TOÁN TỔNG hợp về PP tọa độ KHÔNG GIAN BT muc do 4 (4)

Câu 29:

[HH12.C3.6.BT.d] (CHUYÊN ĐH VINH – L4 - 2017) Trong không gian với hệ tọa độ
cho biết đường cong

là tập hợp tâm của các mặt cầu

đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng

và

của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
A.

đi qua điểm
. Diện tích

bằng

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn C
Gọi

là một mặt cầu thỏa đề bài, với tâm

. Theo bài ra, ta có

. Mà

Vậy tâm của các mặt cầu thỏa đề bài sẽ nằm trên mặt phẳng
Vì

//

nên

.

. Từ đó

Vậy điểm

thuộc mặt cầu
Tập hợp tâm của mặt cầu

là giao tuyến của mặt cầu

và mặt phẳng

hay chính

là đường tròn có bán kính
Vậy diện tích của hình phẳng cần tính là
Câu 31:

[HH12.C3.6.BT.d] (THPT CHUYÊN BIÊN HÒA) Trong không gian với hệ trục toạ độ
, cho các mặt phẳng

và

có tâm thuộc trục hoành đồng thời
có bán kính bằng
. Xác định
A.

và

cắt mặt phẳng

cắt mặt phẳng

B.

.

theo giao tuyến là một đường tròn

thoả yêu cầu?
C.

.

D.

Lời giải

Chọn B
Gọi

lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu

, ta có:

. Gọi
Ta có

Bài toán trờ thành tìm

là mặt cầu

theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính

sao cho chỉ đúng một mặt cầu

.

. Gọi

đề phương trình có duy nhất

nghiệm, tức là

.


.

Câu 37:

[HH12.C3.6.BT.d] (SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH PHÚ THỌ) Trong không gian
với hệ trục tọa độ

, cho các điểm

sao cho hai mặt phẳng

,

,

và điểm

và

vuông góc với nhau. Tính góc giữa hai mặt phẳng

.

C.
Lời giải

và
A.

.

B.

Chọn A
Ta có:

.

D.

.

.

Suy ra:
và
Mặt khác:
Vì:

nên

Vậy:

.

Ta có:
.
Câu 31:

[HH12.C3.6.BT.d] (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ LẦN 8) Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho đường thẳng

và các điểm

,

. Gọi

,

là các điểm thay đổi trên đường thẳng
sao cho
và mặt cầu nội tiếp tứ diện
có thể tích lớn nhất. Khi đó, tọa độ trung điểm của đoạn thẳng
là
A.

B.

. C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D
+ Thể tích tứ diện

là:

với

là đoạn vuông góc chung của

,

;

. Rõ ràng

là hằng số không đổi.
+ Mặt khác:

, với

là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện

là diện tích toàn phần của tứ diện
.
Dựa vào
, yêu cầu đề bài tương đương với
Ta có:

nhỏ nhất.

,


với

Vì

,

cố định

nên

không đổi. Do đó

,

nhỏ nhất khi và chỉ khi

nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi trung điểm của
là là giao điểm của và đường
thẳng vuông góc chung của và
. (Xem chứng minh ở phần bổ sung)
+ Giải bài toán tìm tọa độ điểm của đoạn vuông góc chung ta được
như sau:
,

;

có VTCP

co VTCP

, chọn

là

.

;

Ta có:

. Suy ra:

Chứng minh nhận định trên bằng bài toán sau:
Cho hai đường thẳng chéo nhau và và hai điểm ,
thay đổi trên đường thẳng sao
cho
(với là hằng số dương cho trước). Gọi ,
lần lượt là khoảng cách từ ,
đến . Chứng minh rẳng tổng
nhỏ nhất khi và chỉ khi trung điểm
giao điểm của và đường thẳng vuông góc chung của và .

+ Gọi
với , gọi

là đoạn vuông góc chung của
là mặt phẳng chứa
và .

Gọi

là đoạn thẳng nhận

Gọi

lên
Ta có:
Ta có:

. Qua

là trung điểm,

,

lần lượt là hình chiếu của

,

và ;
với ,
là hai điểm tùy ý thuộc .
lần lượt là hình chiếu của
lên
và

lên
Gọi
Gọi

và

và

lên

và

;

của

dựng đường thẳng

,

cố định thuộc

;

,

,

song song

.

lần lượt là hình chiếu của

lần lượt là hình chiếu của

.

là trung điểm của đoạn

và

là

.
,


với

là hằng số.

Ta có:
Theo Thales ta có:
+ Nếu ,
cùng phía so với

+ Nếu

,

(và giả sử

ngược phía so với

ở xa

hơn so với

) ta có:

ta có:

Trong cả hai trường hợp này, dùng BĐT
Ta được
Đẳng thức xảy ra khi và chi khi

.

Chú ý: BĐT trên chứng minh bằng cách chọn
đẳng thức xảy ra khi và chi khi

,

,

và

. Dấu

cùng hướng.

Câu 27: [HH12.C3.6.BT.d] [Đề thi thử-Liên trường Nghệ An-L2] Trong không gian với hệ tọa độ
, mặt phẳng
cho độ dài

,

,

cách từ gốc tọa độ
A.

đi qua điểm

.

và cắt tia

,

,

lần lượt tại

theo thứ tự tạo thành cấp số nhân có công bội bằng
tới mặt phẳng
B.

,

,

sao

. Tính khoảng

.

.

C.

.

D.

.

Hướng dẫn giải
Chọn C
Giả sử

.

,

( ,

đi qua điểm
,

,

,

Câu 47:

có dạng

.

.

theo thứ tự tạo thành cấp số nhân có công bội bằng
,

hay

),

,

,

:

:

.

[HH12.C3.6.BT.d] (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp - QB - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN)
Trong không gian với hệ trục tọa độ
cầu có đường kính

. Mặt phẳng

và đáy là hình tròn tâm
biết rằng
A.

vuông góc với đoạn

(giao của mặt cầu
với

B.

, cho hai điểm

,

,

Lời giải

. Gọi

là mặt

tại

sao cho khối nón đỉnh

và mặt phẳng

) có thể tích lớn nhất,

. Tính
C.

,

.
D.


Chọn A

Ta có

suy ra mặt cầu

Đặt
Gọi

có tâm

và bán kính

.

.
là bán kính đường tròn tâm

suy ra

.

Thể tích khối nón là

.

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có
.
Vậy thể tích khối nón lớn nhất bằng
Mặt phẳng

khi

.

vó vec tơ pháp tuyến

cùng phương với

. Vì

vuông góc với đoạn

. Vậy

.

nên ta có

Mặt khác
Mặt

khác

.
và

nằm

cùng

. Vậy

phía

với

suy ra

mặt

phẳng

nên
.

ta

có