dạng:

P(x)=3(x+1)x + 3(x+1)x(x-1) + 1/2(x+1)x(x-1)(x-2)

P(x) = 3(x+1)x
2
+ 1/2(x+1)x(x-1)(x-2)

P(x) = (x+1)x.[3x + 1/2 (x-1)(x-2)]

P(x) = 1/2 (x+1).x.[6x + (x-1)(x-2)]

P(x)= 1/2(x+1).x.(x+1)(x+2)

P(x) = 1/2x.(x+1)
2
(x+2)
b.Từ (1) bằng cách thay lần lợt x=1; 2; ; n ta đ ợc
0.25
0.25
0.5
0.25
0.25
P(1) P(0)=1.2.3
P(2)-P(1)=2.3.5

P(n)-P(n-1)=n.(n+1)(2n+1)
Cộng theo vế các đẳng thức trên ta đợc:
P(n)-P(0)= 1.2.3 + 2.3.5+ + n(n+1)(2n+1)

S=p(n) = 1/2n(n+1)
2

(n+2)
0.25
0.25
Câu 3: (2,25 điểm)
a. ta thấy:
y
y
x
x
.
3
.
2
32
+=+
Do vậy theo Bđt Bunhiacopxki ta suy ra:
)(6))(
32
()32(
2
yxyx
yx
+=+++
6
625
)32(
6
1
2
+

=++
yx
Dấu bằng chỉ xảy ra khi
6
63
;
6
62
0,
32
6
32
+
=
+
=









>
=
=+
yx
yx

yx
yx
Vậy Min(x+y)=
6
625
+
khi x=
6
63
;
6
62
+
=
+
y
b.Từ
32

yx
và
13

yx
Nhân 2 vế bđt với 3 và 2 ta có:
936

yx
và
13

yx
(1)
32

yx
và
262

yx
(2)
áp dụng bđt
BABA
++
(đẳng thức chỉ xảy ra khi A, B cùng dấu)
Từ (1) và (2) ta đợc
102336)23()36(5
++=
yyxyyxx
2

x

15262)26()2(5
++=
yxyyxxyyxy
Vậy
7124
2222
=++++++

yxyxyxyx
Dấu đẳng thức xảy ra khi
2
=
x
và
1
=
y
Trong đó x và y cùng dấu hay (x,y) bằng (2;1) hoặc (-2;-1)
Khi đó x
2
+xy+y
2
=7
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
A
Câu 4 (1 điểm)
Gọi 6 số đó là: a+1; a+2; ; a+5; a+6
Giả sử có thể chia đợc 6 số đó thành 2 nhóm và tích các phần tử trong mỗi
nhóm đều bằng nhau
Gọi A là tích các số của nhóm 1; B là tích các số của nhóm 2. Suy ra A=B

Từ đó tích 6 số đó bằng A
2
là số chính phơng.
*Nếu cả 6 số a+1; a+2; ; a+6 đều không chia hết cho 7
Suy ra: (a+1).(a+2) (a+6)

1.2.3.4.5.6 (mod 7)

(a+1).(a+2) (a+6)

-1 (mod 7)
Nhng A
2


-1 (mod 7) nên loại
*Nếu có 1 trong 6 số đó chia hết cho 7
Do (a+1); (a+6) là 6 số tự nhiên liên tiếp nên trong 6 số đó chỉ có 1 số
chia hết cho 7 suy ra tích của 1 nhóm chia hết cho 7 và một nhóm tích
không chia hết cho 7
Mặt khác: tích các số trong nhóm 1 và 2 bằng nhau
Điều này vô lý.
Vậy không thể chia 6 số tự nhiên liên tiếp thành 2 nhóm mà tích các phần
tử trong mỗi nhóm bằng nhau.
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu 5 (2,75 điểm)
a.Chứng minh đợc

21
AA
=
suy ra AH là phân giác góc CAB.
Tơng tự: BH; CH là phân giác của các góc ABC; ACB.
Từ đó suy ra đợc H là trực tâm tam giá ABC
b.Do H là trực tâm

ABC và

ABC nhọn nên H nằm trong

ABC
S

ABC = S

ABC- S

ABC-S

BCA-S

CBA
ABCS
ACBS
ABCS
ABCS
ABCS
CABS

ABCS
CBAS








=



''''''''
1
Ta có

ABC

ABC ( góc A chung;

ABC=

ABC (cùng bằng
0.75
0.25
0.25
B
C

B
B
O
A
A
C
C
B
M
C
K
H
I
K
H

CBC)
A
AB
AB
ABCS
CABS
22
'''
cos)(
==



Tơng tự:

B
ABCS
BCAS
2
''
cos
=


;
C
ABCS
ACBS
2
''
cos
=


Vậy ta có
CBA
ABCS
CBAS
222
'''
coscoscos1
=

hay
ABCSCBACBAS
=
).coscoscos1(
222'''
c.

*Thuận:

MAB;

MBC có chung MB và S

MAB=S

MBC nên các đờng cao
vẽ từ A và C đễn MB bằng nhau.
Do đó M

(d) qua B // AC hoặc M

(d) chứa trung tuyến kẻ từ B của

ABC
Giới hạn: M chuyển động trên (d) và (d)
*Đảo: Lấy M bất kỳ

(d) hoặc (d)
+ Nếu M

(d), vẽ AH

(d); CK

(d) suy ra AH //CK
Ta có: AH // CK; (d) //AC suy ra AH = CK
Nên S

MAB = S

MBC
+ Nếu M

(d)
Vẽ AH

(d); CK

(d) suy ra AH // CK
''
'
'
1 CKAH
IC
AI
CK
AH
===
Suy ra S

MAB = S

MBC
*Kết luận: Tập hợp các điểm M là đờng thẳng (d) ((d) đi qua B và // với
AC ) và đờng thẳng (d) ((d) chứa trung tuyến BI của

ABC)
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
A
d
d