41 bài toán tiếp tuyến cho học sinh 11 và 12

THPT Chun Nguyễn Quang Diêu Huỳnh Chí Hào

KIẾN THỨC CĨ LIÊN QUAN
ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ
A. TĨM TẮT GIÁO KHOA
1) Đònh nghóa đạo hàm của hàm số tại một điểm:
Cho hàm số y=f(x) xác đònh trên khoảng (a;b) và
0
x (a;b)
∈
.
Đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x
0
, ký hiệu là f'(x
0
) hay y'(x
0
) là giới hạn hữu hạn (nếu có)
của
→
−
−
0
x x
0
0
f(x) f(x )
lim
x x

0
0
x x
0
0
f(x) f(x )
f '(x ) lim
x x
→
−
=
−


2. Ý nghóa hình học của đạo hàm:
•

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm tại x
0
là f'(x
0
) . (C) là đồ thò của hàm số

0 0 0
M (x ;f(x )) (C)
∈ và
∆
là tiếp tuyến của (C) tại M

a) Ý nghóa hình học của đạo hàm:
•

Đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x
0
là hệ số góc k của tiếp tuyến của đồ thò hàm số đó tại điểm
0 0 0
M (x ;f(x ))

0
k f '(x )
=

(k tan
= α
v
ới
(
)
ox;
α = ∆
)
b) Phương trình tiếp tuyến:

• Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại x
0
thì phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số đó tại điểm
M
0
(x
0
;f(x
0
)) là:

0 0 0
y f '(x )(x x ) f(x )
= − +


hay:
(
)
0 0
y y k x x
− = − trong đó :
0 0
0
y f(x )
k f '(x )
=




=









(C): y=f(x)
0
x
x
0
f(x )
y
0
M
∆
THPT Chun Nguyễn Quang Diêu Huỳnh Chí Hào

3. Các quy tắc tính đạo hàm:
Đạo hàm của tổng hiệu tích thương các hàm số
a. Đạo hàm của tổng ( hiệu ):
( )
vuvu
′
±
′

=
′
±

b. Đạo hàm của tích:

( )
v.uv.uv.u
′
+
′
=
′
Đặc biệt
( )
C.u C.u
′
′
= Với C là hằng số.
c. Đạo hàm của thương:

2
v
v.uv.u
v
u
′
−
′
=

′






Đặc biệt
2
1 1
v v
′
−
 
=
 
 

và
′
 
= −
 
 
2
C C.v'
v
v

d. Đạo hàm của hàm số hợp:

Cho hai hàm số
(
)
ufy =
và
(
)
xgu =
khi đó
(
)
[
]
xgfy =
được gọi là hàm hợp của hai
hàm số trên, khi đó:
xux
u.yy
′
′
=
′

4. Đạo hàm của các hàm số cơ bản:


( )
0
=
′

C
( C là hằng số )

(
)
x ' 1
=

(
)
C.x ' C
=

Với u là một hàm số

( )
n n 1
x n.x
−
′
=

(
)
n N, n 2
∈ ≥

( )
n n 1
u n.u .u

−
′
′
=

2
1 1
x x
′
 
= −
 
 

(x 0)
≠

2
1 u
u u
′
′
 
= −
 
 


(
)

x
x
2
1
=
′

(
)
x 0
>

(
)
u
u
u
2
′
=
′


( )
xcosxsin =
′

( )
ucosuusin
′

=
′


( )
xsinxcos −=
′

( )
usinuucos
′
−=
′


( )
2
2
1
tan x 1 tan x
cos x
′
= = +
( )
2
2
u
tan u (1 tan u).u
cos u
′

′
′
= = +

( )
( )
2
2
1
cot x 1 cot x
sin x
′
= − = − +
( )
( )
2
2
u
cot u 1 cot u .u
sin u
′
′
′
= − = − +
( )
2
dcx
b.cd.a
dcx
bax

+
−
=
′






+
+

( )
2
11
111
2
1
11
2
2
bxa
cabbxbaxaa
bxa
cbxax
+
−++
=
′









+
++












THPT Chun Nguyễn Quang Diêu Huỳnh Chí Hào

TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG CONG

CÁC DẠNG TỐN TIẾP TUYẾN CƠ BẢN


1. Dạng 1:

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò (C):y = f(x)
tại
điểm
0 0 0
M (x ;y ) (C)
∈










Phương pháp:

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M(x
0
;y
0
) có dạng:


0 0 0
y f '(x )(x x ) f(x )
= − +
hay y - y
0

= k ( x - x
0
)

Trong đó : x
0
: hoành độ tiếp điểm
y
0
: tung độ tiếp điểm và y
0
= f(x
0
)
k : hệ số góc của tiếp tuyến và được tính bởi công thức : k = f
'
(x
0
)


2. Dạng 2:
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò (C): y=f(x) biết tiếp tuyến có
hệ số góc k
cho trước

Phương pháp:
Ta có thể tiến hành theo các bước sau


Bước 1:
Gọi
0 0
( ; ) ( )
M x y C
∈
là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C)

Bước 2
: Tìm x
0
bằng cách giải phương trình :
'
0
( )
f x k
=
, từ đó suy ra
0 0
( )
y f x
=

=?

Bước 3
: Thay các yếu tố tìm được vào pt:
y - y
0
= k ( x - x
0
)
ta sẽ được pttt cần tìm.


(C): y=f(x)
0
x
x
0
y
y
0
M
∆
(C): y=f(x)
0
x
x
0
y
y
0

M
∆
THPT Chun Nguyễn Quang Diêu Huỳnh Chí Hào

Chú ý :
Đối với dạng 2 người ta có thể cho hệ số góc k dưới dạng gián tiếp như :
tiếp tuyến song

song, tiếp
tuyến vuông góc với một đường thẳng cho trước
.










Khi đó ta cần phải sử dụng các kiến thức sau:

Đònh lý 1:
Nếu đường thẳng (
∆
) có phương trình dạng : y= ax+b thì hệ số góc của (
∆
) là:

k a
∆
=



Đònh lý 2:
Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng
1 2
( ) và ( )
∆ ∆
. Khi đó:


1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
/ / k k ( )
k .k 1
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆ ⇔ = ∆ ≠ ∆
∆ ⊥ ∆ ⇔ = −


3. Dạng 3:

Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y=f(x) biết tiếp tuyến

đi qua
điểm A(x
A
;y
A
)









Phương pháp :
Ta có thể tiến hành theo các bước sau

Bước 1:
Vi
ết phương trình tiếp tuyến (d) với (C) tại điểm M
0
(x
0
;y
0
)
( )
C
∈

0 0 0
( ) : '( )( ) ( )
d y f x x x f x
= − + (*)

Bước 2: Đònh x
0
để (d) đ
i qua
đ
i
ể
m
A(x
A
;y
A
)
. Ta có:
(d) đ
i qua
đ
i
ể
m
A(x

A
;y
A
)

0 0 0
'( )( ) ( )
A A
y f x x x f x
⇔ = − + (1)
Bước 3: Giải pt (1) tìm x
0
. Thay x
0
tìm được vào (*) ta sẽ được pttt cần tìm.
x
y
AAAA
yxxkyxxkyy
+
−
=
⇔
−
=
−
∆
)()(:
O
);(

AA
yxA
)(:)( xfyC
=
(C): y=f(x)
∆
x
y
ak /1
−
=
O
baxy
+
=
∆
:
2
(C):
y=f(x)

x
y
ak
=
baxy
+
=
1
∆

2
∆
THPT Chun Nguyễn Quang Diêu Huỳnh Chí Hào

Ngồi cách gi
ả
i trên ta có d
ự
a vào
đị
nh lý sau
để
gi
ả
i

ĐỊNH LÝ:
Đường thẳng
y ax b
= +
là tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
y f x
=
khi và chỉ
khi h
ệ
ph
ươ
ng trình sau có nghi

ệ
m

'( )
( )
a f x
ax b f x
=


+ =

hay
( )
'( )
f x ax b
f x a
= +


=



Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau

Bước 1: Viết phương trình đường thẳng (
∆
) qua A và có hệ số
góc là k bởi công thức:

( ) ( )
A A A A
y y k x x y k x x y
− = − ⇔ = − +
(*)
Bước 2:
Đònh k để (
∆
) tiếp xúc với (C). Ta có:

A
'
f(x)=k(x-x )
tiếp xúc (C) hệ có nghiệm (1)
f ( )
A
y
x k
+


∆ ⇔

=



Bước 3: Giải hệ (1) tìm k. Thay k tìm được vào (*) ta sẽ được pttt cần tìm.

THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Huỳnh Chí Hào


RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN


41 BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
(Dành cho học sinh các lớp 11 chuyên)

Bài 1:


Bài 2:


Bài 3:


Bài 4:


Bài 5:


Bài 6:

Bài 7:


Bài 8:
THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Huỳnh Chí Hào


Bài 9:


Bài 10:

Bài 11:

Bài 12:


Bài 13:


Bài 14:


Bài 15:


Bài 16:

THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Huỳnh Chí Hào


Bài 17:


Bài 18:


Bài 19:


Bài 20:

Bài 21:

Bài 22:

Bài 23:


Bài 24:
THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Huỳnh Chí Hào


Bài 25:


Bài 26:


Bài 27:

Bài 28:

Bài 29:

Bài 30:


Bài 31:

Bài 32:
THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Huỳnh Chí Hào


Bài 33:


Bài 34:


Bài 35:


Bài 36:


Bài 37:


Bài 38:


Bài 39:


THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Huỳnh Chí Hào

Bài 40:

Bài 41:







============Hết============