Bài tập tổng hợp về hàm số

Bài giảng ôn thi vào Đại học - Các bài toán về hàm số


ThS. Phạm Hồng Phong – Giáo viên luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
97

BÀI TẬP TỔNG HP
Bài 1. Cho


1 x
x 1
y f x


 
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị


C
của hàm số nói trên.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của


C
tại điểm có hồnh độ bằng
3

.
3. Viết phương trình tiếp tuyến của



C
tại điểm có tung độ bằng
3

.
4. Viết phương trình tiếp tuyến của


C
tại những điểm có tung độ bằng hồnh độ.
5. Viết phương trình đường thẳng đi qua


A 1;3
, tiếp xúc với


C
.
6. Chứng minh


C
khơng có tiếp tuyến song song với đường thẳng d :
y x 1
 
.
7. Tìm những tiếp tuyến của



C
song song với đường thẳng
1
:
y x
d 2
  
.
8. Trong những điểm có hồnh độ thuộc đoạn


0;1
, tìm điểm mà tiếp tuyến tại đó có hệ số
góc lớn nhất, nhỏ nhất.
9. Tìm những tiếp tuyến của


C
tạo với với đường thẳng
d : 3x y 0
 
một góc
o
45
.
10. Chứng minh



C
khơng có tiếp tuyến đi qua giao điểm của các đường tiệm cận.
11. Chứng minh tiếp tuyến bất kỳ của


C
chắn hai đường tiệm cận một tam giác có diện
tích khơng đổi.
12. Chứng minh tiếp tuyến bất kỳ của


C

cắt hai tiệm cận tại hai điểm nhận tiếp điểm làm
trung điểm.
13. Tìm tiếp tuyến của


C
chắn hai tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất.
14. Tìm hai điểm
A
,
B
thuộc hai nhánh của


C
sao cho độ dài đoạn thẳng
AB

đạt giá trị
nhỏ nhất.
15. Biện luận theo
m
số nghiệm của phương trình
1 x m 1 x
  
.
16. Biện luận theo
m
số nghiệm của phương trình


1 m m 1 x
   .
17. Biện luận theo
m
số nghiệm của phương trình
1 x m 1 x
  
.Khi phương trình này
có bốn nghiệm, hãy tính tổng bốn nghiệm.
18. Tìm
k
để đường thẳng
d :

y kx k 1
  
cắt



C
tại hai điểm phân biệt. Khi
d
cắt


C

tại hai điểm phân biệt, gọi hai điểm đó là
A
,
B
, tìm
k
để độ dài đoạn thẳng
AB
đạt giá
trị nhỏ nhất.
Bài giảng ôn thi vào Đại học - Các bài toán về hàm số


ThS. Phạm Hồng Phong – Giáo viên luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
98

19. Tìm trên


C

cặp điểm đối xứng nhau qua điểm


M 0; 2

.
20. Tìm trên


C
cặp điểm đối xứng nhau qua đường thẳng
d : y 2x 3
  
.
Bài 2. Cho
3 2
y f(x) x 3x mx 1
    

m
(C )
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi
m 3

.
2) Tìm các giá trị của
m
để
f(x)

đồng biến trên

.
3) Tìm các giá trị của
m
để
f(x)
có cực đại, cực tiểu. Viết phương trình đường thẳng đi
qua các điểm cực đại, cực tiểu của
m
(C )
.
4) Với mỗi giá trị của
m
làm cho
f(x)
có cực đại, cực tiểu, gọi
m
d
là đường thẳng đi
qua các điểm cực đại cực tiểu của
m
(C )
. Tìm điểm cố định của họ dường thẳng
m
d
.
5) Tìm các giá trị của
m
để

f(x)
có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm
cực đại, cực tiểu của
m
(C )
song song với đường thẳng
4x y 0
 
.
6) Chứng minh khi
f(x)
có cực đại, cực tiểu thì đường thẳng đi qua các điểm cực đại,
cực tiểu
m
(C )
ln đi qua điểm uốn của
m
(C )
.
7) Chứng minh
m
(C )
cắt đường thẳng
d : y 1

tại một điểm cố định. Tìm
m
để ngồi
điểm cố định nói trên,
m

(C )
còn cắt
d
tại hai điểm phân biệt nữa và tiếp tuyến với
m
(C )

tại hai điểm này vng góc với nhau.
8) Tìm
m
để
m
(C )
tiếp xúc với đường thẳng
y 1

.
9) Chứng minh khi
f(x)
có cực đại, cực tiểu thì tiếp tuyến nằm ngang của
m
(C )
là tiếp
tuyến đi tại điểm cực trị của
m
(C )
.
10) Tìm
m
để trên

m
(C )
có cặp điểm đối xứng nhau qua
1
I ,4
2
 

 
 
.
Bài 3. Cho
3 2
y f(x) 2x 3(2m 1)x 6m(m 1)x 1
      

m
(C )

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi
m 0

.
2) Tìm
m
để
m
(C )
cắt đường thẳng
y 1


tại ba điểm phân biệt có hồnh độ
1
x
,
2
x
,
3
x

thỏa mãn
 
2
1 2 3
x x x 36
   .
3) Chứng minh với mọi
m
,
m
(C )
ln đi qua một điểm cố định.
4) Chứng minh với mọi
m
,
f(x)
ln có cực đại, cực tiểu.
Bài giảng ôn thi vào Đại học - Các bài toán về hàm số

ThS. Phạm Hồng Phong – Giáo viên luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
99

5) Chứng minh với mọi
m
, khoảng cách giữa các điểm cực đại, cực tiểu của
m
(C )
ln
khơng đổi.
6) Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của
m
(C )
.
7) Chứng minh đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của
m
(C )
ln có phương
khơng đổi.
8) Tìm
m
để
f(x)
đồng biến trên khoảng
(2, )

.
9) Với mọi
m

, gọi
m
d
là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của
m
(C )
. Chứng minh
m
d
có
hệ số góc khơng đổi.
10) Tìm
m
để
m
(C )
có cặp điểm đối xứng nhau qua
M(0,4)
.
Bài 4. Cho
4 2
y f(x) 2x 4x
   ,
(C)
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
(C)
.
2) Tìm những tiếp tuyến có hệ số góc bằng
3


của
(C)
.
3) Tìm những tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ của
(C)
.
4) Tìm những tiếp tuyến đi qua
M(1,8)
.
5) Chứng minh hệ số góc của tiếp tuyến của
(C)
có thể nhận mọi giá trị thực.
6) Tìm trên
(C)
cặp điểm đối xứng với nhau qua
1
M , 1
2
 

 
 
.
7) Tìm trên
(C)
điểm mà khoảng cách từ đó đến
M(1, 3)

đạt giá trị nhỏ nhất.

8) Tìm
m
để phương trình
2 2
x x 2 m
 
có
6
nghiệm phân biệt. Khi phương trình này có
6
nghiệm phân biệt, hãy tính tổng
6
nghiệm ấy.
9) Chứng minh rẳng với mọi
m 0

, phương trình
2
m
| x |
x 2


ln có
2
nghiệm phân biệt.
10) Cho
3 2
m
(C ) :y 2x mx mx

    . Tìm những giá trị của
m
để
m
(C )
cắt
(C)
tại
4

điểm phân biệt mà các hồnh độ
1
x
,
2
x
,
3
x
,
4
x
của chúng thỏa mãn
2 2 2 2
1 2 3 4
x x x x 4
   
.