Câu 1: [2D1-8-3]
(Toán Học Tuổi Trẻ - Tháng 12 - 2017) Có bao nhiêu điểm M thuộc
đồ thị C của hàm số y x x 2 3 sao cho tiếp tuyến tại M của C cắt C và
trục hoành lần lượt tại hai điểm phân biệt A (khác M ) và B sao cho M là trung
điểm của AB ?
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 3 .
Lời giải
Chọn C
Tập xác định: y .
y x x 2 3 x3 3x y 3x 2 3 .
Phương trình tiếp tuyến d tại M x0 ; x03 3x0 của C là
y 3x02 3 x x0 x03 3x0 y 3x02 3 x 2 x03 .
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và C :
3x
2
0
x x0
2
3 x 2 x03 x3 3x x3 3x02 x 2 x03 0 x x0 x 2 x0 0
x 2 x0
x A 2 x0 , vì A khác M nên x0 0 .
Phương trình hoành độ giao điểm của d và trục hoành:
2 x03
3x 3 x 2x 0 x 3x2 3 x0 1, x0 1 .
0
2
0
3
0
2 x03
Khi đó xA 2 x0 , xB 2
, xM x0 , x0
3x0 3
\ 1;0;1 .
Do A, B và M thẳng hàng nên để M là trung điểm của AB thì
xA xB 2 xM 2 x0
6
2 x03
.
2 x0 10 x02 12 0 x0
2
5
3x0 3
Vậy có 2 điểm M thỏa mãn bài toán.
(THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-2018) Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị
4x 9
(C): y
các điểm M 1 ; M 2 để độ dài M 1M 2 đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị nhỏ
x 3
nhất đó bằng:
Câu 2: [2D1-8-3]
A. 2 5 .
.
B. 2 2 .
C. 2 6 .
Lời giải
D. 3 2
Chọn C
3
3
Lấy M 1 x1 3; 4 , x1 0 ; M 2 x2 3; 4 , x2 0
x2
x1
9
2
Khi đó M 1M 2 2 x1 x2 1 2 2 .
x1 x2
Áp dụng bất đẳng thức Cô Si ta có x1 x2 4 x1 x2 và 1
2
9
6
.
x x
x1 x2
2 2
1 2
Suy ra M1M 2 2 24 M1M 2 2 6 .
x 3
x1 x2
Độ dài M 1M 2 đạt giá trị nhỏ nhất bẳng 2 6 khi 4
.
1
x1 9
x2 3
(THPT Hoa Lư A-Ninh Bình-Lần 1-2018) Tìm tọa độ điểm M có
x2
hoành độ dương thuộc đồ thị C của hàm số y
sao cho tổngkhoảng cách
x2
từ M đến hai đường tiệm cận của đồ thị C đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 3: [2D1-8-3]
A. M 1; 3 .
B. M 3;5 .
C. M 0; 1 .
D.
M 4;3
Lời giải
Chọn D
Tiệm cận đứng: d1 : x 2 0 và tiệm cận đứng: d 2 : y 1 0
Với M C : y
x 2
x2
M x0 ; 0
với x0 0 , x0 2
x2
x0 2
Ta có: d M ; d1 d M ; d 2
x0 2
x0 2
4
4
1 x0 2
2 x0 2 .
4
x0 2
x0 2
x0 2
Dấu " " xảy ra khi
4
x0 2
x0 2
x 0, x 2
0
0
x0 2 2 4
x0 0, x0 2
x0 4
x0 4 M 4;3
x0 0
x 0, x 2
0
0
(CỤM CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU
2x 1
LONG-LẦN 2-2018) Gọi M a; b là điểm thuộc đồ thị hàm số y
và có
x2
khoảng cách từ M đến đường thẳng d : y 3 x 6 nhỏ nhất. Tìm giá trị của biểu
Câu 4: [2D1-8-3]
thức T 3a 2 b 2 .
A. T 4
B. T 3
C. T 9
D. T 10
Lời giải
Chọn A
Ta có d M ; d
3a b 6
10
suy ra d M ; d nhỏ nhất khi 3a b 6 nhỏ nhất.
Vì Oxyz nên 3a b 6 3a
2a 1
3
3
6 3a 4
3 a 2
2 .
a2
a2
a2
Nếu a 2 thì 3 a 2
3
2 62 4.
a2
Nếu a 2 thì 3 a 2
3
3
2 3 a 2
2 62 8.
a2
a 2
a 1
Vậy d M ; d nhỏ nhất bằng 4 khi
. Vậy T 3a 2 b 2 4 .
b
1
Câu 5: [2D1-8-3]
(THPT Chuyên Trần Phú - Hải Phòng - Năm 2018) Cho hàm số
4x 3
y
có đồ thị C . Biết đồ thị C có hai điểm phân biệt M , N và tổng
x 3
khoảng cách từ M hoặc N tới hai tiệm cận là nhỏ nhất. Khi đó MN có giá trị
bằng:
A. MN 4 2 .
B. MN 6 .
C. MN 4 3 .
D.
MN 6 2 .
Lời giải
Chọn D
4m 3
- Giả sử M m;
C , với m 3 .
m3
- Tiệm cận đứng là: x 3 , riệm cận ngang là: y 4 .
Do đó tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là:
d m3
9
9
4m 3
2. m 3 .
6
4 m3
m3
m3
m3
Dấu ”= ” xảy ra khi và chỉ khi m 3
m 6
m 0
m 3 3
9
2
m 3 9
m3
m 3 3
M 6;7
. Một cách tương tự ta có các điểm
M
0;1
N 6;7
.
N
0;1
Do M , N phân biệt nên MN 6 2 .
Câu 6: [2D1-8-3] (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN)
2x 2
Cho đồ thị C của hàm số y
. Tọa độ điểm M nằm trên C sao cho
x 1
tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của C nhỏ nhất là
A. M 1;0 hoặc M 3; 4 .
B. M 1;0 hoặc M 0; 2 .
C. M 2;6 hoặc M 3; 4 .
D. M 0; 2 hoặc M 2;6 .
Lời giải
Chọn A
Ta có tiệm cận đứng: x 1 , tiệm cận ngang y 2 .
Gọi M x0 ; y0 C với x0 1 thì y0
2 x0 2
4
.
2
x0 1
x0 1
Gọi A , B lần lượt là hình chiếu của M trên tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
Ta có MA x0 1 , MB y0 2
4
.
x0 1
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: MA MB 2 MA.MB
MA MB 2 x0 1 .
4
4.
x0 1
Do đó MA MB nhỏ nhất bằng 4 khi và chỉ khi x0 1
4
x0 1
x0 3 y0 4
2
x0 1 4
.
x0 1 y0 0
Vậy có hai điểm cần tìm là M 1;0 hoặc M 3; 4 .
Câu 7: [2D1-8-3]
(THPT Kinh Môn - Hải Dương - Lần 2 - 2018 - BTN) Cho hàm số
x 1
y
có đồ thị (C ). Giả sử A, B là hai điểm thuộc (C ). và đối xứng với nhau
x 1
qua giao điểm của hai đường tiệm cận. Dựng hình vuông AEBF . Tìm diện tích nhỏ
nhất của hình vuông AEBF .
B. Smin 4 2
A. Smin 8 2
C. Smin 8
D.
Smin 16
Lời giải
Chọn C
Ta có y
x 1
2
1
.
x 1
x 1
2
Gọi A a;1
, a 1 là một điểm bất kỳ thuộc đồ thị C .
a 1
Gọi I 1;1 là giao điểm của hai đường tiệm cận, ta có IA2 1 a
2
4
1 a
2
.
Theo giả thiết ta có AEBF là hình vuông nên S AEBF AE 2 S AEBF nhỏ nhất khi
AE 2 nhỏ nhất. Với AE AI 2 AE 2 2 AI 2 2 1 a
2
Mặt khác ta lại có 2 1 a
2
2 1 a
2
8
1 a
2
8
1 a
2 2 1 a .
2
2
8
1 a
2
.
8
1 a
2
8
a 1
2
Hay AE 2 8 . Dấu " " xảy ra khi 1 a 4
.
a
3
Vậy diện tích hình vuông AEBF nhỏ nhất bằng 8 .
x3
. Biết
x 1
rằng, có hai điểm phân biệt thuộc đồ thị C và cách đều hai trục toạ độ. Giả sử
Câu 8: [2D1-8-3] (Đoàn Trí Dũng - Lần 7 - 2017 - 2018) Cho đồ thị C : y
các điểm đó lần lượt là M và N . Tìm độ dài của đoạn thẳng MN .
A. MN 4 2 .
MN 3 .
B. MN 2 2 .
C. MN 3 5 .
D.
Lời giải
Chọn A
m3
M 1; 1
m3
Gọi M m;
,
ta
có
.
d
M
,
Ox
d
M
,
Oy
m
m 1
m 1
N 3;3
Câu 9: [2D1-8-3] (Chuyên Thái Bình-Thái Bình-L4-2018-BTN) A , B là hai điểm di động
2x 1
và thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị y
. Khi đó khoảng cách AB bé
x2
nhất là?
B. 2 10 .
A. 10 .
C.
5.
D. 2 5
.
Lời giải
Chọn B
Vì A , B thuộc hai nhánh của đồ thị y
a 2 , b 2 .
2x 1
5
5
nên A a; 2
, B b; 2
với
x2
b2
a2
Khi đó
2
25
25
2
AB 2 a b . 1
a 2 b 2 . 1
.
2
2
2
2
a 2 b 2
a 2 b 2
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
a 2 b 2 4 a 2 b 2 1
2
1
25
a 2 . b 2
2
2
10
2
a 2 b 2
Từ 1 và 2 suy ra AB 2 40 AB 2 10 .
a 2 2 b
a 5 2
25
Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi
1
a 2 2 2 b 2
b 2 5
Vậy ABmin 2 10.
Câu 10: [2D1-8-3] [THPT NGUYỄN THỊ MINH KHAI KHÁNH HÒA - 2017] Khoảng
cách nhỏ nhất giữa hai điểm bất kỳ thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số
2x 1
y
là.
x 1
A. 2 5 .
C. 2 3 .
B. 1 .
D. 2 2 .
Lời giải
Chọn D
2x 1
1
2
và đồ thị có tiệm cận đứng x 1 nên xét hai điểm
x 1
x 1
1
1
A 1 a; 2 và A 1 b; 2 thuộc đồ thị hàm số, với a; b 0 .
a
b
Ta có y
2
4
1 1
Khi đó AB a b 4a 2b 2 2 2 8 .
ab
b a
2
2
a b
Đẳng thức xảy ra khi 2 2
4 a b 1.
4a b 2 2
ab
A 0;1
Vậy min AB 2 2
B 2;3 .
2x 1
có đồ thị là C . Gọi M là
2x 3
giao điểm của C với trục hoành. Khi đó tích các khoảng cách từ điểm M đến hai
Câu 11: [SỞ BÌNH PHƯỚC 2 - 2017] Cho hàm số y
đường tiệm cận của đồ thị C bằng.
A. 2 .
B. 6 .
C. 4 .
D. 8 .
Lời giải
Chọn A
Ta có tiệm cận đứng x
3
và tiệm cận ngang y 1 .
2
Tọa độ giao điểm của (C ) và trục Ox : Với y 0
2x 1
1
0 x
2x 3
2
1
M ;0 .
2
Ta có khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d1 2 và khoảng cách từ M đến
tiệm cận ngang là d 2 1 .
Vậy tích hai khoảng cách là d1.d 2 2.1 2 .
<TRÙNG 1648>
2x 1
có đồ
1 x
thị C , gọi d là tiếp tuyến của C tại tiếp điểm M 0;1 . Tìm trên C những
Câu 12: [2D1-8-3] [THPT LỆ THỦY QUẢNG BÌNH - 2017] Cho hàm số y
điểm N có hoành độ lớn hơn 1 mà khoảng cách từ N đến d ngắn nhất.
7
A. N 3; .
2
3
C. N ; 8 .
2
B. N 0;1 .
D.
N 2; 5 .
Lời giải
Chọn D
Ta có: y
3
1 x
2
y 0 3 nên phương trình tiếp tuyến
: y 3x 1 3x y 1 0 .
2n 1
Gọi N n,
với n 1 .
1 n
Ta có: d N ,
3n
Xét hàm số f n
2n 1
1
1 n
32 1
2
3n 2
vì n 1 .
n 1 10
3n 2
với n 1 .
10 n 1
3n 2 6n
n 0
Ta có: f n
, cho f n 0
.
10 n 1
n 2
Lập BBT suy ra min f n
1;
6 10
khi n 2 .
5
Vậy N 2; 5 .
x2
có đồ thị là C . Gọi
x 1
d là khoảng cách từ giao điểm 2 tiệm cận của C đến một tiếp tuyến bất kỳ của
Câu 13: [THPT CHUYÊN HÀ TĨNH - 2017] Cho hàm số y
C . Giá trị lớn nhất d có thể đạt được là:
A.
2.
B. 2 2 .
C.
3.
D. 3 3 .
Lời giải
Chọn A
Tiệm cận đứng là x 1; tiệm cận ngang y 1 nên I 1; 1 .
x 2
1
Gọi M 0 x0 ; 0
nên phương trình tiếp tuyến của
C ; f x
2
x0 1
x 1
C là:
x0 2
x02 4 x0 2
1
1
y
x x0
x y
0.
2
2
2
x0 1
x0 1
x0 1
x0 1
d I ,
1
x0 1
2
1
x02 4 x0 2
x0 1
1
x0 1
2
2
1
2 x0 1
x0 1 1
4
x0 1
4
2 x0 1
2
2
2.
<TRÙNG 1650>
2x 1
. Tìm điểm M trên C để
x 1
khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng của đồ thị C bằng khoảng cách từ M đến
Câu 14: [2D1-8-3] [BTN 172 - 2017] Cho hàm số y
trục Ox .
M 0;1
A.
.
M 4;3
M 1; 1
B.
.
M 4;3
M 0; 1
C.
.
M 4;5
D.
M 0; 1
.
M 4;3
Lời giải
Chọn D
Gọi M x0 ; y0 , x0 1 , y0
2x 0 1
. Ta có d M , 1 d M ,Ox x0 1 y0
x0 1
.
x0 1
2 x0 1
2
x0 1 2 x0 1 .
x0 1
x0 0
1
2
Với x0 , ta có: x0 2 x0 1 2 x0 1
.
2
x0 4
Suy ra M 0; 1 , M 4;3 .
1
Với x0 , ta có phương trình: x02 2 x0 1 2 x0 1 x02 2 0 (vô nghiệm).
2
Vậy M 0; 1 , M 4;3 .
2x 3
. Gọi M là một điểm thuộc
x 1
đồ thị và d là tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của đồ thị hàm số C . Giá
Câu 15: [2D1-8-3] [208-BTN - 2017] Cho hàm số C : y
trị nhỏ nhất của d có thể đạt được là:
A. 2.
B. 5.
C. 6.
D. 10.
Lời giải
Chọn A
2a 3
Gọi M a;
C , ta có.
a 1
d a 1
2a 3
1
2 a 1
2 . Vậy giá trị nhỏ nhất của d bằng 2.
a 1
a 1
Câu 16: [2D1-8-3] [THPT HOÀNG VĂN THỤ KHÁNH HÒA - 2017] Gọi M là điểm bất
9
kì thuộc đồ thị C của hàm số y
. Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận
x2
của C đạt giá trị nhỏ nhất là.
A. 9.
B. 6 3 .
C. 6.
D. 2 3 .
Lời giải
Chọn C
Hàm số y
9
có tập xác định D
x2
\ 2 .
Tiệm cận đứng x 2 ; Tiệm cận ngang y 0 .
M là điểm bất kì thuộc đồ thị C của hàm số y
9
9
M x;
.
x2
x2
Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của C là.
d x2
9
9
2 x2
d 6.
x2
x2
Vậy tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của C đạt giá trị nhỏ nhất là 6.
Câu 17: [2D1-8-3] [BTN 162 - 2017] Có bao nhiêu điểm M thỏa mãn: điểm M thuộc đồ thị
1
sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận
C của hàm số y
1 x
của hàm số là nhỏ nhất.
A. 2 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 1 .
Lời giải
Chọn A
1
Gọi M a;
C a 1 . Đồ thị C có TCN là: y 0 , TCĐ là: x 1 .
1 a
Khi đó d M ,TCD d M ,TCN a 1
1
2 a 1 1 a 0 a 2 .
1 a
Vậy có 2 điểm thỏa mãn.
x2
C . Tìm M có hoành độ
x2
dương thuộc C sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận nhỏ nhất.
Câu 18: [2D1-8-3] [THPT Ngô Gia Tự-2017] Cho y
A. M 1; 3 .
B. M 0; 1 .
C. M 2; 2 .
D.
M 4;3 .
Lời giải
Chọn D
Tập xác định: D
y
4
x 2
2
\ 2. .
.
m2
M C M m;
m 0 .
m2
Ta có 2 tiệm cận của C là: d1 : x 2; d 2 : y 1. .
m2
1
m2 m2
4
d m, d1 d M , d 2
m2
..
1
1
m2
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương m 2 và
4
, ta có:
m2
m2
4
2 4 4.
m2
Dấu “=” xảy ra m 2
m 2 2
m 4
4
m 4. .
m2
m 2 2 m 0
Vậy M 4;3 . .
Câu 19: [2D1-8-3] [THPT Lệ Thủy-Quảng Bình-2017] Hai điểm A, B thuộc hai nhánh của
7
đồ thị y 3
. Khi đó độ dài đoạn thẳng AB ngắn nhất bằng bao nhiêu?
x3
A. 4 14 .
B.
28 .
C.
14 .
D. 2 14 .
Lời giải
Chọn D
.
Đồ thị hàm số y 3
7
đối xứng qua điểm I 3;3 .
x3
Hai điểm A, B thuộc hai nhánh của đồ thị có độ dài ngắn nhất khi A và B là giao
điểm của đồ thị và đường thẳng y x .
Ta có 3
7
2
x x 3 7 x 2 6 x 2 0 .
x3
x 3 7 y 3 7
.
x 3 7 y 3 7
A 3 7;3 7 , B 3 7;3 7 AB 2 14 .
Câu 20: [2D1-8-3] [Cụm 6 HCM-2017] Tính tổng các hoành độ của những điểm thuộc đồ thị
C : y x3 3x2 2 cách đều hai điểm A 12;1 , B 6;3 .
A. 3 .
B. 4 .
C. 2 .
Lời giải
D. 0 .
Chọn A
Phương trình đường trung trực đoạn AB là x 9 y 21 0 .
Gọi M x; y C thỏa mãn MA MB .
M là giao điểm của đường trung trực đoạn AB và đồ thị C . Hoành độ các điểm
M là nghiệm của phương trình
21 x
x3 3x 2 2
9 x 3 27 x 2 x 3 0 x 3 .
9
x2 x 1
Câu 21: [2D1-8-3] [THPT Chuyên Hà Tĩnh-2017] Cho hàm số y
có đồ thị C
x 1
. Gọi A , B là hai điểm phân biệt trên đồ thị C có hoành độ x1 , x2 thỏa x1 1 x2
. Giá trị nhỏ nhất của AB là
8 2 8.
A.
C. 8 2 8 .
B. 12 3 4 .
D. 2 5 .
Lời giải
Chọn A
1
1
x2 x 1
1
x
. Giả sử A x1 ; x1
với
, B x2 ; x2
x2 1
x1 1
x 1
x 1
x1 1 x2 .
Ta có y
1
y1 1 a
x
1
a
a
0
1 1
1
a
Đặt
AB b a; b a .
b a
x2 1 b b 0 y2 1 b 1
b
2
1 1
2
1 Cos i
2
1
2
AB a b a b a b 2
2 2 4ab 2
2 2
a b
ab a b
ab a b
.
2
8ab
2
Cos i
4
4
8 2 8ab. 8 8 2 8 . Vậy ABmin 8 2 8 .
ab
ab
2 x2 6 m x 2
Câu 22: [2D1-8-3] [BTN 171-2017] Cho hàm số y
có đồ thị là Cm .
mx 2
Hỏi đồ thị hàm số luôn đi qua bao nhiêu điểm cố định ?
A. 0 .
B. 3 .
C. 1 .
Lời giải
Chọn B
D. 2 .
Ta có: y
2 x2 6 m x 2
2
mx y 1 2 x 2 6 x 2 2 y x .
mx 2
m
Khi đó tọa độ điểm cố định mà đồ thị hàm số đi qua là nghiệm của hệ phương trình
sau:
x 0
y 1
x 1
x y 1 0
suy ra có 3 điểm cố định.
2
y 1
2 x 6 x 2 2 y 0
x 2
y 1
Câu 23: [2D1-8-3] [THPT chuyên Lê Quý Đôn-2017] Tìm tất cả các giá trị thực của tham
số m để đồ thị hàm số y x3 3x 2 m có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua
gốc tọa độ.
C. m 0 .
B. m 0 .
A. m 1.
0 m 1.
D.
Lời giải
Chọn B
TXĐ: D
.
Gọi tọa độ hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ lần lượt là A x; y , B x; y .
Vì hai điểm cùng thuộc đồ thị nên ta có:
y x3 3x 2 m
m 3x 2 1 .
3
2
y x 3x m
Với m 0 thì 1 vô nghiệm, không thỏa mãn.
Với m 0 thì 1 có nghiệm duy nhất 0;0 , không thỏa mãn.
m m m m m m
;
;
Với m 0 thì 1 có nghiệm là
thỏa mãn.
và
3
27
3 27
Câu 24: [2D1-8-3] [THPT Tiên Du 1-2017] Đồ thị hàm số y 2 x3 3mx 2 3m 2 có hai
điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ O khi m là
A. m 0, m
2
.
3
1
m ,m 0.
3
1
B. m .
3
C. m 0 .
D.
Lời giải
Chọn A
Giả sử M x0 ; y0 và N - x0 ; y0 là cặp điểm đối xứng nhau qua O , nên ta có :
3
2
y0 2 x0 3mx0 3m 2 1
.
3
2
y0 2 x0 3mx0 3m 2 2
Lấy (1) cộng với (2)vế với vế,ta có : 6mx02 6m 4 0
3 .
Xét m 0 ta có (3) vô nghiệm.
Xét m 0 ta có x02
6m 4 3m 2
2
0 m ;0 ; .
6m
3m
3
Câu 25: [2D1-8-3] [THPT chuyên Lê Quý Đôn-2017] Tìm tất cả các giá trị thực của tham
số m để đồ thị hàm số y x3 3x 2 m có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua
gốc tọa độ.
C. m 0 .
B. m 0 .
A. m 1.
0 m 1.
D.
Lời giải
Chọn B
TXĐ: D
.
Gọi tọa độ hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ lần lượt là A x; y , B x; y .
Vì hai điểm cùng thuộc đồ thị nên ta có:
y x3 3x 2 m
m 3x 2 1 .
3
2
y x 3x m
Với m 0 thì 1 vô nghiệm, không thỏa mãn.
Với m 0 thì 1 có nghiệm duy nhất 0;0 , không thỏa mãn.
m m m m m m
;
;
Với m 0 thì 1 có nghiệm là
thỏa mãn.
và
3
27
3 27
Câu 26: [2D1-8-3] [THPT Yên Lạc-VP-2017] Đồ thị hàm số y x3 m 2 x 2 3m 3 có
hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O khi giá trị của m là
A. m 0.
m 1, m 1.
B. m 1.
C. m 1, m 2.
D.
Lời giải
Chọn C
Giả sử M x1; y1 và N x1 ; y1 là hai điểm thuộc đồ thị hàm số đối xứng nhau
qua gốc tọa độ. Khi đó:
x13 m 2 x12 3m 3 x13 m 2 x12 3m 3 2 m 2 x12 6 m 1 .
x12
3 m 1
( vì m 2 không thỏa).
m2
Vì x12 0 nên
3 m 1
0 m 1 m 2. .
m2
Câu 27: [2D1-8-3] [BTN 176-2017] Cho hàm số y
C có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên?
A. 4 .
x2 2 x 5
có đồ thị là C . Hỏi trên đồ thị
x 1
B. 6 .
C. 3 .
D. 5 .
Lời giải
Chọn B
Ta có: y
x2 2x 5
4
x 1
. Gọi M x0 ; y0 C suy ra
x 1
x 1
x0
x
0
x0 1 1
x0
4
4
x
1
2
, ta có x0 , y0 Z
y0 x0 1
0
x0 1
x0 1
x0
x0 1 4
x
0
x0
điểm có tọa độ nguyên.
2
0
3
1
. Vậy có 6
3
5
2x 1
sao cho khoảng cách từ M
x 1
đến đường thẳng : x 3y 3 0 đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 28: [2D1-8-3] Tìm điểm M trên đồ thị C : y
A. M 2;1 .
B. M 2; 5 .
1
C. M 1; .
2
7
D. M 3; .
2
Lời giải
Chọn A
2m 1
Gọi M m;
là tọa độ điểm cần tìm m 1 .
m 1
Khoảng cách từ M đến đường thẳng là: d
d
2m 1
m 3
3
m1
12 32
hay
m2 2m 6
m 1
10
1
.
m2 2 m 6
khi m 1
m2 2m 6 m 1
Xét hàm số: f m
2
m1
m 2m 6
khi m 1
m 1
Ta có: f ' m 0 m 2 thỏa m 1 hoặc m 4 thỏa m 1 .
Lập bảng biến thiên suy ra min d
2
10
khi m 2 tức M 2;1 .
1
1
Tiếp tuyến tại M là y x , tiếp tuyến này song song với .
3
3
Câu 29: [2D1-8-3] (THPT Lương Thế Vinh - HN - Lần 1- 2017 - 2018 - BTN) Hỏi có bao
2x a
nhiêu cặp số nguyên dương a; b để hàm số y
có đồ thị trên 1; như
4x b
hình vẽ dưới đây?
B. 4 .
A. 1 .
C. 2 .
Lời giải
Chọn A
D. 3 .
Hàm số không xác định tại điểm x
b
. Theo đồ thị ta có tiệm cận đứng
4
b
1 b 4 . Do b nguyên dương nên b 1, 2,3 .
4
4a 2b
Ta có y
. Hàm số nghịch biến nên 4a 2b 0 b 2a .
2
4x b
nhỏ hơn 1
Do a là số nguyên dương và b 1, 2,3 nên ta có một cặp a, b thỏa mãn là
1,3 .
Câu 30: [2D1-8-3] (THPT Lương Thế Vinh - HN - Lần 1- 2017 - 2018 - BTN) Trên đồ thị
2x 5
hàm số y
có bao nhiêu điểm có tọa độ là các số nguyên?
3x 1
A. 4 .
B. Vô số.
D. 0 .
C. 2 .
Lời giải
Chọn C
Tập xác định D
Ta có y
Ta có y
1
\
3
13
2 x 5 1 6 x 15 1
13
.
2
3y 2
3x 1 3 3x 1 3
3x 1
3x 1
nên 3y
2
x
3
x
1
1
3
3x 1 1
x 0
.
3x 1 13
14
x
3
3
x
1
13
x 4
Thử lại x 0 và x 4 thỏa mãn.
Vậy có hai điểm có tọa độ nguyên 0;5 và 4;1 .
Câu 31: [2D1-8-3] Cho hàm số y
x 2 3x 3
có đồ thị C . Tổng khoảng cách từ một
x2
điểm M thuộc C đến hai hai trục tọa độ đạt giá trị nhỏ nhất bằng ?
A. 1 .
B.
1
.
2
C. 2 .
Lời giải
Chọn D
D.
3
.
2
3
3
Điểm M 0, nằm trên trục Oy . Khoảng cách từ M đến hai trục là d = .
2
2
Xét những điểm M có hoành độ lớn hơn
3
3
d x y .
2
2
Xét những điểm M có hoành độ nhỏ hơn
3
:
2
Với 0 x
3
3
3
y d x y
2
2
2
3
1
1
1
Với x 0; y 0 d x x 1
1
;d '
0.
2
2
x2
x2
x 2
Chứng tỏ hàm số nghịch biến. Suy ra min d y 0
3
.
2
Câu 32: [2D1-8-3] Tọa độ cặp điểm thuộc đồ thị (C ) của hàm số y
x4
đối xứng nhau
x2
qua đường thẳng d : x 2 y 6 0 là
A. 4; 4 và 1; 1 .
B. 1; 5 và 1; 1 .
C. 0; 2 và 3;7 .
D. 1; 5 và 5;3 .
Lời giải
Chọn B
Gọi đường thẳng vuông góc với đường thẳng d : y
1
x 3 suy ra
2
: y 2 x m .
Giả sử cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A, B . Khi đó hoành độ của A, B là
nghiệm của phương trình
x 2
x4
2 x m 2 x 2 (m 3) x 2m 4 0 .
x2
h( x)
Điều kiện cần:
Để cắt (C ) tại hai điểm phân biệt thì phương trình h( x ) 0 có hai nghiệm phân
m 5 4 3
m2 10m 23 0
0
biệt khác 2 , tức là
(*).
6
0
m
5
4
3
h(2) 0
Điều kiện đủ:
Gọi I là trung điểm của AB , ta có:
m3
xA xB
xI
xI
m 3 3m 3
4
I
;
2
.
2
4
yI 2 xI m y m 3 m
I
2
Để hai điểm A, B đối xứng nhau qua d : x 2 y 6 0 khi I d
m3
3m 3
2.
6 0 m 3 (thỏa điều kiện (*)).
4
2
x 1 y 1
Với m 3 phương trình h( x) 0 2 x 2 2 0
x 1 y 5
Vậy tọa hai điểm cần tìm là 1; 5 và 1; 1 .
Câu 33: [2D1-8-3] (THPT Chuyên Bắc Ninh - Lần 2 - 2017 - 2018) Gọi M a; b là điểm
trên đồ thị hàm số y
2x 1
mà có khoảng cách đến đường thẳng d : y 3 x 6 nhỏ
x2
nhất. Khi đó
A. a 2b 1 .
a 2b 3 .
C. a b 2 .
B. a b 2 .
D.
Lời giải
Chọn C.
2x 1
Gọi M x0 ; 0 C , ta có
x0 2
d M ,d
d M ,d
3x0
2 x0 1
6
x0 2
12 32
3 x0 2
3 x0 2
3
2
x0 2
12 32
3
6
x0 2
12 32
62
10
4
( Áp dụng bất đẳng thức Côsi).
10
Dấu bằng xảy ra:
x0 2
x0 2 1
x0 1, y0 1
1
2
x0 2 1
x0 2
x0 2 1 x0 3, y0 5
Khi đó: M 1; 1 thỏa a b 2 .
Câu 34: [2D1-8-3] (THPT Hà Huy Tập - Hà Tĩnh - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Biết đồ
thị (Cm ) của hàm số y x 4 mx 2 m 2018 luôn luôn đi qua hai điểm M và N cố
định khi m thay đổi. Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng MN là
A. I 1; 2018 .
B. I 0;1 .
C. I 0; 2018 .
D.
I 0; 2019 .
Lời giải
Chọn D
Giả sử M x0 ; y0 là điểm cố định của họ Cm . Khi đó
y0 x04 mx02 m 2018, m x02 1 m x04 y0 2018 0, m
x0 1
x
1
0
2
M 1; 2019
y0 2019
x0 1 0
x0 1
.
4
x
1
N
1;
2019
x
y
2018
0
0
0
0
4
x0 y0 2018 0
y0 2019
Suy ra tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng MN có tọa độ là I 0; 2019 .