Một số phương pháp so sánh phân số

đề tài sáng kiến kinh nghiệm
Phòng giáo dục-Đào tạovĩnh linh
Tr ờng THCS Cửa Tùng
***o0o***
Sáng kiến kinh nghiệm
Một số phơng pháp so sánh
hai phân số
Tác giả: Nguyễn Đăng ánh
Tổ : TOáN
Nguyễn Đăng ánh - Trờng THCS Cửa Tùng
đề tài sáng kiến kinh nghiệm
a/ đặt vấn đề:
I/ Lý do chọn đề tài:
Ngày nay với sự đổi mới chơng trình sách giáo khoa và phơng pháp dạy học
ngày càng đợc phát triển không ngừng thì đòi hỏi mỗi giáo viên chúng ta cần
phải thực sự phải đổi mới phơng pháp dạy thật triệt để. Nhiệm vụ của giáo dục
phổ thông là đào tạo học sinh trở thành những ngời lao động mới, phát triển
toàn diện, năng động sáng tạo đáp ứng yêu cầu của xã hội. Trong đó dạy-học
là hoạt động trung tâm đặc trng của nhà trờng, là con đờng cơ bản chủ yếu
nhất để tiến hành giáo dục toàn diện. Quá trình dạy học là quá trình hoạt động
thống nhất của giáo viên và học sinh. Giáo viên giử vai trò chủ đạo, hớng dẩn
tổ chức điều khiển, cổ vũ cho hoạt động, còn học sinh có vai trò chủ động: tích
cực, tự giác, độc lập, sáng tạo, tự tổ chức, tự điều chỉnh. Bên cạnh việc đổi mới
phơng pháp dạy học, ngời dạy cần cũng cố cho mình khối lợng kiến thức một
cách có hệ thống theo các chuyên đề.
Chuyên đề so sánh hai phân số học sinh đã đợc học ở trờng Tiểu học, song
chỉ đợc giới hạn trong tập hợp số tự nhiên(N). Lên lớp 6 học sinh đợc học lại
phép toán so sánh hai phân số nhng không phải giới hạn trên tập hợp số tự
nhiên N mà đợc phát triển mở rộng trên tập hợp các số nguyên Z.
Trong quá trình dạy học ở trờng THCS tôi nhận thấy các phơng pháp so
sánh hai phân số có những tiện ích:

1. Học sinh xác định có thể sử dụng phơng pháp nào để so sánh hai phân
số.
2. Học sinh có thể sử dụng các phơng pháp so sánh hai phân số trên phân
thức đại số.
3. Giải toán so sánh hai phân số góp phần vào phát huy độc lập sáng tạo
cho học sinh trong học tập.
4. Đối với giáo viên các phơng pháp so sánh phân số có thể hổ trợ đắc lực
giúp giáo viên tiết kiệm thời gian khi làm bài toán so sánh hai phân số.
Tôi nghĩ rằng vì yêu cầu và các tiện ích trên và chắc đang còn nhiều nữa, là
một giáo viên dạy Toán tại trờng THCS Cửa Tùng tôi luôn trăn trở làm thế nào
để nâng cao chất lợng giảng dạy học sinh đại trà nói chung và ngày càng nâng
cao chất lợng học sinh giỏi. Muốn vậy tôi nghĩ rằng ngời thầy cần tìm tòi
ngiên cứu, tích cực kiểm tra và theo giỏi sát sao việc học tập của học sinh. Từ
đó uốn nắn và giải đáp những thắc mắc cho học sinh. Đồng thời ngời thầy phải
hệ thống kiến thức, phân loại bài tập hình thành phơng pháp và kỷ năng giải
toán cho học sinh.
II/ Phạm vi đề tài:
Trong đề tài này tôi xin đề cập đến vấn đề Một số phơng pháp so sánh hai
phân số nhằm rèn luyện kỷ năng so sánh hai phân số cho học sinh trung học cơ
sở.
III/ Đối t ợng nghiên cứu và ph ơng pháp tiến hành
Nguyễn Đăng ánh - Trờng THCS Cửa Tùng
đề tài sáng kiến kinh nghiệm
Đề tài đợc áp dụng cho học sinh lớp 6 năm học 2005-2006 và 2006-2007.
Đề tài thực hiện trong các giờ học. Đánh giá hiệu quả của đề tài thông qua tỉ lệ
học sinh hiểu bài nâng cao chất lợng bộ môn Toán.
b/ giải quyết vấn đề:
I.Nhận xét chung:
Những bài toán so sánh phân số trong một số tài liệu đòi hỏi học sinh phải
có kiến thức tổng hợp và kỷ năng nhất định, cho nên khi học sinh gặp các dạng

toán này thờng gặp rất nhiều khó khăn vì vậy các em tiếp thu chậm hiệu quả
học tập thấp mặt khác các kiến thức và kỷ năng biến đổi của các em còn hạn
chế, vì vậy các em có thể khó tiếp cạnh ngay.
Vậy vấn đề đặt ra là ngời thầy cần dạy chuyên đề so sánh hai phân số nh thế
nào để các em nắm đợc bài có hiệu quả cao. Tôi xin nêu ra một số biện pháp
mà tôi đã áp dụng qua thực tiển và đã có những kết quả nhất định.
II. Biện pháp thực hiện:
Muốn học sinh làm đợc các bài tập so sánh hai phân số thì trớc hết giáo
viên phải chia nhỏ yêu cầu thành các dạng bài tập riêng. Mỗi dạng học sinh đ-
ợc nắm chắc kiến thức, phơng pháp và kỹ năng làm bài. Đối với các kiến thức
học sinh đã biết thì giáo viên cần kiên trì, bề bỉ ôn tập, bổ sung và giải đáp v-
ớng mắc và khó khăn cho học sinh. Các bài toán đa ra từ dể đến khó, từ đơn
giản đến phức tạp khi đó học sinh mới hiểu bài, làm đợc bài thì mới hứng thú
tích cực học tập. Học sinh đợc học theo các trình tự sau:
Phần i kiến thức cơ bản
1/ So sánh hai phân số cùng mẫu:
- Đây là kiến thức học sinh đã đợc học ở trờng Tiểu học, nhng chỉ xét các
phân số có tử và mẫu là những số tự nhiên. Bây giờ ta xét trên tập hợp số
nguyên Z.
Quy tắc: Trong hai phân số có cùng một mẫu dơng, phân số nào có tử lớn
hơn thì lớn hơn.
Tổng quát:
m
a
;
m
b
( a, b, m

Z, m > 0 ).

-Nếu a > b thì
m
a
>
m
b
.
-Nếu a < b thì
m
a
<
m
b
.
VD: a)
5
1
5
2
<

(Vì -2 < 1)
b)
7
12
7
3

>
( Vì 3 > -12)

2/ So sánh hai phân số không cùng mẫu:
Nguyễn Đăng ánh - Trờng THCS Cửa Tùng
đề tài sáng kiến kinh nghiệm
Quy tắc: Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dới dạng
hai phân số có cùng một mẫu dơng rồi so sánh các tử với nhau : Phân số nào
có tử lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
3/ Một số ph ơng pháp khác so sánh hai phân số :
a) Cho hai phân số
b
a
và
d
c
( a, b, c, d

Z ; b > 0; d > 0 )
ad > bc
b
a
>
d
c
ad < bc
b
a
<
d
c
.
Thật vây: - Nếu ad > bc thì

d
c
b
a
bd
bc
bd
ad
>=>>
.
- Nếu
b
a
>
d
c
thì
bcad
bd
bc
bd
ad
>>
.
Suy ra: ad > bc
b
a
>
d
c

b) Trong hai phân số có tử và mẫu đều dơng, nếu hai tử số bằng nhau thì phân
số nào có mẫu nhỏ hơn phân số đó sẻ lớn hơn và ngợc lại.
Cho a, m, n

N* m < n
m
a
>
n
a
.
Thật vậy: - Nếu m < n thì a.m < a.n =>
m
a
n
a
nm
na
nm
ma
<<
.
.
.
.
hay
m
a
>
n

a
.
- Nếu
m
a
>
n
a
thì
nm
nm
<>
11
.
Suy ra: m < n
m
a
>
n
a
.
Ví dụ: Cho hai phân số
b
a
và
d
c
cùng dấu. CMR nếu
b
a

>
d
c
thì
a
b
<
c
d
.
C/m: Bao giờ ta cũng viết đợc hai phân số đã cho có cùng mẫu dơng.
Vì
b
a
>
d
c
nên ad > bc hay bc < ad suy ra
a
b
<
c
d
.
c) Để so sánh hai phân số ngoài cách quy đồng mẫu hoặc tử ( cách so sánh
hai "tích chéo" thực chất chính là quy đồng mẫu), trong một số trờng hợp cụ
thể, tùy theo đặc điểm của các phân số, ta còn có thể so sánh bằng một số ph-
ơng pháp khác. Tính chất bắc cầu của thứ tự thờng đợc sử dụng trong đó phát
hiện ra số trung gian để làm cầu nối là vấn đề quan trọng.
1. Dùng số 1 làm số trung gian.

a) Nếu
b
a
> 1 và
d
c
< 1 thì
b
a
>
d
c
.
b) Nếu
b
a
= 1 + M ;
d
c
= 1 + N
M > N thì
b
a
>
d
c
; M < N thì
b
a
<

d
c
.
Nguyễn Đăng ánh - Trờng THCS Cửa Tùng
đề tài sáng kiến kinh nghiệm
M và N theo thứ tự gọi là " phần thừa" so với 1 của hai phân số đã cho .
Nếu hai phân số có "phần thừa" so với 1 khác nhau, phân số nào có
"phần thừa" lớn hơn thì lớn hơn.
Ví dụ: So sánh hai phân số:
76
77
và
83
84
.
Ta có:
76
77
= 1 +
76
1
;
83
84
= 1 +
83
1
.
Vì
76

1
>
83
1
nên
76
77
>
83
84
.
c) Nếu
b
a
= 1 - M ;
d
c
= 1 - N
M > N thì
b
a
<
d
c
.
M và N theo thứ tự là " phần thiếu" hay " phần bù" tới đơn vị tới đơn vị của
hai phân số đã cho.
Nếu hai phân số có "phần bù" tới đơn vị khác nhau, phân số nào có "phần
bù" lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn.
Ví dụ: So sánh hai phân số :

43
42
và
59
58
.
Ta có:
43
42
= 1 -
43
1
;
59
58
= 1 -
59
1
.
Vì
43
1
>
59
1
nên
43
42
<
59

58
.
2. Dùng một phân số làm trung gian.
Ví dụ 1: So sánh
31
18
và
37
15
.
Giải: Xét phân số trung gian
37
18
( Phân số này có tử là tử của phân số thứ
nhất, còn mẫu là mẫu của phân số thứ hai).
Ta thấy:
31
18
>
37
18
;
37
15
<
37
18
.
Suy ra:
31

18
>
37
15
( tính chất bắc cầu).
Nhận xét: - Ta cũng có thể lấy phân số
31
15
làm phân số trung gian.
- Trong hai phân số phân số nào vừa có tử lớn hơn, vừa có mẫu
nhỏ hơn thì phân số đố lớn hơn.
Ví dụ 2: So sánh
47
12
và
77
19
.
Ta thấy cả hai phân số
47
12
và
77
19
đều xấp xỉ
4
1
nên ta dùng phân số
4
1

làm trung gian.
Ta có:
47
12
>
48
12
=
4
1
(1) ;
77
19
<
76
19
=
4
1
(2).
Nguyễn Đăng ánh - Trờng THCS Cửa Tùng