Phuong trinh luong giac - hay cuc

PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. Phương trình lượng giác cơ bản
1. Phương trình
sin x a=
•
a 1>
: vô nghiệm
•
a 1≤
: đặt
a sin= α
, phương trình có nghiệm
x k2 ;x k2= α + π = π − α + π

2. Phương trình
cos x a=
•
a 1>
: vô nghiệm
•
a 1≤
: đặt
a cos= α
, phương trình có nghiệm
x k2= ±α + π
3. Phương trình
tgx a=
• Đặt
a tg= α
, phương trình có nghiệm
x k= α + π

4. Phương trình
cotgx a=
• Đặt
a cot g= α
, phương trình có nghiệm
x k= α + π
II. Phương trình lượng giác một ẩn:
Phương pháp chung: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình đại số
Ví dụ 1: Cho phương trình
( )
cos 2x 2m 1 cos x m 1 0− + + + =
a. Giải phương trình với
3
m
2
=
b. Tìm m để phương trình có nghiệm
3
x ;
2 2
π π
 
∈
 
 
Đáp án:
a.
x k2
3
π

= ± + π
b.
1 m 0
− ≤ <
Ví dụ 2: Tìm a để 2 phương trình sau tương đương
( )
2cosx cos 2x 1 cos 2x cos3x 1= + +
( ) ( ) ( )
2
4cos x cos3x a cos x 4- a 1 cos 2x 2− = + +
Đáp án:
a 3=
hoặc
a 4=
hoặc
a 5>
hoặc
a 1<
Ví dụ 3: Giải phương trình:
( )
( )
cos x cos x 2sin x 3sin x sin x 2
1
sin 2x 1
+ + +
=
−
Bài làm:

( )

( )
( )
2
sin 2x 1
pt
cos x cos x 2sin x 3sin x sin x 2 sin 2x 1
sin 2x 1
2sin x 3 2 sin x 2 0
x k k Z
4
≠


⇔

+ + = −


≠


⇔

+ + =


π
⇔ = − + π ∈
Ví dụ 4: Cho phương trình:
cos3x cos2x mcos x 1 0

− + − =
. Tìm m để phương trình có đúng 7
nghiệm trong
;2
2
π
 
− π


 
Bài làm:
1
( )
( )
3 2
2
pt 4cos x 3cos x 2cos x 1 mcos x 1 0
cos x 4cos x 2cos x m 3 0
⇔ − − − + − =
⇔ − + − =
Xét
cos x 0:
=
thoả mãn (phương trình có hai nghiệm:
3
x ;x trong ;2
2 2 2
π π π
 

= = − π


 
)
Xét
cos x 0
≠
: được phương trình
2
4cos x 2cos x m 3 0− + − =
Cô lập tham số, xét hàm, thu được
1 m 3< <
Bài tập tương tự:
Bài 1: Giải phương trình:
3cos x cos 2x cos3x 1 2sin x sin 2x
+ − + =
Bài 2: Tìm m để phương trình trên tương đương với phương trình:
( ) ( )
2
mcos3x 4 8m sin x 7m 4 cos x 8m 4 0+ − + − + − =
III. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos
Là phương trình có dạng
( )
2 2
a sin x bcos x c a b 0 (1)+ = + >

Cách 1: Chia cả 2 vế của phương trình cho
2 2
a b+

, đưa về phương trình lượng giác cơ bản.
Cách 2: Giả thiết
a 0
≠
, phương trình
b c
sin x cos x
a a
+ =
sin x+
a
b
cosx=
a
c

Đặt
b
tg
a
α =
, đưa về phương trình lượng giác cơ bản.
Chú ý: phương trình (1) có nghiệm
2 2 2
c a b⇔ < +
Ví dụ 1: Giải phương trình:
a.
sin x cox 2− =
b.
2sin x 5cos x 4− =

c.
5cos 2x 12sin 2x 13
− =
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
( )
m 2 sin x mcos x 2+ + =
Ví dụ 3: Cho phương trình:
sin x mcos x 1+ =
(1)
a. Giải phương trình với
m 2=
b. Tìm m để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của phương trình
2
msin x cos x m+ =
Đáp án:
m 0
=
hoặc
m 1=
Ví dụ 4: Giải phương trình:
( )
2 2 sin x cos x cos x 3 cos 2x+ = +
Bài làm:
( ) ( )
Pt 2 sin 2x 2 1 cos2x 3 cos 2x 2 sin 2x 2 1 cos2x 3 2⇔ + − = + ⇔ + − = −

Vô nghiệm.
Ví dụ 5: Giải phương trình:
3 3
4sin x cos3x 4cos x sin 3x 3 3 cos4x 3+ + =

Bài làm:
( ) ( )
( )
Pt 3sin x sin 3x cos3x 3 cosx cos3x sin3x 3 3cos 4x 3
x k
24 2
sin 4x 3 cos 4x 1 k Z
k
x
8 2
⇔ − + + + =
π π

= − +

⇔ + = ⇔ ∈

π π

= +


2
Ví dụ 6: Giải và biện luận phương trình:
( )
2
3
2m cos x sin x 2m cos x sin x
2
+ = + − +

Đáp án: +)
1
m :sin x 1
2
= =
+)
1
m : cos x 1
2
= − = −
+)
1
m :
2
≠
vô nghiệm
Bài tập tương tự:
Bài 1: Tìm m để các pt sau có nghiệm :
a.
sin 3x cos3x m+ =
b.
( )
mcos x m 1 sin x m+ + =
Bài 2: Cho phương trình
( ) ( )
1 m cos x 1- m sin x m 2+ + =
a. Tìm m để phương trình có nghiệm
b. Tìm các nghiệm của phương trình theo góc







−∈
2
;
2
ππ
ϕ
Bài 3: Cho 2 phương trình:
sin x 3 cos x 1+ =
và
sin x cos x m+ =
. Tìm m để 2 phương trình có ít
nhất 1 nghiệm chung
Bài 4: Tìm max, min của biểu thức
sin x 2cos x 1
y
sin x cos x 2
+ +
=
+ +
IV. Phương trình đẳng cấp đối với
sin x,cos x
• Kiểm tra
cos x 0
=
có là nghiệm của phương trình
• Với

cos x 0≠
, chia cả 2 vế của pt cho
k
cos x
, đưa về phương trình đại
số
Ví dụ 1: Giải các phương trình
a.
2 2
4sin x 3 3sin 2x 2cos x 4+ − =
b.
2 2
3 cos x 2sin x cos x 3sin x 2 0+ − − =
c.
3
5sin 4x cos x
6sin x 2cos x
2cos 2x
− =
Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình:
( ) ( ) ( )
2 2
3m 2 sin x 5m 2 sin 2x 3 2m 1 cos x 0− − − + + =
Ví dụ 3: Cho phương trình:
( ) ( ) ( ) ( )
3 2
4 6m sin 3 2m 1 sin x 2 m - 2 sin x cos x 4m 3 cos x 0− + − + − − =
a. Giải phương trình khi
m 2=
b. Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất trên đoạn

0;
4
π
 
 
 
Đáp án:
[
)
3
a. x k b. m ; 1;
4 4
π
 
= + π ∈ −∞ ∪ +∞
 
 
Ví dụ 4: Tìm m để phương trình
2
mcos x 4sin x cos x m 2 0− + − =
có nghiệm trong
0;
4
π
 
 
 
Bài làm: Xét trên
0;
4

π
 
 
 
có
cos x 0≠
, biến đổi được phương trình
( ) ( )
2
m 1 t 4t 2 m 1 0− − + − =
Biện luận, thu được
8
1 m
3
< <
Ví dụ 5: Giải phương trình
3 3 2
cos x 4sin x 3cos x sin x sin x 0− − + =
3
Bài làm:
Xét
cos x
, được phương trình
3 2
3t 3t t 1 0+ − − =
Nghiệm:
( )
x k ; x k k Z
4 6
π π

= − + π = ± + π ∈
Ví dụ 6: Giải phương trình
3
sin x 4sin x
4
π
 
− =
 
 
Bài làm:
Nhân vào 2 vế
2 2
thu được phương trình
( )
3
sin x cos x 4sin x− =
Nghiệm
( )
x k k Z
4
π
= − + π ∈
V. Phương trình đối xứng đối với
sin x,cos x
• Đặt
t sin x cos x= ±
, đưa về phương trình đại số
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
a. (1+

2
)(sinx + cosx)- sin2x - (1 +
2
)=0 b. 2sinx.cosx - (sin x + cosx) + 1 = 0
c.
xx cossin +
= 1 d. sin
3
x + cos
3
x=1 –
2
1
sin2x
e. sin
4
x + cos
4
x= ¾ g. sin
3
x + cos
3
x =
xx
44
cossin
1
+
Ví dụ 2: Cho phương trình
6 6

sin x cos x
tg(x ).tg(x )
4 4
+
π π
− +
= m
a. Giải phương trình khi
1
m
4
= −
. (vô nghiệm)
b. Tìm m để phương trình có nghiệm. (
1
1 m
4
− ≤ ≤ −
)
VI. Phương trình đưa về dạng tích :
• Một số phương trình cho dưới dạng tổng có thể dùng công thức biến
đổi tổng thành tích để đưa về phương trình dạng u(x).v(x).w(x) = 0
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a. sin5x - sin3x + sinx = 0
b. cos2x – cos6x = sin3x + sin5x
c. sin x + sin2x + sin3x = 4 cos
2
x
cosx. cos
2

3x
Đáp án:
a. x = ±
6
π
+k
π
hoặc x =
3
π
k
b.









+=
+=
=
π
π
ππ
π
2
2

3
2
6
4
kx
kx
k
x
c.








+=
+=
+=
3
2
6
2
2
ππ
π
π
ππ
kx

kx
kx
VII. Dùng công thức hạ bậc:
4
• Đối với phương trình lượng giác bậc cao (bậc chẵn) có thể dùng công
thức hạ bậc để đưa về phương trình đã biết cách giải
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a. sin
4
x+cos
4
x=
2
1
b. sin
6
x + cos
6
x= sin
4
x+cos
4
x
c. sin
2
4x +sin
2
3x=sin
2
2x+ sin

2
x
Đáp án:
a. x =
24
ππ
k+
b. x= k
π
/2 c.






=
=
5
2
π
π
kx
kx

VIII. Dùng công thức nhân đôi, nhân ba
• Chọn cung chung, đưa về phương trình chứa một hàm số lượng giác
Ví dụ: Giải các phương trình:
a. cos
3

4x
= cos
2
x x = k
π
hoặc
3
x k
4 2
π π
= ± +
b. 2 + sin12x - 2cos8x=0 x=
k
4
π
hoặc
x k
24 2
π π
= − +
hoặc
7
x k
4
π
= + π
c.
5
4
cos31

5
3
cos2
2
xx
=+
x = k5
π
hoặc x=
5
k5
2
α
± + π
IX. Đánh giá 2 vế,đưa về hpt lg:
VD: giải các pt sau:
a. sin4x( cosx – 2 sn4x) + cos4x(1+sin x-2 cos4x)=0
b. sin
2
x+
4
1
sin
2
3x= sin x. sin
2
3x
c. sin x+
x
2

sin2 −
+ sin x.
x
2
sin2 −
=3
d.
x3cos2
2
−
+ cos3x=2( 1+sin
2
x)
e. cos4x+ (cos2x –sin x)
2
=5
f . (cos2x –cos4x)
2
=6+2sin3x
Đề luyện tập: Giải các pt sau
PT dạng đối xứng:
1.
)cot(
2
1
2sin
cossin
44
gxtgx
x

xx
+=
+
5. cos
3
x+sin
3
x=cos2x
2. sin
3
x+cos
3
x+sin
3
x cotg x+cos
3
x tgx=
x2sin2
6. sin x cosx+2sin x+2 cosx=2
3. sin
8
x+cos
8
x=2(sin
10
x+cos
10
x)+
4
5

cos2x 7. cos
3
x+sin
3
x=sin2x+sin x+cosx
4 .
x
x
xx
cos4
sin
2cos12sin1
=
++−
8. cotg x- tg+4sin2x=
x2sin
2
5