Phương trình lượng giác hay và khó thi DH

Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3

Email: : 01645362939

- 61 -



1, Giải phương trình:
4 2 sin(3 ).cos2 (2cos3 sin3 2) cot .cos 2cos2 .si
n
4
x x x x x x x x

      
Giải:
Điều kiện:
sin 0
x

. Khi đó, phương trình đã cho tương đương với:
 
2
cos
4cos2 (sin3 cos3 ) 2cos3 sin3 2 (sin3 sin ) 0
sin
x
x x x x x x x
x
       

2
cos
(4cos2 2)(sin3 cos3 ) sin 2 0
sin
x
x x x x
x
 
     
 
 

1
(4cos2 2)(sin3 cos3 ) 2 0
sin
x x x
x
 
    
 
 



(4sin cos2 2sin )(sin3 cos3 ) 1 2 sin 0
x x x x x x
    




2sin3 (sin3 cos3 ) 1 2 sin 0
x x x x
   

sin6 cos6 2 sin
x x x
 

sin 6 sin
4
x x

 
 
 
 

2, Giải phương trình:
3 0
8cos ( 60 ) cos3
x x
 
Gợi ý: Đặt
0
60
x t
 
, Ta có:

3 0 3 0

3 3 3
3
8cos cos3( 60 ) 8cos cos(3 180 )
8cos cos3 8cos 3cos 4cos
4cos cos 0
t t t t
t t t t t
t t
    
     
  


3, Giải phương trình sau :
3 3
17
8cos 6 2 sin 2 3 2 cos 4 cos2 16cos
2
x x x x x

 
   
 
 

Giải:
Ta có:
17
cos( 4 ) sin 4 2sin 2 cos2
2

x x x x

  

Chuyên đề II: PT Lượng giác, PT-Hệ PT
Phần 1: Phương Trình Lượng Giác
Coppy right ©: Mobile_lam

Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3

Email: : 01645362939

- 62 -
3 3
3 3 2
3
17
8cos 6 2 sin 2 3 2 cos 4 cos 2 16cos
2
8cos 6 2 sin 2 6 2 sin2 cos 2 16cos
8cos 12 2 sin .cos 16cos
x x x x x
x x x x x
x x x x

 
   
 
 
  

 

4, Giải phương trình:
3 3
sin sin 3 cos 3 cos 0
4 4
x x x x
 
   
   
   
   

Giải:
Trước hết, ta thấy rằng
cos 0
x

hoặc
sin 3 0
x

không thỏa mãn phương trình.
Xét:
cos .sin3 0
x x

.
3 3
sin( ).sin (3 ) cos(3 ).cos 0

4 4
x x x x
 
   

3 3
(sin cos ).sin (3 ) (cos3 sin3 ).cos 0
x x x x x x
    

3 3
(sin cos ) (sin3 cos3 )
cos sin 3
x x x x
x x
 
 
3 3
(sin cos ) sin( 3 ) cos( 3 )
cos sin ( 3 )
x x x x
x x
 

   
 


2 2
(tan 1)(1 tan ) (cot( 3 ) 1)(1 cot ( 3 ))

x x x x
 
       
Xét hàm số:
2 3 2 2
( ) ( 1)( 1) 1, ( ) 3 2 1 0,
f t t t t t t t f t t t t

             

nên đây là hàm đồng
biến.
Từ đề bài, suy ra:
(tan ) (cot( 3 )) tan cot( 3 )
f x f x x x
 
    
( Tính chất hàm số của lớp 12)
tan tan(3 )
2
x x

  
3 . . ,
2 4 2
x x k x k k
  

       


5, Giải phương trình : (1 3)cos2 ( 3 1)sin 2 3 1 4 2 sin
4
x x x

 
      
 
 

Giải:
Ta có:
   
1 3 cos2 3 1 sin 2 3 1 4 2 sin
4
x x x

 
      
 
 





1 3 (sin cos )(cos sin ) 4(sin cos ) 3 1 (sin 2 1) 0
x x x x x x x
         





2
1 3 (sin cos )(cos sin ) 4(sin cos ) 3 1 (sin cos ) 0
x x x x x x x x
         





(sin cos ) 1 3 (cos sin ) 3 1 (sin cos ) 4 0
x x x x x x
 
        
 

2(sin cos )( 3cos sin 2) 0
x x x x
    

6, Giải phương trình:
sin sin3 sin9
0
cos3 cos9 cos27
x x x
x x x
  

Giải:
Ta thấy biểu thức:
sin
cos3
x
x
có xuất hiện
cos3
x
ở dưới mẫu, nên ta nghĩ sẽ xuất hiện
tan3
x
. Giống
như trường hợp trên là có
sin 2
x
dưới mẫu thì có
cot2
x
ở phía trước kìa.

Tới đây ta thử cái xem.
Ta xét hiệu sau:
tan3 tan
H x ax
 


Vì ta chưa rõ

a
là số mấy nên ta để như vậy rồi dùng hệ số bất định tìm
a
. Ta có:
Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3

Email: : 01645362939

- 63 -
sin3 sin sin3 .cos sin .cos3 sin(3 )
tan3 tan
cos2 cos cos .cos3 cos .cos3
x ax x ax ax x a x
H x ax
x ax ax x ax x
 
     
Chúng ta đồng nhất lại với nhau xem sao nhé:
sin(3 ) sin sin(3 )
. . sin
cos .cos3 cos3 cos
a x x a x
k k x
ax x x ax
 
  
Chúng ta cần thêm
k
để có thể giản ước khi cần thiết vì đôi khi chúng chỉ giống nhau một phần
thôi.

Chúng ta thấy rằng chúng ta cần khử
cos
ax
mà giữ lại
sin
x
khiến chúng ta liên tưởng tới góc
nhân đôi. Mà bên kia là
sin
x
nên bên này phải là
sin 2
x
. Vậy ta sẽ thử với:
1
a

, suy ra:
.sin 2 1
sin 2 .sin sin
cos 2
k x
x k x x k
x
    
Từ những phân tích đó ta có biểu thức sau:
sin sin
tan3 tan 2(tan3 tan )
2.cos3 cos3
x x

x x x x
x x
    
Từ đó ta có lởi giải như sau:
Điều kiện:
cos3 0
cos9 0 cos27 0
cos27 0
x
x x
x



  





Bằng khai triển ta dễ dàng có biểu thức sau:
sin
2(tan3 tan )
cos3
x
x x
x
  Tương tự cho các biểu thức
còn lại, sau đó cộng lại ta có phương trình đã cho tương đương với:
2(tan3 tan ) 2(tan9 tan3 ) 2(tan 27 tan9 ) 0 tan 27 t

an 0
x x x x x x x x
        

.
tan 27 tan 27 .
26
k
x x x x k x


       Bài toán được giải quyết.
7, Giải phương trình :
11
5cos 2 9 4sin
6 12
x x
 
   
   
   
   

Giải:
Cách 1: Ta có:
11
sin sin
12 12
x x
 

   
  
   
   

Từ đó chuyển về phương trình bậc hai là:
2
10sin 4sin 14 0
12 12
x x
 
   
    
   
   

Cách 2: Đặt
11
12
t x

 
, khi đó ta có phương trình:
2
5cos2 9 4sin 5sin 2sin 7 0
t t t t
      
.
Từ đó ta tìm được
sin 1

t

. Dễ dàng tìm được nghiệm
5
2 ,
12
x k k


  


8, Giải phương trình:
1 1 1
0
sin sin 2 sin 4
x x x
  

Giải:
ĐK:
sin sin 2 sin 4 0
x x x

(1)
Theo (1) ta có:
1 1 1
0
sin sin 2 sin 4
x x x

  
1 sin2 sin 4
sin sin 2 sin 4
x x
x x x

  
Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3

Email: : 01645362939

- 64 -
1 2sin3 cos
sin sin 2 sin 4
x x
x x x
  
sin 2 sin 4 sin3 sin 2
x x x x
  



sin 2 sin 4 sin3 0
x x x
  
sin 4 sin3 0
x x
  

9, Giải phương trình:
3 3
3sin (1 sin ) cos (1 3cos ) sin 2
x x x x x
   
Giải:
Phương trình đã cho tương đương:


4 4
3sin cos 3 sin cos sin 2
x x x x x
   
3sin cos sin 2 3 cos2
x x x x
   
sin( ) sin 2
3 6
x x
 
 
   
 
 

10, Giải phương trình:
2
2cos2
4sin .sin 2(1 sin )
2 1 cot

x x
x x
x
  


Giải:
Ta để ý trong bài toán có chứa hai đại lương
cos2
x
và
1 cot
x

thì ta liên tưởng đến ngay đại
lượng rút gọn được chính là
sin cos
x x

.Mặt khác có đại lượng
2
sin
2
x
mà bài toán toàn chứa cung
x
nên việc hạ bậc là phải tính đến.Quan sát vế trái phương trình sau khi tiến hành các bước trên ta
bắt được nhân tử chung
sin
x

nên việc giải quyết bài toán là khá đơn giản. Nhưng trước hết ta cần
chú ý tới điều kiện của phương trình.
Điều kiện :
cot 1
sin 0
x
x





.
Với điều kiện này phương trình đã cho tương đương với phương
trình:
2(sin cos )(cos )sin
2(1 cos )sin 2(1 sin )
sin cos
x x x sinx x
x x x
x x
 
   

2(1 cos )sin 2(cos sin )sin 2(1 sin )
x x x x x x
     
2sin (1 sin ) 2(1 sin )
x x x
   

(1 sin )(2sin 2) 0
x x
   

11, Giải phương trình:
2
cos cos 2 2 sin .sin
2 2 4
x x
x x

 
  
 
 

Giải:
Điều kiện:
cos 0
x


Phương trình đã cho tương đương với:
2 2 2
cos cos 2sin (sin cos ) cos cos 2sin 2sin cos
2 2 2 2 2 2
x x x x x x
x x x x      
2 2
cos cos 1 cos sin cos cos 1 cos sin

x x x x x x x x
         
2
cos cos sin sin
x x x x
   
Ta có:
+) Với
sin 0
x

thì
2 2
sin sin sin sin 0
x x x x
   

Mà ta luôn có: VT>0, nên trong trường hợp này vô nghiệm.
+) Với
sin 0
x

, thì ta khảo sát hàm số:
Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3

Email: : 01645362939

- 65 -
2
( ) , 0

f t t t t
  
Ta có:
( ) 2 1 0
f t t

  

Suy ra:
2
0 sin 1
( cos ) (sin ) cos sin
cos sin
x
f x f x x x
x x
 

   




12, Giải phương trình:
cos2 cos3 sin cos4 sin6
x x x x x
   

Giải:
cos2 cos3 sin cos4 sin6

x x x x x
   

cos2 cos4 sin cos3 sin 6 0
x x x x x
     

2sin sin 3 sin cos3 2sin 3 cos3 0
x x x x x x
    





sin 2sin3 1 cos3 2sin3 1 0
x x x x
    





sin cos3 2sin3 1 0
x x x
   

13, Giải phương trình :
5
2sin(2 ) 2 2 sin( ) 1 0

3 12
x x
 
    
.
Giải:
Chúng ta tinh ý thấy rằng:
5 2
sin( ) sin( ) sin( ) cos( )
12 6 4 2 6 6
x x x x
    
 
       
 
 

Phương trình đã cho tương đương với:
2sin(2 ) 2 sin( ) cos( ) 1 0
3 6 6
x x x
  
 
      
 
 

4sin( )cos( ) 2 sin( ) cos( ) 1 0
6 6 6 6
x x x x

   
 
        
 
 

Tới đây ta đặt:
sin( ) cos( )
6 6
t x x
 
    , thì:
2
2sin( )cos( ) 1
6 6
x x t
 
   

Thay vào phương trình trên ta được:
2 2
2(1 ) 2 1 0 2 2 1 0 0
t t t t
        

Tới đó thì ổn rồi.
Bài này nếu để là
5
:sin(2 ) 2 2 sin( ) 1 0
3 12

x x
 
    
, thì kết quả đẹp hơn nhiều mà cũng không
ảnh hưởng gì tới hướng đi của bài toán. Các bạn thử làm nhé.
14, Giải phương trình :
2
cos4
2 2(1 cos cos3 )
3
2cos 1
8
x
x x
x

 
 
 
 
 

Giải:
Điều kiện:
2
3 3
cos 1 0 cos(2 ) 0
8 4
x x
 

 
     
 
 

Phương trình đã cho tương đương với:
(cos2 sin 2 )(cos2 sin 2 )
2 2(1 cos cos3 )
3
cos(2 )
4
2(cos2 sin 2 )(cos2 sin 2 )
2 2(1 cos cos3 )
sin 2 cos2
x x x x
x x
x
x x x x
x x
x x

 
 

 
  


2 2cos cos3 cos2 sin 2 2 cos 4 cos2 cos2 sin 2
x x x x x x x x

          

Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3

Email: : 01645362939

- 66 -
2
cos4 sin 2 2 0 2sin 2 sin 2 1 0
x x x x
        

Phương trình vô nghiệm. (Có sai ở đâu không nhỉ???)
15, Giải phương trình:
2
1 7
(1 sin )(1 cos ) 2sin sin 2
3
2 4 6
cos
tan 1 2
x x x x
x
x

 
     
 
 




Giải:
Điều kiện:
tan 1 0
cos 0
x
x
 





Ta sẽ biến đổi cái tử trước. Ta có:
2
1 7 5 1
(1 sin )(1 cos ) 2sin sin 2 (sin cos ) sin 2
2 4 6 2 3
x x x x x x x

 
         
 
 

Ta có:
2
1 7
(1 sin )(1 cos ) 2sin sin 2

3
2 4 6
cos
tan 1 2
x x x x
x
x

 
     
 
 



5 1 3
(sin cos ) sin 2 (sin cos ) 2sin 2 15(sin cos ) 15 0
2 3 2
x x x x x x x x
          

Tới đó thì đưa về dạng cơ bản rồi.

16, Giải phương trình:
3
2cos13 3cos3 8cos .cos 4 3cos5
x x x x x
  
Giải:
Phương trình

2cos13 3cos3 3cos5 2cos (cos12 3cos4 )
x x x x x x
    

2cos13 3cos3 3cos5 cos13 cos11 3cos5 3cos3
x x x x x x x
      

cos13 cos11
x x
 
Đến đây
thì Ok rùi
17, Giải phương trình:
2 cos2
2
sin3 sin5
x
x x




Giải:
Điều kiện:
sin 5 sin3
x x


Ta có:

2 cos2
2 2 cos2 2(sin3 sin5 )
sin3 sin5
x
x x x
x x

    


2
2sin 2 2 cos4 sin 1 0
x x x
   

Để phương trình trên có nghiệm thì:
2 2
0 2cos 4 2 0 cos 4 1
x x

      

2
cos 4 1
x
 


18, Giải phương trình sau:
cos2 cos6 4(sin 2 1) 0

x x x
   

Giải
Phương trình đã cho tương đương với :
3 2
cos2 4cos 2 3cos2 4(cos sin ) 0
x x x x x
    

2 2
cos2 ( cos 2 1) (cos sin ) 0
x x x x
     

2
(cos sin )[(cos sin )( cos 2 1) (cos sin )] 0
x x x x x x x
       


Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3

Email: : 01645362939

- 67 -
19, Tìm điều kiện để phương trình
sin 2 sin 2 cos
x m x m x
  

có đúng
2
nghiệm thuộc
3
0,
4

 
 
 

Giải:
Ta sẽ biến đổi phương trình trên về dạng tích, một kinh nghiệm đối với nhưng bài như thế này là ta
đi "cô lập" thằng
m
ra, ta viết phương trình dưới dạng:
2sin .cos sin (1 2cos ) 0
1
cos
(2cos 1)(sin ) 0
2
sin
x x x m x
x
x x m
x m
   




    




Trên đoạn
3
0,
4

 
 
 
ta thấy phương trình
1
cos
2
x

có nghiệm duy nhất
3
x


nên yều cầu của bài
toán trở thành:
Tìm
m
sao cho phương trình
sin

x m

có đúng một nghiệm thuộc
3
0,
4

 
 
 
hoặc nó có hai nghiệm
nhưng một nghiệm là
3

. Công việc này khá đơn giản, phần này mình xin dành cho bạn đọc!
Các bạn có thể dùng đồ thị, đường tròn lượng giác, Kết quả cuối cùng sẽ là:
2 3
1, 0 ,
2 2
m m m   

20, Giải phương trình:
4
16cos 4 3cos2 5 0
4
x x

 
   
 

 
(Đề thi thử số 1 của Boxmath.vn)
Giải:
2
2
4 2cos ( ) 4 3cos2 5 0
4
x x

 
   
 
 

2
4 1 cos(2 ) 4 3cos2 5 0
2
x x

 
     
 
 

2 2
4(1 sin2 ) 4 3cos 2 5 0 4 8sin 2 4sin 2 4 3cos2 5 0
x x x x x
          

2 2

3cos 2 4 3cos2 sin 2 8sin 2 12 0
x x x x
     

( 3cos 2 sin 2 6)( 3 cos2 sin 2 2) 0
x x x x
     


21, Giải phương trình:
2 2
3cot 2 2 sin (2 3 2)cos
x x x
  
Giải:
Điều kiện:
x k



Phương trình
2
2
2
3cos
2 2 sin (2 3 2)cos
sin
x
x x
x

   
2 2 4 2
3cos 3 2sin .cos 2 2 sin 2sin cos 0
x x x x x x
    

2 2
(cos 2 sin )(3cos 2sin ) 0
x x x x
   


22, Giải phương trình: sin 3 sin 2 3cos2
6
x x x cosx

 
   
 
 

Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3

Email: : 01645362939

- 68 -
Giải:
sin 3 sin 2 3cos2
6
x x x cosx


 
   
 
 

sin 3 cos 3cos 2 sin 2
6
x x x x

 
    
 
 

3 1
sin 3 sin 2 cos2 sin 2
6 2 2 2
x x x x
 
 
   
     
 
   
 
   
 

2cos sin 2 2sin 2

6 3 3
x x x
  
     
     
     
     


23, Giải phương trình lượng giác:
2012 2012
1005
1
sin cos
2
x x 
Giải:
Đây là bài phương trình lượng giác trong đề thi HSG tỉnh Hải Dương. Mình có một lời giải như sau.
Mong các bạn đóng góp thêm các lời giải khác hay hơn.
Phương trình đã cho tương đương với:
2012 2 1006
1005
1
sin (1 sin )
2
x x  
Đặt:
2
sin (0 1)
t x t

  

Phương trình đã cho tương đương với:
1006 1006
1005
1
(1 )
2
t t  
Với số mũ lớn nhu thế này thì rất khó để biến đổi khiến ta liên tưởng tới phương pháp đánh giá,
nhưng đánh giá như thế nào?
Ta sẽ dùng hàm số vì đó có lẽ là hướng đi đơn giản nhất.
Ta đặt:
1006 1006
( ) (1 )
f t t t  
Ta có:
1005 1005
( ) 1006 1006(1 )
f t t t

  
1005 1005
1
( ) 0 (1 ) 1
2
f t t t t t t

        

Từ đó ta có:
1005
1 1 1
min ( ) min (0) ; ; (1)
2 2 2
f t f f f f
 
   
  
 
   
   
 

Từ đó suy ra chi có:
1
2
t

, thoả mãn.
24, Giải phương trình:
8 8 2
1 1
sin cos cos 2 cos2
2 2
x x x x
  
Giải:
Bài toán này được giải dựa trên các công thức quen thuộc sau:
8 8 4 4 4 4 4 4 2 2

sin cos (sin cos )(sin cos ) ; sin cos sin cos cos2
x x x x x x x x x x x
        
4 4 2 2
3 cos4
sin cos 1 2sin cos
4
x
x x x x

   
Khi đó phương trình đã cho sẽ trở thành phương trình:
Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3

Email: : 01645362939

- 69 -
2
1 1
cos2 (3 cos4 ) cos2 (cos2 1) 2cos2 (cos2 1) cos2 (3
2cos 2 1) 0
4 2
x x x x x x x x
         
2
cos2 (2cos2 2 2cos 2 2) 0 cos2 (cos2 1) 0
x x x x x
       

25, Giải phương trình:
sin3 cos3 2 2 cos 1
4
x x x

 
    
 
 

Giải:
Phương trình đã cho tương đương với:
1 1 1 1
cos3 sin3 2cos 0 cos 3 2cos 0
4 4 4
2 2 2 2
x x x x x
  
     
          
     
     

Đặt: 3 3
4 4
t x x t
 

     

Phương trình trên trở thành:
3
1 1 1
cos(3 ) 2cos 0 cos3 2cos 0 4cos cos 0
2 2 2
t t t t t t

            

 
2
2
1 1
4
cos 4cos 2 2 cos 1 0 cos
2 2
2
4
t k
t t t t
t k





 

 
       


 
 

  




26, Giải phương trình:


2
2sin 3sin 2 1 3 cos 3sin
x x x x
   

Giải:


2
2sin 3sin 2 1 3 cos 3sin
x x x x
   

2 cos 2 3sin 2 3(cos 3sin )
x x x x
    
1 sin 2 3sin
6 6

x x
 
   
    
   
   

2
1 cos 2 3sin
3 6
x x
 
   
    
   
   

2
2cos 3cos
3 3
x x
 
   
   
   
   

27, Giải phương trình :
3 3
cos sin

2cos2
cos sin
x x
x
x x




Giải:
Điều kiện của bài toán là :
sin 0
.
cos 0
x
x





Với điều kiện đó phương trình đã cho tương đương với
phương
trình:
3 3 2 2
cos sin 2(cos sin )( sin cos )
x x x x x x
   
(cos sin )(1 sin cos ) 2(cos sin )(cos sin )( sin co
s )

x x x x x x x x x x
      
Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3

Email: : 01645362939

- 70 -
cos sin 0
1 sin cos 2(cos sin )( sin cos ) (1)
x x
x x x x x x
 



   

Đối với phương trình
(1)
ta chú ý từ điều
kiện ta có đánh giá :
2
2
sin sin sin
sin cos 1
2(cos sin )( sin cos ) 2
sin cos 1
cos cos cos
x x x
x x

x x x x
x x
x x x


 
 
 
    
 
 

 



Mặt khác ta
có
1 3
1 sin cos 1 sin 2
2 2
x x x
   
Từ hai đánh giá trên ta có phương trình
(1)
vô nghiệm hay
phương trình đã cho chỉ có nghiệm cos sin 0 tan 1 ,
4
x x x x k k



       

Kết hợp với
điều kiện của bài toán ta đi đến kết luận cuối cùng nghiệm của phương trình là 2 ,
4
x k k


  


28, Giải phương trình:
1 sin 2
.cot 2sin
sin cos 2
2
x
x x
x x

 
  
 

 

Giải:
Điều kiện của bài toán là
sin cos 0

sin 0
x x
x
 





Từ điều kiện này ta biến đổi phương trình đã cho thành
2 cos 2sin cos
2cos
2 sin sin cos
x x x
x
x x x
 

2 2sin
cos . 2 0
2sin sin cos
x
x
x x x
 
   
 
 

 



cos . 2(sin cos ) 4sin cos 0
x x x x x
  


29, Giải phương trình:
3
6sin 2cos 5sin2 .cos .
x x x x
 
Giải:
Dễ dàng nhận ra rằng phương trình trên là phương trình đẳng cấp bậc 3. Ta có phương trình đã cho
tương đương với:
2 2 3 2 3 2 3
6sin (sin cos ) 2cos 10sin cos cos 4sin cos 6sin 0
x x x x x x x x x x
      

Ta xét 2 TH: Với:
sin 0
x

, thay vào phương trình dễ thấy không thỏa mãn. Với:
sin 0
x

, ta chia
cả 2 vế cho

3
sin
x
ta sẽ thu được phương trình:
3 2
2cot 4cot 6 0
x x
  

Đặt:
cot
t x

, ta sẽ có được phương trình đại số bậc 3:
3 2
2 4 6 0
t t
  


30, Giải phương trình:
2
sin5 sin 2sin 1
x x x
  

Giải:
Ở bài toán này sự xuất hiện của các cung lượng giác
5 ;
x x

hình như nó có mối liên quan với nhau.
Đặc biệt rằng các bạn chú ý
2
1 2sin cos2
x x
  . Tới đây thì bài toán lại trở nên thú vị khi có ba đại
lượng cung
5 ; ; 2
x x x
và đặc biệt các bạn hãy chú ý đến sự kì vọng sau
5 5
2 ; 3
2 2
x x x x
x x
 
 

nên ta xem như những kết quả đạt được đã hoàn toàn mỉ mãn. Bây giờ ta thấy ngay để kéo được
những ý tưởng ấy lại gần nhau ta chỉ còn hai phép biến đổi căn bản đó là " công thức nhân đôi và
biến tổng thành tích". Cụ thể ta có phương trình đã cho tương đương với phương trình
Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3

Email: : 01645362939

- 71 -
2
cos2 0
sin5 sin 1 2sin 2sin3 cos 2 cos2 cos2 (2sin3 1) 0
1

sin3
2
x
x x x x x x x x
x



        




31, Giải phương trình:
3(cos2 cot2 )
4sin .cos
cot 2 cos2 4 4
x x
x x
x x
 

   
  
   

   

Giải:
Ở bài toán ta chú ý đến điều kiện của bài toán là :

cot2 cos2 0 cos2 (1 sin2 ) 0
sin 2 0 sin 2 0
x x x x
x x
   
 

 
 
 

Mặt khác ta hãy chú ý đến phép biến đổi lượng giác sau
2
4sin .cos 4cos .cos 4cos 2(1 sin 2 )
4 4 2 4 4 4
x x x x x x
     
 
         
         
         
 
         
 
cos2 (1 sin 2 )
cot 2 cos2
sin 2
x x
x x
x


  Với tất cả điều kiện và phép biến đổi đó ta đưa phương trình đã
cho trở thành
3cos 2 (1 sin 2 )
2(1 sin 2 ) (1 sin2 )(1 2sin 2 ) 0 1 2sin 2 0
cos2 (1 sin2 )
x x
x x x x
x x

        


32, Giải phương trình:
2
3(sin 2 3sin ) 3 2cos 3cos 2
x x x x
    

Giải:
2
3(sin 2 3sin ) 3 (2cos 3cos 2)
x x x x
    

2 2 2
3(sin 2 3sin ) 3 2(sin cos ) 2cos 3cos
x x x x x x
      
2

3(2sin cos 3sin ) 2sin 3cos 3
x x x x x
    

2
3sin (2cos 3) 2sin 3cos 3
x x x x
    

2
3 3 3 9
3 sin (2cos 3) (2cos 3) 2sin 3cos
2 2 2 2
x x x x x
 
 
        
 
 
 
 
 

    
3 1
2sin 3 (2cos 3) 2sin 3 2sin 3
2 2
x x x x     





2sin 3 sin 3cos 3
x x x   


33, Giải phương trình:
tan tan2 tan3 tan 4 0
x x x x
   

Giải:
Điều kiện:
cos cos2 cos3 cos4 0.
x x x x

Ta có
sin5
tan tan 4
cos cos4
x
x x
x x
  và
sin5
tan 2 tan3 ,
cos2 cos3
x
x x
x x

  nên phương trình đã cho tương đương với
sin5 (cos cos4 cos2 cos3 ) 0.
x x x x x
 
Đến đây, ta lại thấy
2
cos4 2cos 2 1
x x
 
và


3 2
cos3 4cos 3cos cos (4cos 3) cos 2(1 cos2 ) 3 cos (2c
os2 1).
x x x x x x x x x
        
Vì vậy mà
phương trình cuối có thể được viết lại dưới dạng
2
sin5 cos (2cos 2 1) cos2 (2cos2 1) 0,
x x x x x
 
   
 
hay
sin5 cos (cos2 1) 0.
x x x
 

Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3

Email: : 01645362939

- 72 -
34, Giải phương trình:
tan tan 2 sin3 .cos2
x x x x
  

Gợi ý.
Sử dụng công thức
sin3
tan tan2 .
cos cos2
x
x x
x x
 
Chứng minh
2
1 cos cos 2 0.
x x
 

35, Giải phương trình:
2
(cos2 cos4 ) 6 2sin3
x x x

  
Giải:
Đây là phương trình lượng giác giải bằng phương pháp đánh giá. Thật vậy ta có đánh giá:
2
(cos2 cos4 ) 4 và 6 2sin3 4
x x x
   

Do đó từ phương trình đã cho ta suy ra được
2
(cos2 cos4 ) 4
6 2sin3 4
x x
x

 

 


2 2 2
2
3
3
( 2sin3 sin( )) 4 sin 3 sin 1
sin3 1 sin3 1
sin 1
sin 1
3sin 4sin 1
3sin 4sin 1

sin 1 2 ,
2
x x x x
x x
x
x
x x
x x
x x k k


 
   
 
 
   
 
 

 
 
 
  
  


     


36, Giải phương trình:

3 3
2
sin sin3 cos cos3
4
x x x x 
Giải:
3 3
2 2
3
3
4(sin sin3 cos cos3 )
(3sin sin3 )sin3 (3cos cos3 )cos3
3(cos3 cos sin3 sin ) (cos 3 sin 3 )
3cos(3 ) cos6 3cos2 cos6
3cos2 (4cos 2 3cos2 )
4cos 2
x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x
x x x
x

   
   
    
  


37, Giải phương trình:
2 2
1 sin .sin cos .sin 2cos
2 2 4 2
x x x
x x

 
   
 
 

38, Giải phương trình:
2
cos2 sin 2 sin 4cos 1
2
x
x x x
 
  
 
 

Giải:
Gợi ý. Sử dụng công thức cung nhân đôi
2
2cos 1 cos sin .
4 2 2
x
x x

 
   
    
   
   

Từ đó phương trình được viết lại thành
2
cos sin cos sin sin .
2 2
x x
x x x
 
Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3

Email: : 01645362939

- 73 -
Và ta đưa được bài toán về xét hai phương trình
sin 0 (1)
x

và
cos sin sin 1. (2)
2 2
x x
x 
Với phương trình
(2),
ta xử lý nó bằng cách sử dụng các công thức

sin 2sin cos
2 2
x x
x  và
2 2
sin 1 cos
2 2
x x
  quy về phương trình một ẩn theo
cos .
2
x

39, Giải phương trình:
 
2 2
2cos cos 1 cos sin 2
2
x x


 
 
 
 
(Đề thi thử số 2 - VMF)
Giải:
Từ phương trình đã cho ta biến đổi thành phương trình
 
2 2

2cos cos 1 cos sin 2
2
x x


 
 
 
 
Sau đó
sử dụng công thức nhân đôi
2
cos2 2cos 1.
x x
 
Ta đưa phương trình vừa biến đổi về phương trình
2
cos2 cos cos( sin 2 )
2
x x


 

 
 
Tiếp tục áp dụng công thức hạ bậc
2
1 cos2
cos .

2
x
x

 Lúc này ta
đưa phương trình biến đổi tiếp theo thành phương trình
1 cos2
cos2 cos( sin 2 ) cos (1 cos2 ) cos( sin 2 )
2 2 2
(1 cos2 ) sin 2 2
2
1 4 1
cos2 sin 2 , (1)
2 2
x
x x x
x x k
k
x x k
 
 

 
 

   
   
    
   
 

    

    

Mặt khác phương trình
(1)
có nghiệm khi và chỉ khi
2 2
1 4 1 1 5 1 5
1
2 2 4 4
k
k
  
   
    
   
   
Mà
k


nên suy ra ta có
0.
k

Từ đó phương trình
(1)
trở thành
1 1

cos2 sin 2
2 2
x x
  

1 cos2 2sin 2 0
x x
   

cos (cos 2sin ) 0
x x x
  

cos 0
cos 2sin 0
x
x x

 




cos 0
1
tan
2
x
x






 


40, Chứng minh rằng
0
x
 
thì:
3
sin
6
x
x x
 
Giải:
Ta xét hàm số:
3
( ) sin
6
x
f x x x
  
với
0
x


. Khi đó ta sẽ có:
2
( ) cos 1
2
x
f x x

  

( ) sin
f x x x

 

( ) 1 cos 0
f x x

  
Suy ra:
( ) (0) 0
f x f
 
 

Suy ra:
( ) (0) 0
f x f
 
 
, suy ra hàm số đã cho đồng biến, từ đó ta có:

( ) (0) 0
f x f
 
Suy ra điều
phải chứng minh.

41, Giải phương trình
3
sin cot 1 0
2
x x
  

Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3

Email: : 01645362939

- 74 -
Giải:
Điều kiện:
sin 0
x

.
Phương trình đã cho tương đương với:
2
2
2
3 cos 3cos
. 1 sin (1 sin )

2 sin 4sin
x x
x x
x x
     
2 2
(sin 1) 4sin (sin 1) 3(1 sin ) 0 (sin 1)(2sin 1)(2s
in 3sin 3) 0
x x x x x x x x
 
           
 
Tới đó các
bạn hoàn thành nốt phần còn lại nhé! Nhớ kiểm tra lại các nghiệm có thỏa mãn không vì phía trên ta
có sử dụng phép bình phương là phép biến đổi hệ quả!

42, Giải phương trình :
2
2
2sin 3 2sin sin 2 1
1
(sin cos )
x x x
x x
  
 


Giải:
Điều kiện: sin cos 0 tan 1

4
x x x x k


        
Phương trình đã cho tương đương với:
2 2
2sin 3 2sin sin 2 1 1 sin 2 2sin 3 2sin 2 0
x x x x x x
         

sin 2 (loai)
2 (loai)
4
2
5
sin
2 (t/m)
2
4
x
x k
x
x k







 
  


 


 

 




Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:
5
2
4
x k


 
43, Giải phương trình:
3 3
(8cos 1) 162cos 27
x x
  

Giải:
Cách 1:

Bài này bản chất là giải phương trình một biến
3 3
(8 1) 162 27.
t t   Gợi ý. Đặt
3
6 1 8 ,
t y
  ta sẽ
có
3 3 3
(8 1) 162 27 27(6 1) 27·8 ,
t t t y
      tức là
3
8 1 6 .
t y
  Và như thế, bài toán được đưa về
giải hệ phương trình đối xứng
3
3
6 8 1
6 8 1
t y
y t

 

 


44, Giải phương trình:
1 1
sin 2 sin 2cot2
sin sin 2
x x x
x x
   
Giải:
Điều kiện:
sin 2 0
x


Ta có phương trình đã cho tương đương với:
1 1 cos2
sin 2 sin 2
sin 2 2sin sin 2
x
x x
x x x
   
   
   
   

2
cos 2 cos2 cos2 2 cos2 1
2 cos2 0
sin 2 2sin sin 2 sin 2 sin 2 2sin

x x x x
x
x x x x x x
 
       
 
 



cos2 cos2 cos 2 0
x x x
   

45, Giải phương trình:
1 sin cos 1
cos 1 sin sin 4
x x
x x x

 


Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3

Email: : 01645362939

- 75 -
46, Giải phương trình:
5

2 cos5 sin( 2 ) sin 2 .cot3
2
x x x x


 
   
 
 

Giải:
Bài này có thể giải bằng cách để ý
sin( 2 ) sin 2 ,
x x

  

5
sin 2 cos2
2
x x

 
 
 
 
và
cos2 cos3 sin 2 sin 3 cos5
cos2 cot3 sin2 .
sin3 sin3

x x x x x
x x x
x x

   :D

47, Giải phương trình:
2
sin 3 8sin 2 sin 2
4
x x x

 
   
 
 
(Đề thi thử số 1-onluyentoan.vn)
Giải:
(1)
 
2
1
sin3 cos3 8sin 2sin 2 0
2
x x x x
     
   
3 3 2
1 1
4cos 3cos 3sin 4sin 8sin 2 sin 2 0

2 2
x x x x x x
       
   
 
2 2
2 cos 1
4cos 3 1 4sin 2 sin 4 0
2 2
x
x x x
     

 


2
1
4cos 3 2 cos 2sin 4 0
2
x x x
    


 
2
4cos 3 sin 2 0
4
x x


 
 
    
  
 
 

2
4cos 3 0
x
  


3
cos
2
x  

49, Giải phương trình:
1 4cos .cos3 tan5
x x x
 

Giải:
rằng ta có
2 2 2 2 4 2
1 4cos cos3 1 4cos (4cos 3) 1 4(1 sin ) 4(1 sin ) 3 16s
in 20sin 5
x x x x x x x x
 

           
 
và
4 2
sin5 sin (16sin 20sin 5).
x x x x
  
Do đó, với điều kiện
cos5 0,
x

phương trình đã cho tương
đương với
4 2
sin
(16sin 20sin 5) 1 0.
cos5
x
x x
x
 
   
 
 

50, Giải phương trình:
2 2
sin7 sin9 2 cos cos 2
4 4
x x x x

 
 
   
    
   
 
   
 

Giải:
Ta có
2
2cos 1 cos 2 1 sin 2
4 2
x x x
 
   
     
   
   
và
2
2cos 2 1 cos 4 1 sin 4
4 2
x x x
 
   
     
   
   

nên phương trình đã cho tương đương với
sin7 sin9 sin2 sin 4 ,
x x x x
  

tức
2sin8 cos 2sin3 cos .
x x x x



Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3

Email: : 01645362939

- 76 -
51, Giải phương trình:
1
2tan cot 2 1
sin 2
x x
x
 
  
 
 
.
Giải:
Điều kiện:

sin 0
sin 2 0
cos 0
x
x
x


 




Phương trình đã cho tương đương với:
2 2
2 2
2sin cos 2(sin 2 1)
2sin cos sin2 1
sin .cos sin 2
x x x
x x x
x x x
 
    

2
sin sin 2
x x
 

52, Giải phương trình:
2 2
1 3 4
sin sin cos cos sin 2
x x x x x
 
 

Giải:
Điều kiện :
sin 0
cos 0
.
sin 1
cos 1
x
x
x
x






 


 


Với điều kiện này phuơng trình đã cho được biến đổi thành:
1 3 2
sin (sin 1) cos (cos 1) sin cos
x x x x x x
 
 

cos (cos 1) 3sin (sin 1) 2
sin cos (sin 1)(cos 1) sin cos
x x x x
x x x x x x
  
 
 

cos (cos 1) 3sin (sin 1) 2(sin 1)(cos 1)
x x x x x x
      

2 2
cos 3sin sin cos sin 2 2
x x x x x
     

2
1 2sin sin cos sin 2 2
x x x x
     

2
sin cos sin 2 1 2sin
x x x x
    
sin cos sin 2 cos2
x x x x
   

2 sin 2 sin 2
4 4
x x
 
   
   
   
   

53, Giải phuơng trình :
3 3
sin cos
cos2
2cos sin
x x
x
x x




Giải:

Cách 1:
Điều kiện:
2cos sin tan 2
x x x
  

Phương trình đã cho tương đương với:
2 2 2 2
(sin cos )(sin sin cos cos ) (cos sin )(2cos sin )
x x x x x x x x x x
     
2 2
(sin cos ) sin sin cos cos (cos sin )(2cos sin ) 0
x x x x x x x x x x
 
       
 

cos (sin cos )(2sin cos ) 0
x x x x x
   

Cách 2:
Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3

Email: : 01645362939

- 77 -
3 3
sin cos

cos2
2cos sin
x x
x
x x








3 3 2 2
sin cos cos sin 2cos sin
x x x x x x
    
3 2 2
cos cos sin 2sin cos 0
x x x x x
   


54, Giải phương trình :
1 sin 2cos (1 cos )cot
x x x x
   

(Đề thi thử môn Toán khối A-Trường THPT Nguyễn Tất Thành- ĐHSP Hà Nội)
Giải:

1 sin 2cos (1 cos )cot
x x x x
   

cos
1 sin 2cos (1 cos )
sin
x
x x x
x
    
2 2
sin sin 2sin cos cos cos
x x x x x x
    
 
2
2 2
sin cos sin cos sin cos 1 0
x x x x x x
       










sin cos sin cos 1 sin cos 1 sin cos 1 0
x x x x x x x x
         





sin cos 1 2sin 1 0
x x x
    


55, Giải phương trình:
2
tan .tan 4tan .cos tan
2 2
x
x x x x

 
  
 
 

Giải:
Cách 1:
Điều kiện :
sin 0
.

cos 0
x
x






Khi đó phương trình đã cho được biến đổi thành :
2
tan tan 4cot cos tan
2
x
x x x x
  
2
4cot cos tan 1 tan
2
x
x x x
 
  
 
 

2 2
2
2
cos sin

cos sin
2 2
4
sin cos
sin
2
x x
x x
x
x x
 

 
 
 
 
 
2
cos sin 2cos
4 .
sin cos 1 cos
x x x
x x x
 


2 2
2cos (1 cos ) 1 cos
x x x
   

3
2cos 3cos 1 0
x x
   

Cách 2:
2
tan .tan 4tan .cos tan
2 2
x
x x x x

 
  
 
 
2
tan 1 tan 4cot cos 2tan
2
x
x x x x
 
    
 
 

2
tan
4cot cos 2tan
cos

2
x
x x x
x
   
2tan
4cot cos 2 tan
1 cos
x
x x x
x
  


tan cos
2cot cos
1 cos
x x
x x
x
 

2
cos sin cos
2 .
sin cos 1 cos
x x x
x x x
 


2 2
2cos (1 cos ) 1 cos
x x x
   
3 2
2cos 3cos 1 0
x x
   


Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3

Email: : 01645362939

- 78 -
56, Giải phương trình:
1 2cos
2 2 sin
cos (sin cos ) sin cos
x
x
x x x x x
 
 

Giải:
Điều kiện :
cos 0

tan 1
x
x






Với điều kiện đó phương trình đã cho được biến đổi thành :
2
1 2cos
2 2sin
cos (sin cos ) sin cos
1 2cos 2sin 2 (sin cos )
(cos sin )(cos sin ) 2 sin2 (cos sin ) 0
(cos sin )(sin cos 2sin 2 ) 0
x
x
x x x x x
x x x x
x x x x x x x
x x x x x
 
 
   
     
    

57, Giải phương trình:
tan cot 2cot2 (1 2cos ) 2
x x x x
   

Giải:
Điều kiện
sin 2 0.
x


Phương trình đã cho được biến đổi thành :
2 2cos2 (1 2cos )
2
sin 2 sin 2
x x
x x

 


2 2
1 sin2 (cos sin )(1 2cos ) 0
x x x x
     

2
(cos sin ) (cos sin )(cos sin )(1 2cos ) 0
x x x x x x x
      

2
(cos sin )(cos sin cos 2cos sin sin 2 ) 0
x x x x x x x x
       

2
(cos sin )(2cos 2cos 2sin cos ) 0
x x x x x x
    

(cos sin )(1 cos sin ) 0
x x x x
    

cos sin 0
x x
  


cos sin 1
x x
 


58, Giải phương trình:
7
cos 2 sin(4 3 )
2
x x



 
  
 
 

Giải:
cos 2 4 sin(4 2 )
2
PT x x

  
 
     
 
 
cos 2 sin(4 )
2
x x


 
   
 
 





sin 2 sin 4
x x
   




sin 2 sin 4
x x
 
2
( )
6 3
k
x
k Z
k
x

 



 


 



59, Giải phương trình:
2
3cot tan (3 8cos ) 0
x x x
  

Giải:
Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3

Email: : 01645362939

- 79 -
ĐK:
2
k
x


2
3cot tan (3 8cos ) 0
x x x
  
2
3cot 3tan tan .8cos
x x x x
   
3(cot tan ) 8sin .cos (1)
x x x x
   

Ta có:
2 2
cos sin cos2
cot tan
cos .sin cos .sin
x x x
x x
x x x x

  
Vậy:
cos2
(1) 3 8sin .cos
cos .sin
x
x x
x x
  
2
3cos2 2sin 2
x x
  
2
2cos 2 3cos2 2 0
x x
   
1
cos2
2

cos2 2( )
x
x L

 




3
( )
3
x k
k Z
x k





 

 


  



60, Giải phương trình:
1
cos2 3sin 2 1
sin
3
x x
x

  
 

 
 

Giải:
1
cos2 3sin 2 1
sin
3
x x
x

  
 

 
 

2
cos2 3 sin2 1

sin 3cos
x x
x x
   






cos2 3 sin 2 sin 3cos sin 3 cos 2
x x x x x x
     

cos2 sin 3 cos2 cos 3sin 2 sin 3sin 2 cos sin 3 cos 2
x x x x x x x x x x
      

       
1 3 3 3
sin3 sin cos3 cos cos cos3 sin3 sin sin 3cos 2
2 2 2 2
x x x x x x x x x x
          

sin3 1
x
 

61, Giải phương trình:
 
2
2 3 cos 2sin
2 4
1
2cos 1
x
x
x

 
  
 
 



Giải:
Điều kiện:
1
cos 2 ,
2 3
x x n n


     


cos 3.cos 0

2
PT x x

 
   
 
 
sin 3.cos 0
x x
  
0
6
cos x

 
  
 
 
2
,
3
x k k


   

Đ
ối chiếu với điều kiện thì phương trình có nghiệm
2
2 ,

3
x k k


  


Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3

Email: : 01645362939

- 80 -

62, Giải phương trình:
7 3 5
sin cos sin cos sin 2 cos7 0
2 2 2 2
x x x x
x x
  

Giải:
     
1 1 1
sin5 sin2 sin3 sin 2 sin9 sin5 0
2 2 2
PT x x x x x x
      
sin3 sin9 0
x x

  
sin9 sin( 3 )
x x
  
6
6 3
k
x
k
x

 






 




63, Giải phương trình:


 
2
cos . cos 1
2. 1 sin

sin cos
x x
x
x x

 


Giải:
Viết
2 2
cos 1 sin
x x
  bắt thằng nhân tử chung
1 sin
x


64, Giải phương trình:
2cos cos3
3 sin cos 2 cos2
1 2cos2
x x
x x x
x

 
   
 


 

Giải:
ĐK:
1
1 2cos 2 0 ( )
3
x x K K Z



     
Ta có:
2cos cos3 cos 2.cos 2 .cos cos (1 2cos2 )
x x x x x x x
    
Nên:
2cos cos3
cos
1 2cos 2
x x
x
x




Do đó:



3 sin cos cos 2 cos2
PT x x x x
    
3.sin 2 cos2
x x
  
2
3.sin 2 (1 2sin )
x x
   
2
2.sin 3.sin 11 0
x x
   
sin 1
1
sin
2
x
x








65, Giải phương trình:
2

cos cos5 11
8sin 2 4(cos2 1).
cos3 cos 2
x x
x x
x x

 
    
 
 

Giải:
Ta có một số biến đổi như sau:
2
cos cos5 cos cos3 .cos5 1 cos 2 cos8 cos2
cos3 cos cos .cos3 cos2 cos4
x x x x x x x x
x x x x x x
   
  

2 2 2
2 2
2sin 4 8sin 2 .cos 2
2cos cos2 1 2cos cos2 1
x x x
x x x x
 
   

2 2
11
sin (2 ) cos 2
2
x x

  Khi đó phương trình trên
tương đương với:
2 2 2
2 2
2 2
8sin 2 .cos 2 1 cos 2
8cos 2 4(cos2 1) 2cos 1 (cos2 1) 0
2cos cos2 1 2cos cos2 1
x x x
x x x x
x x x x
 

       
 
   
 

3 3
2 2
2cos 2 (cos2 1) 2cos 2
(cos2 1) 0 (cos2 1) 1 0
2cos cos2 1 2cos cos2 1

x x x
x x
x x x x
 

       
 
   
 

Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3

Email: : 01645362939

- 81 -
3
2
cos2 1 0
2cos 2
1
2cos cos2 1
x
x
x x
 







 

Với:
cos2 1 0 cos 0 (lo?i)
x x
   
. Với:
3
2
2
2cos 2
1 (2cos 2 1)(cos2 1) 0 cos4 (cos2 1) 0
2cos cos2 1
x
x x x x
x x
       
 
cos4 0
8 4
cos2 1
2
k
x
x
x
x k
 




 


 






Vậy phương trình có các nghiệm là:
; 2
8 4
k
x x k
 

  

66, Giải phương trình:
2
sin sin 2 2sin cos sin cos
6 cos 2 .
cos
4
x x x x x x
x
x


  

 

 
 

Giải:
ĐK:
3
( )
4
x K k Z


  
2
sin sin 2 2sin cos sin cos
6 cos 2 .
cos
4
x x x x x x
x
x

  

 


 
 
2 2
2sin cos 2sin cos sin cos
6 cos2 .
cos sin
2
x x x x x x
x
x x
  
 

2sin cos (sin cos ) sin cos
6 cos2 .
cos sin
2
x x x x x x
x
x x
  
 

6
1 2sin cos cos2 .
2
x x x
  
1 2sin cos 3cos2 0
x x x

   
3cos2 sin 2 1
x x x
  
cos 2 cos
6 4
x
 
   
  
   
   


67, Giải phương trình :
3cos2 5
sin 1
2cos 4
x
x
x

 


Giải:
Ta dễ thấy
2cos 4 0 cos 2
x x
   

(Vô lý).Vì vậy đối với bài toán này ta không cần đặt điều kiện
cho nó.
Thật vậy phương trình lượng giác đã cho tương đương với
(sin 1)(2cos 4) 3cos2 5
x x x
   

2sin cos 4sin 2cos 3cos 2 1
x x x x x
    

2
sin (2cos 2) cos (2cos 2) 4cos 4
x x x x x
     

(2cos 2)(sin cos ) (2cos 2)(2cos 2)
x x x x x
     

(2cos 2)(sin cos 2cos 2) 0
x x x x
     

Đến đây là dạng cơ bản rồi.Mời bạn đọc làm tiếp

68, Giải phương trình:
cos2 3sin 2 5sin 3cos 3.
x x x x
   

Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3

Email: : 01645362939

- 82 -
Giải:
Phương trình có thể được viết lại thành:
2
3 (2 1) 2 5 2
3 (2 1) (2 1)( 2)
cosx sinx sin x sinx
cosx sinx sinx sinx
   
    


69, Giải phương trình:
2 2
1
tan cot 3.
sin 2
x x
x
  

Giải:
Cách 1:
ĐK
sin cos 0

x x


Phương trình được viết thành
2 2
2 2
sin cos 1
3
cos sin sin2
x x
x x x
  

4 4
2 2
2(sin cos sin cos )
3
2sin cos
x x x x
x x
 
 

2 2 2 2
2(1 2sin cos ) sin cos 6sin cos
x x x x x x
   
Cách 2:
Điều kiện:
2 0

sin x



Để ý hằng đẳng thức:
2
2
tanx cotx
sin x
 
Do đó ta có thể viết phương trình đã cho thành:
2
2
1 4 1
( ) 2 3
2 2

5 0
2
tanx cotx
sin x sin x sin x
       


70, Giải phương trình
3(cot cos )
2(1 sin )
cot cos
x x
x

x x

 


Giải:
Điều kiện:
0
0
0(*)
0
1
sinx
sinx
cosx
cotx cosx
sinx

 

 

 

 
 







.
3 (1 )
2(1 ) 3 2(1 )( 0
(1 )
1
1) ( t/m ( * ) )
2
cosx sinx
sinx sinx docosx
cosx sinx
sinx sinx

      


    



71, Giải phương trình:
2 2
sin sin 2 cos sin 2 1 2cos
4
x x x x x

 
   
 

 

Giải:
Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3

Email: : 01645362939

- 83 -
Ta có
2 2
sin sin 2 cos sin 2 1 2cos .
4
x x x x x

 
   
 
 

sin 2 (sin cos sin 2 ) 1 1 cos2
x x x x x
    

2 2 2
sin sin 2 (1 2cos ) cos sin
x x x x x
   
2 2 2 2 2
2sin cos (sin cos ) sin
x x x x cos x x

   

72, .Giải phương trình:
2cos5 cos3 cos8 ,( )
x x sinx x x R
  

Giải:
Phương trình đã cho tương đương với :
cos8 cos2 sin cos8
x x x x
  
2
1 2sin sin 0 (sin 1)(2sin 1) 0
x x x x
       


73, Giải phương trình:
2 2
2 3sin .cos 3sin 2sin .cos c 2sin 2 2s
0
ox x x x x xx
     

Giải:
2 2
cos 2 3sin 2 3sin cos 2sin cos 4sin cos 0
x x x x x x x x
     

(2cos sin 1)( 3sin cos 2) 0
x x x x
    
Tới đây thì cơ bản rồi!

74, Giải phương trình:
4cos 2sin cos2 3
x x x
  

Giải:
2 2
4cos 2sin cos2 3 4cos 2sin (cos sin ) 3 (sin cos 1)(
sin cos 3).
x x x x x x x x x x x
            


75, Giải phương trình
1 cos cos2 cos3 2
(3 3sin )
cos cos2 3
x x x
x
x x
  
 


Giải:
2
1 cos cos2 cos3 2cos 2cos cos2 2cos (cos cos2 )
x x x x x x x x x
      
Như vậy phương trình viết lại thành : Chú ý điều kiện !
3
cos sin 1
3
x x
 

76, Nghiệm thuộc
4
0 ;
3

 
 
 
của phương trình :
3 1
sin sin cos cos3
3 6 4 2
x x x x
 
   
   
   
   

(Thi
thử 2012)
Giải:
Ta có:
3 1
sin sin cos cos3
3 6 4 2
x x x x
 
   
   
   
   
1 3 1
sin sin 2 sin cos3
2 2 6 4 2
x x x
 
 
   
    
   
 
   
 
1 1 3 1
sin cos2 sin cos3
2 4 4 2
x x x x
   

1 1 1 3 1
sin3 sin sin cos3
4 4 4 4 2
x x x x
    
3 1 1
cos3 sin3
4 4 2
x x
  
cos cos
6 4
x
 
   
  
   
   


77, Giải phương trình:
sin 4 (cos 2sin4 ) cos4 (1 sin 2cos4 ) 0
x x x x x x
    

Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3

Email: : 01645362939

- 84 -

Giải:
Phương trình tương đương với :
2 2
sin 4 cos cos4 sin cos4 2(sin 4 cos 4 )
x x x x x x x
   
sin5 cos4 2 (1)
x x
  

Ta tuôn có :
sin5 1, cos4 1
x x
 
nên
sin 5 cos4 2
x x
 
vậy từ
(1)
ta phải có :
2
sin5 1
10 5
, ,
cos4 1
2
m
x
x

m n
x
n
x
 


 




 
 







Kết hợp lại ta thu được nghiệm của phương trình là :
,
2
x m m


  


78, Giải phương trình :
cos sin3 2(cos sin )sin 4 .
x x x x x
  
Giải:
Ta chú ý biến đổi sau:
3 2
cos sin3 cos sin 2sin 4sin (cos sin ) 2sin (1 2sin )
x x x x x x x x x x
        


(cos sin ) 2sin (cos sin )(cos sin ) (cos sin ) 1 2si
n (cos sin )
x x x x x x x x x x x x
        


(cos sin ) cos2 sin 2
x x x x
   Từ đó phương trình đã cho tương đương với:


(cos sin ) cos2 sin 2 2(cos sin )sin 4 (cos sin )(co
s2 sin 2 2 sin4 ) 0
x x x x x x x x x x x x
        

sin cos

cos2 sin 2 2 sin 4
x x
x x x




 

Ta có: Với: sin cos tan 1
4
x x x x k


      . Với:
24 3
cos2 sin 2 2 sin 4 sin 4 sin 2
3
4
8
x k
x x x x x
x k
 




 


 
     

 
 

 


Vậy phương trình đã cho có
các nghiệm là:
3
; ;
4 24 3 8
x k x k x k
   
 
     

79, Với
, , 0
x y z

, giải hệ phương trình lượng giác sau:
sin sin sin
1 2
3
x y z
x y z



 



  


Giải:
Về bản chất của bài toán ta có thể hiểu rằng là bài toán tính góc của một tam giác.
Từ giả thiết đề bài :
sin 3sin
sin sin sin
1 2 sin 2sin .
3
y x
x y z
z x
x y z
x y z





 


 
 

 
  
  


Ta có những phép biến đổi sau :
sin sin( ) sin( ) sin cos sin cos
x y z y z y z z y

      
sin 3 sin cos 2sin cos 3 cos 2cos 1vì sin 0
x x z x y z y x
      
Bằng các phép biến đổi
tương tự như vậy ta cũng thu được :
cos 2cos 3 ; cos 3 cos 2
z x y x
   
Khi đó ta kết hợp lại
Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3

Email: : 01645362939

- 85 -
các kết quả biến đổi ta thu được một hệ phương trình
:
3
cos
6
2

3cos 2cos 1
cos 2cos 3
1
cos
3
2
cos 3cos 2
cos 0
2
x
x
z y
z x
y
y
y x
z
z














 



  
   

  

  
 

 

 
 







80, Giải phương trình:
3 1 3
sin sin .
10 2 2 10 2
x x
 

   
  
   
   

Giải:
Đặt:
3
10 2
x
u

 
, suy ra:
3
3
10 2
x
u


  
.
Phương trình đã cho trở thành:
1
sin sin( 3 ) 2sin sin3 0
2
u u u u

    

2
sin (4sin 1) 0
u u
  


81, Giải phương trình:
sin 4 cos4 1 4(sin cos ).
x x x x
   

Giải:
Từ phương trình đã cho ta biến đổi được như sau
2
2sin 2 cos2 (2cos 2 1) 1 4(sin cos )
x x x x x
    
2cos2 (sin2 cos2 ) 4(sin cos )
x x x x x
   

(cos sin )(sin cos )(sin2 cos2 ) 2(sin cos )
x x x x x x x x
     


82, Giải phương trình:
4 6
cos cos2 2sin 0

x x x
  

Giải:
4 6
cos cos2 2sin 0
x x x
  

4 2 2 2 4
cos (cos sin ) 2sin sin 0
x x x x x
    

2 2 2 4
cos (cos 1) sin (1 2sin ) 0
x x x x
    

2 2 2 4
cos (cos 1) (cos 1)(1 2sin ) 0
x x x x
     


83, Giải phương trình:
2
2 3 3 2
sin 3
sin (cos3 sin sin3 cos ) sin sin 3 .

3sin 4
x
x x x x x x x
x
  
Giải:
Điều kiện:
sin 4 0,
x

tức
, .
4
k
x k

 

Ta có

3 3
4(cos3 sin sin3 cos )
cos3 (3sin sin3 ) sin3 (3cos cos3 )
3(sin3 cos sin cos3 ) 3sin 4 .
x x x x
x x x x x x
x x x x x

   
  