BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN SỰ TIẾP XÚC

Câu 1: [2D1-7-2] (Sở GD Cần Thơ-Đề 323-2018) Gọi M là giao điểm của trục tung với đồ

thị hàm số  C  : y  x 2  x  1 . Tiếp tuyến của  C  tại M có phương trình là
1
x 1 .
2
y  x 1.

1
B. y   x  1 .
2

A. y 

C. y   x  1 .

D.

Lời giải
Chọn A
Ta có y 

2x 1
2 x2  x  1

.

1
 
 y  0 
x0  0  

2

 y0  1

Phương trình tiếp tuyến của  C  tại điểm M  0;1 có dạng
y

1
1
 x  0  1  y  x  1 .
2
2

Câu 2: [2D1-7-2] (THPT LƯƠNG TÀI - BẮC NINH - LẦN 2 - 2017 - 2018 - BTN) Biết

tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  ax 4  bx 2  2 tại điểm A  1; 1 vuông góc với
đường thẳng x  2 y  3  0 . Tính a 2  b 2 .
A. a 2  b 2  10 .
a 2  b 2  5 .

B. a 2  b 2  13 .

C. a 2  b 2  2 .

Lời giải
Chọn D
Ta có y  4ax3  2bx  2 x  2ax 2  b  .
Đường thẳng x  2 y  3  0 có hệ số góc k 

1

.
2

Suy ra f   1  2   2  2a  b   2  2a  b  1 .

A  1; 1 thuộc đồ thị hàm số nên a  b  2  1  a  b  1
2a  b  1
a  2

 a 2  b2  5 .
Ta có hệ phương trình: 
a

b


1
b


3



D.


(CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA LẦN 3-2018) Cho đường cong
x 1
. Gọi M là giao điểm của  C  với trục tung. Tiếp

 C  có phương trình y 
x 1
tuyến của  C  tại M có phương trình là

Câu 3: [2D1-7-2]

A. y  2 x  1 .

B. y  2 x  1 .

C. y  2 x  1 .

D.

y  x  2.

Lời giải
Chọn C
Ta có M  0;  1 , y 

2

 x  1

2

 y  0   2 .

Tiếp tuyến của  C  tại M có phương trình là: y  2 x  1 .

Câu 4: [2D1-7-2] (THPT Lương Thế Vinh - Hà Nội - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm

số y  x3  3x 2  6 x  5 . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số có hệ số góc nhỏ nhất có
phương trình là
A. y  3 x  9 .

B. y  3 x  3 .

C. y  3 x  12 .

D.

y  3x  6 .
Lời giải
Chọn D
Ta có: y  3x 2  6 x  6  3  x  1  3  3 . Dấu "  " xảy ra khi x  1  y  9 .
2

Do đó, tiếp tuyến của đồ thị có hệ số góc nhỏ nhất bằng 3 và là tiếp tuyến tại điểm
M 1;9  .
Phương trình tiếp tuyến là: y  3  x  1  9  y  3 x  6 .
Câu 5: [2D1-7-2] [Đề thi thử-Liên trường Nghệ An-L2] Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y

x3
 2 x 2  3x  1 song song với đường thẳng y  3 x  1 có phương trình là
3
29
, y  3x  1 .

3

A. y  3 x 

29
.
3

B. y  3 x 

C. y  3 x 

29
.
3

D. y  3 x  1 .
Hướng dẫn giải

Chọn A
Tiếp tuyến song song với đường thẳng y  3 x  1 nên có hệ số góc k  3 .


x  0
Ta có y  x 2  4 x  3 nên có phương trình x 2  4 x  3  3  
.
x  4
+ Với x  0  y  1  A  0;1 nên phương trình tiếp tuyến là y  3 x  1 (loại).
+ Với x  4  y 

29
7
 7
 B  4;  nên có phương trình tiếp tuyến là y  3 x 
3
3
 3

(thỏa mãn).
Câu 6: [2D1-7-2] [Sở GD&ĐT Bình Phước-2017] Đồ thị của hàm số f  x   x  ax  bx  c
3

2

tiếp xúc với trục hoành tại gốc tọa độ và cắt đường thẳng x  1 tại điểm có tung độ
bằng 3 khi.
A. a  2, b  c  0 .
B. a  2, b  2, c  0 . C. a  b  0, c  2 .
D.

a  c  0, b  2 .
Lời giải
Chọn A

f ( x)  x3  ax 2  bx  c có đồ thị là  C  .
Vì  C  tiếp xúc với Ox tại gốc tọa độ nên ta có:

 f ( x)  0
c  0


 f ( x)  x3  ax 2 .


f
(
x
)

0
b

0


Theo giả thiết  C  cắt đường thẳng x  1 tại điểm có tung độ bằng 3 suy ra.

f (1)  3  1  a  3  a  2 .

 

 

Câu 7: [2D1-7-2] Cho hàm số y  x3  3x  2 có đồ thị là C . Đồ thị C tiếp xúc với trục

hoành tại điểm có hoành độ bằng?
A. 1 .
B. 2 .

C. 3 .
Lời giải

D. 1 .

Chọn D

 x 3  3x  2  0
 x  1
Xét hệ phương trình : 
2
3x  3  0
Vậy C  tiếp xúc với Ox tại điểm có hoành độ x  1 .
2 x3
 x 2  4 x  2 , gọi đồ thị của hàm số là  C  . Viết
3
phương trình tiếp tuyến của  C  có hệ số góc lớn nhất.

Câu 8: [2D1-7-2] Cho hàm số y  


9
25
x .
2
12
7
5
y  x .
2
12

A. y 

B. y  5 x 

25
.
12

C. y 

9
25
x .
4
12

D.

Lời giải
Chọn D
Gọi  d  là tiếp tuyến cần tìm phương trình và x0 là hoành độ tiếp điểm của  d  với
2

 C  thì hệ số góc của  d  : k  y '( x0 )  2 x  2 x0  4  9   x0  1   9 ;
2 
2
2
9
1
k   x0  .

2
2
2
0

Vậy max k 

1
9
đạt được khi và chỉ khi x0  .
2
2

9
1
25
1 9
Suy ra phương trình tiếp tuyến  d  : y   x    y    x  .
2
2
12
2 2
x2
Câu 9: [2D1-7-2] Gọi  C  là đồ thị của hàm số y 
. Viết phương trình tiếp tuyến của
2 x
4
 C  vuông góc với đường thẳng y  x  1 .
3
3

3
7
3
3
1
A.  d  : y   x  , y   x  .
B.  d  : y   x, y   x  1 .
4
4
2
4
4
2
3
9
3
1
x ,y  x .
4
2
4
2
3
9
3
1
d  : y   x  , y   x  .
4
2
4

2

C.  d  : y 

D.

Lời giải
Chọn D
Tiếp tuyến  d  của  C  vuông góc đường thẳng y 

 d  có dạng :

3
y  xm.
4

4
x  1 suy ra phương trình
3


 x02
3
  x0  m

2 x
4
có nghiệm
 d  tiếp xúc  C  tại điểm có hoành độ x0 khi hệ  2 0


x

4
x
3
 0
0

 (2  x0 ) 2
4

x0 

 x02  4 x0
3
3
9
3
1
   x0  6  x0  2   d  : y   x  , y   x  .
2
4
2
4
2
(2  x0 )
4

Câu 10: [2D1-7-2] Gọi  Cm  là đồ thị của hàm số y  2 x3  3(m  1) x 2  mx  m  1 và  d 
là tiếp tuyến của  Cm  tại điểm có hoành độ x  1 . Tìm m để  d  đi qua điểm

A  0;8 .
A. m  0 .

C. m  2 .

B. m  1 .

D. m  3 .

Lời giải
Chọn A
Ta có y  6 x 2  6(m  1) x  m , suy ra phương trình tiếp tuyến  d  là:

y  y '(1)( x  1)  y(1)  12  7m  x  1  3m  4  y  12  7m  x  4m  8 .
A(0;8)  (d )  8  4m  8  m  0 .
x4
 2 x 2  4 , có đồ thị là  C  . Tìm tham số m để đồ thị
4
 C  tiếp xúc với parabol  P  : y  x2  m .

Câu 11: [2D1-7-2] Cho hàm số y 

A. m  4; m  20 .
m  4; m  2 .

B. m  124; m  2 .

C. m  14; m  20 .

D.

Lời giải
Chọn A

 C  tiếp xúc  P  : y  x2  m

tại điểm có hoành độ x0 khi hệ sau có nghiệm x0 :

 x04
2
2
 x  0  x0  6
  2 x0  4  x0  m
.
 0

4

m  4 m  20
 x3  4 x  2 x
0
0
 0
x2  x  1
có đồ thị  C  . Viết phương trình tiếp tuyến của
x 1
 C  , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng  : 3x  4 y  1  0 .

Câu 12: [2D1-7-2] Cho hàm số y 

A. y 

3
3
3
x  ; y  x 1 .
4
4
4

B. y 

3
3
5
x 3; y  x  .
4
4
4


C. y 

3
3
x 9; y  x  7 .
4
4

D. y 

3
3
3
5
x ; y  x .
4
4
4
4

Lời giải
Chọn D
Ta có y 

d:y

x2  2 x
. Gọi M ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d với  C 
( x  1) 2

x02  2 x0
x02  x0  1
(
x

x
)


0
( x0  1)2
x0  1

Vì d song song với đường thẳng  : y 

3
1
x  , nên ta có:
4
4

x02  2 x0 3
  x02  2 x0  3  0  x0  1, x0  3 .
2
( x0  1)
4
 x0  1 phương trình tiếp tuyến: y 

3
3
x .
4
4

 x0  3  phương trình tiếp tuyến: y 

3
5
x .

4
4

Câu 13: [2D1-7-2] (THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội - Lần I - 2017 - 2018) Phương trình các
tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 4  3x 2  1 tại các điểm có tung độ bằng 5 là
A. y  20 x  35 .
B. y  20 x  35 và y  20 x  35 .
D. y  20 x  35 .

C. y  20 x  35 và y  20 x  35 .
Lời giải
Chọn C

 f   2   20
Ta có y  5  x 4  3 x 2  4  0  x  2  
.
 f   2   20
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là
 y  20  x  2   5  20 x  35 ,
 y  20  x  2   5  20 x  35 .


Câu 14: [2D1-7-2] (THPT Phan Đăng Lưu - Huế - Lần I - 2017 - 2018)Tìm phương trình

tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 
y

x2
, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
x 1

1
x  5 và tiếp điểm có hoành độ dương.
3

A. y  3 x  10 .

B. y  3 x  2 .

C. y  3 x  6 .

D.

y  3 x  2 .

Lời giải
Chọn A
Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm  x0  0  .
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y 



3

 x0  1

2

1
x  5 nên ta có: y  x0   3

3

 x0  0 (loaïi)
2
 x0  2
 3   x0  1  1  x02  2 x0  0  
 x0  2

 y0  4 .

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y  3  x  2   4  3x  10 .
Câu 15: [2D1-7-2] (THPT Hải An - Hải Phòng - Lần 1 - 2017 - 2018) Tìm số tiếp tuyến
song song với trục hoành của đồ thị hàm số y  x 4  2 x 2  10 .
B. 0 .

A. 3 .

C. 2 .

D. 1 .

Lời giải
Chọn C

x  0
.
y  0  4 x 3  4 x  0  
 x  1
Hàm số đã cho là hàm bậc 4 trùng phương có hệ số a  0 nên có 3 điểm cực trị (1
cực đại, 2 cực tiểu) tuy nhiên, tiếp tuyến song song với trục hoành tại 2 điểm cực

tiểu là trùng nhau nên có 2 tiếp tuyến thoả mãn yêu cầu bài toán.
Câu 16: [2D1-7-2] (PTNK Cơ Sở 2 - TPHCM - 2017 - 2018 - BTN) Trong 3 đường thẳng
 d1  : y  7 x  9 ,  d2  : y  5x  29 ,  d3  : y  5x  5 có bao nhiêu đường thẳng là
tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x3  3x 2  2 x  4 .
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
Lời giải
Chọn C

D. 3 .


+ Xét  d1  : y  7 x  9 .

 d1 

là tiếp tuyến của đồ thị khi hệ phương trình sau có nghiệm

 x  1

3
2

 x3  3x 2  9 x  5  0
 x  5
 x  3x  2 x  4  7 x  9

 2
 x  1.

 2
x

1


3x  6 x  9  0
3x  6 x  2  7

  x  3

Vậy  d1  là tiếp tuyến của đồ thị.
+ Xét  d 2  : y  5 x  29 .

 d 2  là tiếp tuyến của đồ thị khi hệ phương trình sau có nghiệm
x  3

  x  3  30
 x3  3x 2  2 x  4  5 x  29
 x3  3x 2  7 x  33  0
 
 2
 x 
 2
3

3x  6 x  2  5
3x  6 x  7  0

  x  3  30

 
3
.

Vậy  d 2  không là tiếp tuyến của đồ thị.
+ Xét  d3  : y  5 x  5 .

 d3 

là tiếp tuyến của đồ thị khi hệ phương trình sau có nghiệm

3
2

 x3  3x 2  3x  1  0
 x  1
 x  3x  2 x  4  5 x  5
 2

 x  1.
 2

3x  6 x  3  0
 x  1
3x  6 x  2  5

Vậy  d 3  là tiếp tuyến của đồ thị.
Câu 17: [2D1-7-2] (Chuyên Quang Trung - BP - Lần 4 - 2017 - 2018) Đường thẳng nào
sau đây là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x3  x  1 .
A. y  2 x  1

y  x 1

B. y  2 x  1

Lời giải
Chọn D
y  3 x 2  1 .

C. y   x  1

D.


Dựa vào các đáp án, ta xét đường thẳng d có dạng y  kx  1 .
3

 x  x  1  kx  1 1
có
d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số  hệ phương trình  2
3
x

1

k
2





nghiệm.

Thay 1 vào  2  ta được: x3  x  1  x  3x 2  1  1  2 x3  0  x  0  k  1 .
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là y  x  1 .