Bài tập chuyên đề giới hạn hàm số cơ bản và nâng cao cực hay lớp 11
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (437.73 KB, 15 trang )
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng
CHUYÊN ĐỀ : GIỚI HẠN
Tài liệu bài giảng (Khóa Toán 11)
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (P2)
Thầy Đặng Việt Hùng – www.facebook.com/Lyhung95
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
1) Trường hợp : lim f ( x ) = lim
x → x0
x → x0
u ( x)
v ( x)
với u(x) và v(x) không chứa căn thức.
Cách tính như sau :
B1: Kiểm tra giới hạn đã cho có là dạng vô định hay không ?
B2: Phân tích : u(x) và v(x) thành tích của hai hay nhiều nhân tử
B2. : Giản ước thừa số chung của tử số và mẫu số
B4. Áp dụng công thức tìm giới hạn lim f ( x) = f ( x0 ) , ta có kết quả .
x → x0
Chú ý :
Để phân tích tử số và mẫu số thành tích ta sử dụng phương pháp tìm nghiệm của một đa thức theo sơ đồ
Hooc-ne .
- Giả sử đa thức f ( x) = a0 x n + a1 x n −1 + a2 x n − 2 + .... + an = 0 có nghiệm x = α
- Ta làm như sau :
Hệ số
.....
...
....
a0
a1
a2
a3
a n-1
an
α
.....
.....
.....
b0
b1
b2
b3
bn −1
bn
Với : a0 = b0 , b1 = b0 + a1 . b2 = b1 + a2 . b3 = b2 + a3 ......... bn −1 = bn − 2 + an −1 . bn = bn −1 + an = 0
Khi đó : f ( x) = ( x − α ) b0 x n −1 + b1 x n − 2 + b2 x n −3 + ......... + bn −1
Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm các giới hạn sau
a) lim
x→ 2
x2 − 3 x + 2
x−2
x →1 x4
2
−2 x + 6 x − 4
x3 − x 2 − x +1
x→2
x 3 − 3x + 2
c) lim
x 2 − 2x
b) lim
d) lim
− 4x + 3
x→1
2
− x + 3x − 2
Lời giải:
a. lim
x→ 2
b. lim
( x − 1)( x − 2 ) = lim x − 1 = 1
x2 − 3 x + 2
= lim
( )
x→ 2
x→ 2
x−2
x−2
x ( x − 2)
x 2 − 2x
x→2
2
−2 x + 6 x − 4
= lim
x→2
(
2
−2 x − 3 x + 2
)
= lim
x ( x − 2)
x → 2 −2
( x − 1)( x − 2 )
x
= −1
x→2 −2 ( x − 1)
= lim
( x − 1) ( x + 2 ) = lim x + 2 = 3 = 1
c. lim 4
= lim
2
2
x → 1 x − 4x + 3 x → 1
( x − 1) ( x 2 + 2 x + 3) x→1 x + 2 x + 3 6 2
x 3 − 3x + 2
d. lim
x→1
x3 − x 2 − x +1
2
− x + 3x − 2
2
( x − 1) ( x + 1) = lim ( x − 1)( x + 1) = 0
= lim
x → 1 − ( x − 1)( x + 2 )
x→1
x+2
2
Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm giới hạn các hàm số sau :
x4 − x2 − 72
a. lim 2
x →3 x − 2 x − 3
MOON.VN – Học để khẳng định mình !
b. lim
x→3
x 3 − 5x 2 + 3x + 9
x 4 − 8x 2 − 9
Học trực tuyến : www.moon.vn
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng
c. lim
CHUYÊN ĐỀ : GIỚI HẠN
x − 5x2 + 4 x6
(1 − x )
x →1
d. lim
2
x →a
x4 − a 4
x−a
Lời giải:
( x − 3) x + 3x + 8x + 24
x4 − x2 − 72
x3 + 3x2 + 8 x + 24 51
a. lim 2
= lim
= lim
=
x →3 x − 2 x − 3
x→3
x→ 3
x +1
2
( x + 1)( x − 3)
(
3
)
2
( x − 3) ( x 2 − 2 x − 3 )
x 2 − 2x − 3
=
lim
=
lim
=0
b. lim
3
2
x→3
x →3
x→3 x 3 + 3 x 2 + x + 3
x 4 − 8x 2 − 9
( x − 3) ( x + 3 x + x + 3)
( x − 1) ( 4 x + 4 x + 4 x + 4 x − x )
x − 5x + 4 x
4x + 4x + 4x + 4x
= lim
= lim
c. lim
x 3 − 5x 2 + 3x + 9
2
(1 − x )
x →1
5
6
2
4
3
(1 − x )
x →1
2
5
2
4
3
( x − 1)
x →1
2
−x
=∞
( x − a ) ( x3 + ax 2 + a 2 x + a 3 )
x4 − a4
d. lim
= lim
= lim ( x3 + ax 2 + a 2 x + a 3 ) = 4a 3
x →a x − a
x →a
x →a
x−a
2) Trường hợp : lim f ( x ) = lim
u ( x)
với : u(x) và v(x) chứa căn thức cùng chỉ số :
v ( x)
Chúng ta thường gặp một số trường hợp sau :
- u(x) chứa một căn còn v(x) không chứa căn và ngược lại u(x) không chứa căn còn v(x) chứa một căn
- u(x) chứa hai căn còn v(x) không chứa căn và ngược lại v(x) chứa hai căn còn u(x) không chứa căn
- u(x) chứa một căn và v(x) chứa một căn
Khi đó chúng ta sử dụng phương pháp nhân liên hợp . Cụ thể như sau :
• Nếu chứa căn bậc hai ta có các trường hợp sau :
- Nếu a + b thì ta nhân lượng liên hợp a − b a + b
a − b = a − b2
x → x0
x → x0
(
a +b(
- Nếu
a − b thì ta nhân lượng liên hợp
- Nếu
a − b thì ta nhân lượng liên hợp
a+
- Nếu
a + b thì ta nhân lượng liên hợp
a−
)(
)
a − b )( a + b ) = a − b
b ( a − b )( a + b ) = a − b
b ( a − b )( a + b ) = a − b
2
• Nếu chứa căn bậc ba thì ta cũng có các trường hợp sau :
)( a − b
a + b)( a + b
b ( a + b )(
b ( a − b )(
(
(
- Nếu
3
a + b thì nhân liên hợp
3
a2 − b 3 a + b2
- Nếu
3
a − b thì nhân liên hợp
3
a2 + b 3 a + b2
- Nếu
3
a + 3 b thì nhân liên hợp
3
a2 − 3 b.3 a + 3
- Nếu
3
a − 3 b thì nhân liên hợp
3
a2 + 3 b.3 a + 3
3
a +b
3
3
2
3
3
2
3
)
a +b ) = a−b
a + b 2 = a + b3
2
3
)
b ) = a −b
2
3
3
3
a 2 − 3 b . 3 a + 3 b2 = a + b
2
3
3
3
a2 + 3 b.3 a + 3
2
Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm giới hạn các hàm số sau
a) lim
x −3 −2
49 − x 2
a) lim
x −3 −2
= lim
x →7
49 − x 2
x →7
x →7
b) lim
x →2
(
(
x −3 −2
)
)(
2− x+2
x 2 − 3x + 2
Lời giải:
x −3 + 2
)
x − 3 + 2 ( 7 − x )( 7 + x )
MOON.VN – Học để khẳng định mình !
= lim
x →7
(7 + x ) (
c) lim
2x + 7 − 3
x →1 x3
1
x −3 +2
)
=
2
− 4x + 3
1
56
Học trực tuyến : www.moon.vn
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng
b) lim
x →2
(
CHUYÊN ĐỀ : GIỚI HẠN
)(
(
)
)
2− x+2 2+ x+2
2− x+2
−1
1
= lim
= lim
=−
2
x
→
2
x
→
2
x − 3x + 2
4
( x − 1)( x − 2 ) 2 + x + 2
( x − 1) 2 + x + 2
2x + 7 − 3
c) lim
x→1 x
3
2
− 4x + 3
(
= lim
2x + 7 − 3
)(
2x + 7 + 3
( x − 1) ( x 2 − 3x − 3) (
x→1
(
)
2x + 7 + 3
)
)
= lim
x→1
(x
2
2
− 3x − 3
)(
2x + 7 + 3
)
=−
1
15
Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm giới hạn các hàm số sau
2 − x2 + 3
a) lim 2
x→1 − x + 3 x − 2
4x +1 − 3
x2 − 4
Lời giải:
b) lim
x →2
(
(
)(
)
)
c) lim
x→ 2
x− x+2
x3 − 8
2 − x2 + 3 2 + x2 + 3
x +1
2 − x2 + 3
1
= lim
= lim
=−
a) lim 2
x→1 − x + 3 x − 2
x→1
x
→
1
2
− 2 + x2 + 3 ( x − 1)( x − 2 )
2 + x2 + 3 ( x − 2 )
(
x →2
x→ 2
)
)
4x +1 − 3
4x +1 + 3
4x +1 − 3
=
lim
= lim
x→ 2
x2 − 4
( x − 2 )( x + 2 ) 4 x + 1 + 3 x→2 ( x + 2 )
b) lim
c) lim
)(
(
)
(
(
)(
)
(
4
4x + 1 + 3
=
)
1
6
x− x+2 x+ x+2
1
x− x+2
x +1
lim
=
= lim
=
3
x→2
x −8
( x − 2 ) x2 + 2 x + 4 x + x + 2 x→2 x2 + 2 x + 4 x + x + 2 16
(
)(
)
)(
(
)
Ví dụ 3: [ĐVH]. Tìm giới hạn các hàm số sau
x +1
2
x→−1 2 x + 5 x + 3
1− 3 1− x
x→ 0 2 x + x2
4
x −1
d) lim 3
x →1 x + x 2 − 2
Lời giải:
3
b) lim
a) lim
3
c) lim
x →−2
2 x + 12 + x
x2 + 2x
)(
(
)
3
x + 1 3 x2 − 3 x .1 + 1
x +1
a) lim 2
= lim
= lim
x→−1 2 x + 5 x + 3
x→−1
3
2
3
( x + 1)( 2 x + 3) x − x.1 + 1 x→−1 ( 2 x + 3)
3
(1 −
(
)
)
(
1
3
)
x − x .1 + 1
2
3
=1
2
1 − x 1 + 3 1 − x + 3 (1 − x )
1− 1− x
1
1
= lim
b) lim
= lim
=
2
x→ 0 2 x + x
x→ 0
x→ 0
2
2
x ( x + 2 ) 1 + 3 1 − x + 3 (1 − x )
( x + 2 ) 1 + 3 1 − x + 3 (1 − x) 6
2
3
2 x + 12 + x 3 ( 2 x + 12 ) − x 3 2 x + 12 + x 2
3
2 x + 12 + x
c) lim
= lim
x →−2
x →−2
2
x2 + 2x
2
3
x ( x + 2 ) 3 ( 2 x + 12 ) − x 2 x + 12 + x
3
3
(
= lim
x →−2
)
( x + 2 ) ( x 2 − 2 x + 12 )
2
x ( x + 2 ) 3 ( 2 x + 12 ) − x 3 2 x + 12 + x 2
(
)(
)(
= lim
x →−2
)
x 2 − 2 x + 12
2
2
3
3 ( 2 x + 12 ) − x 2 x + 12 + x x
=−
5
6
4
x −1 4 x +1
x +1
x −1
d) lim 3
=
lim
x →1 x + x 2 − 2
x →1
( x − 1) x 2 + x + 2 4 x + 1 x + 1
4
)(
( x − 1)( x + 1)
= lim
( x − 1) ( x + x + 2 ) ( x + 1)(
x →1
(
2
MOON.VN – Học để khẳng định mình !
)(
4
)
)
x +1
= lim
x →1
(x
2
+ x+2
)(
1
4
)(
x +1
)
x +1
=
1
12
Học trực tuyến : www.moon.vn
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng
CHUYÊN ĐỀ : GIỚI HẠN
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
x+3
x →−3 x 2 − 9
a. lim
x2 − 4 x + 3
x →3
x−3
b. lim
c. lim
x→2
x2 + x − 6
x2 − 4
Bài 2: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
x 2 − 16
a. lim 2
x→4 x + x − 20
b. lim
4 − x2
x→−2
x3 + 8
c. lim
x 2 + 3x + 2
x→−2 2 x 2
+ x+6
Bài 3: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
a. lim
x →5
x 2 + x − 30
2 x2 − 9 x − 5
b. lim
x→
1
2
2 x2 − 5x + 2
4 x2 − 1
2 x 2 + 3x + 1
x →−1 − x 2 + 4 x + 5
c. lim
Bài 4: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
x+ 2 x −3
x2 − 2
b.
lim
x →1 x − 5 x + 4
x→ 2 x 2 − x + 2 − 2
Bài 5: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
a. lim
x 4 − 16
x3 − 1
b.
lim
x →− 2 x 2 + 2 x
x →1 x 2 − x
Bài 6: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
2x2 + x − 6
x→ −2
x3 + 8
c. lim
3
2
x − x − x +1
a. lim
c. lim
x3 − 3x + 2
x3 − x2 + 2x + 4
a. lim 3 2
b. lim
x→1 x − x − x + 1
x→−1 x2 − 3x − 4
Bài 7: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
x 4 − 6 x 2 − 27
c. lim 3
x →−3 x + 3 x 2 + x + 3
3
a. lim
x − 3x + 2
4
x − 4x + 3
Bài 8: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
x →1
4 x 2 + x − 18
b. lim
x→2
x3 − 8
x5 + 1
x5 − 1
b.
lim
x →−1 x 3 + 1
x →1 x 3 − 1
Bài 9: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
a. lim
x3 − 3x 2 + 5 x − 3
2 x 2 − 3x − 2
b. lim
x →1
x →2
x−2
x2 − 1
Bài 10: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
a. lim
x →1
2
− x + 3x − 2
x4 − x2 − 72
c. lim 2
x →3 x − 2 x − 3
c lim
x →3
x3 − 5 x 2 + 3x + 9
x4 − 8x2 − 9
x2 + 2x
x →−2 x 2 + 4 x + 4
c lim
x+2
x−4
1
1
+
b. lim 2
+ 2
2
2
x →1 x − 5 x + 4
3( x − 3 x + 2)
x − 3x + 2 x − 5x + 6
Bài 11: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
a. lim
x→2
1
3
2
1
b. lim
−
−
2
3
x
→
1
x −1 x −1
1− x 1− x
Bài 12: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
a. lim
x →1
1
4
c. lim
+ 2
x →−2 x + 2
x −4
2( x + h)3 − 2 x3
x n − nx + n − 1
a. lim
b. lim
h→0
x →1
h
( x − 1)2
Bài 13: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
MOON.VN – Học để khẳng định mình !
Học trực tuyến : www.moon.vn
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng
CHUYÊN ĐỀ : GIỚI HẠN
x+2−x
1+ x − 1− x
b. lim
x→2
x→0
x
4x +1 − 3
Bài 14: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
a. lim
x2 − x
x −1
b. lim
x →1
x
→
1
x −1
x+3 −2
Bài 15: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
a. lim
2x + 7 − 3
x2 − 1 + x − 1
b. lim+
x →1 2 −
x →1
x+3
x −1
Bài 16: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
a. lim
x + 5 − 2x +1
x− x+2
b. lim
x →2
x→4
x−4
4x +1 − 3
Bài 17: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
a. lim
3− 5+ x
2x + 7 − 3
b. lim
x →1 2 −
x → 4 1− 5 − x
x+3
Bài 18: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
a. lim
x +5 −3
2− x −3
b. lim 2
x→ 4
x
→
7
4− x
x − 49
Bài 19: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
a. lim
x3 − 3x − 2
2x + 7 + x − 4
lim
b.
x →1
x →1
x3 − 4 x 2 + 3
x2 −1
Bài 20: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
a. lim
x −3 −2
2− x+2
b. lim 2
2
x →7 49 − x
x →2 x − 3 x + 2
Bài 21: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
a. lim
2x + 7 − 3
a. lim
3
2
− 4x + 3
Bài 22: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
x →1 x
2 − x2 + 3
x →1 − x 2 + 3 x − 2
b. lim
3
10 − x − x + 2
x+4− x
b.
lim
2
x →2
x →4 x − 5 x + 4
x−2
Bài 23: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
3− 5+ x
x→4 1 − 5 − x
c. lim
c. lim
x+2−x
4x +1 − 3
c. lim
x + 1 − x2 + x + 1
x
x →2
x →0
3− 8+ x
x →1 2 x − 5 − x
c. lim
c. lim
2x + 3 − x + 2
3x + 3
c. lim
4x +1 − 3
x2 − 4
c. lim
x 2 + 3 + x3 − 3x
x −1
c. lim
4x +1 − 3
x2 − 4
x →−1
x →2
x →1
x →2
x→2
c. lim
x+6 − x+2
x2 − 4
c. lim
x +1 − 3 x + 5
x−3
3
a. lim
8 x + 11 − x + 7
2 x + 10 + 3 x − 5
b.
lim
x→2
x →−3
x2 − 3x + 2
x2 − 9
Bài 24: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
x− x+2
x3 − 8
c. lim
3
x →2
3
a. lim
3
a. lim
x →0
1+ x − 1− x
x
MOON.VN – Học để khẳng định mình !
3
b. lim
x→−2
x −6 + x +6
x2 + x − 2
x →3
c. lim
x→0
3
x +1 + x + 4 − 3
x
Học trực tuyến : www.moon.vn
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng
CHUYÊN ĐỀ : GIỚI HẠN
LỜI GIẢI BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
x+3
x2 − 4x + 3
a. lim 2
b. lim
x →−3 x − 9
x →3
x−3
Lời giải:
x+3
1
1
= lim
=− .
a) lim 2
x →−3 x − 9
x →−3 x − 3
6
2
x − 4x + 3
b) lim
= lim ( x − 1) = 2.
x →3
x→3
x−3
2
( x − 2 )( x + 3) = lim x + 3 = 5 .
x + x−6
=
lim
c) lim
x→2 x 2 − 4
x→2 ( x − 2 )( x + 2 ) x →2 x + 2
4
Bài 2: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
x 2 − 16
4 − x2
a. lim 2
b. lim 3
x→4 x + x − 20
x→−2 x + 8
Lời giải:
2
( x − 4 )( x + 4 ) = lim x + 4 = 8 .
x − 16
a) lim 2
= lim
x→4 x + x − 20 x →4 ( x − 4 )( x + 5 )
x→4 x + 5
9
b) lim
4 − x2
x→−2
c) lim
3
x +8
x→−2 2 x
x→2
c. lim
x2 + x − 6
x2 − 4
x 2 + 3x + 2
x→−2 2 x 2
+ x−6
( 2 − x )( 2 + x ) = lim 2 − x = 1 .
x→−2 ( x + 2 ) x 2 − 2 x + 4
(
) x→−2 x2 − 2 x + 4 3
= lim
x 2 + 3x + 2
2
c. lim
+ x−6
( x + 1)( x + 2 ) = lim x + 1 = 1 .
x →−2 ( x + 2 )( 2 x − 3 ) x →−2 2 x − 3 9
= lim
Bài 3: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
x 2 + x − 30
2 x2 − 5x + 2
a. lim 2
b. lim
1
x →5 2 x − 9 x − 5
4 x2 − 1
x→
2
2 x 2 + 3x + 1
c. lim
x →−1 − x 2 + 4 x + 5
Lời giải:
( x − 5 )( x + 6 )
x + x − 30
x+6
a) lim 2
= lim
= lim
= 1.
x →5 2 x − 9 x − 5
x → 5 ( x − 5 )( 2 x + 1)
x →5 2 x + 1
2
b) lim
x→
1
2
( 2 x − 1)( x − 2 ) = lim x − 2 = − 3 .
2 x2 − 5x + 2
= lim
2
1
1
4x −1
4
x → ( 2 x − 1)( 2 x + 1)
x→ 2x +1
2
2
( 2 x + 1)( x + 1)
2 x + 3x + 1
2 x + 1 −1
= lim
= lim
= .
2
x →−1 − x + 4 x + 5
x →−1 ( x + 1)( 5 − x )
x → −1 5 − x
6
2
c) lim
Bài 4: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
x+ 2 x −3
x2 − 2
a. lim 2
b. lim
x →1 x − 5 x + 4
x→ 2 x − x + 2 − 2
Lời giải:
)(
)(
)
x− 2 x+ 2
x2 − 2
x+ 2
2 2
=
lim
= lim
=
.
2
x→ 2
2 x − x+ 2 −2
x − 2 x + 2 − 1 x→ 2 x + 2 − 1 2 2 − 1
a) lim
x→
(
2x2 + x − 6
x→ −2
x3 + 8
c. lim
(
MOON.VN – Học để khẳng định mình !
)
Học trực tuyến : www.moon.vn
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng
b) lim
x →1
x+ 2 x −3
= lim
x − 5 x + 4 x →1
(
(
)(
x − 1)(
CHUYÊN ĐỀ : GIỚI HẠN
) = lim
x − 4)
x −1
x +3
x →1
x + 3 −4
=
.
x −4 3
( x + 2 )( 2 x − 3) = lim 2 x − 3 = − 7 .
2x2 + x − 6
= lim
3
x→ −2
x→ −2 x + 2 x 2 − 2 x + 4
x +8
(
)(
) x→ −2 x 2 − 2 x + 4 12
c) lim
Bài 5: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
x 4 − 16
x3 − 1
a. lim 2
b. lim 2
x →− 2 x + 2 x
x →1 x − x
3
c. lim
2
x − x − x +1
x →1
2
− x + 3x − 2
Lời giải:
x + 4 ( x − 2 )( x + 2 )
( x − 2) x2 + 4
x 4 − 16
= lim
= lim
= 16.
a) lim 2
x →− 2 x + 2 x
x →− 2
x →− 2
x ( x + 2)
x
(
)
2
(
(
)
)
( x − 1) x 2 + x + 1
x3 − 1
x2 + x + 1
b) lim 2
= lim
= lim
= 3.
x →1 x − x
x →1
x →1
x ( x − 1)
x
c) lim
x →1
x 3 − x 2 − x +1
2
− x + 3x − 2
( x − 1) ( x 2 − 1)
x 2 −1
= lim
= lim
= 0.
x → 1 ( x − 1)( 2 − x )
x →1 2− x
Bài 6: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
x3 − 3x + 2
x3 − x2 + 2x + 4
a. lim 3 2
b. lim
x→1 x − x − x + 1
x→−1 x2 − 3x − 4
Lời giải:
x 4 − 6 x 2 − 27
x→−3 x 3 + 3 x 2 + x + 3
c. lim
( x − 1) ( x + 2 ) = lim x + 2 = 3 .
x3 − 3x + 2
a) lim 3 2
= lim
x→1 x − x − x + 1
x→1 x − 1 2 x + 1
( ) ( ) x→1 x + 1 2
2
(
)
( x +1) x2 − 2x + 4
7
x3 − x2 + 2x + 4
x2 − 2x + 4
b) lim
=
lim
=
lim
=− .
2
x→−1 x − 3x − 4
x→−1
x→−1
x−4
5
( x +1)( x − 4)
(
(
)(
)
)
(
)
x2 + 3 x2 − 9
x 2 + 3 ( x − 3)
x 4 − 6 x 2 − 27
36
c) lim 3
= lim
= lim
=− .
2
2
2
x →−3 x + 3 x + x + 3
x →−3 x + 1 ( x + 3 )
x →−3
5
x +1
Bài 7: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
3
x − 3x + 2
4 x 2 + x − 18
a. lim 4
b. lim
x→2
x → 1 x − 4x + 3
x3 − 8
Lời giải:
c. lim
x →3
x4 − x2 − 72
x2 − 2 x − 3
2
x − 1) ( x + 2 )
(
x+2
3 1
a) lim 4
= lim
=
lim
=
= .
2
2
x → 1 x − 4x + 3
x →1 x − 1
( ) ( x 2 + 2 x + 3) x→1 x + 2 x + 3 6 2
( x − 2 )( 4 x + 9 ) = lim 4 x + 9 = 17 .
4 x 2 + x − 18
b) lim
= lim
3
x→2
x→2 x − 2
x −8
(
) ( x 2 + 2 x + 4 ) x → 2 x 2 + 2 x + 4 12
( x2 + 8) ( x − 3)( x + 3) = lim ( x2 + 8) ( x + 3) = 51 .
x 4 − x 2 − 72
c) lim 2
= lim
x →3 x − 2 x − 3
x →3
x →3
2
x +1
( x + 1)( x − 3)
3
x − 3x + 2
Bài 8: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
MOON.VN – Học để khẳng định mình !
Học trực tuyến : www.moon.vn
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng
x5 + 1
x →−1 x 3 + 1
a. lim
CHUYÊN ĐỀ : GIỚI HẠN
b. lim
x →1
x5 − 1
x3 − 1
c lim
x →3
x3 − 5 x 2 + 3x + 9
x4 − 8x2 − 9
Lời giải:
( x + 1) ( x − x + x − x + 1)
x5 + 1
x4 − x3 + x2 − x + 1 5
=
lim
=
lim
= .
x →−1 x 3 + 1
x →−1
x →−1
x2 − x + 1
3
( x + 1) ( x 2 − x + 1)
4
3
2
a) lim
(
)
( x − 1) x 4 + x3 + x 2 + x + 1
x5 − 1
x 4 + x3 + x 2 + x + 1 5
b) lim 3
= lim
=
lim
= .
x →1 x − 1
x →1
x →1
x2 + x + 1
3
( x − 1) x 2 + x + 1
c) lim
x→3
(
)
( x − 3) ( x 2 − 2 x − 3)
x3 − 5 x 2 + 3 x + 9
x2 − 2 x − 3
=
lim
=
lim
= 0.
x →3 x 2 + 1
x4 − 8x2 − 9
( ) ( x − 3)( x + 3) x→3 ( x 2 + 1) ( x + 3)
Bài 9: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
x3 − 3x 2 + 5 x − 3
2 x 2 − 3x − 2
a. lim
b. lim
x→1
x→2
x−2
x2 − 1
Lời giải:
2
( x − 2 )( 2 x + 1) = lim 2 x + 1 = 5.
2 x − 3x − 2
a) lim
= lim
(
)
x→2
x→2
x→2
x−2
x−2
(
x2 + 2x
x →−2 x 2 + 4 x + 4
c lim
)
( x − 1) x 2 − 2 x + 3
x3 − 3x 2 + 5 x − 3
x2 − 2x + 3
b) lim
=
lim
=
lim
= 1.
x→1
x→1
x→1
x +1
x2 − 1
( x − 1)( x + 1)
x ( x + 2)
x2 + 2x
x
= lim
= lim
= −∞
2
2
x →−2 x + 4 x + 4
x →−2 x + 2
(
) x→−2 x + 2
c) lim
Bài 10: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
x+2
x−4
1
1
a. lim 2
b. lim 2
+
+ 2
2
x→2 x − 3 x + 2
x →1 x − 5 x + 4
3( x − 3 x + 2)
x − 5x + 6
Lời giải:
1
1
1
1
2x − 4
a) lim 2
+ 2
= lim
+
= lim
x→2 x − 3x + 2
x − 5 x + 6 x → 2 ( x − 1)( x − 2 ) ( x − 2 )( x − 3) x → 2 ( x − 1)( x − 2 )( x − 3)
2
= lim
= −2
x → 2 ( x − 1)( x − 3 )
x+2
x−4
x+2
x−4
4x2 − 8x + 4
b) lim 2
+
=
lim
+
=
lim
2
x →1 x − 5 x + 4
3( x − 3 x + 2) x →1 ( x − 1)( x − 4 ) 3 ( x − 1)( x − 2 ) x→1 3 ( x − 1)( x − 2 )( x − 4 )
4x − 4
= lim
= 0.
x →1 3 ( x − 2 )( x − 4 )
Bài 11: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
1
3
2
1
a. lim 2
b. lim
c. lim 1 + 2 4
−
−
3
x →1 x − 1
x
→
1
x →−2 x + 2
x −1
x −4
1− x 1− x
Lời giải:
2 − ( x + 1)
1
1
2
1− x
−1
−
= lim
a) lim 2
= lim
2 = lim
=− .
2
1
1
1
x →1 x − 1
x
→
x
→
x
→
2
x −1
x −1
x +1
x −1
MOON.VN – Học để khẳng định mình !
Học trực tuyến : www.moon.vn
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng
CHUYÊN ĐỀ : GIỚI HẠN
(1 + x + x 2 ) − 3
( x − 1)( x + 2 )
3
1
x+2
= − lim
b) lim
−
=
lim
=
lim
= −1.
3
2
2
x→1 1 − x 1 − x x→1 (1 − x ) 1 + x + x x→1 (1 − x ) 1 + x + x
x →1 1 + x + x 2
(
)
(
)
x−2+4
4
1
1
1
c) lim
+ 2
= lim
=− .
= xlim
x →−2 x + 2
x
→−
2
→−
2
x −4
x−2
4
( x − 2 )( x + 2 )
Bài 12: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
2( x + h)3 − 2 x3
x n − nx + n − 1
a. lim
b. lim
h→0
x →1
h
( x − 1)2
Lời giải:
3
3
2
2
2( x + h) − 2 x
6 x h + 6 xh
= lim
= lim 6 x 2 + 6 xh = 6 x 2 .
a) lim
h→0
h
→
0
h→0
h
h
n −1
n−2
n
x n − nx + n − 1 x − 1 − n ( x − 1) ( x − 1) x + x + ... + x + 1 − n ( x − 1) x n −1 + x n− 2 + ... + x + 1 − n
b)
=
=
=
2
2
( x − 1) 2
x −1
( x − 1)
( x − 1)
(
)
(
)
x n −1 − 1 + x n − 2 − 1 + ... + x 2 − 1 + x − 1
=
= x n − 2 + x n −3 + ... + x + 1 + x n −3 + x n − 4 + ... + x + 1 + ... + ( x + 1) + 1
x −1
n−2
n −3
= x + 2 x + ... + ( n − 2 ) x + n − 1
(
lim
x →1
) (
)
n ( n − 1)
x n − nx + n − 1
= lim x n − 2 + 2 x n −3 + ... + ( n − 2 ) x + n − 1 = 1 + 2 + .. + ( n − 2 ) + ( n − 1) =
.
2
x →1
( x − 1)
2
(
)
Bài 13: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
x+2−x
3− 5+ x
c. lim
x→2
x→4 1 − 5 − x
x→0
4x +1 − 3
Lời giải:
1 + x − (1 − x )
1+ x − 1− x
2
a) Ta có lim
= lim
= lim
=1
x→0
x
→
0
x
→
0
x
x 1+ x + 1− x
1+ x + 1− x
a. lim
1+ x − 1− x
x
b. lim
(
(
)
)
(
(
)
( 2 − x )( x + 1) 4 x + 1 + 3
( x + 2 − x2 ) 4x + 1 + 3
x+2−x
= lim
= lim
b) lim
x→2
x→2
4 x + 1 − 3 x→2
x + 2 + x ( 4 x − 8)
4 x + 2 + x ( x − 2)
(
(
)
( x + 1) 4 x + 1 + 3
= lim −
x→2
4 x+2+ x
(
(
(
)
)
)
(
) = − 9
)
)
8
(
)
)
− 1+ 5 − x
(4 − x) 1+ 5 − x
3− 5+ x
1
= lim
= lim
=−
x →4 1 − 5 − x
x→4
3
( x − 4 ) 3 + 5 + x x→4 3 + 5 + x
c) lim
(
Bài 14: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
a. lim
x2 − x
x −1
a) lim
t ( t − 1) ( t + t + 1)
x2 − x t = x
t4 − t
= lim
= lim
= lim t ( t 2 + t + 1) = 3
t
→
1
t
→
1
t →1
−
1
−
1
t
t
x −1
x →1
b. lim
x →1
x −1
x+3 −2
c. lim
x →2
x+2−x
4x +1 − 3
Lời giải:
2
x →1
b) lim
x →1
x −1
x −1
1
1
= lim
= lim
=
x →1
x + 3 − 2 x →1 x − 1
x +1 2
MOON.VN – Học để khẳng định mình !
Học trực tuyến : www.moon.vn
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng
(
CHUYÊN ĐỀ : GIỚI HẠN
)
(
( 2 − x )( x + 1) 4 x + 1 + 3
( x + 2 − x2 ) 4x + 1 + 3
x+2−x
= lim
= lim
c) lim
x→2
x→2
4 x + 1 − 3 x→2
x + 2 + x ( 4 x − 8)
4 x + 2 + x ( x − 2)
(
(
)
( x + 1) 4 x + 1 + 3
= lim −
x→2
4 x+2+ x
Bài 15: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
(
a. lim
x →1
)
2x + 7 − 3
a) lim
x →1
= lim
x →1
8
(
x →0
) = lim −2 ( 2 + x + 3 ) = − 4
(1 − x ) ( 2 x + 7 + 3)
( 2 x + 7 + 3) 3
2 ( x − 1) 2 + x + 3
x →1
x2 − 1 + x − 1
x2 − 1
x −1
= lim+
+ lim+
= lim x + 1 + lim+
x →1
x →1
x −1
x − 1 x→1 x − 1 x→1+
c) lim
x + 1 − x2 + x + 1
= lim
x →0
x
x
x →0
x + 1 − x2 + x + 1
x
c. lim
b) lim+
x →1
)
x2 − 1 + x − 1
x −1
Lời giải:
x →1
2x + 7 − 3
2− x+3
) = − 9
b. lim+
2− x+3
(
)
(
− x2
x + 1 + x2 + x + 1
)
= lim
x →0
(
( x − 1)
(
)
x +1
x −1
−x
x + 1 + x2 + x + 1
= 2 + lim+
x →1
(
x −1
)
x +1
= 2
=0
)
Bài 16: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
a. lim
x + 5 − 2x +1
x−4
a) lim
x + 5 − 2x + 1
= lim
x → 4 ( x − 4)
x−4
x→4
x→4
(
b. lim
x →2
)(
x− x+2
4x +1 − 3
Lời giải:
4− x
(
x + 5 + 2x +1
)
)
3− 8+ x
x →1 2 x − 5 − x
c. lim
= lim
x→4
(
−1
x + 5 + 2x +1
(
x2 − x − 2
4x +1 + 3
( x − 2 )( x + 1) 4 x + 1 + 3
x− x+2
b) lim
= lim
= lim
x →2
x →2
4 x + 1 − 3 x→2
4 x + 2 + x ( x − 2)
x + 2 + x ( 4 x − 8)
(
)
(
( x + 1) 4 x + 1 + 3
= lim
x→2
4 x+2 +x
(
(
)
(
)
)
)
(
= lim
x →1
1
6
) = 9
8
)
(
)
(1 − x ) 2 x + 5 − x
(1 − x ) 2 x + 5 − x
3− 8+ x
= lim
=
lim
x →1 2 x − 5 − x
x →1 4 x 2 + x − 5 3 + 8 + x
x →1 ( x − 1)( 4 x + 5 ) 3 + 8 + x
c) lim
=−
)(
(
)
− 2x + 5 − x
( 4 x + 5) ( 3 +
)
8+ x
)
=−
(
)
2
27
Bài 17: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
3− 5+ x
x → 4 1− 5 − x
a. lim
b. lim
x →1
2x + 7 − 3
2− x+3
Lời giải:
c. lim
x →−1
2x + 3 − x + 2
3x + 3
9 − (5 + x ) 1 + 5 − x
3− 5+ x
4 − x 1+ 5 − x
1+ 5 − x
1+1
1
= lim
.
= lim
.
= lim −
=−
=−
x → 4 1− 5 − x
x →4 1 − ( 5 − x ) 3 + 5 + x
x→4 x − 4 3 + 5 + x
x →4
3+3
3
5+ x +3
a) lim
MOON.VN – Học để khẳng định mình !
Học trực tuyến : www.moon.vn
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng
b) lim
x →1
CHUYÊN ĐỀ : GIỚI HẠN
2x + 7 − 3
2x + 7 − 9 2 + x + 3
2x − 2 2 + x + 3
2+ x+3
4
= lim
.
= lim
.
= lim − 2.
=−
x →1 4 − x − 3
3
2− x+3
2 x + 7 + 3 x →1 1 − x
2 x + 7 + 3 x →1
2x + 7 + 3
2x + 3 − x + 2
2x + 3 − x − 2
= lim
= lim
x
→−
1
3x + 3
( 3x + 3) 2 x + 3 + x + 2 x→−1 3 ( x + 1)
c) lim
(
x →−1
= lim
x →−1
3
)
1
(
2x + 3 + x + 2
=
)
(
x +1
2x + 3 + x + 2
)
1
1
=
3. (1 + 1) 6
Bài 18: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
a. lim
x +5 −3
4− x
a) lim
x+5 −3
x +5−9
x−4
1
1
1
= lim
= lim
= lim −
=−
=−
x→4
4− x
( 4 − x ) x + 5 + 3 x→4 ( 4 − x ) x + 5 + 3 x→4 x + 5 + 3 3 + 3 6
x→4
2− x −3
x →7
x 2 − 49
Lời giải:
(
x→4
c. lim
b. lim
)
x→2
(
)
2− x −3
4− x+3
1
= lim
= lim −
2
x →7
x →7
x − 49
( x − 7 )( x + 7 ) 2 + x − 3 x→7 ( x + 7 ) 2 + x − 3
b) lim
(
)
(
)
= lim −
x→7
4 ( x − 2)
4x +1 − 3
4x +1− 9
= lim
= lim
2
x→2
x −4
( x + 2 )( x − 2 ) 4 x + 1 + 3 x→2 ( x − 2 )( x + 2 ) 4 x + 1 + 3
c) lim
(
x→2
= lim
x→2
( x + 2) (
)
4
4x +1 + 3
)
=
4x +1 − 3
x2 − 4
(
1
1
=−
14. ( 2 + 2 )
56
)
4
1
=
4. ( 3 + 3) 6
Bài 19: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
2x + 7 + x − 4
x3 − 4 x 2 + 3
a. lim
x →1
b. lim
x →1
x3 − 3x − 2
x2 −1
Lời giải:
c. lim
x →1
2x + 7 − ( x − 4)
2x + 7 + x − 4
a) Ta có lim 3
= lim
2
3
2
x →1
x →1
x − 4x + 3
( x − x − 3 x 2 + 3) 2 x + 7 − x + 4
x 2 + 3 + x3 − 3x
x −1
2
(
= lim
( x − 1) ( x
= lim
(x
x →1
x →1
b) lim
x →1
− x 2 + 10 x − 9
2
− 3 ( x + 1) )
(
2x + 7 − x + 4
9− x
2
− 3 ( x + 1) )
(
2x + 7 − x + 4
)
=
)
= lim
x →1
( x − 1) ( x
2
)
( x − 1)( 9 − x )
− 3 ( x + 1) ) ( 2 x + 7 − x + 4 )
9 −1
4
=−
(1 − 3.2 )( 3 − 1 + 4 ) 15
x3 − 3x − 2
x6 − 3x + 2
x 6 − 1 − 3x + 3
=
lim
=
lim
x →1
x2 −1
( x2 − 1) x3 + 3x − 2 x→1 ( x − 1)( x + 1) x3 + 3x − 2
(
= lim
x →1
(x
3
(
)
( x − 1) ( ( x3 + 1)( x 2 + x + 1) − 3)
= lim
3 x − 2 ) x →1 ( x − 1)( x + 1) ( x3 + 3 x − 2 )
+ 1)( x3 − 1) − 3 ( x − 1)
( x − 1)( x + 1) ( x3 +
(x
= lim
x →1
3
)
+ 1)( x 2 + x + 1) − 3
( x + 1) ( x
3
+ 3x − 2
)
=
(1 + 1)(1 + 1 + 1) − 3 = 2.3 − 3 = 3
2.2
4
(1 + 1)(1 + 1)
x 2 + 3 − ( x3 − 3x )
x 2 + 3 + x3 − 3x
x2 + 3 − x6 + 6 x4 − 9 x2
= lim
= lim
c) lim
x →1
x →1
x −1
( x − 1) x 2 + 3 − x3 + 3x x→1 ( x − 1) x 2 + 3 − x3 + 3x
2
(
MOON.VN – Học để khẳng định mình !
)
(
)
Học trực tuyến : www.moon.vn
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng
= lim
x →1
= lim
x →1
CHUYÊN ĐỀ : GIỚI HẠN
− x6 + 6 x4 − 8x2 + 3
( x − 1) (
(x
x 2 + 3 − x3 + 3x
− 1)( − x 4 + 5 x 2 − 3 )
2
( x − 1) (
x 2 + 3 − x3 + 3x
)
)
= lim
− x6 + x 4 + 5 x 4 − 5 x 2 + 3 − 3x 2
( x − 1) (
x →1
x 2 + 3 − x3 + 3x
)
( x + 1) ( − x 4 + 5 x 2 − 3) (1 + 1)( −1 + 5 − 3) 1
= lim
=
=
(
x →1
x 2 + 3 − x3 + 3x
)
2 −1 + 3
2
Bài 20: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
a. lim
x −3 −2
49 − x 2
a) lim
x −3 − 2
x −3− 4
x−7
= lim
= lim
2
x→7
49 − x
( 7 − x )( 7 + x ) x − 3 + 2 x→7 ( 7 − x )( 7 + x ) x − 3 + 2
x →7
x →7
x →2
(
= lim −
x →7
b) lim
x→2
c) lim
x→2
2− x+2
x 2 − 3x + 2
Lời giải:
b. lim
(7 + x) (
x →2
)
1
x−3 +2
)
=−
4x +1 − 3
x2 − 4
c. lim
(
1
( 7 + 7 )( 2 + 2 )
=−
)
1
56
1
1
2− x+2
4− x−2
1
= lim
= lim
=
=−
2
x
→
2
x
→
2
x − 3x + 2
( x − 1)( x − 2 ) 2 + x + 2
(1 − x ) 2 + x + 2 ( 2 − 1)( 2 + 2 ) 4
(
)
(
)
4 ( x − 2)
4x +1 − 3
4x +1− 9
= lim
= lim
2
x
→
2
x
→
2
x −4
( x + 2 )( x − 2 ) 4 x + 1 + 3
( x − 2 )( x + 2 ) 4 x + 1 + 3
(
= lim
x→2
)
4
( x + 2) (
4x +1 + 3
)
=
(
)
4
1
=
4. ( 3 + 3) 6
Bài 21: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
a. lim
2 − x2 + 3
b. lim 2
x →1 − x + 3 x − 2
2x + 7 − 3
x →1 x
3
2
− 4x + 3
2x + 7 − 3
= lim
3
x → 1 x − 4 x2 + 3
x →1
a) lim
= lim
x →1
(
(
(
x→2
x− x+2
x3 − 8
Lời giải:
)( 2 x + 7 + 3) = lim
2 x + 7 + 3 ) ( x − 4 x + 3)
(
( 2x + 7) − 9
2 x + 7 + 3 ) ( x − 1) ( x 2 − 3 x − 3)
2x + 7 − 3
3
2 ( x − 1)
)
c. lim
(
2 x + 7 + 3 ( x − 1) x 2 − 3 x − 3
(
)
= lim
x →1
)(
)(
2
(x
x →1
2
2
− 3x − 3
)
)
)(
2x + 7 + 3
)
=
(
2
(1 − 3 − 3) (
)
2 − x2 + 3 2 + x2 + 3
4 − x2 + 3
2 − x2 + 3
b) lim 2
= lim
= lim
x →1 − x + 3 x − 2
x →1
x →1
2
2
− x + 3x − 2 2 + x + 3
(1 − x )( x − 2 ) 2 + x 2 + 3
(
(1 − x )(1 + x )
x →1
(1 − x )( x − 2 ) 2 + x 2 + 3
= lim
(
(
)
= lim
x →1
1+ x
( x − 2)
)(
(2 +
)
x2 + 3
)
=
(
= lim
x→ 2
( x − 2) ( x
(
)(
( x − 2 )( x + 1)
2
)(
+ 2x + 4 x + x + 2
)
)
= lim
x →2
(x
)(
(
x +1
2
)(
)
1
.
15
)
1+1
1
=− .
(1 − 2 )(1 + 3) 2
x− x+2 x+ x+2
x− x+2
x2 − x − 2
=
lim
=
lim
x→2
x →2
x →2 x 3 − 8 x + x + 2
x3 − 8
x3 − 8 x + x + 2
c) lim
9 +3
=−
+ 2x + 4 x + x + 2
)
=
)
2 +1
1
=
( 4 + 4 + 4 )( 2 + 2 ) 16
Bài 22: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
MOON.VN – Học để khẳng định mình !
Học trực tuyến : www.moon.vn
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng
x+4− x
a. lim 2
x →4 x − 5 x + 4
CHUYÊN ĐỀ : GIỚI HẠN
3
3
b. lim
x →2
x+4 − x
a) lim 2
= lim
x →1 x − 5 x + 4
x →1
3
(
3
) (
10 − x − x + 2
x−2
Lời giải:
x+4 −2 + 2− x
2
x − 5x + 4
) = lim
3
c. lim
x →2
x+6 − x+2
x2 − 4
x+4 −2
x −2
− lim 2
x →1 x − 5 x + 4
x →1 x − 5 x + 4
3
2
( x − 2)( x + 2 )
( x + 4) − 8
− lim
2
x→4
( x2 − 5x + 4 ) 3 ( x + 4 )2 + 2 3 x + 4 + 4 x→4 ( x − 5x + 4 ) ( x + 2 )
= lim
= lim
x→ 4
x−4
( x − 1)( x − 4 ) 3 ( x + 4 )2 + 2 3 x + 4 + 4
= lim
x→ 4
( x − 1) 3 ( x + 4 )
2
3
x→2
x →4
1
b) lim
− lim
+ 2 3 x + 4 + 4
− lim
x →4
x−4
( x − 1)( x − 4 ) (
1
( x − 1) (
x +2
)
=
x +2
)
1
1
1
−
=− .
3 ( 4 + 4 + 4 ) 3.4
18
3
3
10 − x − x + 2
10 − x − 2 + 2 − x + 2
10 − x − 2
2− x+2
= lim
= lim
+ lim
x →2
x →2
x →2
x−2
x−2
x−2
x−2
( 2 − x + 2 )( 2 + x + 2 )
(10 − x ) − 8
+ lim
x→ 2
x →2
( x − 2) ( 2 + x + 2 )
( x − 2 ) 3 (10 − x )2 + 2 3 10 − x + 4
= lim
= lim
x→ 2
2− x
( x − 2 ) 3 (10 − x )2 + 2 3 10 − x + 4
x→ 2 3
x →2
−1
= lim
+ lim
(10 − x )2 + 2 3 10 − x + 4
4− x−2
( x − 2) ( 2 +
x+2
)
−1
−1
−1
1
=
+
=− .
x →2 2 + x + 2
4+4+4 2+2
3
+ lim
3
3
x+6 − x+2
x+6 −2+2− x+2
x+6 −2
2− x+2
=
lim
=
lim
+ lim
2
2
2
x→2
x
→
x
→
x
→
2
2
2
x −4
x −4
x −4
x2 − 4
x + 6−8
4− x−2
= lim
+ lim
x→ 2
x →2 x − 2 x + 2 2 + x + 2
(
)(
)
( x − 2 )( x + 2 ) 3 ( x + 6 )2 + 2 3 x + 6 + 4
1
−1
1
1
1
= lim
+ lim
=
−
=− .
x→ 2
x →2 x + 2 2 + x + 2
2
4 ( 4 + 4 + 4 ) 4.4
24
(
)
( x + 2 ) 3 ( x + 6 ) + 2 3 x + 6 + 4
Bài 23: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
c) lim
3
(
(
3
a. lim
x→2
a) lim
x→2
3
8 x + 11 − x + 7
x2 − 3x + 2
b. lim
x →−3
2 x + 10 + 3 x − 5
x2 − 9
Lời giải:
)
)
c. lim
x →3
x +1 − 3 x + 5
x−3
3
3
8 x + 11 − x + 7
8 x + 11 − 3 + 3 − x + 7
8 x + 11 − 3
3− x + 7
=
lim
=
lim
+ lim 2
2
2
2
x →2
x →2 x − 3 x + 2
x →2 x − 3 x + 2
x − 3x + 2
x − 3x + 2
MOON.VN – Học để khẳng định mình !
Học trực tuyến : www.moon.vn
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng
CHUYÊN ĐỀ : GIỚI HẠN
(3 − x + 7 )(3 +
(8 x + 11) − 27
+ lim
2
x→ 2
( x 2 − 3x + 2 ) 3 (8x + 11)2 + 33 8x + 11 + 9 x→2 ( x − 3x + 2) ( 3 +
= lim
8 ( x − 2)
= lim
( x − 2 )( x − 1) 3 ( 8 x + 11)
x→ 2
+ 3 3 8 x + 11 + 9
2
8
= lim
( x − 1) 3 (8 x + 11)2 + 3 3 8 x + 11 + 9
x→ 2
+ lim
x →2
+ lim
x →2
)
x +7)
x+7
9− x−7
( x − 2 )( x − 1) ( 3 +
−1
( x − 1) ( 3 +
x+7
)
=
x+7
)
8
−1
7
+
= .
1. ( 9 + 9 + 9 ) 1. ( 3 + 3) 54
3
2 x + 10 + 3 x − 5
2 x + 10 − 2 + 2 + 3 x − 5
2 x + 10 − 2
x−5 +2
=
lim
=
lim
+
lim
2
2
2
x →−3
x →−3
x →−3
x →−3
x −9
x −9
x −9
x2 − 9
2 x + 10 − 4
x−5+8
= lim
+ lim
x →−3 ( x + 3 )( x − 3 )
x →−3
( x + 3)( x − 3) 3 ( x − 5 )2 − 2 3 x − 5 + 4
2
1
2
1
25
= lim
+ lim
=
+
=− .
x →−3 x − 3 x →−3
2
( x − 3) 3 ( x − 5) − 2 3 x − 5 + 4 −3 − 3 ( −3 − 3)( 4 + 4 + 4 ) 72
b) lim
3
x +1 − 3 x + 5
x +1 − 2 + 2 − 3 x + 5
x +1 − 2
x+5 −2
= lim
= lim
− lim
x →3
x →3
x →3
x−3
x −3
x −3
x−3
c) lim
x →3
= lim
(
x +1 − 2
( x − 3) (
x →3
= lim
x →3
)(
x +1 + 2
x +1 + 2
x +1− 4
( x − 3) (
x +1 + 2
)
)
) − lim
x →3
x + 5−8
( x − 3) 3 ( x + 5)2 + 2 3 x + 5 + 4
− lim
x →3
x −3
( x − 3) 3 ( x + 5 )2 + 2 3 x + 5 + 4
1
1
1
1
1
− lim
=
−
= .
x + 1 + 2 x →3 3 ( x + 5 ) 2 + 2 3 x + 5 + 4 2 + 2 4 + 4 + 4 6
= lim
x →3
Bài 24: [ĐVH]. Tính các giới hạn sau
1+ x − 1− x
x
3
a. lim
x →0
a) lim
3
x →0
3
b. lim
x→−2
x −6 + x +6
x2 + x − 2
Lời giải:
1 + x −1
+ lim
(1 −
)(
1− x 1+ 1− x
(
x →0
2
x 1+ 1− x
x 3 (1 + x ) + 3 1 + x + 1
1
1 −1 + x
= lim
+ lim
x→0 3
(1 + x )2 + 3 1 + x + 1 x→0 x 1 + 1 − x
x→0
(
x→0 3
b) lim
x →−2
x→0
3
x +1 + x + 4 − 3
x
3
3
1+ x − 1− x
1 + x −1+ 1 − 1 − x
1 + x −1
1− 1− x
= lim
= lim
+ lim
x →0
x →0
x →0
x
x
x
x
= lim
= lim
c. lim
1
(1 + x )
3
2
+ 3 1+ x +1
+ lim
x →0 1 +
)
)
)
1
1
1
5
=
+
= .
1− x 1+1+1 1+1 6
3
3
x−6 + x+6
x−6 +2−2+ x+6
x−6 +2
x+6 −2
= lim
= lim 2
− lim 2
2
2
x →−2
x →−2 x + x − 2
x →−2 x + x − 2
x + x−2
x + x−2
MOON.VN – Học để khẳng định mình !
Học trực tuyến : www.moon.vn
Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng
= lim
x →−2
CHUYÊN ĐỀ : GIỚI HẠN
x −6+8
( x + 2 )( x − 1) 3 ( x − 6 )2 − 2 3 x − 6 + 4
= lim
x →−2
x →−2
1
( x − 1) 3 ( x − 6 )2 − 2 3 x − 6 + 4
1
( x − 1) 3 ( x − 6 )
3
x→0
− lim
x →−2
2
c) lim
x →−2
= lim
− lim
− 2 3 x − 6 + 4
− lim
x →−2
(
)(
( x + 2 )( x − 1) (
x + 1−1
x+6−4
( x + 2 )( x − 1) (
( x − 1) (
x+6 +2
1
x+6 +2
+ lim
(
x+4 −2
(
)(
x+4 +2
x→0
2
x x+4+2
x 3 ( x + 1) + 3 x + 1 + 1
1
x+4−4
= lim
+ lim
x→0 3
( x + 1)2 + 3 x + 1 + 1 x → 0 x x + 4 + 2
x→0
(
x→0 3
x+6 +2
)
=
)
1
1
1
−
=− .
−3 ( 4 + 4 + 4 ) −3.4
9
3
3
x +1 + x + 4 − 3
x + 1 −1 + x + 4 − 2
x +1 −1
x+4 −2
= lim
= lim
+ lim
x→0
x→0
x→0
x
x
x
x
= lim
= lim
)
x + 6 + 2)
x+6 −2
1
( x + 1)
2
+ 3 x +1 +1
+ lim
x→0
)
)
)
1
1
1
7
=
+
= .
x + 4 + 2 1 + 1 + 1 2 + 2 12
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
MOON.VN – Học để khẳng định mình !
Học trực tuyến : www.moon.vn
