ks hsg -toan 9 lan 1 06-07

Phòng GD Vĩnh Tờng
Đề khảo sát đội tuyển HSG lớp 9 lần 1
năm học 2006-2007
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1:
a, Tìm các số tự nhiên a, b, c thoả mãn hệ phơng trình:






+=
=
)(2
3
2
333
cba
abccba
b, Giải hệ phơng trình:





=
=+
xyyzx
xyz

4121
21
2
2
Câu 2:
a, Cho a

R thoả mãn: a
5
a
3
+ a = 2
Chứng minh rằng: 3 < a
6
< 4
b, Tìm các số nguyên x, y, z thoả mãn bất đẳng thức:
x
2
+ y
2
+ z
2


xy + 3y + 2z 4
Câu 3:
a,Tìm x, y thoả mãn các phơng trình sau:
121
20072006
=+

xx
và x
2
+ y
2
2x = 11
b, Tìm tất cả các số nguyên dơng n sao cho:
n
4
+ n
3
+1 là số chính phơng
Câu 4:
a, Cho đờng tròn tâm O bán kính r nội tiếp trong
ABC

. Đờng tròn (O, r) tiếp
xúc với BC, CA, AB tại M, N, P. Gọi p =
2
1
chu vi
ABC

.
Biết
=++
3
4
3
4

3
4
NA
CN
MC
BM
BP
AP
p. Tính các góc của
ABC

.
b, Với 2007 đờng tròn đồng tâm O. Qua B nằm ngoài 2007 đờng tròn đó, kẻ 2 *
2007 tiếp tuyến đến 2007 đờng tròn. Chứng minh 2 x 2007 tiếp điểm trên cùng thuộc
một đờng tròn.
Câu 5: Chứng minh rằng: Nếu a, b, c > 0 thì:
3
959595
969696
abc
cba
cba

++
++
Phòng GD vĩnh tờng
Đáp án chấm khảo sát đội tuyển hsg lớp 9 lần I
Năm học 2006-2007
Môn: Toán
Câu 1: (2.5 điểm)

a,Phân tích pt (1) thành nhân tử , ta đợc
(a b c)(a
2
+ b
2
+ c
2
+ab bc + ac) = 0
Hay
2
1
(a b c) [(a + b )
2
+(a + c )
2
+ (b - c )
2
] = 0

(a b c) = 0 hoặc (a + b )
2
+(a + c )
2
+ (b - c )
2
= 0
*Nếu a b c = 0 thì a = b + c thay vào pt (2) ta có: a
2
= 2a

a(a 2) = 0. Do đó: a = 0 hoặc a = 2
+Với a = 0 thì b + c = 0 mà b, c

N nên b = c = 0
+Với a = 2 thì b + c = 2 mà b, c

N nên b = 0; c = 2 hoặc
b = 2; c = 0 hoặc b = c = 1
*Nếu (a + b )
2
+(a + c )
2
+ (b - c )
2
= 0 thì a= -b; a = -c và b = c
mà a, b, c

N nên a = b = c = 0
Vậy các số tự nhiên a, b, c cần tìm là: a = b = c = 0;
a= 2, b = 2, c = 0; a = 2, b = 0, c = 2 và a = 2, b = c =1
b, Từ pt (1) ta suy ra: xy

4
1
Từ pt (2) ta có: xy
4
1

Vậy xy =

4
1
. Từ đó ta có hệ







=
=
=










=
=+
=
1
0
4
1

01
11
4
1
22
2
x
z
xy
x
z
xy
Vậy nghiệm (x, y, z) là (1;
4
1
; 0) và (-1; -
4
1
; 0)
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
Câu 2: (2.5 điểm)
a, Từ ĐK bài toán suy ra a

0 nên ta có:

a
6
+ 1 = (a
2
+ 1)(a
4
a
2
+1)

)(
1
35
2
aaa
a
a
+
+
=

00)
1
(2)
1
(2
2
>>+=
+
= a

a
a
a
a
Do:
3412
1
66
++
aaa
a
0.25 đ
Dấu = xảy ra

a = 1 (loại)
Vậy
3
6
>
a
(1)
Mặt khác, ta có: 2 + a
3
= a
5
+ a

2
1
1

2
2
2
3
>+=+
a
a
a
(do a
1

)
Do đó: a
3
< 2

a
6
<4 (2)
Từ (1), (2) suy ra đpcm.
b, Ta có:
423
222
++++
zyxyzyx

0423
222
+++
zyxyzyx

0)1()1
2
(3)
2
(
222
++
z
yy
x
(*)
Từ (*) thấy VT

0
Do đó, ta có:





=
=
=

=
=
=
1
2
1
01
01
2
0
2
z
y
x
z
y
y
x
0.5 đ
0.25 đ
0.5 đ
0.5 đ
0.5 đ
Câu 3 ( 2 điểm)
a, Giải pt (1) ta có:

+ Nếu x < 1 loại do VT > 1
+ Nếu x > 2 loại do VT > 1
+ Nếu 1 < x < 2 thì

1)2()1(21
2007
2006
=++<+
xxxx
loại
*Với x = 1; x = 2 thoả mãn.
Vậy pt (1) có 2 nghiệm là x = 1 hoặc x = 2
+ Nếu x = 1 thì pt (2)
1212
2
==
yy
+ Nếu x = 2 thì pt (2)
1111
2
==
yy
*Vậy các (x,y) thoả mãn cả 2 pt (1) và (2) là:
(1;
12
); (1; -
12
); (2;
11
); (2; -

11
)
b, Giả sử n
4
+n
3
+1 là số chính phơng
Vì
2234
)(1 nnn
=++
nên ta có:

2242234
2)(1 kknnknnn
++=+=++
(Với k là 1 số nguyên dơng nào đó)


01)2(
22
=
kknn
Đặc biệt
22
1 nk

Do đó: k
2
= 1 hoặc

1
22

kn
*Nếu k
2
= 1 thì k = 1; n
2
(n 2) = o ta có n = 2 ( thoả mãn)
*Khi k

1 thì
222
1 nkk
>
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
B
C
M
P
A
N

nk
>

suy ra n 2 k < 0 (Mâu thuẫn với ĐK
01)2(
22
=
kknn
Vậy n = 2 thoả mãn ĐK bài toán.
0.5 đ
Câu 4 (2 điểm)
áp dụng Bđt CôSi ta có:
APBP
BP
AP
BPBPBP
BP
AP
4*4
4
3
3
4
3
4
=+++
(1)
Tơng tự

MBMC
MC
BM
43

3
4
+
(2)

CNNA
NA
CN
43
3
4
+
(3)
Cộng vế với vế của (1); (2); (3) ta đợc:
)(4)(3
3
4
3
4
3
4
NCMBPANAMCBP
NA
CN
MC
BM
BP
AP
+++++++
pNAMCPB

NA
CN
MC
BM
BP
AP
=++++
)(
3
4
3
4
3
4
Dấu = xảy ra tơng đơng với xảy ra các dấu bằng ở (1); (2); (3) tức là AP
= BP; MB = MC; CN= NA hay AB = BC = AC hay góc A, góc B, góc C
bằng nhau và bằng 60
0
.
b, BP, BM là tiếp tuyến của (O)
Suy ra
==
PMBOPBMO ,90
0
đờng tròn đờng kính BO.
Nh vậy 2 * 2007 tiếp điểm ( do 2*2007 tiếp tuyến kẻ từ B đến 2007 đờng
tròn) đềo thuộc đờng tròn đờng kính OB. Vậy 2*2007 tiếp điểm thuộc đ-
ờng tròn đờng kính BO.
0.25 đ
0.25 đ

0.25 đ
0.5 đ
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
Câu 5 (1 điểm)
Do vai trò bình đẳng của các số a, b, c nên ta có thể giả sử
cba
<
0
959595
cba

áp dụng Bđt Trê B Sép ta có:
3.(a.a
95
+ b.b
95
+ c.c
95
)
))((
959595
cbacba
++++
3
959595
969696
cba
cba

cba
++

++
++

(1)
áp dụng Bđt Cô Si ta có:
O

3
3
abc
cba
≥
++
(2)
Tõ (1), (2) suy ra §pcm.
CÁC TÀI LIỆU KHÁC VUI LÒNG VÀO WEBSITE: