D01 các bài toán tổng hợp về hàm số muc do 3

Câu 15:

[2D1-9.1-3] (Toán học và Tuổi trẻ - Tháng 4 - 2018 - BTN)

là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số
dài đoạn
A. .

ngắn nhất bằng
B. .

và

. Khi đó độ

C. .
Lời giải

D.

.

Chọn C

Lấy

,

thuộc hai nhánh của

(

)

.

Ta có:
Suy ra

.

Dấu bằng xảy ra khi
Vậy
Câu 32:

.

.

[2D1-9.1-3] (Toán học và Tuổi trẻ - Tháng 4 - 2018 - BTN) Cho

hàm số
A.

,

, với

.

B. .

. Giá trị

C.

bằng?

.

D.

Lời giải
Chọn C
Xét với

.

Ta có
.
Lấy đạo hàm hai vế ta được:
.

.


Vậy

.

Câu 14: [2D1-9.1-3] (THPT Kim Liên - HN - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số

liên tục trên

và

xác định và

có bảng biến thiên như hình bên.

Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.

.

B. Hàm số đồng biến trên khoảng

.

C. Đường thẳng
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
D. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng .
Lời giải
Chọn A
Theo bảng biến thiên hàm số nghịch biến trên khoảng

.

Câu 50: [2D1-9.1-3] (THPT Thăng Long – Hà Nội – Lần 1 – 2018) Cho hàm số

.

Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đặt cực tiểu tại

.

B. Tập xác định của hàm số là

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng

.

.

D. Hàm số đồng biến trên khoảng

.

Lời giải
Chọn D
TXĐ:

.
,

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng
Câu 25:

.

.

[2D1-9.1-3] (THPT Chuyên Thái Nguyên - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Số các giá trị nguyên của tham số
thuộc đoạn

A.

.

để phương trình

B.

có nghiệm là ?

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C
Điều kiện:
Chia cả hai vế phương trình cho

.
ta có
.

.


Đặt

ta được

Xét hàm số

trên

ta có

.

Bảng biến thiên:

Suy ra

, do

không phải nghiệm của phương trình

Phương trình

.

.

Để phương trình đã cho có nghiệm

Xét hàm số

điều kiện là

có nghiệm

.

trên

Bảng biến thiên:

Từ bảng suy ra

mà

là số nguyên thuộc đoạn

giá trị nguyên của

nên có tất cả

.

Câu 48: [2D1-9.1-3] (SGD Bà Rịa - Vũng Tàu - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Tập hợp tất cả các giá trị
của tham số
(với
A.

.

để đồ thị hàm số
). Tính giá trị của
B.

.

có điểm chung với trục hoành là
.
C.

.

D.

.


Lời giải
Chọn B
Tập xác định của hàm số :

.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số

và trục hoành là
.

Đặt

,

, phương trình

trở thành

.

Đồ thị hàm số đã cho có điểm chung với trục hoành khi và chỉ khi phương trình

có nghiệm

.
Xét hàm số

với

.

Ta có

.
,

,

Do đó

Bởi

.
và

vậy,

.

phương

trình

có

nghiệm

khi

và

chỉ

khi

.
Từ đó suy ra
Câu 12:

,

, nên

.

[2D1-9.1-3] (Đoàn Trí Dũng - Lần 7 - 2017 - 2018) Cho hàm số
đồng thời có đồ thị hàm số
của hàm số

A.

trên

B.

liên tục và có đạo hàm trên

như hình vẽ bên. Tìm tổng của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
?

C.

D.

Lời giải
Chọn C
Để giải bài toán này ta cần lập được bảng biến thiên của hàm số

.

Cách 1:

.

Cách 2: Đây là mẹo vặt, chỉ sử dụng với mục đích tham khảo thêm:
Giả sử

với

Khi đó

.

nên

.
Từ hai cách xét đạo hàm trên ta suy ra bảng biến thiên như sau:

Như vậy giá trị nhỏ nhất là
hoặc

. Ta chú ý rằng:

Vậy

Câu 15:

nhưng giá trị lớn nhất là
.

.

[2D1-9.1-3] (Chuyên Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần 2 – 2018 – BTN) Cho hàm số
có đồ thị trên đoạn
đúng?

như hình vẽ bên. Mệnh đề nào trong 4 mệnh đề sau đây là


A. Phương trình

có 3 nghiệm trên đoạn

B.

.

.

C.

.

D.

.
Lời giải

Chọn B

Nhìn vào đồ thị ta thấy đồ thị cắt
Ta thấy

tại

điểm duy nhất

Đáp án A sai.

là khoảng nghịch biến của hàm số
cũng

là

khoảng

nghịch

biến

của

, tương tự ta có
hàm

số

Đáp án B đúng.
Đáp án C sai.
Đáp án D sai.

Câu 17: [2D1-9.1-3](THPT Hồng Bàng - Hải Phòng - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hàm số
. Biết rằng hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục
có diện
tích phần nằm phía trên trục
và phần nằm phía dưới trục
bằng nhau. Giá trị của
là
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C
Ta có:

;

.

;
Để có diện tích phần trên và phần dưới thì hàm số phải có hai điểm cực trị
Mặt khác
.
.

.


Hàm số bậc ba có đồ thị nhận điểm uốn là trục đối xứng. Do đó, để diện tích hai phần bằng
nhau thì điểm uốn phải nằm trên trục hoành.
Vậy
Câu 1650:

(thỏa

).

[2D1-9.1-3] [THPT CHUYÊN HÀ TĨNH - 2017] Cho hàm số

. Gọi
là khoảng cách từ giao điểm
Giá trị lớn nhất có thể đạt được là:
A.
.
B.
.

tiệm cận của

C.
Lời giải

có đồ thị là

đến một tiếp tuyến bất kỳ của
.

D.

.

.

Chọn A
Tiệm cận đứng là

; tiệm cận ngang

Gọi

;

nên

.

nên phương trình tiếp tuyến của

là:

.

.

Câu 1658:

[2D1-9.1-3] [CHUYÊN SƠN LA - 2017] Cho hàm số

. Gọi

cách từ giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị đến một tiếp tuyến của
nhất mà có thể đạt được là:
A.

.

B.

.

C.

.

D.

Chọn B
Ta có:

. Gọi

Gọi

là giao của hai tiệm cận

.

.

Khi đó tiếp tuyến tại

. Giá trị lớn
.

Lời giải

có phương trình:
.
.

là khoảng


Khi đó ta có:

.

.
Áp dụng BĐT:

.

Tacó:
.
Vậy giá trị lớn nhất mà

có thể đạt được là:

.

Câu 1727:
[2D1-9.1-3] [THPT Hà Huy Tập-2017] Cho hàm số
hình vẽ bên.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
.
B.
C.
.
D.
Lời giải
Chọn D
Nhìn vào hướng đồ thị suy ra
loại luôn
Với
.

có đồ thị như

.
.

.

.
Hàm số có hai cực trị nên phương trình
Chọn luôn

có hai nghiệm phân biệt

.

.

Câu 1731:
[2D1-9.1-3] [THPT chuyên Lam Sơn lần 2-2017] Cho hàm số
bảng biến thiên như sau:

có

–∞+∞00

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
.
B.

.

C.
Lời giải

Chọn B
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình
dương.

.

D.

.

có hai nghiệm phân biệt


và hệ số

Từ đó suy ra

do

.

.

Câu 47: [2D1-9.1-3](THPT HAU LOC 2_THANH HOA_LAN2_2018_BTN_6ID_HDG) Cho hàm
số

có đồ thị như hình vẽ.

Xét hàm số
(I)

. Trong các mệnh đề dưới đây:

đồng biến trên

(II) hàm số
(III)

và

.

có bốn điểm cực trị.
.

(IV) phương trình
Số mệnh đề đúng là
A. .

có ba nghiệm.
B.

.

C. .
Lời giải

D.

.

Chọn C
Ta có

.

Suy ra
Bảng biến thiên của hàm số

.
là


Từ bảng biến thiên của hàm số

ta suy ra các mệnh đề (II), (III), (IV) đúng.

Câu 49: [2D1-9.1-3] [SGD_QUANG NINH_2018_BTN_6ID_HDG] Cho hàm số

có đồ thị

như hình vẽ

Xét hàm số
để

với

,

là tham số thực. Điều kiện cần và đủ

là

A.

.

B.

.

C.

Lời giải
Chọn A.
Ta có

;

Ta thấy

,
nên hàm số

đồng biến trên
Do đó, để

,
thì

.

.

.

D.

.


Câu 40: [2D1-9.1-3] [SDG PHU THO_2018_6ID_HDG] Biết
thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số
nhất. Tính
A.

,

là hai điểm

sao cho độ dài đoạn thẳng

nhỏ

.

.

B.

C.

.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Gọi
là điểm thuộc thuộc nhánh trái của đồ thị hàm số, nghĩa là
, suy ra
Tương tự gọi

với số

, đặt

.

là điểm thuộc nhánh phải, nghĩa là

suy ra

với số

, đặt

,

.

Vậy

.

Xét hàm
.
Dùng bất đẳng thức Cauchy, ta có
.
Vậy

. Dấu đẳng thức xảy ra khi vả chỉ khi
.

Suy ra

và

Vậy
Câu 4:

.
.

[2D1-9.1-3] (THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội - Lần I - 2017 - 2018) Tập nghiệm của bất
phương trình
A.

.

là
B.

.

C.
Lời giải

Chọn C
Bất phương trình đã cho có dạng
trong đó
Xét

,

.
;

.

D.

.

Ta có

.

Do đó
Câu 47:

đồng biến trên

. Từ đó

.

[2D1-9.1-3] (PTNK Cơ Sở 2 - TPHCM - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm

số

có đạo hàm
trên đoạn

liên tục trên đoạn

và đồ thị hàm số

được cho như hình bên.

Tìm mệnh đề đúng
A.

.

B.

.

D.

.
C.
.
Lời giải
Chọn C
Ta có

, do đó

.

, do đó
, do đó
Câu 37:

[2D1-9.1-3] (THPT Quỳnh Lưu 1 - Nghệ An - Lần 2 - 2017 - 2018

- BTN) Cho hàm số

có đạo hàm

nhiêu giá trị nguyên của tham số
hàm số
A.

bằng

.

. Có bao

trong đoạn

để số điểm cực trị của

:
B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải

Chọn A

Nếu

thì hàm số

đó, hàm số
Nếu

chỉ có
thì hàm số

cực trị. Do đó,
Khi

và

có hai điểm cực trị là
cực trị. Do đó,

và

. Khi

không thỏa yêu cầu đề bài.

không có cực trị. Khi đó, hàm số

chỉ có

không thỏa yêu cầu đề bài.
thì hàm số

có hai điểm cực trị là

và

.


Để hàm số

có

trái dấu
Vì
Câu 44:

điểm cực trị thì hàm số

phải có hai điểm cực trị

.
và

nên

nhận các giá trị ,

,

,

,

.

[2D1-9.1-3] (THPT Quỳnh Lưu 1 - Nghệ An - Lần 2 - 2017 - 2018

- BTN) Gọi

lần lượt là điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số
. Tính

A.

.

.
B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn C
Đặt

. Ta có

Ta có
.
.
.
Câu 45: [2D1-9.1-3] (THPT Quỳnh Lưu 1 - Nghệ An - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN)
Cho hàm số

. Hàm số

có đồ thị như hình vẽ. Hàm số

nghịch biến trên khoảng ?

A.

.

B.

.

C.

.

D.

Lời giải
Chọn A
Ta có

với
.

Hàm số

nghịch biến khi
.

Vậy hàm số

nghịch biến trên

và

.

.


Câu 48:

[2D1-9.1-3] (THPT Quỳnh Lưu 1 - Nghệ An - Lần 2 - 2017 - 2018

- BTN) Cho hàm số

thỏa mãn điều kiện

c

và

. Biết rằng tổng
và
A.

với

là phân số tối giản. Mệnh đề nào sau đây đúng?

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải

Chọn D
Ta có
.
Vì

.

Vậy

.

Do đó

.

Vậy

;

. Do đó

.

Câu 29: [2D1-9.1-3] (Tổng Hợp Đề SGD Nam Định - 2017 - 2018 - BTN) Biết rằng bất phương trình
có
, với
A.

.

nghiệm

. Tính giá trị của
B.

.

khi

và

D.

.

.

C.

.

Hướng dẫn giải
Chọn D
Điều kiện

.

 Xét hàm số

trên đoạn

Ta có :

.

,
,

Suy ra
 Đặt

.

.
.
,

. Bất phương trình trở thành :
(Do

 Xét hàm số

trên đoạn

nên
.

).

chỉ

khi


Có

,

.

,

. Do đó,

.

Suy ra bất phương trình đã cho có nghiệm khi
Do đó,
Vậy

,

hay

.

.

.

Câu 34: [2D1-9.1-3] (Tổng Hợp Đề SGD Nam Định - 2017 - 2018 - BTN) Cần phải làm cái cửa sổ
mà phía trên là hình bán nguyệt, phía dưới là hình chữ nhật, có chu vi là mét ( chính là chu
vi hình bán nguyệt cộng với chu vi hình chữ nhật trừ đi đường kính của hình bán nguyệt). Gọi
là đường kính của hình bán nguyệt. Hãy xác định để diện tích cửa sổ là lớn nhất.

A.

.

B.

.

C.
Hướng dẫn giải

Chọn D

Đặt

.

.

D.

.


Chu vi cửa sổ là

.

Diện tích cửa sổ là

.

có đồ thị là một Parabol với bề lõm quay xuống và có hoành độ đỉnh là
Do đó diện tích cửa sổ lớn nhất khi

.

.

Câu 45: [2D1-9.1-3] (Tổng Hợp Đề SGD Nam Định - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số
tục trên

. Biết rằng hàm số

liên

có đồ thị như hình vẽ. Hàm số

nghịch

biến trên khoảng nào sau đây?

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Hướng dẫn giải
Chọn C
Xét hàm số

Ta có

,

.

Bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta có hàm số nghịch biến trên khoảng
Câu 34:

[2D1-9.1-3]
liên tục trên

.

(Chuyên Quang Trung - BP - Lần 4 - 2017 - 2018) Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
có nghiệm

để phương trình


A. 5

B. 2

C. 4
Lời giải

D. 6

Chọn D
Nhận thấy hàm số
Đặt

là hàm số đồng biến trên
.

Có :
Vậy phương trình có nghiệm

Vì

.

Vậy có 6 số nguyên thỏa yêu cầu bài toán .
Câu 50:

[2D1-9.1-3] (Sở Phú Thọ - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hàm số
,( ,

,

,

,

,

như hình vẽ dưới đây. Biết
bằng

. Tiếp tuyến của

) có đồ thị

. Đồ thị của hàm số

cắt trục tung tại điểm có tung độ

tại giao điểm của

với trục hoành có phương

trình là

A.
Chọn C

.

B.

.
C.
Lời giải

.

D.

.


Xét hàm số

có

.

Ta có đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
. Từ đồ thị

nhận đường thẳng

đứng nên

nên
làm tiệm cận

.

Mặt khác ta lại có đồ thị

đi qua điểm

nên

.
Vậy

.

Đồ thị

cắt trục

tại điểm

và

Vậy phương trình tiếp tuyến của

.

tại giao điểm của

và trục

là

.
Câu 42: [2D1-9.1-3](Sở Tiền Giang - 2018 - BTN) Cho hàm số
. Gọi
giác

,

,

là ba điểm cực trị của

,

và

có đồ thị
lần lượt là phần diện tích của tam

phía trên và phía dưới trục hoành. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số

sao cho

?
A.

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn B

.
Ta có
Cho

.
.

Do
nên (1) luôn có hai nghiệm phân biệt khác
hàm số đã cho luôn có ba điểm cực trị.

với mọi

. Suy ra


Giả sử ba điểm cực trị của

Gọi

,

là

,

lần lượt là giao điểm của

,

,

.

với trục hoành.

Ta có

(do
là trung điểm đoạn
.

Vậy có hai giá trị thực của tham số

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

(do

,

,

)
thẳng hàng)