D01 các bài toán tổng hợp về hàm số muc do 4

Câu 48.

[2D1-9.1-4] (THPT Kinh Môn 2 - Hải Dương - 2018 - BTN) Gọi

đồ thị hàm số
tại

và

tại điểm có tung độ dương, đồng thời

sao cho độ dài

nhỏ nhất. Khi đó

bằng bao nhiêu?
A.
.

B.

là tiếp tuyến của

cắt hai tiệm cận của

lần lượt

tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C
; gọi điểm

.

Phương trình tiếp tuyến:

.

Ta có tiệm cận đứng:

và tiệm cận ngang:

nên tọa độ điểm

.

là nghiệm của hệ:

nên tọa độ điểm

là nghiệm của hệ:

;
min bằng
Suy ra

.

. Vì

.

,
nên ta có phương trình
:
nên tọa độ điểm
là nghiệm của hệ:

.

.
nên tọa độ điểm

là nghiệm của hệ:
.

Vậy

.

Câu 33: [2D1-9.1-4] (THPT Kiến An - HP - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Gọi
,

là điểm di động trên

;

song song với trục tung đồng thời tiếp tuyến tại
thẳng

. Khi

di chuyển trên

thì

là đồ thị của hàm số

là các đường thẳng đi qua

sao cho

là phân giác của góc tạo bởi hai đường
luôn đi qua điểm cố định nào dưới đây?


A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Gọi tọa độ điểm

là:

.

Phương trình đường thẳng

có dạng:

Phương trình đường thẳng

là:

.
.

Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng

là:

hoặc

hoặc

.

Mặt khác tiếp tuyến tại

là phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng

nên:
(*).

Thay (*) vào phương trình đường thẳng
+) Với

ta có:

ta có:

.
+) Với

ta có:

.
Do đó phương trình đường thẳng
Gọi

:

.

là tọa độ điểm cố định mà

luôn đi qua ta có:

.

.

Vậy

luôn đi qua điểm cố định

.

Câu 46. [2D1-9.1-4] (SỞ GD VÀ ĐT THANH HÓA-2018) Một cái ao hình

, ở giữa ao có


một mảnh vườn hình tròn có bán kính

. Người ta muốn bắc một câu cầu từ bờ

của ao đến

vườn. Tính gần đúng độ dài tối thiếu của cây cầu biết:
- Hai bờ
và
nằm trên hai đường thẳng vuông góc với nhau, hai đường thẳng này cắt nhau tại
điểm
;
- Bờ
là một phần của một parabol có đỉnh là điểm
và có trục đối xứng là đường thẳng
;
- Độ dài đoạn
và
lần lượt là
m và
m;
- Tâm của mảnh vườn lần lượt cách đường thẳng
và
lần lượt
m và m.

A.

m.

B.

m.

C.

m.

D.

m.

Lời giải
:
Chọn A

Gán trục tọa độ

sao cho

cho đơn vị là

.

Khi đó mảnh vườn hình tròn có phương trình
Bờ

là một phần của Parabol

Vậy bài toán trở thành tìm

có tâm
ứng với

nhỏ nhất với

Đặt trường hợp khi đã xác định được điểm
;
; thẳng hàng.
Bây giờ, ta sẽ xác định điểm

để $IN$ nhỏ nhất

.
thì

, vậy $MN$ nhỏ nhất khi


Xét

trên
là nghiệm duy nhất và

Ta có

;

;

Vậy giá trị nhỏ nhất của

.

trên

gần bằng $7,68$ khi

Vậy

m

Câu 37: [2D1-9.1-4]

[THPT

TRẦN

m.

QUỐC

TUẤN

-

có đồ thị
thẳng

cắt đồ thị

1-

2018]

Cho

hàm

và đường thẳng

tại ba điểm phân biệt có hoành độ

của biểu thức
A.

Lần

số

. Đường

. Tìm giá trị lớn nhất

.
.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng

Để đường thẳng

cắt đồ thị

và đồ thị

tại ba điểm phân biệt

là:

có ba nghiệm phân biệt

có hai nghiệm phân biệt khác
.
Khi đó

cắt đồ thị

tại ba điểm phân biệt có hoành độ

hai nghiệm của phương trình

. Theo định lý Vi - et, ta có:

, giả sử

,

là

.

Vậy

Đặt:

trên

Vậy

.

,

.

Câu 44: [2D1-9.1-4] (THPT Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số
có đạo hàm
khoảng nào?

. Khi đó hàm số

nghịch biến trên


A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B
Ta có

, hay

Mặt khác

.

nên

Do đó

.
.

Ta có bảng biến thiên sau

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số

nghịch biến trên khoảng

và

.

Câu 41: [2D1-9.1-4](THPT Yên Lạc_Trần Phú - Vĩnh Phúc - Lần 4 - 2018 - BTN) Cho hàm số
có đạo hàm là hàm số
hình vẽ bên dưới. Hàm số

A.

.

B.

trên

. Biết rằng hàm số

nghịch biến trên khoảng nào?

.

C.
Lời giải

Chọn B

có đồ thị như

.

D.

.


Từ đồ thị hàm số
cách tịnh tiến xuống dưới
Suy ra đồ thị hàm số
sang trái
Do đó hàm số

ta suy ra đồ thị hàm số

(đường màu đỏ) bằng

đơn vị.
(đường màu xanh) bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số
đơn vị.

nghịch biến trên khoảng

.

Câu 46:
[2D1-9.1-4] (THPT Chu Văn An - Hà Nội - Lần 1 - 2017 - 2018 BTN) Hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số
.

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số
có
A.

điểm cực trị ?
B.

C.
Lời giải

Chọn C
+ Đồ thị của hàm số
sau:
Tịnh tiến
dưới)
-

để hàm số

D.

được suy ra từ đồ thị

ban đầu như

sang phải một đơn vị, sau đó tịnh tiến lên trên (hay xuống

đơn vị. Ta được đồ thị

Phần đồ thị

đồ thị của hàm số

.

nằm dưới trục hoành, lấy đối xứng qua trục
.

ta được


Ta được bảng biến thiên của của hàm số

Để hàm số

có
phải cắt trục

như sau

điểm cực trị thì đồ thị của hàm số
tại

hoặc

+ TH1: Tịnh tiến đồ thị

giao điểm.
lên trên . Khi đó

.
+ TH2: Tịnh tiến đồ thị

xuống dưới . Khi đó

.
Vậy có ba giá trị
nguyên dương.
Câu 31: [2D1-9.1-4] (SGD Bắc Ninh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Có bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số
để hàm số
có 5 điểm cực trị?
A.

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn C
Xét hàm số

.

Ta có:

.

Yêu cầu bài toán

phương trình

có ba nghiệm phân biệt

nghiệm phân biệt khác
Vì
Câu 41:

nguyên và

phương trình

có hai

.
nên

.

[2D1-9.1-4] (THPT Phan Đăng Lưu - Huế - Lần I - 2017 - 2018) Một người cần đi từ khách
sạn
bên bờ biển đến hòn đảo . Biết rằng khoảng cách từ đảo
đến bờ biển là
,
khoảng cách từ khách sạn
đến điểm
trên bờ gần đảo
nhất là
. Người đó có thể
đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy (như hình vẽ bên). Biết kinh phí đi đường
thủy là
, đi đường bộ là
. Hỏi người đó phải đi đường bộ một khoảng
bao nhiêu để kinh phí nhỏ nhất? (

,

)


A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B
Đặt

,

Tổng kinh phí đi từ

.
đến

là

.

.
.

.
Bảng biến thiên

Câu 76: [2D1-9.1-4] [CHUYÊN THÁI BÌNH – L4] Phương trình
nhiêu nghiệm thực trong
A. vô nghiệm.
B.
Chọn D
Ta có hàm số
Xét hàm số
Ta có

có bao

?
.

C.
Lời giải

.

tuần hoàn với chu kỳ
trên

.

D.

.

.

Do vậy trên

,

.
;

Bảng biến thiên:

Vậy trên

phương trình

Ta có

, nên trên

phân biệt là

phương trình

có ba nghiệm

.

Suy ra trên
Câu 40:

có đúng ba nghiệm phân biệt.

phương trình có đúng

nghiệm.

[2D1-9.1-4] (PTNK Cơ Sở 2 - TPHCM - 2017 - 2018 - BTN) Cho
. Phương trình

là
A.

.

B.

.

có số nghiệm thực
C. .
Lời giải

D.

.

Chọn A
Đặt

.

Khi đó

trở thành:

.

Vì

;

;

Xét phương trình
Ta có
x

1
+

0

–

0

1

+∞
+
+∞

y
–∞

;

;

là pt hoành độ giao điểm của ...

–∞

y'

;

0

Dựa vào bảng biến thiên, ta có

.


+ Với

, ta có d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt, nên phương trình có

3 nghiệm.
+ Với

, ta có d cắt (C) tại 1 điểm, nên phương trình có 1 nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.
Câu 41: [2D1-9.1-4] (THPT Quỳnh Lưu 1 - Nghệ An - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Có
bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình
thỏa mãn
A.

có nghiệm

?

.

B.

.

C.Vô số. D. .

Lời giải
Chọn A
Đặt

, với

thì

.

Phương trình đã cho trở thành
Đặt

.

.

Khi đó ta được

Xét hàm số

liên tục trên

có nên hàm số đồng biến.

Do đó
Xét hàm số
có

trên khoảng
;

(vì

.
).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình

Vậy có hai giá trị nguyên của
Câu 43:

[2D1-9.1-4]

có nghiệm khi .

thỏa yêu cầu bài toán.

(Chuyên Quang Trung - BP - Lần 4 - 2017 - 2018) Cho hàm số

có đồ thị
tiệm cận ngang của
tròn nội tiếp tam giác
A.

. Một tiếp tuyến bất kỳ với
lần lượt tại

và

, biết

cắt đường tiệm cận đứng và đường
. Giá trị lớn nhất của bán kính đường

là
B.

C.

D.


Lời giải
Chọn B
Đồ thị

có tiệm cận đứng

, tiệm cận ngang

.

tại điểm có hoành độ

là

.
Phương trình tiếp tuyến của

,

.
Tọa độ điểm
Tam giác
Gọi

vuông tại

,

.

có

.

là nửa chu vi tam giác

. Ta có

.
Đẳng thức xảy ra khi

hay

Câu 41:
[2D1-9.1-4] (THPT Phan Chu Trinh - ĐăkLăk - 2017 - 2018 - BTN)
Cho cấp số nhân
thỏa mãn
và hàm số
sao cho
A.

. Giá trị nhỏ nhất của để
B.
.
C.
.

Lời giải

.

Chọn A
Xét hàm số
Có

.
,

.

Mặt khác, ta có
Đặt

.
.

Ta có:

.

Nếu
Nếu
Suy ra

bằng:
D.
.

vô nghiệm.
.
.

Khi đó
Vậy giá trị nhỏ nhất của

.
là

.