100 bài PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC HAY và KHÓ

THẦY NGUYỄN PHƢƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN LỚP 10-11-12

Địa điểm học: Số nhà 57 ngõ 766 Đê La Thành, Giảng Võ, Ba Đình, Hà Nội
Đăng ký học vui lòng liên hệ trực tiếp với Thầy Phương_ĐT:0963.756.323
Hãy kết nối với Thầy qua Facebook: “Thầy Nguyễn Phương” để nhận kho tài liệu miễn phí

100 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
HAY VÀ KHÓ
Bài 1. Giải phương trình:

√
sin 2x + 3 cos 2x
= 1.
sin2 x − 3cos2 x

Hướng dẫn. • Điều kiện : sin2 x − 3cos2 x = 0 ⇔ tan2 x = 3 ⇔ x = ±

π
+ kπ, k ∈ Z.
3

• Với điều kiện trên phương trình
⇔

sin 2x +

⇔

sin 2x +

⇔

1+

√

√
√

3 cos 2x = sin2 x − 3cos2 x
3 cos2 x − sin2 x = sin2 x − 3cos2 x
√

3 sin2 x − 2 sin x cos x −

3 + 3 cos2 x = 0.

Bài 2. Giải phương trình:
2 cos 2x − sin 2x − 1
π
− 1 = 2 sin 2x −
+ sin x + cos x.
sin x + cos x
6

Hướng dẫn. • Điều kiện : sin x + cos x = 0 ⇔ tan x = −1 ⇔ x = −

π
+ kπ, k ∈ Z.
4

• Với điều kiện trên phương trình

⇔

π
π
2 cos 2x − (1 + sin 2x)
− 1 = 2 sin 2x cos − sin cos 2x + sin x + cos x
sin x + cos x
6
6
√
[2 (cos x − sin x) − (sin x + cos x)] − 1 =
3 sin 2x − cos 2x + sin x + cos x

⇔

−1 − 4 sin x =

⇔

−2sin2 x − 4 sin x =

⇔

Bài 3. Giải phương trình:

√

3 sin 2x − cos 2x

√

cos 2x +

3 sin 2x.
√

√

3 cos x + 5 sin x =

3 sin 2x + 3.

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho
√

⇔

cos 2x + 5 sin x − 3 =

3 sin 2x −

⇔

−2sin2 x + 5 sin x − 2 =

⇔

−2 (sin x − 2) sin x −

⇔

− (sin x − 2) (2 sin x − 1) =

√

1
2

√

3 sin 2x −
=

√

√

3 cos x
√

3 cos x

3 cos x (2 sin x − 1)

3 cos x (2 sin x − 1).

THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323

1

Bài 4. Giải phương trình:

cot

x
1 + cos 3x
π
−
= 2 sin 3x +
.
2 sin 2x − sin x
3

Hướng dẫn. • Điều kiện : sin 2x − sin x = 0 ⇔ sin x (2 cos x − 1) = 0
x = kπ
sin x = 0
⇔
⇔
, k ∈ Z.
π
x = ± + k2π
2 cos x − 1 = 0
3
• Ta có :
x
2x
cos 2
2cos 2

x
cos x + 1
cot =
=
.
x =
2
sin 2
2 sin x2 cos x2
sin x
• Suy ra
cos x2
1 + cos 3x
−
sin x2
sin 2x − sin x

cos x + 1
1 + cos 3x
−
sin x
sin 2x − sin x
2cos2 x + cos x − 2 − cos 3x
=
sin 2x − sin x
−2sin2 x + 2 sin 2x sin x
=
sin 2x − sin x
=

(cos x + 1) (2 cos x − 1) − (1 + cos 3x)
sin 2x − sin x
2cos2 x − 2 + (cos x − cos 3x)
=
sin 2x − sin x
2 sin x (sin 2x − sin x)
=
= 2 sin x.
sin 2x − sin x
=

sin3 x + cos3 x + 2cos2 x = 1.

Bài 5. Giải phương trình:

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho
⇔
⇔
⇔

sin3 x + cos3 x + 2cos2 x − 1 = 0
(sin x + cos x) sin2 x − sin x cos x + cos2 x + cos2 x − sin2 x = 0
(sin x + cos x) (1 − sin x cos x + cos x − sin x) = 0.
cot2 x − cot x. cot 3x = 2.

Bài 6. Giải phương trình:

sin x = 0
sin 3x = 0

Hướng dẫn. • Điều kiện :


x = kπ
⇔
kπ
x =
3

⇔x=

kπ
, k ∈ Z.
3

• Với điều kiện trên phương trình
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
Bài 7. Giải phương trình:

cos2 x cos x cos 3x
−
=2
sin x sin 3x
sin2 x

2
cos x sin 3x − cos x cos 3x sin x = 2sin2 x sin 3x
cos x (cos x sin 3x − cos 3x sin x) = 2sin2 x sin 3x
cos x sin 2x = 2sin2 x sin 3x
2 sin x cos2 x − sin x sin 3x = 0
2 sin x 1 − sin2 x − sin x 3 sin x − 4sin3 x = 0
2
2 sin x 2sin2 x − 1 = 0.
sin2 x +

1 + sin x 1
− sin 2x = cos x.
cos x
2

Hướng dẫn. • Điều kiện : cos x = 0 ⇔ x =

π
+ kπ, k ∈ Z.
2

• Với điều kiện trên phương trình
⇔
⇔
⇔

sin2 x cos x + 1 + sin x − sin xcos2 x = cos2 x
sin2 x cos x + 1 − cos2 x + sin x 1 − cos2 x = 0
sin2 x (cos x + 1 + sin x) = 0.

THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC29MÔN TOÁN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323

2


Bài 8. Giải phương trình:

x
4 cos 3x cos x − 2 cos 4x − 4 cos x + tan tan x + 2
2
√
= 0.
2 sin x − 3



√
2π
π
3




+ k2π
x = + k2π và x =


sin x = 2


3
3
x
π
Hướng dẫn. • Điều kiện : cos x = 0
⇔
= + kπ


2 π2


2



x = + kπ
cos x = 0
2

π
2π


x = 3 + k2π và x = 3 + k2π
⇔ x = π + k2π
, k ∈ Z.


π

x = + kπ
2
• Với điều kiện trên phương trình
x
⇔ 4 cos 3x cos x − 2 cos 4x − 4 cos x + tan tan x + 2 = 0
2
sin x2 sin x
1
⇔ 4. (cos 4x + cos 2x) − 2 cos 4x − 4 cos x +
+2=0
2
cos x2 cos x
2sin2 x2
⇔ 2 cos 2x − 4 cos x +
+2=0
cos x 2
2
⇔ 2 cos x 2cos x − 1 − 4cos x + (1 − cos x) + 2 cos x = 0
⇔ 4cos3 x − 4cos2 x − cos x + 1 = 0.
Bài 9. Giải phương trình:

√
7 tan x + cot x = 2 3 3 +

Hướng dẫn. • Điều kiện : sin 2x = 0 ⇔ 2x = kπ ⇔ x =

1
.
sin 2x

kπ
, k ∈ Z.
2

• Với điều kiện trên phương trình
⇔
⇔
⇔
Bài 10. Giải phương trình:

√
sin x
cos x
1
+
=2 3 3+
cos x
sin x
sin 2x
√
2
14sin2 x + 2cos
x
=
6
3
sin
2x
+2
√

12sin2 x = 6 3 sin 2x.
7

1
sin2 2x + sin2 x = sin 2xsin2 x.
4

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho
⇔
⇔
⇔
Bài 11. Giải phương trình:

1
− sin 2x = 0
4
1 + cos 2x 1
sin2 x 4.
+ − sin 2x = 0
2
4
2
sin x (8 cos 2x − 4 sin 2x + 9) = 0.
sin2 x 4cos2 x +

4sin2 x + 1 = 8sin2 x cos x + 4cos2 2x.

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho
⇔
⇔

⇔
⇔

4 1 − cos2 x + 1 = 8 1 − cos2 x cos x + 4 2cos2 x − 1
16cos4 x − 8cos3 x − 12cos2 x + 8 cos x − 1 = 0
(2 cos x − 1) 8cos3 x − 6 cos x + 1 = 0
(2 cos x − 1) (2 cos 3x + 1) = 0.

2

THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC30MÔN TOÁN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323

3


4 cos x − 2 sin x − cos 2x = 3.

Bài 12*. Giải phương trình:

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho
4 cos x − 2 sin x − cos2 x − sin2 x − 3 = 0
(sin x + cos x − 3) (sin x − cos x + 1) = 0.

⇔
⇔
Bài 13. Giải phương trình:

√

3 (sin 2x + sin x) − cos 2x + cos x − 4 = 0.

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho
√
√
⇔
3 sin 2x − cos 2x +
3 sin x + cos x = 4
√
√
3
1
3
1
⇔
sin 2x − cos 2x +
sin x + cos x
2
2
2
2
π
π
⇔ sin 2x −
+ sin x +
= 2.
6
6
π
π
π

• Đặt t = x +
⇒ 2x − = 2t − , khi đó phương trình trở thành
6
6
2
π
sin 2t −
+ sin t = 2
2
⇔ − cos 2t + sin t = 2
⇔ 2sin2 t + sin t − 3 = 0.
Bài 14. Giải phương trình:

cos

3x
x √
x π
cos + 3sin2
+
2
2
2
4

=

√

=2

3cos2 x +

π
.
4

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔

√
1 − cos x + π2
1 + cos 2x +
1
(cos 2x + cos x) + 3
−
2
2
2
√
1
3
(cos 2x + cos x) +
(sin x + sin 2x) = 0
2√

2
√
3
1
3
1
sin 2x + cos 2x +
sin x + cos x = 0
2
2
2
2
π
π
sin 2x +
+ sin x +
=0
6
6 π
π
sin 2x +
= − sin x +
6
6
π
7π
sin 2x +
= sin x +
.
6

6

Bài 15. Giải phương trình:

Hướng dẫn. • Đặt t = x +

π
4

sin 3x −

π
4

π
2

=0

π
.
4

π
= 3t − π, khi đó phương trình trở thành
4
π
sin (3t − π) = sin 2t −
sin t
2

− sin 3t = − cos 2t sin t
− sin 3t + cos 2t sin t = 0
sin t 4sin2 t − 3 + 1 − 2sin2 x = 0
2 sin t sin2 t − 1 = 0.

⇒ 2x = 2t −

⇔
⇔
⇔
⇔

= sin 2x sin x +

π
2

và

3x −

THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC31MÔN TOÁN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323

4


Bài 16. Giải phương trình:

(tan x cot 2x − 1) sin 4x +

cos x = 0
sin 2x = 0
• Với điều kiện trên phương trình
Hướng dẫn. • Điều kiện :

⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔

π
2

=−

1
sin4 x + cos4 x .
2

⇔ sin 2x = 0 ⇔ 2x = kπ ⇔ x =

kπ
, k ∈ Z.
2

sin x cos 2x

1
2
− 1 cos 4x = −
sin2 x + cos2 x − 2sin2 xcos2 x
cos x sin 2x
2
sin x cos 2x − cos x sin 2x
1
1
cos 4x = −
1 − sin2 2x
cos x sin 2x
2
2
− sin x
1 1 + cos2 2x
cos 4x = −
cos x sin 2x
2
2
−1
1 1 + cos2 2x
cos 4x = −
2cos2 x
2
2
2
1
+
cos

2x
2cos2 2x − 1 = cos2 x
2
1 + cos 2x
1 + cos2 2x
2cos2 2x − 1 =
2
2
cos3 2x − 7cos2 2x + cos 2x + 5 = 0
(cos 2x − 1) cos2 2x − 6 cos 2x − 5 = 0.

Bài 17. Giải phương trình:

Hướng dẫn. • Điều kiện :

cos x + sin3 x
= 1 + sin x + cot x.
sin x − sin2 x

sin x = 0
sin x = 1

⇔

x = kπ
π
x = + k2π
2

, k ∈ Z.

• Với điều kiện trên phương trình
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔

cos x + sin3 x = (1 + sin x) sin x − sin2 x + (1 − sin x) cos x
cos x + sin3 x = sin x − sin3 x + cos x − sin x cos x
2sin3 x − sin x + sin x cos x = 0
sin x 2sin2 x − 1 + cos x = 0
sin x −2cos2 x + cos x + 1 = 0.

Bài 18. Giải phương trình:

tan x cos 3x + 2 cos 2x − 1 √
= 3 (sin 2x + cos x).
1 − 2 sin x


cos x = 0
Hướng dẫn. • Điều kiện :
1
sin x =
2
• Với điều kiện trên phương trình
⇔
⇔
⇔

⇔
⇔
⇔
⇔
⇔


π
x = + kπ
2
⇔
x = π + k2π và x = 5π + k2π
6
6

, k ∈ Z.

sin x cos 3x + 2 cos 2x cos x − cos x √
= 3 (sin 2x + cos x)
cos x − sin 2x
√
sin x cos 3x + cos 3x + cos
x = 3 (sin 2x + cos x) (cos x − sin 2x)
√ x − cos
sin x cos 3x + cos 3x √
= 3 cos2 x − sin2 2x
cos 3x (sin x + 1) = √3cos2 x 1 − 4sin2 x
cos 3x (sin x + 1) = √3cos2 x 4cos2 x − 3
cos 3x (sin x + 1) = √3 cos x 4cos3 x − 3 cos x
cos 3x (sin x + 1)

√ = 3 cos x cos 3x
cos 3x sin x − 3 cos x + 1 = 0.

THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323

5


2 (1 − sin 2x) sin x +

Bài 19*. Giải phương trình:

3π
4

+ cos 2x = 0.

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho
⇔

2 (1 − sin 2x) sin π + x −

π
+ cos2 x − sin2 x = 0
4

⇔

√
√

π
− 1 − sin 2x. 2 sin x −
+ cos2 x − sin2 x = 0
4
√
− 1 − sin 2x. (sin x − cos x) + cos2 x − sin2 x = 0

⇔

(cos x − sin x)

⇔

Bài 20. Giải phương trình:

√

1 − sin 2x + cos x + sin x = 0.

sin 3x + sin 2x + sin x + 1 = cos 3x + cos 2x − cos x.

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔

(sin 3x + sin x) + (sin 2x + 1) = (cos 3x − cos x) + cos 2x
2

2 sin 2x cos x + (sin x + cos x) = −2 sin 2x sin x + cos2 x − sin2 x
2
2 sin 2x (cos x + sin x) + (sin x + cos x) − cos2 x − sin2 x = 0
(cos x + sin x) [2 sin 2x + (sin x + cos x) − (cos x − sin x)] = 0
2 (cos x + sin x) (sin 2x + sin x) = 0.

Bài 21. Giải phương trình:

(2 cos x − 1) cot x =

sin x = 0
cos x = 1
• Với điều kiện trên phương trình
Hướng dẫn. • Điều kiện :

⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
Bài 22. Giải phương trình:

⇔

3
2 sin x
+
.
sin x cos x − 1

x = kπ
x = k2π

⇔ x = kπ, k ∈ Z.

2cos2 x − cos x − 3
2 sin x
=
sin x
cos x − 1
(cos x + 1) (2 cos x − 3)
2 sin x
=
sin x
cos x − 1
(cos x − 1) (cos x + 1) (2 cos x − 3) = 2sin2 x
−sin2 x (2 cos x − 3) = 2sin2 x
sin2 x (2 cos x − 1) = 0.
√
sin 2x + cos x − 3 (cos 2x + sin x)
√
= 0.
2 sin 2x − 3


π
x = + k2π
3
3
Hướng dẫn. • Điều kiện : sin 2x =

⇔
, k ∈ Z.
x = 2π + k2π
2
3
• Với điều kiện trên phương trình
√
⇔ sin 2x + cos
√ x − 3 (cos 2x + sin√x) = 0
⇔
sin 2x − 3 cos 2x + cos x − 3 sin x = 0
√
√
1
3
1
3
⇔
sin 2x −
cos 2x +
cos x −
sin x
2
2
2
2
π
π
⇔ sin 2x −
+ sin

− x = 0.
3
6
√

=0

THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323

6


Bài 23. Giải phương trình:

(sin 2x − cos 2x) tan x +

Hướng dẫn. • Điều kiện : cos x = 0 ⇔ x =

sin 3x
= sin x + cos x.
cos x

π
+ kπ, k ∈ Z.
2

• Với điều kiện trên phương trình
(sin 2x − cos 2x) sin x + sin 3x
= sin x + cos x
cos x

(sin 2x sin x − cos 2x sin x) + sin 2x cos x + sin x cos 2x
= sin x + cos x
cos x
sin 2x (sin x + cos x)
= sin x + cos x
cos x
2 sin x (sin x + cos x) = sin x + cos x
(sin x + cos x) (2 sin x − 1) = 0.

⇔
⇔
⇔
⇔
⇔

Bài 24. Giải phương trình:

π
π
− x − cos2
+ 2x
4
4

sin 7x + sin 9x = 2 cos2

.

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho
⇔

⇔
⇔
⇔
⇔

sin 7x + sin 9x = 2

1 + cos

π
2

− 2x

−

1 + cos

2
π
π
sin 7x + sin 9x = cos
− 2x − cos
+ 4x
2
2
sin 7x + sin 9x = sin 2x + sin 4x
sin 8x cos x = sin 3x cos x
cos x (sin 8x − sin 3x) = 0.

Bài 25. Giải phương trình:

π
2

+ 4x

2

cos 3x − 2 sin 2x − cos x − sin x − 1 = 0.

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho
⇔
⇔
⇔
⇔

(cos 3x − cos x) − 2 sin 2x − (sin x + 1) = 0
−2 sin 2x sin x − 2 sin 2x − (sin x + 1) = 0
−2 sin 2x (sin x + 1) − (sin x + 1) = 0
(sin x + 1) (2 sin 2x + 1) = 0.

Bài 26. Giải phương trình:
π
π
sin x −
+ cos
−x
1
x

6
3
−
cos
x
+
sin
x
tan
=
.
cos2 x
2
cos x

cos x = 0
Hướng dẫn. • Điều kiện :
x
cos = 0
2
• Với điều kiện trên phương trình
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔


x = π + kπ

⇔ x 2π
 = + kπ
2
2

cos x cos x2 + sin x sin x2
1
−
2
cos x
cos x2
x
cos 2
2 sin x cos π3
1
−
=
x
cos2 x
cos 2
cos x
1
sin x
−1=
cos2 x 2
cos x
1 − cos x = sin x cos x
sin2 x = sin x cos x
sin x (sin x − cos x) = 0.

⇔

=

π
+ kπ
2
x = π + k2π
x=

sin x −

π
6

+ sin
cos x

, k ∈ Z.

π
6

+x

THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323

7

Bài 27. Giải phương trình:

1
1
8
π
π
−
= cot x +
cot
−x .
cos2 x sin2 x
3
3
6



π


x = + kπ
cos
x
=
0






2





x = kπ
sin x = 0
x = kπ
2
π
Hướng dẫn. • Điều kiện :
⇔
⇔
π
π kπ
=0
sin x +



x + = kπ



x
=
−
+

3


3


π
3
2


sin
 π − x = kπ
−x =0
6
6
• Ta có :
π
π
π
π
cot
− x = tan
−
− x = tan
+x .
6
2
6
3

• Suy ra :
π
π
π
π
cot x +
cot
− x = cot x +
tan
+ x = 1.
3
6
3
3

, k ∈ Z.

• Với điều kiện trên phương trình
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
Bài 28. Giải phương trình:

1
1
8
−
=

2
2
cos x sin x
3
3 sin2 x − cos2 x = 8sin2 xcos2 x
−3 cos 2x = 2sin2 2x
−3 cos 2x = 2 1 − cos2 2x
2cos2 2x − 3 cos 2x − 2 = 0.

1 + sin x + cos x = 2 cos

x π
−
.
2
4

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔

x
x
x π
1 + sin 2

+ cos 2 = 2 cos
−
2
2
2
4
2
x
x
x
x
x π
sin + cos
+ cos2 − sin2 = 2 cos
−
2
2
2
2
2x 4
x
x
x
x
x
x π
sin + cos
sin + cos + cos − sin
= 2 cos
−

2
2
2x
2 x 2π
2
2
4
x
x
sin + cos
2 cos = 2 cos
−
2
2
x
x
x2
x 2π 4
sin + cos
cos = cos
−
2x
2x 4π
√ 2 x 2π
2 cos
−
cos = cos
−
2
4

x 2π 4 √ 2 x
cos
−
.
2 cos − 1 = 0.
2
4
2

Bài 29. Giải phương trình:

Hướng dẫn. • Điều kiện :

tan2 3x tan 5x + 2 tan 3x − tan 5x = 0.

cos 3x = 0
cos 5x = 0


3x = π + kπ
2
⇔
5x = π + kπ
2



x = π + kπ
6
3

⇔
π
kπ

x =
+
10
5

, k ∈ Z.

• Với điều kiện trên phương trình
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔

tan2 3x tan 5x + tan 3x − (tan 5x − tan 3x) = 0
tan 3x (tan 3x tan 5x + 1) − (tan 5x − tan 3x) = 0
sin 3x sin 3x sin 5x
sin 5x
sin 3x
+1 −
−
=0
cos 3x cos 3x cos 5x
cos 5x cos 3x
sin 3x
cos 2x − sin 2x = 0

cos 3x
sin 3x cos 2x − sin 2x cos 3x = 0.

THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323

8


Bài 30. Giải phương trình:
3π
π
+ x − sin2
+ x cos x = sin xcos2 x − 3sin2 x cos x.
2
2

3sin2 x cos

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho
3sin2 x sin x − cos2 x cos x = sin xcos2 x − 3sin2 x cos x
3sin3 x + 3sin2 x cos x − cos3 x − sin xcos2 x = 0
3sin2 x (sin x + cos x) − cos2 x (cos x + sin x) = 0
(sin x + cos x) 3sin2 x − cos2 x = 0.

⇔
⇔
⇔
⇔
Bài 31. Giải phương trình:
4 sin x sin

√
π
π
+ x sin
− x + 4 3 cos x cos
3
3

2π
+ x cos
3

4π
+x
3

= 2.

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho
⇔
⇔
⇔
⇔

√
2π
2π
+ 2 3 cos x cos 2x + cos
=2

3 √
3
√
2 sin x cos 2x + sin x + 2 √
3 cos x cos 2x − 3 cos√x = 2
(sin 3x −√sin x) + sin x + 3 (cos 3x + cos x) − 3 cos x = 2
sin 3x + 3 cos 3x = 2.
2 sin x cos 2x − cos

Bài 32. Giải phương trình:

sin2 x (1 + tan x) = 3 sin x (cos x − sin x) + 3.

Hướng dẫn. • Điều kiện : cos x = 0 ⇔ x =

π
+ kπ, k ∈ Z.
2

• Với điều kiện trên phương trình
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
Bài 33. Giải phương trình:

sin x
= 3 sin x cos x − 3sin2 x + 3
cos x

cos x + sin x
sin2 x
= 3 sin x cos x + 3cos2 x
cos x
cos x + sin x
sin2 x
= 3 cos x (sin x + cos x)
cos x
2
sin x (sin x + cos x) = 3cos2 x (sin x + cos x)
(sin x + cos x) sin2 x − 3cos2 x = 0.
sin2 x 1 +

6 sin x − 2cos3 x = 5 sin 2x cos x.

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho
⇔
⇔
⇔

6 sin x − 2cos3 x = 10 sin xcos2 x
6 sin x − 2cos3 x = 10 sin x 1 − sin2 x
10sin3 x − 4 sin x − 2cos3 x = 0.

• Nếu cos x = 0, ta được 10sin3 x = 0 ⇔ sin x = 0. (mâu thuẩn)
• Do đó cos x = 0 không là nghiệm của phương trình. Chia hai vế phương trình cho cos3 x, ta được
⇔
⇔
⇔

sin3 x
sin x 1
−4
−2=0
cos33 x
cos x cos2 x 2
10tan x − 4 tan x 1 + tan x − 2 = 0
6tan3 x − 4 tan x − 2 = 0.
10

THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323

9


Bài 34. Giải phương trình:

sin

√
π
+ 2x cot 3x + sin (π + 2x) − 2 cos 5x = 0.
2

Hướng dẫn. • Điều kiện : sin 3x = 0 ⇔ 3x = kπ ⇔ x =

kπ
, k ∈ Z.
3

• Với điều kiện trên phương trình
cos 2x

⇔

cos 2x cos 3x − sin 2x sin 3x √
− 2 cos 5x = 0
sin 3x

⇔

cos 5x √
− 2 cos 5x = 0
sin 3x
√
cos 5x − 2 cos 5x sin 3x = 0

⇔

cos 5x 1 −

⇔

Bài 35. Giải phương trình:

Hướng dẫn. • Đặt t =

√
cos 3x
− sin 2x − 2 cos 5x = 0

sin 3x

⇔

5 cos 2x +

√

π
3

2 sin 3x = 0.
= 4 sin

5π
− x − 9.
6

5π
π
− x ⇒ 2x + = 2π − 2t, khi đó phương trình trở thành
6
3
⇔
⇔
⇔

5 cos (2π − 2t) = 4 sin t − 9
5 cos 2t = 4 sin t − 9
5 1 − 2sin2 t = 4 sin t − 9

10sin2 t + 4 sin t − 14 = 0.

sin x + cos x
+ 2 tan 2x + cos 2x = 0.
sin x − cos x

Bài 36. Giải phương trình:

Hướng dẫn. • Điều kiện : cos 2x = 0 ⇔ 2x =

π
π kπ
+ kπ ⇔ x = +
, k ∈ Z.
2
4
2

• Với điều kiện trên phương trình
sin x + cos x
sin 2x
+2
+ cos 2x = 0
sin x − cos x
cos 2x
2
−(sin x + cos x) + 2 sin 2x + cos2 2x = 0
− (1 + sin 2x) + 2 sin 2x + 1 − sin2 2x = 0
sin 2x (sin 2x − 1) = 0.

⇔
⇔
⇔
⇔
Bài 37. Giải phương trình:

2sin2 x −

Hướng dẫn. • Điều kiện : cos x = 0 ⇔ x =

π
4

= 2sin2 x − tan x.

π
+ kπ, k ∈ Z.
2

• Với điều kiện trên phương trình
⇔
⇔
⇔
⇔

π
2sin2 x cos x − sin x
1 − cos 2x −
=
2

cos x
sin x (2 sin x cos x − 1)
1 − sin 2x =
cos x
1 − sin 2x = tan x (sin 2x − 1)
(1 − sin 2x) (1 + tan x) = 0.

THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323

10


2

Bài 38. Giải phương trình:

sin2 x +

(1 + cos 2x)
= 2 cos 2x.
2 sin 2x

Hướng dẫn. • Điều kiện : sin 2x = 0 ⇔ 2x = kπ ⇔ x =

kπ
, k ∈ Z.
2

• Với điều kiện trên phương trình
2

2cos2 x
= 2 cos 2x − sin2 x
4 sin
x cos x
3
cos x
= 2 1 − 2sin2 x − sin2 x
sin x
cos3 x = sin x 2 − 5sin2 x
5sin3 x − 2 sin x + cos3 x = 0.

⇔
⇔
⇔
⇔

• Chia hai vế phương trình cho tan3 x ta được
5tan3 x − 2 tan x 1 + tan2 x + 1 = 0
3tan3 x − 2 tan x + 1 = 0.

⇔
Bài 39. Giải phương trình:

√
sin3 x (1 + cot x) + cos3 x (1 + tan x) = 2 sin x cos x.

sin x = 0
cos x = 0
• Với điều kiện trên phương trình

Hướng dẫn. • Điều kiện :

⇔ sin 2x = 0 ⇔ 2x = kπ ⇔ x =

cos x
sin x
+ cos3 x 1 +
sin x
cos x

kπ
, k ∈ Z.
2

√
= 2 sin x cos x

⇔

sin3 x 1 +

⇔

√
sin2 x (sin x + cos x) + cos2 x (sin x + cos x) = 2 sin x cos x

⇔

√
(sin x + cos x) sin2 x + cos2 x = 2 sin x cos x

⇔

√
sin x + cos x = 2 sin x cos x.

Bài 40. Giải phương trình:

√
cot 2x − 2 tan 4x − tan 2x = −4 3.



sin 2x = 0
Hướng dẫn. • Điều kiện : cos 2x = 0


cos 4x = 0
• Với điều kiện trên phương trình
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔

⇔

sin 4x = 0
cos 4x = 0

⇔ sin 8x = 0 ⇔ 8x = kπ ⇔ x =

kπ
, k ∈ Z.
8

√
(cot 2x − tan 2x) − 2 tan 4x = −4 3
√
cos 2x
sin 2x
sin 4x
−
−2
= −4 3
sin 2x
cos 2x
cos 4x
√
cos 4x
sin 4x
−2
= −4 3
sin 2x cos 2x
cos 4x
√
cos 4x
sin 4x
−

= −2 3
sin 4x
cos
√ 4x
cos 8x = − 3 sin 8x
1
tan 8x = − √ .
3

THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323

11


Bài 41. Giải phương trình:

cos

π
+ 3x + cos
3

2π
− 4x + cos x = 1.
3

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho
⇔
⇔
⇔

⇔
⇔
Bài 42*. Giải phương trình:

π
2π
+ 3x + cos
− 4x = 1 − cos x
3
3
π x
7x π
x
2 cos
−
cos
−
= 2sin2
2
2
2
6
2
x
7x π
x
2 sin cos
−
= 2sin2
2

2
6
2
x
7x π
x
sin
cos
−
− sin
=0
2
2
6
2
x
7x π
π x
sin
cos
−
− cos
−
=0.
2
2
6
2
2
cos

1 + 4 cos x cos 3x = tan 5x.

π
π
kπ
+ kπ ⇔ x =
+
, k ∈ Z.
2
10
5

Hướng dẫn. • Điều kiện : cos 5x = 0 ⇔ 5x =

• Với điều kiện trên phương trình
sin x + 4 sin x cos x cos 3x
⇔
= tan 5x
sin x
sin x + (sin 5x − sin x)
⇔
= tan 5x
sin x
sin 5x = 0
⇔
sin x = cos 5x.
Bài 43*. Giải phương trình:

sin x + 1 =

⇔
⇔

sin x + 2 sin 2x cos 3x
= tan 5x
sin x
sin 5x
sin 5x
=
sin x
cos 5x

3 cos 2x − 5
.
2 cos x − 4

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho trở thành
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔

(sin x + 1) (2 cos x − 4) = (3 cos 2x − 5)
2 sin x cos x − 3 cos 2x + 2 cos x − 4 sin x + 1 = 0
2 sin x cos x + (1 − 3 cos 2x) + (2 cos x − 4 sin x) = 0

sin x cos x + 2sin2 x − cos2 x + (cos x − 2 sin x) = 0
2sin2 x + cos x sin x − cos2 x + (cos x − 2 sin x) = 0
2sin2 x + cos x sin x − cos2 x + (cos x − 2 sin x) = 0
(sin x + cos x) (2 sin x − cos x) + (cos x − 2 sin x) = 0
(2 sin x − cos x) (sin x + cos x − 1) = 0.

Bài 44. Giải phương trình:

2cos3 x = 2 cos x + 2 tan 2x + sin x sin 2x.

Hướng dẫn. • Điều kiện : cos 2x = 0 ⇔ 2x =

π
π kπ
+ kπ ⇔ x = +
, k ∈ Z.
2
4
2

• Với điều kiện trên phương trình
⇔
⇔
⇔
⇔

2 cos x 1 − cos2 x + 2 tan 2x + sin x sin 2x = 0
sin 2x
2sin2 x cos x + 2
+ sin x sin 2x = 0

cos 2x
sin 2x
sin x sin 2x + 2
+ sin x sin 2x = 0
cos 2x
1
sin 2x sin x +
= 0.
cos 2x

THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323

12


Bài 45. Giải phương trình:

cos 3x +

1
2π
= 1 + 4 cos x +
cos x
3

Hướng dẫn. • Điều kiện : cos x = 0 ⇔ x =

cos x −

2π

.
3

π
+ kπ, k ∈ Z.
2

• Với điều kiện trên phương trình
1
4π
= 1 + 2 cos 2x − cos
cos x
3
1
= 2 cos 2x
cos 3x +
cos x
cos x 4cos3 x − 3 cos x + 1 = 2 cos x 2cos2 x − 1
4cos4 x − 4cos3 x − 3cos2 x + 2 cos x + 1 = 0
4cos3 x (cos x − 1) − (cos x − 1) (3 cos x + 1) = 0
(cos x − 1) 4cos3 x − 3 cos x − 1 = 0.

⇔

cos 3x +

⇔
⇔
⇔
⇔

⇔

(1 + tan x) cos 5x = sin x + cos x + 2 cos 4x − 2 cos 2x.

Bài 46*. Giải phương trình:

Hướng dẫn. • Điều kiện : cos x = 0 ⇔ x =

π
+ kπ, k ∈ Z.
2

• Với điều kiện trên phương trình
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔

(cos x + sin x)
(cos 4x cos x − sin 4x sin x) = sin x + cos x + 4 3 sin x − 4sin3 x sin x
cos x
(cos x + sin x) cos 4x − 4sin2 x cos 2x = sin x + cos x + 4sin2 x 3 − 4sin2 x
(cos x + sin x) 1 − cos 4x + 4sin2 x cos 2x + 4sin2 x 3 − 4sin2 x = 0
(cos x + sin x) 2sin2 2x + 4sin2 x cos 2x + 4sin2 x 3 − 4sin2 x = 0
(cos x + sin x) 8sin2 x 1 − sin2 x + 4sin2 x 1 − 2sin2 x + 4sin2 x 3 − 4sin2 x = 0
(cos x + sin x) 8sin2 xcos2 x + 4sin2 x 1 − 2sin2 x + 4sin2 x 3 − 4sin2 x = 0
4sin2 x 3 − 4sin2 x (cos x + sin x + 1) = 0.

tan2 x + 9cot2 x +

Bài 47*. Giải phương trình:

2 cos 2x + 4
= 14.
sin 2x

Hướng dẫn. • Điều kiện : sin 2x = 0 ⇔ 2x = kπ ⇔ x =

kπ
, k ∈ Z.
2

• Với điều kiện trên phương trình
⇔
⇔
• Đặt t = tan x ⇒

cot x =

Bài 48. Giải phương trình:

3cos2 x + sin2 x
= 14
sin x cos x
2
2
tan x + 9cot x + 3 cot x + tan x = 14.
tan2 x + 9cot2 x +

1
. Khi đó phương trình trở thành
t
9
3
t2 + 2 + + t = 14
t
t
⇔ t4 + 9 + 3t + t3 = 14t2
⇔ t4 + t3 − 14t2 + 3t + 9 = 0.
sin 4x + cos 3x + cos x = 4 sin x + 2.

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho
⇔
⇔
⇔
⇔

4 sin x cos x cos 2x + cos 3x + cos x = 4 sin x + 2
2 sin x (cos 3x + cos x) + cos 3x + cos x = 2 (2 sin x + 1)
(cos 3x + cos x) (2 sin x + 1) = 2 (2 sin x + 1)
(2 sin x + 1) (cos 3x + cos x − 2) = 0.

THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323

13


Bài 49. Giải phương trình:

sin3 x + cos3 x
2

1 + (cos x − sin x)

=

1
sin 4x.
16

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho
⇔

(sin x + cos x) (1 − sin x cos x)
1
=
sin 4x
2 − sin 2x
16

⇔

16 (sin x + cos x) (1 − sin x cos x) = 2 sin 2x cos 2x (2 − sin 2x)

⇔

(sin x + cos x) [8 (1 − sin x cos x) − sin 2x (cos x − sin x) (2 − sin 2x)] = 0.

Bài 50. Giải phương trình:

cos3 x − sin3 x
2

1 + (cos x + sin x)

=

1
cos 2x.
4

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho
⇔

(cos x − sin x) (1 + sin x cos x)
1
= cos 2x
2 + sin 2x
4

⇔

4 (cos x − sin x) (1 + sin x cos x) = cos 2x (2 + sin 2x)

⇔

(cos x − sin x) [4 (1 + sin x cos x) − (cos x + sin x) (2 + sin 2x)] = 0.

Bài 51. Giải phương trình:
16 sin6 x + cos6 x − 3 sin 4x 2 +

Hướng dẫn. • Điều kiện :

cos x = 0
cos 2x = 0

√

2 (1 + tan x tan 2x) = 10.


π
x = + kπ
2
⇔
x = π + kπ
4
2

, k ∈ Z.

• Với điều kiện trên phương trình
√ (cos x cos 2x + sin x sin 2x)
2
= 10
cos x cos 2x

⇔

16 1 − 3sin2 xcos2 x − 3 sin 4x 2 +

⇔

6 − 12sin2 2x − 3 sin 4x 2 +

⇔

√
6 1 − 2sin2 2x − 6 sin 4x − 6 2 sin 2x = 0

⇔

cos 4x − sin 4x =

⇔

sin

√

√

2

1
=0
cos 2x

2 sin 2x

π
− 4x = sin 2x.
4

THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323

14


Bài 52. Giải phương trình:

(tan x cot 2x − 1) sin 4x +

Hướng dẫn. • Điều kiện : sin 2x = 0 ⇔ x =

π
2

=−

1
sin4 x + cos4 x .
2

kπ
, k ∈ Z.
2

• Với điều kiện trên phương trình
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔

sin x cos 2x − cos x sin 2x
1
cos 4x = − 1 − 2sin2 xcos2 x
cos x sin 2x
2
− sin x
1
1 2
cos 4x = −
1 − sin 2x
cos x sin 2x
2
2
−1
1 1 1 2
cos 4x = −
+ cos x
2cos2 x
2 2 2
2
1 + cos x
cos 4x = cos2 x

2
1
+
cos
2x 1 + cos2 x
2cos2 x − 1 =
2
2
cos3 x − 7cos2 x + cos x + 5 = 0.

Bài 53. Giải phương trình:

cot x + sin x 1 + tan x. tan




sin x = 0
Hướng dẫn. • Điều kiện : cos x = 0

x

cos = 0
2
• Với điều kiện trên phương trình
⇔
⇔
⇔
⇔

x
= 4.
2

⇔ sin 2x = 0 ⇔ x =

cot x + sin x

kπ
, k ∈ Z.
2

cos x cos x2 + sin x sin x2
cos x cos x2

=4

cos x
sin x
+
=4
sin x
cos2x
2
cos x + sin x = 4 sin x cos x
1
sin 2x = .
2

THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323

15


Bài 54. Giải phương trình:

sin 2x + 2 tan x = 3.

Hướng dẫn. • Điều kiện : cos x = 0 ⇔ x =

π
+ kπ, k ∈ Z.
2

• Với điều kiện trên phương trình
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
Bài 55. Giải phương trình:

sin x
=3
cos
x
2 sin xcos2 x + 2 sin x = 3 cos x
2 tan x + 2 tan x 1 + tan2 x = 3 1 + tan2 x
2tan3 x − 3tan2 x + 4 tan x − 3 = 0
(tan x − 1) 2tan2 x − tan x + 3 = 0.

2 sin x cos x + 2

sin x cos 2x + cos2 x tan2 x − 1 + 2sin3 x = 0.

Hướng dẫn. • Điều kiện : cos x = 0 ⇔ x =

π
+ kπ, k ∈ Z.
2

• Với điều kiện trên phương trình
⇔
⇔
⇔
⇔
Bài 56. Giải phương trình:

sin2 x − cos2 x
+ 2sin3 x = 0
cos2 x
sin x cos 2x + sin2 x − cos2 x + 2sin3 x = 0
sin x 1 − 2sin2 x + 2sin2 x − 1 + 2sin3 x = 0
2sin2 x + sin x − 1 = 0.
sin x cos 2x + cos2 x

tan x + cot x = 2 (sin 2x + cos 2x).

sin x = 0
cos x = 0
• Với điều kiện trên phương trình

Hướng dẫn. • Điều kiện :

⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
Bài 57. Giải phương trình:

kπ
, k ∈ Z.
2

⇔ sin 2x = 0 ⇔ x =

sin x
cos x
+
= 2 (sin 2x + cos 2x)
cos2x
sin x
2
sin x + cos x
= 2 (sin 2x + cos 2x)
sin x cos x
1 = sin 2x (sin 2x + cos 2x)
1 − sin2 2x = sin 2x cos 2x
cos2 2x = sin 2x cos 2x
cos 2x (cos 2x − sin 2x) = 0.

2

5 sin 2x − 2 = 3(sin x − cos x) tan2 2x.

Hướng dẫn. • Điều kiện : cos 2x = 0 ⇔ x =

π kπ
+
, k ∈ Z.
4
2

• Với điều kiện trên phương trình
⇔

sin2 2x

2

5 sin 2x − 2 = 3(sin x − cos x)

2

(cos x − sin x) (cos x + sin x)

2

2

⇔

⇔
⇔

3sin 2x
1 + sin 2x
(5 sin 2x − 2) (1 + sin 2x) = 3sin2 2x
2sin2 2x + 3 sin 2x − 2 = 0.
5 sin 2x − 2 =

THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323

16


Bài 58. Giải phương trình:

5 sin x − 2 = 3 (1 − sin x) tan2 x.

Hướng dẫn. • Điều kiện : cos x = 0 ⇔ x =

π
+ kπ, k ∈ Z.
2

• Với điều kiện trên phương trình
⇔

5 sin x − 2 = 3 (1 − sin x)

⇔

5 sin x − 2 =

3sin2 x
1 + sin x
(5 sin x − 2) (1 + sin x) = 3sin2 x
2sin2 x − 3 sin x − 2 = 0.

⇔
⇔
Bài 59. Giải phương trình:

sin2 x
1 − sin2 x

3 − tan x (tan x + 2 sin x) + 6 cos x = 0.

Hướng dẫn. • Điều kiện : cos x = 0 ⇔ x =

π
+ kπ, k ∈ Z.
2

• Với điều kiện trên phương trình
sin x sin x
+ 2 sin x + 6 cos x = 0
cos x cos x
3cos2 x − sin2 x − 2sin2 x cos x + 6cos3 x = 0
3cos2 x (1 + 2 cos x) − sin2 x (1 + 2 cos x) = 0
(1 + 2 cos x) 3cos2 x − sin2 x = 0.

⇔

3−

⇔
⇔
⇔

√
√
3cot2 x + 2 2sin2 x = 2 + 3 2 cos x.

Bài 60*. Giải phương trình:

Hướng dẫn. • Điều kiện : sin x = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z.
• Với điều kiện trên phương trình
⇔
⇔
⇔

√
√
cos2 x
2
2 + 2 2sin x = 2 cos x + 3 2 cos x
sin x
√
cos x √
3 cos x

2 + 2 2sin2 x − cos x = 0
2 −
sin x
√
3 cos x
2
2sin x − cos x 2 −
= 0.
sin2 x
3

Cách khác Với điều kiện trên phương trình
⇔
⇔
⇔
⇔

√
√
cos2 x
2
2 + 2 2sin x = 2 cos x + 3 2 cos x
sin x
√
√
3cos2 x + 2 2sin4 x = 2 + 3 2 cos xsin2 x
√
√
2
2

2
3cos
x
+
2
2
1
−
cos
x
=
2
+
3
2√ cos x 1 − cos2 x √
√
√
√
4
3
2 2cos x + 2 + 3 2 cos x + 3 − 4 2 cos2 x − 2 + 3 2 cos x + 2 2 = 0.
3

√
Bài 61. Giải phương trình:

x π
3 − 2 cos x − 2sin2
−
2

4
2x
4sin − 1
2

= 1.

x
1
π
= ⇔ x = ± + k2π, k ∈ Z.
2
4
3
• Với điều kiện trên phương trình
√
π
x
⇔
3 − 2 cos x − 1 + cos x −
= 4sin2 − 1
2
2
√
⇔ √ 3 − 2 cos x − 1 + sin x = 2 (1 − cos x) − 1
⇔
3 cos x + sin x = 2.
Hướng dẫn. • Điều kiện : sin2

THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC44MÔN TOÁN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323

17


Bài 62. Giải phương trình:

Hướng dẫn. • Điều kiện :

3 (cot x + cos x)
= 2 (1 + sin x).
cot x − cos x

sin x = 0
cot x − cos x = 0



sin x = 0
⇔ cos x = 0


sin x = 1

⇔x=

kπ
, k ∈ Z.
2

• Với điều kiện trên phương trình

cos x
+ cos x
sin x
= 2 (1 + sin x)
cos x
− cos x
sin x
3 (1 + sin x)
= 2 (1 + sin x)
1 − sin x
(1 + sin x) [3 − 2 (1 − sin x)] = 0
(1 + sin x) (1 + 2 sin x) = 0 .
3

⇔
⇔
⇔
⇔
Bài 63. Giải phương trình:

cos3 x − cos2 x
= 2 (1 + sin x).
sin x + cos x

Hướng dẫn. • Điều kiện : sin x + cos x = 0 ⇔ x = −

π
+ kπ, k ∈ Z.
4

• Với điều kiện trên phương trình
⇔
⇔
⇔
⇔

cos2 x (cos x − 1) = 2 (1 + sin x) (sin x + cos x)
1 − sin2 x (cos x − 1) = 2 (1 + sin x) (sin x + cos x)
(1 + sin x) [(1 − sin x) (cos x − 1) − 2 (sin x + cos x)] = 0
(1 + sin x) (sin x + cos x + sin x cos x + 1) = 0.

Bài 64. Giải phương trình:

2 cos 6x + 2 cos 4x −

√

3 cos 2x = sin 2x +

√

3.

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho
⇔
⇔
⇔
⇔
Bài 65*. Giải phương trình:

√
√
4 cos 5x cos x − √3 cos 2x − 3 − sin 2x = 0
4 cos 5x cos x − √3 (cos 2x + 1) − sin 2x = 0
4 cos 5x cos x − 2 √
3cos2 x − sin 2x = 0
2 cos x 2 cos 5x − 3 cos x − sin x = 0.
7

sin 3x − cos 3x
− cos x
2 sin 2x − 1


π
x =
+ kπ
1
12
Hướng dẫn. • Điều kiện : sin 2x = ⇔
x = 5π + kπ
2
12
• Với điều kiện trên phương trình
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔

= 4 − cos 2x.

, k ∈ Z.

3 sin x − 4sin3 x − 4cos3 x + 3 cos x
− cos x = 4 − 1 − 2sin2 x
2 sin 2x − 1
3 (sin x + cos x) − 4 (sin x + cos x) (1 − sin x cos x)
7
− cos x = 2sin2 x + 3
2 sin 2x − 1
(sin x + cos x) (3 − 4 (1 − sin x cos x))
7
− cos x = 2sin2 x + 3
2 sin 2x − 1
(sin x + cos x) (2 sin 2x − 1)
7
− cos x = 2sin2 x + 3
2 sin 2x − 1
7 sin x = 2sin2 x + 3.
7

THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323

18


1 + 3 cos x + cos 2x − 2 cos 3x = 4 sin x sin 2x.

Bài 66. Giải phương trình:

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho
1 + 3 cos x + 2cos2 x − 1 − 2 4cos3 x − 3 cos x = 8sin2 x cos x
1 + 3 cos x + 2cos2 x − 1 − 2 4cos3 x − 3 cos x = 8 1 − cos2 x cos x
2cos2 x + cos x = 0.
√
1
2 (cos x − sin x)
Bài 67. Giải phương trình:
=
.
tan x + cot 2x
cot x − 1
⇔
⇔
⇔


cos x = 0



sin 2x = 0
Hướng dẫn. • Điều kiện :

cos x − sin x = 0



tan x + cot 2x = 0

• Với điều kiện trên phương trình

, k ∈ Z.

√

2 (cos x − sin x) sin x
=
sin x
cos 2x
cos x − sin x
+
cos x √
sin 2x
sin 2x = 2 sin√
x
sin x 2 cos x − 2 = 0.
1

⇔
⇔
⇔

2sin2 x −

Bài 68. Giải phương trình:


x = kπ
2

⇔
x = π + kπ
4

Hướng dẫn. • Điều kiện : cos x = 0 ⇔ x =

π
4

= 2sin2 x − tan x.

π
+ kπ, k ∈ Z.
2

• Với điều kiện trên phương trình
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔

π
sin x
= 2sin2 x −
2 2
cos x
2sin x cos x − sin x
1 − sin 2x =
cos x

sin x (sin 2x − 1)
1 − sin 2x =
cos x
1 − sin 2x = tan x (sin 2x − 1)
(1 − sin 2x) (1 − tan x) = 0.
1 − cos 2x −

sin 2x
1
+√
= 2 cos x.
sin x + cos x
2 tan x

Bài 69. Giải phương trình:



sin x + cos x = 0
Hướng dẫn. • Điều kiện : tan x = 0


cos x = 0
⇔

π
4
sin 2x = 0
sin x +


π


sin x + 4 = 0
⇔ sin x = 0


cos x = 0

π
x = − + kπ
=0
4
⇔
x = kπ
2

, k ∈ Z.

• Với điều kiện trên phương trình
sin 2x
cos x
⇔
+√
= 2 cos x
sin
x
+
cos

x
2 sin x
√
√
⇔
2 sin x sin 2x + cos x (sin
= 2 2 sin x cos x (sin x + cos x)
√ x + cos x)
⇔ cos x (sin x + cos x) = 2√ 2 sin xcos2 x
⇔ cos x sin x + cos x − 2 2 sin x cos x = 0.
THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323

19


Bài 70. Giải phương trình:

Hướng dẫn. • Nếu cos
sin

5x
= sin
2

• Do đó cos

sin

5x
x

= 5cos3 x sin .
2
2

x
= 0 ⇔ x = π + k2π, ta có
2

5π
+ k5π
2

= ±1

và

5cos3 x sin

x
π
= 5cos3 (π + k2π) sin
+ kπ = ±5.
2
2

x
x
= 0 không là nghiệm của phương trình nên nhân hai vế cho cos ta được
2
2

⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
Bài 71. Giải phương trình:

5x
x
x
x
sin
cos = 5cos3 x sin cos
2
2
2
2
1
5 3
(sin 3x + sin 2x) = cos x sin x
2
2
sin 3x + sin 2x = 5cos3 x sin x
3 sin x − 4sin3 x + 2 sin x cos x = 5cos3 x sin x
sin x 3 − 4sin2 x + 2 cos x − 5cos3 x = 0
sin x 5cos3 x − 4cos2 x − 2 cos x + 1 = 0.
√
√
2cos2 x + 2 3 sin x cos x + 1 = 3 sin x + 3 3 cos x.

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho
√
√
1 + cos 2x
√+ 3 sin 2x + 1 = 3 sin x√+ 3 cos x
cos 2x + 3 sin 2x + 2 = 3 sin x + 3 cos x
π
π
⇔ sin 2x +
+ 1 = 3 sin x +
.
6
3
π
π
⇒ 2x + = 2t − , phương trình trở thành
6
2
π
sin 2t −
+ 1 = 3 sin t
2
⇔ − cos 2t + 1 = 3 sin t
⇔ 2sin2 t = 3 sin t
⇔ sin t (2 sin t − 3) = 0.
⇔
⇔

• Đặt t = x +

π
3

Bài 72. Giải phương trình:

2 tan x + cot 2x = 2 sin 2x +

cos x = 0
sin 2x = 0
• Với điều kiện trên phương trình
Hướng dẫn. • Điều kiện :

⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔

1
.
sin 2x

⇔ sin 2x = 0 ⇔ x =

kπ
, k ∈ Z.
2

2 sin x cos 2x
1
+
= 2 sin 2x +
cos x
sin 2x
sin 2x
4sin2 x + cos 2x = 2sin2 2x + 1
4sin2 x + cos 2x − 1 − 2sin2 2x = 0
4sin2 x − 2sin2 x − 2sin2 2x = 0
2sin2 x − 2sin2 2x = 0
2sin2 x 1 − 4cos2 x = 0.

THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323

20


Bài 73. Giải phương trình:

4 sin 3x + sin 5x − 2 sin x cos 2x = 0.

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho
⇔
⇔

4 sin 3x + sin 5x − (sin 3x − sin x) = 0
3 sin 3x + 2 sin 3x cos 2x = 0

Bài 74. Giải phương trình:

⇔
⇔

3 sin 3x + sin 5x + sin x = 0
sin 3x(3 + 2 cos 2x) = 0.

(1 + cos 2x) sin 2x
= 2 (sin 3x + sin x) (1 + sin x).
1 − sin x

Hướng dẫn. • Điều kiện : sin x = 1 ⇔ x =

π
+ k2π, k ∈ Z.
2

• Với điều kiện trên phương trình
⇔
⇔
⇔
⇔

(1 + cos 2x) sin 2x = 2 (sin 3x + sin x) (1 + sin x) (1 − sin x)
2cos2 x sin 2x = 2 (2 sin 2x cos x) cos2 x
2cos2 x sin 2x = 4 sin 2x cos xcos2 x
2cos2 x sin 2x (1 − 2 cos x) = 0.

Bài 75. Giải phương trình:

cos x + sin 2x
+ 1 = 0.
cos 3x

Hướng dẫn. • Điều kiện : cos 3x = 0 ⇔ x =

π kπ
+
, k ∈ Z.
6
3

• Với điều kiện trên phương trình
⇔
⇔
⇔

cos x + sin 2x + cos 3x
=0
cos 3x
2 cos 2x cos x + sin 2x = 0
2 cos x (cos 2x + sin x) = 0.

Bài 76. Giải phương trình:

⇔

cos x + sin 2x + cos 3x = 0

⇔

2 cos 2x cos x + 2 sin x cos x = 0

3 (tan x + sin x)
− 2 cos x (1 + cos x) = 2sin2 x.
tan x − sin x

cos x = 0
tan x − sin x = 0
• Với điều kiện trên phương trình
Hướng dẫn. • Điều kiện :

⇔x=

kπ
, k ∈ Z.
2

⇔

3 (1 + cos x)
− 2 cos x (1 + cos x) = 2sin2 x
1 − cos x
3 (1 + cos x) − 2 cos x (1 + cos x) (1 − cos x) = 2sin2 x (1 − cos x)

⇔
⇔

(1 + cos x) 3 − 2 cos x (1 − cos x) − 2(1 − cos x)
(1 + cos x) (2 cos x + 1) = 0.

⇔

Bài 77*. Giải phương trình:

2

tan

√
π
cos x − 3 sin x
4

=0

+ 1 = 0.

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho
√
√
π
π
⇔
cos x − 3 sin x = − + kπ ⇔ cos x − 3 sin x = −1 + 4k.
4
4
√
1
3

2
• Để phương trình có nghiệm ⇔ (1 − 4k) ≤ 12 + ( 3)2 ⇔ − ≤ k ≤ . Do k ∈ Z nên ta chọn k = 0.
4
4
√
Khi đó phương trình trở thành : cos x − 3 sin x = −1.
THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC48MÔN TOÁN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323

21


Bài 78. Giải phương trình:

1 2
sin 2x + cos 2x + 1 = (3 cos x − 2) sin2 x + 2 .
4

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho
⇔
⇔
⇔
Bài 79. Giải phương trình:

sin2 xcos2 x + 2cos2 x = (3 cos x − 2) sin2 x + 2
cos2 x sin2 x + 2 = (3 cos x − 2) sin2 x + 2
cos2 x − 3 cos x + 2 = 0.
√

2 cos 2x =

1
1
+
.
sin x cos x

sin x = 0
kπ
⇔x=
, k ∈ Z.
2
cos x = 0
• Với điều kiện trên phương trình
√
⇔
2 cos 2x sin x cos
√ x = cos x + sin x
⇔ (sin x + cos x) 2 (cos x − sin x) sin x cos x − 1 = 0.
Hướng dẫn. • Điều kiện :

Bài 80. Giải phương trình:

√
√
2sin2 x − 2 3 sin x cos x + 1 = 3 cos x − 3 sin x .

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho
⇔
⇔
⇔

√
√
3sin2 x − 2 3 sin x cos x + cos2 x = 3 cos x − 3 sin x
√
√
2
= 3 cos x − 3 sin x
√3 sin x − cos x √
3 sin x − cos x
3 sin x − cos x + 3 = 0.

Bài 81. Giải phương trình:
√
2
(sin x + cos x) − 2sin2 x
2
π
π
=
sin
− x − sin
− 3x
2
4
4
1 + cot2 x

.

Hướng dẫn. • Điều kiện : sin x = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z.
• Với điều kiện trên phương trình
⇔
⇔
⇔
⇔
Bài 82. Giải phương trình:

1 + sin 2x − 2sin2 x √
π
= 2 cos
− 2x sin x
2
4
1 + cot x
cos 2x + sin 2x = (sin 2x + cos 2x) sin x 1 + cot2 x
1
cos 2x + sin 2x = (sin 2x + cos 2x)
sin x
1
(sin 2x + cos 2x) 1 −
= 0.
sin x
√

3 sin x + cos x =

Hướng dẫn. • Điều kiện : cos x = 0 ⇔ x =

1

.
cos x

π
+ kπ, k ∈ Z.
2

• Với điều kiện trên phương trình
⇔
⇔
⇔
⇔

√
2
√3 sin x cos x + cos2 x = 1
√3 sin x cos x + cos2 x − 1 = 0
3 sin√
x cos x − sin x = 0
sin x 3 cos x − sin x = 0.

THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323

22


Bài 83. Giải phương trình:

Hướng dẫn. • Điều kiện :

√
(1 − 2 sin x) cos x
= 3.
(1 + 2 sin x) (1 − sin x)

1 + 2 sin x = 0
1 − sin x = 0


π

x = + k2π


2π

⇔ x = − + k2π
6


7π


x=
+ k2π
6

• Với điều kiện trên phương trình
√
⇔ (1 − 2 sin x) cos x = 3 (1 + 2 sin x) (1 − sin x)

√
√
⇔ cos x − 3 sin x = sin 2x + 3 cos 2x

Bài 84. Giải phương trình:

⇔
⇔

, k ∈ Z.

√
cos x − sin 2x = 3 (sin x + cos 2x)
π
π
sin
− x = sin 2x +
.
6
3

2cos3 x − 2 cos x − sin 2x
= 2 (1 + cos x) (1 + sin x).
cos x − 1

Hướng dẫn. • Điều kiện : cos x = 1 ⇔ x = k2π, k ∈ Z.
• Với điều kiện trên phương trình
⇔
⇔
⇔

⇔
⇔

2cos3 x − 2 cos x − sin 2x = 2 (cos x − 1) (1 + cos x) (1 + sin x)
2 cos x cos2 x − 1 − sin x = −2sin2 x (1 + sin x)
cos x −sin2 x − sin x = −sin2 x (1 + sin x)
− sin x cos x (1 + sin x) = −sin2 x (1 + sin x)
− sin x (1 + sin x) (cos x − sin x) = 0.

Bài 85. Giải phương trình:

√
1 + sin x − cos2 x
π x
. tan
−
= tan x + 2 3.
2
4
2
sin x



sin x = 0

π x
−
=0
Hướng dẫn. • Điều kiện : cos


4
2

cos x = 0
• Ta có
tan



x = kπ
2
⇔
3π

x =
+ k2π
2

⇔x=

kπ
, k ∈ Z.
2

1 − tan x2
cos x2 − sin x2
cos2 x2 − sin2 x2
π x
cos x

−
=
=
=
=
.
x
x 2
4
2
1 + tan x2
cos x2 + sin x2
1
+
sin x
cos 2 + sin 2

• Với điều kiện trên phương trình
⇔
⇔

√
1 + sin x − cos2 x cos x
= tan x + 2 3
2
1 + sin x
sin x
√
sin x + 1 cos x
= tan x + 2 3

2
sin x 1 + sin x

⇔
⇔

√
sin2 x + sin x cos x
= tan x + 2 3
2
1 + sin x
sin x
√
cot x = tan x + 2 3.

Bài 86. Giải phương trình:
√

2 (2 sin x − 1) = 4 (sin x − 1) − cos 2x +

π
π
− sin 2x +
.
4
4

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho
√
√

⇔
2 (2 sin x −√1) = 4 (sin x − 1) − √ 2 sin 2x + π2
√
⇔ 2√2 sin x − √2 = 4 (sin x − 1) − √2 cos 2x
2
⇔ 2 2 sin x −√ 2 = 4 (sin x − 1)
√ − 2 1 − 2sin x
2
⇔ 2sin x + 2 2 − 2 sin x − 2 2 = 0.
THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323

23


Bài 87. Giải phương trình:

cos x (cos x + 2 sin x) + 3 sin x sin x +
sin 2x − 1

Hướng dẫn. • Điều kiện : sin 2x = 1 ⇔ x =

√

2

= 1.

π
+ kπ, k ∈ Z.
4

• Với điều kiện trên phương trình
⇔
⇔
⇔

√
cos x (cos x + 2 sin x) + 3 sin x sin
x + 2 = sin 2x − 1
√
2
cos2 x + 2 sin
√ x cos x + 3sin x + 3 2 sin x = sin 2x − 1
2
2sin x + 3 2 sin x + 2 = 0.
8 + cos 3x
= −2 sin x.
2 − cos x

Bài 88. Giải phương trình:

Hướng dẫn. • Điều kiện : sin x ≤ 0 ⇔ π + k2π ≤ x ≤ 2π + k2π, k ∈ Z.
• Với điều kiện trên phương trình
⇔
⇔

8 + cos 3x
= 4sin2 x
2 − cos x
8 + 4cos3 x − 3 cos x = 4 1 − cos2 x (2 − cos x)

Bài 89. Giải phương trình:

sin2

x 7π
+
2
4

⇔

8 + cos 3x = 4 1 − cos2 x (2 − cos x)

⇔

8cos2 x + cos x = 0 .

tan2 (3π − x) − cos2

Hướng dẫn. • Điều kiện : cos (3π − x) = 0 ⇔ x =

x
= 0.
2

π
+ kπ, k ∈ Z.
2

• Với điều kiện trên phương trình
⇔
⇔
⇔

1
7π
1
1 − cos x −
tan2 x − (1 + cos x) = 0
2
2
2
sin2 x
− (1 + cos x) = 0
1 + sin x
(1 + cos x) [(1 − cos x) − (1 + sin x)] = 0

Bài 90. Giải phương trình:

tan 2x −

π
π
tan 2x +
4
4

sin2 x
− (1 + cos x) = 0

cos2 x

⇔

(1 − sin x)

⇔

sin2 x − (1 + cos x) (1 + sin x) = 0

⇔

(1 + cos x) (sin x + cos x) = 0 .

=

4cos2 2x
.
tan x − cot x



π
3π kπ


=
0
cos
2x

−


+
x=


4


8
2


π




=0
cos 2x +
x = π + kπ
4
8
2
Hướng dẫn. • Điều kiện : cos x = 0
⇔
, k ∈ Z.
kπ







x=




sin x = 0
2





x = ± π + kπ
tan x = cot x
4
• Ta có
π
π
π
π
π
π
tan 2x −
tan 2x +
= − tan

− 2x tan 2x +
= − cot 2x +
tan 2x +
4
4
4
4
4
4

= −1.

• Với điều kiện trên phương trình
⇔
⇔
⇔
⇔

4cos2 2x
−1 =
tan x − cot x
cos x
sin x
−
= 4cos2 2x
sin x
cos x2
cos 2x = 4cos 2x sin x cos x
cos 2x (1 − 2 cos 2x sin 2x) = 0

⇔
⇔
⇔
⇔

cot x − tan x = 4cos2 2x
cos 2x
= 4cos2 2x
sin x cos x
cos 2x (1 − 4 cos 2x sin x cos x) = 0
cos 2x (1 − sin 4x) = 0.

THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323

24


2sin2 x +

Bài 91. Giải phương trình:

√

3 sin 2x + 1 =

√

3 sin x + cos x.

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho

√
√
3sin2 x + 3 sin 2x + cos2 x = 3 sin x + cos x
√
√
2
= 3 sin x + cos x
√3 sin x + cos x √
3 sin x + cos x
3 sin x + cos x − 1 = 0.

⇔
⇔
⇔

√

Bài 92. Giải phương trình:

2 cos 3x + 2sin2 x = 1 + sin 2x.

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho
⇔
⇔
⇔
⇔

√
2
√2 cos 3x = 1 − 2sin x + sin 2x

√2 cos 3x = cos 2x + sin 2x
2 cos 3x = cos 2x + sin 2x
√
√
π
2 cos 3x = 2 cos 2x −
.
4

3
sin2 4x sin x + cos4 x − 1 = cos2 x.
2

Bài 93*. Giải phương trình:

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho
⇔
⇔
⇔
⇔

3
sin2 4x sin x = cos2 x − cos4 x + 1
2
3
sin2 4x sin x = cos2 x 1 − cos2 x + 1
2
3
sin2 4x sin x = cos2 xsin2 x + 1
2

3
1
sin2 4x sin x = sin2 2x + 1.
2
4

(*)

• Ta có

3
1 2
sin2 4x sin x ≤ 1 và
sin 2x + 1 ≥ 1.
2
4

sin2 4x sin 3 x = 1
Do đó phương trình (*) ⇔
. Hệ này vô nghiệm nên phương trình đã cho vô nghiệm.
2
sin2 2x = 0
√
π
Bài 94. Giải phương trình: 2sin2 x + sin 2x = 2 2 sin x sin 3x +
.
4

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho
⇔

⇔
Bài 95. Giải phương trình:

2 sin x (sin x + cos x) = 2 sin x (sin 3x + cos 3x)
2 sin x [(sin x + cos x) − (sin 3x + cos 3x)] = 0.
cos x − sin x + cos 2x + sin 2x = 1 + cos 3x.

Hướng dẫn. • Phương trình đã cho
⇔
⇔
⇔
⇔

(cos x − cos 3x) − sin x + (cos 2x − 1) + sin 2x = 0
2 sin 2x sin x − sin x − 2sin2 x + 2 sin x cos x = 0
sin x (2 sin 2x − 1 − 2 sin x + 2 cos x) = 0
sin x [2 (cos x − sin x) + 4 sin x cos x − 1] = 0.

THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323

25