TOÁN TỔNG hợp về PP tọa độ KHÔNG GIAN BT muc do 3 (4)

Câu 47:

[HH12.C3.6.BT.c] (THPT CHU VĂN AN) Trong không gian với hệ toạ độ
phương trình mặt phẳng
các điểm

đi qua điểm

sao cho

và cắt các tia

,

,

viết
lần lượt tại

đạt giá trị nhỏ nhất.

A.

.

C.

.

B.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A

Gọi

là hình chiếu của

là hình chiếu của

lên

lên

,

. Ta có

và
(hằng số)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Do đó, GTNN của
Suy ra

bằng

(đạt được khi và chỉ khi

đi qua

và có VTPT là

Vậy,
Câu 19:

.
)

.

.

[HH12.C3.6.BT.c] (THPT HAI BÀ TRƯNG) Trong không gian
Điểm
thể tích của khối tứ diện
Khi đó có tọa độ điểm
A.

bằng

và khoảng cách từ

có cao độ âm sao cho
đến mặt phẳng

thỏa mãn bài toán là:
B.

C.
Lời giải

Chọn A

Vì

trong mặt phẳng

, do cao độ âm nên

, cho điểm

D.

bằng .


Khoảng cách từ

đến mặt phẳng

Suy ra tọa độ

bằng 1

. Ta có:

Mà
Câu 23:

. Chọn đáp án

[HH12.C3.6.BT.c] (SGD – HÀ TĨNH ) Trong không gian với hệ trục
,

. Gọi

là đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác

tổng khoảng cách từ các điểm , ,
đến đường thẳng
véctơ nào là một véctơ chỉ phương của đường thẳng ?
A.

.

, cho hai điểm

B.

.

sao cho

là lớn nhất. Trong các véctơ sau,

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Ta có
Đặt
Dấu

xẩy ra

cùng vuông góc với

Véctơ pháp tuyến của

là

Trong các véctơ trên
Câu 1:

hay

cùng phương với

[HH12.C3.6.BT.c] (THPT Chuyên Lào Cai) Cho mặt cầu

và đường thẳng
hai điểm phân biệt

. Biết có hai giá trị thực của tham số để
và các mặt phẳng tiếp diện của

với nhau. Tích của hai giá trị đó bằng
A. .
B. .

C.
Lời giải

Chọn B

Vì

Tọa độ

là nghiệm của hệ

.

tại

và tại
D.

cắt

tại

luôn vuông góc
.


(*)
Theo giả thiết: Có hai giá trị thực của tham số để
PT

phải có

nghiệm phân biệt

cắt

tại hai điểm phân biệt

nên

.

Điều kiện:

Theo Viet, ta có

(1)

Giả sử

,

. Mặt cầu

có: tâm

.

;
Theo giả thiết: Mặt phẳng tiếp diện của

tại

và tại

luôn vuông góc với nhau

(2)
Từ (1) và (2)
: TM
Vậy
Câu 2:

.

[HH12.C3.6.BT.c] (THPT Chuyên Lào Cai) Trong không gian với hệ trục tọa độ
mặt cầu

. Tìm tọa độ điểm

thuộc trục

, cho

, biết rằng ba mặt phẳng

phân biệt qua
có các vectơ pháp tuyến lần lượt là các vectơ đơn vị của các trục tọa độ cắt
mặt cầu theo thiết diện là ba hình tròn có tổng diện tích là
.
A.
Chọn A
Mặt cầu
Gọi

.

B.

C.

.

D.

.

Lời giải

có tâm
bán kính
. Ba mặt phẳng theo giả thiết đi qua

Vì
bán kính
Suy ra mặt cầu

nên mặt cầu

cắt

. Diện tích hai hình tròn đó là
cắt

Bán kính đường tròn đó là:

Ta có:

.

theo giao tuyến là

có pt lần lượt là

theo giao tuyến là đường tròn lớn có
.
đường tròn có diện tích tương ứng

.

Câu 3:

[HH12.C3.6.BT.c] (THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN) Trong không gian với hệ tọa độ
cho mặt cầu
qua

và điểm

và đôi một vuông góc với nhau, cắt mặt cầu
,

A.

,

B.

.

. Ba mặt phẳng thay đổi đi
theo ba giao tuyến là các đường tròn

. Tính tổng diện tích của ba hình tròn

.

,

,

C.
Lời giải

,

.

.
D.

.

Chọn C

Mặt cầu

có tâm

và bán kính

.

Cách 1: (cụ thể hóa)
Xét ba mặt phẳng thay đổi đi qua
giao tuyến là các đường tròn
Gọi

và đôi một vuông góc với nhau, cắt mặt cầu

,

,

lần lượt là

.

lần lượt là bán kính của các đường tròn giao tuyến của mặt cầu

phẳng

theo ba

với ba mặt

.

Vì

đi qua tâm

nên

Tổng diện tích của ba hình tròn

;

,

,

nên

là

.

Cách 2 :
Gọi ba mặt phẳng đi qua
,

và đôi một vuông góc với nhau lần lượt là

lần lượt là hình chiếu của

lên mặt phẳng

tâm của các đường tròn giao tuyến
mặt cầu

,

,

.

Dựng hình hộp chữ nhật

như hình vẽ.

,

,

. Suy ra

của các mặt phẳng

,

,
,

,
,

. Gọi

,

lần lượt là
,

và


Ta có

.

Gọi

lần lượt là bán kính của các đường tròn giao tuyến của mặt cầu

phẳng

,

,

với ba mặt

.

Ta có

Suy ra tổng diện tích của ba hình tròn

Câu 18:

,

,

là

.

[HH12.C3.6.BT.c] Trong không gian với hệ tọa độ

. Đường thẳng
A.

.

cắt mặt phẳng

B.

.

, cho hai điểm

tại điểm
C.

.

và

. Tính tỉ số

.

D.

.

Lời giải
Chọn A

;

;

và

thẳng hàng

.
.

Câu 30:

[HH12.C3.6.BT.c] (THPT TIÊN LÃNG) Trong không gian với hệ toạ độ
phẳng
Tổng
A. .
Chọn C

, mặt cầu

tâm

tiếp xúc với mặt phẳng

tại

bằng
B. .

C.
Lời giải

.

D.

, cho mặt

.

.


Tiếp điểm

là hình chiếu vuông góc của

Đường thẳng

qua



, giải hệ phương trình

Vậy
Câu 43:

được

.

[HH12.C3.6.BT.c] (TRƯỜNG PTDTNT THCS&THPT AN LÃO) Trong không gian với hệ
, cho đường thẳng

tọa độ điểm

và mặt phẳng

có tọa độ âm thuộc

A.

.

sao cho khoảng cách từ

B.

.

điểm

đến

C.

.

bằng

.

D.

.

và mặt phẳng

có tọa độ âm thuộc

sao cho khoảng cách từ

.

.

A.

B.

. Tìm tọa độ
đến

C.

bằng
.

.

D.

.

[HH12.C3.6.BT.c] (THPT SỐ 1 AN NHƠN) Trong không gian với hệ tọa độ
điểm

và

. Có bao nhiêu mặt phẳng qua

điểm
?
A. mặt phẳng.
C. mặt phẳng.
Câu 46:

. Tìm

[HH12.C3.6.BT.c] (PTDTNT THCS&THPT AN LÃO) Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng

Câu 45:

.

có phương trình

nên

tọa độ

Câu 44:

và

lên

, cho ba

và cách đều ba

B. mặt phẳng.
D. Có vô số mặt phẳng.

[HH12.C3.6.BT.c] (CHUYÊN SƠN LA) Trong không gian

, cho

,

và mặt phẳng
. Điểm
thuộc mặt phẳng
vuông tại . Tính khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
.
A. .

B. .
C. .
D. .
Lời giải
Chọn B
Tam giác

vuông tại

Xét vị trí tương đối của
Lại vì
cầu

nên
trên

Đường thẳng
phương

,

, suy ra
và

thuộc mặt cầu

, ta có

là tiếp điểm của
có tâm là trung điểm

qua

đường kính

tiếp xúc
và

, hay

sao cho

.

.
là hình chiếu của tâm của mặt

của đoạn

.

và nhận vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

làm véctơ chỉ


Suy ra:
Câu 2:

.

[HH12.C3.6.BT.c] (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp) Trong không gian với hệ tọa độ
cho

,

,

,

,

thay đổi thì tâm

khoảng cách
A.

,

,

dương thỏa mãn

mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

từ

.

với

tới mặt phẳng

.

.

C.

B.

. Biết rằng khi

thuộc mặt phẳng

.

,

cố định. Tính

D.

.

Lời giải
Chọn C
Vì
Gọi

,

,

với

,

,

dương

là tam diện vuông.

là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Theo giả thiết

Tâm

nằm trên mặt phẳng

Vậy
Câu 8:

.

[HH12.C3.6.BT.c] (THPT AN LÃO) Trong không gian với hệ tọa độ
và mặt phẳng
điểm thuộc mặt phẳng

khoảng cách từ
A.

có phương trình

. Gọi

sao cho giá trị biểu thức

.

B.

.

C.
Lời giải

thỏa mãn hệ

là

nhỏ nhất. Tính

đến mặt phẳng

Chọn D
Gọi
là điểm sao cho

Tọa độ

, cho 3 điểm

.

D.

.


Ta có

Vậy đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
trên mặt phẳng
Vậy tọa độ điểm
Câu 9:

nhỏ nhất

là hình chiếu vuông góc của

suy ra

.

[HH12.C3.6.BT.c] (CỤM 7 TP. HỒ CHÍ MINH) Trong không gian với hệ toạ độ
điểm

,

các mặt phẳng toạ độ
A.

. Gọi

,

,

và

. Giá trị của tổng
B.
.

.

,

, cho

lần lượt là giao điểm của đường thẳng
. Biết

,

,

nằm trên đoạn

là:
C. .
`Lời giải

D.

với
sao cho

.

Chọn
Đường thẳng
Từ dữ kiện
, ,

.
và
lần lượt là trung điểm của

,

và

,

Mà

Câu 10:

,

. Vậy

.

[HH12.C3.6.BT.c] (TRƯỜNG THPT TH CAO NGUYÊN ) Trong không gian với hệ trục
tọa độ
hai số

, xét các mặt phẳng
và

thay đổi có phương trình

không đồng thời bằng

Tìm khoảng cách

B.

C.

, trong đó

lớn nhất từ điểm

mặt phẳng
A.

D.

tới các


Lời giải
Chọn D
Dễ thấy mặt phẳng

luôn qua

tới các mặt phẳng

và

Nên khoảng cách

chính là khoảng cách từ điểm

lớn nhất từ điểm

đến đường thẳng

Suy ra
Câu 24:

[HH12.C3.6.BT.c] (TRƯỜNG THPT TH CAO NGUYÊN ) Trong không gian với hệ trục
tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
mặt phẳng

và

và đường thẳng

chứa d, tiếp xúc với

. Hai

tại P và Q. Tìm tọa độ trung điểm H của đoạn

thẳng PQ
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B

Mặt cầu

có tâm

, bán kính

. Đường thẳng d có véctơ chỉ phương là

.
Từ giả thiết, ta có

tại P và

là giao tuyến của hai mặt phẳng

tại Q. Do
và

Suy ra

.
. Suy ra phương trình mặt phẳng

. Nếu H là trung điểm của PQ thì
Câu 26:

nên đường thẳng d

. Chỉ có phương án B thỏa mãn.

[HH12.C3.6.BT.c] (THPT TRẦN HƯNG ĐẠO) Cho ba điểm
. Tìm điểm
A.

sao cho
B.

là

,

,

nhỏ nhất?
C.

D.

Lời giải
Chọn C
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC
Ta có:
Vậy ta có:
M lên mặt phẳng
Câu 28:

nhỏ nhất khi

nhỏ nhất

G là hình chiếu vuông góc của

[HH12.C3.6.BT.c] (THI THỬ CỤM 6 TP. HỒ CHÍ MINH) Trong không gian với hệ tọa độ
,

và

lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm

và
A.

.

. Tính
B.

.

C. 0.
Lời giải

trên

.
D.

.

Chọn C
Ta có

Gọi d là đường thẳng đi qua

và vuông góc với mp(P), phương trình tham số của d

là:

Vì B là hình chiếu của I trên (P) nên

Vì A là hình chiếu của I trên

nên

Do đó
Vậy
Câu 29:

.

[HH12.C3.6.BT.c] (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ LẦN 8) Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai điểm
đổi thuộc
A.

.

,

và mặt phẳng

thì giá trị nhỏ nhất của
B.

Nếu

là

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Gọi
Do đó

là trung điểm đoạn

. Ta có

đạt giá trị nhỏ nhất khi

.
. Khi đó
;

.

thay


Vậy
Câu 32:

.

[HH12.C3.6.BT.c] (THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI) Trong không gian với hệ toạ độ
, cho đường thẳng

có phương trình

. Viết phương trình mặt phẳng
nhất.
A.
C.

.

và mặt phẳng
chứa

và tạo với

B.
D.
Lời giải

.

Chọn B
đi qua điểm

một góc nhỏ

.
.

và có VTCP

có VTPT
Ta tính được

;

Vậy mặt phẳng

qua điểm

và nhận

làm VTPT, nên có

phương trình

Câu 36:

[HH12.C3.6.BT.c] Phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng

và cắt mặt cầu

theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất là
B.
D.
Lời giải

A.
C.
Chọn C
Mặt cầu
Gọi
tại

có tâm

và bán kính

là hình chiếu của tâm
.

Gọi

.

lên đường thẳng. Khi đó, mặt phẳng cần tìm sẽ vuông góc với

. Ta có:

Mặt phẳng

cần tìm qua

có vectơ pháp tuyến là

Vậy
1.B
13.C
25.C
37.D
Câu 42.

.
2.C
14.B
26.B
38.B

3.A
15
28
39.D

4.D

16.C
29.B
41.B

BẢNG ĐÁP ÁN
5.D
6.D
7.C
17.C
18
21.D
30.B
31.C
32.D
42.A
43.C

10.D
22.C
33.C

11
23.B
34.A

12.D
24.D
35.C

[HH12.C3.6.BT.c] (THPT Lương Thế Vinh - Hà Nội - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Trong

không gian
cho

, cho ba điểm
là hình thang có đáy

,
và

,

. Tìm tất cả các điểm
.

sao


A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D
Ta có

nhận

Kết hợp với

là một VTCP.

qua

.

Biến đổi

Ta có

Kết hợp với

ta được

Với

.

Với

.

Hình thang

có đáy

Do đó chỉ có
Câu 47.

thì

với

.

thỏa mãn.

[HH12.C3.6.BT.c] (THPT Lương Thế Vinh - Hà Nội - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Trong
không gian
thuộc

, cho điểm

; điểm

nhất. Tọa độ điểm
A.

.

và mặt phẳng

thay đổi thuộc mặt phẳng

. Biết rằng tam giác

thay đổi

có chu vi nhỏ

là.
B.

.

C.
Lời giải

Chọn A

. Điểm

.

D.

.

Trước hết ta nhận thấy
phía của mặt phẳng
Gọi

và

nên

nằm về một

.

là điểm đối xứng của

qua

. Gọi

là chu vi tam giác

Ta có

.

.

Do

nên

. Gọi

Lúc đó

là hình chiếu vuông góc của

khi

Vậy

lên

, ta có

.

.

.

1.A
11.A
21.B
31.D
41.B
Câu 40:

và

2.D

12.A
22.A
32.C
42.D

3.C
13.A
23.C
33.A
43.D

4.A
14.D
24.B
34.A
44.B

BẢNG ĐÁP ÁN
5.B
6.A
15.D
16.D
25.D
26.C
35.A
36.D
45.C
46.C

7.C

17.C
27.C
37.A
47.A

8.A
18.B
28.B
38.A

9.B
19.C
29.C
39.A

10.B
20.D
30.A
40.B

[HH12.C3.6.BT.c] (SGD Hải Phòng - HKII - 2016 - 2017) Trong

không gian với hệ tọa độ

cho mặt phẳng

điểm di chuyển trên mặt phẳng

;

:

,

là điểm nằm trên tia

. Tìm giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm

là

sao cho
đến mặt phẳng

.
A.

. B.

.

D.

.

C.

Lời giải
Chọn D

Gọi

Vì

, ta có:
,

,

.

thẳng hàng và hai vectơ
.

,

cùng hướng nên ta có

.


. Mà:

.

.
.
Mặt khác:

.
.

Vậy điểm

thuộc mặt cầu

có tâm

:

,

, bán kính

.

Ta lại có:

.
.

Câu 46. [HH12.C3.6.BT.c] (SGD Bà Rịa - Vũng Tàu - Lần 1 - 2017 - 2018)Trong không gian
cho

điểm

và

,

là mặt cầu tâm

và

. Gọi

bán kính bằng

tiếp xúc đồng thời cả hai mặt cầu
A. .
B. .

,

là mặt cầu tâm

. Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đi qua
.
C.

.

Lời giải
Chọn D.

Gọi

là mặt phẳng đi qua

Mặt phẳng

tiếp xúc với hai mặt cầu

bán kính bằng

,

nên ta có hệ:

D.

.

và


Với

thay vào

Với

, chọn

Với

,

.

, chọn

Với

,

, thay vào

Với

, chọn

Với

,

.

:

,

, chọn

Vậy có
Câu 24:

:

,
,

.
,

.

mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán.

[HH12.C3.6.BT.c] (THPT Chuyên TĐN - TPHCM - HKII - 2017 -

2018 - BTN) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

:

và

:
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C
qua

có vtcp
,

,

qua

có vtcp

.

.
.

Câu 6: [HH12.C3.6.BT.c] (THPT Chuyên TĐN - TPHCM - HKII - 2017 - 2018 BTN)

Tính

khoảng

cách

từ

điểm

đến

đường

thẳng

.
Lời giải
Gọi
Ta có
Vì
.

là hình chiếu của
nên
nên

lên đường thẳng
và

.
.


Vậy

.
----------HẾT----------

Câu 44:

[HH12.C3.6.BT.c] (SGD Đà Nẵng - HKII - 2017 - 2018) Trong không

gian với hệ toạ độ

, cho mặt phẳng

. Gọi
các trục toạ độ
A.
.

,

,

,

,

lần lượt là giao điểm của mặt phẳng

. Tính thể tích
của khối chóp
.
C.
.
D.

Lời giải

B.

Chọn B
:

có phương trình

cắt các trục toạ độ
,

,

,

,

với

.
.

lần lượt tại

,

,

.

.
.

Câu 29: [HH12.C3.6.BT.c] [Đề thi thử-Liên trường Nghệ An-L2] Trong không gian với hệ trục tọa
độ

, cho hai điểm

,

và mặt phẳng

là điểm nằm trên mặt phẳng
A.

.

B.

.

. Điểm

, có hoành độ dương để tam giác
C.

.

D.

Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi

là trung điểm

.

Ta có:

Giải

ta được

.

Với

,

Vậy

.

.

,

,

.

đều. Tính