KHỐI CẦU

Câu 1: [2H2-3-2] (THPT Xuân Trường - Nam Định - 2018-BTN) Khinh khí cầu của
Mông–gôn–fie (Montgolfier) (người Pháp) nhà phát minh ra khinh khí cầu dùng
khí nóng. Coi khinh khí cầu này là một mặt cầu có đường kính 11m thì diện tích
của mặt khinh khí cầu là bao nhiêu? (lấy  

22
và làm tròn kết quả đến chữ số
7

thập phân thứ hai).
B. 697,19  m2  .

A. 380, 29  m2  .

95, 07  m2  .

C. 190,14  m2  .

D.

Lời giải
Chọn A
Bán kính của khi khí cầu là R 

11
m .
2

Diện tích mặt cầu là S  4 R 2  121  380.29  m2  .
Câu 2: [2H2-3-2] (THPT TRIỆU SƠN 2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, biết SB  a 3. Khi đó

bán kính mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng  SBD  là:
A. R  a

Ra

2
.
5

B. R  a .

C. R  a

2
.
5

D.

2 5
.
5
Lời giải

Chọn A

Câu 3: [2H2-3-2] (THPT CHU VĂN AN) Cho hình lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy bằng
a , cạnh bên bằng 2a . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.
A. R  a 2 .

B. R  a .

C. R  a 3 .
Lời giải

Chọn A

D. R  2a .


Kí hiệu ABCDEF.ABCDEF  là lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy bằng a ;
O  BE  BE . Khi đó

OA  OB  OC  OD  OE  OF
 OA  OB  OC   OD  OE  OF 
Vậy tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là O và bán kính bằng R 

BE 
.
2

Vì BEE B là hình vuông cạnh 2a , đường chéo BE  2 2a
nên bán kính mặt cầu là R  a 2 .
Câu 4: [2H2-3-2] (SGD – HÀ TĨNH ) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác
vuông cân tại B và cạnh AB  3 . Cạnh bên SA  6 và vuông góc với mặt phẳng
đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là ?
A.

3 2
.

2

B. 9 .

C.
Lời giải

Chọn C
Gọi I là trung điểm SC .
Ta có SAC vuông tại A nên IA  IC  IS 1

 BC  AB
 BC  SB  SBC vuông tại B .
Lại có 
 BC  SA
Suy ra IB  IC  IS  2  .

6.

D.

3 6
.
2


 SC 
Từ 1 và  2    I ;
 là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
 2 

Vì ABC vuông tại B nên: AC  AB 2  BC 2  32  32  3 2 .
Vì SAC vuông tại A nên: SC  SA2  AC 2  6  18  2 6 .
Vậy R  6 .

Câu 5: [2H2-3-2] (THPT SỐ 2 AN NHƠN) Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là
hình vuông cạnh bằng 6, mặt bên SAB là tam giác cân tại S nằm trong mặt phẳng
vuông góc với đáy và có góc ASB  120 . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp S .ABCD .
B. 28 .

A. 84 .

C. 14 .

D. 42
.

Câu 6: [2H2-3-2] Cho hình lập phương ABCD. A' B 'C ' D ' có cạnh bằng a . Diện tích S của
mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương đó là:
A. S  3 a .
2

3 a 2
B. S 
.
4

C. S   a2 .

D.

S  12 a2 .

Câu 7: [2H2-3-2] (THPT LƯƠNG VĂN CHÁNH) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam
giác ABC vuông tại A , có SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  và SA  a ,

AB  b , AC  c . Mặt cầu đi qua các đỉnh A , B , C , S có bán kính R bằng
A. R 

1 2 2 2
a b c .
2

C. R  a 2  b2  c 2 .

B. R  2 a 2  b2  c 2 .
D. R 
Lời giải

Chọn A

2a  b  c
.
3


Gọi D là trung điểm BC và E là trung điểm SA .
Gọi I là tâm mặt cầu cầu đi qua các đỉnh A, B, C , S . Khi đó I là giao điểm của
đường thẳng đi qua D , song song với SA và mặt phẳng trung trực của SA .
Do đó IDEA là hình chữ nhật.

2
2
Vậy R  IA  AE  AD 

1 2 1
1 2 2 2
SA  BC 2 
a b c .
4
4
2

Câu 8: [2H2-3-2] (THPT Chuyên Lào Cai) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông
cạnh bằng 6 . Tam giác SAB vuông cân tại S và tam giác SCD đều.Tìm bán kính
R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó
A. R
R

2 3.

B. R

C. R

21 .

3.

D.

3 3.

Lời giải
C

M
I

B

D
H

S

Chọn B
Nhận xét: Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD chính là mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp SBCD
Xét hình chóp SBCD có: CB  SC  CD  6 , BS  3 2 , SD  6 và BD  6 2
Gọi H là hình chiếu của C lên  SBD   H là tâm đường tròn ngoại tiếp SBD
Kẻ đường trung trực của BC cắt CH tại I suy ra IC  IB  IS  ID  IA


9 7
.
2
Mặt khác ta có BH là bán kính đường tròn ngoại tiếp SBD , suy ra:
BS .SD.BD 12
BH 


4SSBD
7
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:
Dùng công thức Hê-rông ta tính được: SSBD 

CB2
CB 2

 21
2CH 2 BC 2  BH 2
Câu 9: [2H2-3-2] (CHUYÊN VĨNH PHÚC)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông
cạnh bằng a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy SA  a 3. Diện tích mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là:
R  IC 

A. 5 a .
2

4 a 2
B.
.
5

4 a 2
C.
.
3

D.

 a2 3
6

.

Câu 10: [2H2-3-2] (TRƯỜNG THPT TH CAO NGUYÊN ) Cho hình chóp đều
S.ABCD có tam giác SAC đều cạnh a . Bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp là
A. R  a .
R

B. R 

a 3
.
2

C. R 

a 2
.
2

D.

a 3
.
3

Lời giải

Chọn D
S

M
Δ

I
D

C

O
A

B

Gọi O  AC  BC . Khi đó SO là trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông
ABCD .
Gọi  là đường trung trực của cạnh SA và I    SO thì I là tâm mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp S. ABCD .


và
SMI
SOA
SM SI
SM .SA a
a 3

 SI 


 OI 
.
SO SA
SO
6
3

Ta

đồng

có

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp R  IA 

AO2  IO2 

dạng

nên

a 3
.
3

Câu 11: [2H2-3-2] (CỤM 7 TP. HỒ CHÍ MINH) Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình thoi cạnh 1 , BAD  60 ,  SCD  và  SAD  cùng vuông góc với mặt phẳng

 ABCD  , góc giữa

SC và mặt đáy ABCD bằng 45 . Tính diện tích mặt cầu

ngoại tiếp tứ diện SBCD .
A.

7
.
2

B.

7
.
4

C.

7
.
6

D.

7
.
3

Lời giải
Chọn D .

ABCD là hình thoi có BAD  60  ABD và BCD là hai tam giác đều cạnh bằng
1.
 SAD    ABCD 

 SD   ABCD  .
 SCD    ABCD 

 SAD    SCD   SD
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Kẻ Gx / / SD  Gx là trục đường tròn ngoại
tiếp tam giác BCD . Trong mặt phẳng  SDG  , kẻ đường thẳng Ky vuông góc với

SD và cắt Gx tại I (với K là trung điể m SD .  I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện SBCD .
Ta có IG  KD 

1
2 3
21
3
, DG  .
.
 ID  IG 2  GD 2 

2
3 2
3
6
2

 21  7
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD là S  4 . 
.
 
3
 6 
Câu 12: [2H2-3-2] Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB  a , AD  2a và
AA  2a . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABBC .
A. R  3a .

B. R 

3a
.
4

C. R 
Lời giải

3a
.
2

D. R  2a .


Chọn C
Ta có ABC   ABC   90 nên mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABBC có đường kính
1 2
3a

2
2
a   2a    2a   .
AC . Do đó bán kính là R 
2
2
Câu 13: [2H2-3-2] (THPT TRẦN HƯNG ĐẠO) Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC
đôi một vuông góc nhau và OA  a, OB  2a, OC  3a. Diện tích của mặt cầu

 S  ngoại tiếp hình chóp

S.ABC bằng

A. S  8 a 2 .

B. S  14 a 2 .

C. S  12 a 2 .

D. S  10 a 2 .
Lời giải

Chọn B
Gọi M là trung điểm của BC .
Khi đó , Mx là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC
Gọi N là trung điểm của AO .
Trong  OA, Mx  , dựng đường trung trực Ny của OA
Gọi I  Ny  Mx .
Khi đó , I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ diện OABC .
Có : OM 

1
a 13
a 14
. R  OI  OM 2  ON 2 
BC 
2
2
2

Diện tích của mặt cầu : S  4 R 2  14 a 2

Câu 14: [2H2-3-2] (THPT HAI BÀ TRƯNG) Một mặt cầu  S  ngoại tiếp tứ diện đều
cạnh a . Diện tích mặt cầu  S  là:


A.

3 a 2
3 a 2
. B.
. C. 6 a 2 .
4
2

D. 3 a 2 .
Lời giải

Chọn B

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD .
Trong mặt phẳng  ABO  dựng đường trung trực của AB cắt AO tại I . Khi đó I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD .
Ta có: AO  AB 2  BO 2  a 2 

a2
2
AB 2
a
, R  IA 

3
3
2 AO

3 3 a 2
Diện tích mặt cầu  S  là: S  4 R  4 a . 
8
2
2

2

Câu 15: [2H2-3-2] (THPT TRẦN HƯNG ĐẠO) Cho tứ
diện S.ABCD có tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a.
Mặt bên SAB là tam giác đều và vuông góc với đáy.
Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD.
7 21 3
a .
54

7
C. a 3 .
3
A.

7 21 3
a.
54
7
D. a 3 .
3
B.

Lời giải

Chọn A
Gọi H là trung điểm của AB . Vậy SH   ABCD 

a2
2a

2
3

a

3
.
8

Gọi O là tâm của hình vuông , G là trọng tâm SAB .
Dựng Ox là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD
( Ox / /SH ) .
Dựng Gy là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB

 Gy / /OH 
Gọi I  Ox  Gy . Khi đó , I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABCD
2

 2 a 3   a 2 a 21
Có : R  SI  SG  GI   .
 3 2    2   6


2

2

Thể tích của khối cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD.
3

4
4  a 21  7 21 3
V   R3   
a .
 
3
3  6 
54

Câu 16: [2H2-3-2] (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho hình chóp đều S.ABC có
cạnh đáy bằng a , góc tạo bởi cạnh bên và đáy bằng 60 . Tính bán kính R của
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC .
A. R 

a
.
3

B. R 

2a
.
3

C. R 
Lời giải

Chọn B

Gọi M , N lần lượt là trung điểm SA, BC

I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC .

a 3
.
3

D. R 

4a
.
3


Ta có AG 

SA 

2
a 3
AN 
; SG  AG.tan 60  a
3
3

AG
2a 3

o
cos 60
3

SMI # SGA 

SM SI
SM .SA 1 SA2 2a

 R  SI 

 

SG SA
SG
2 SG
3

Câu 17: [2H2-3-2] (THPT CHUYÊN BIÊN HÒA) Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam
giác vuông cân tại B , AB  BC  2a , cạnh SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  ,
SA  2 2a . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp S. ABC theo a .

A. 64 a 2 .

C. 8 a 2 .

B. 16 a 2 .

D. 4 a 2 .

Lời giải
Chọn B

S

C

A

B

CB  AB
 CB   SAB   CB  SB  SBC  90
Có 
CB

SA

Mặt khác: SA  AC  SAC  90
Suy ra: SBC  SAC  90 do đó mặt cầu đường kính SC là mặt cầu ngoại tiếp
S.ABC .
Xét tam giác vuông ABC ta có: AC 2  AB 2  BC 2  8a 2
Xét tam giác vuông SAC ta có: SC 2  SA2  AC 2  8a 2  8a 2  16a 2  SC  4a
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABC là: R 

SC
 2a .
2

Diện tích mặt cầu là: S  4 R 2  16 a 2

Câu 18: [2H2-3-2] (THPT CHUYÊN BẾN TRE )Cho hình lăng trụ tam giác đều
ABC.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 2a . Tính thể tích V
của khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.ABC .


A. V 

8 3 a3
.
27

B. V 

32 3 a3
.
9

C. V 

32 3 a3
.
81

D. V 

32 3 a3
.
27

Lời giải
Chọn D
Gọi O, O lần lượt là tâm các tam giác ABC và ABC .
Gọi I là trung điểm OO , suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ
ABC.ABC .
2

2 a 3
2a 3
2
Khi đó bán kính mặt cầu: r  OA  OI   

.
 3 2   a  3


2

2

3

4
4  2a 3  32 3 a3
Vậy V   r 3   
.
 
3
3  3 
27

Câu 19: [2H2-3-2] (THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN)Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh
đáy bằng 3 2 và đường cao bằng 3 3 . Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp đó.
A. 48 .

C. 12 .

B. 4 3 .
Lời giải

D. 32 3 .

Chọn A

Gọi O là tâm của ABCD  O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD ( do ABCD
là hình vuông). SO   ABCD  ( do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều) nên SO là
trục đường tròn ngoại tiếp của ABCD .
Gọi M là trung điểm SA , trong  SAO  , kẻ đường trung trực d của SA cắt SO tại

I.
Suy ra I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD .
Bán kính r  IS  IA  IB  IC  ID
2

 AC 
Mà: SA  SO  
  27  9  6 ( tam giác SOA vuông tại O )
 2 
2

Ta có SIM đồng dạng SAO ( góc-góc)

SA.SM SA2
36
IS SM


2 3



 IS 
SA SO
SO
2SO 6 3
Suy ra: S  4 r 2  4 .12  48


Câu 20: [2H2-3-2] (THPT A HẢI HẬU) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác
đều cạnh bằng a , mặt bên  SAB  là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông
góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

4 3 a3
A. V 
.
27

5 15 a3
B. V 
.
54

5 a 3
C. V 
.
3

5 15 a3
D. V 
.
18

Câu 21: [2H2-3-2] (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho hình chóp S.ABCD có đáy
là hình vuông cạnh bằng a , SA vuông góc với đáy, SA  a 2 . Tính thể tích V
của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD .
A. V 

32 3
a .
3

4
B. V   a 3 .
3

C. V  4 a 3 .

D. V 

4 2 3
a .
3

Lời giải
Chọn B

SC
SA2  AC 2

a
Bán kính khối cầu S.ABCD là: R 

2
2
4
4
Câu 22: Thể tích khối cầu V   R 3   a 3 . [2H2-3-2] (SGD Bình Dương - HKI - 2017 3
3
2018 - BTN) Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh
bằng a .

A. R  a 3 .

R

B. R  a 2 .

a 6
.
2
Lời giải

Chọn C

C. R 

a 3
.
2

D.

B

A
D

C
I
A

B

C

D

Gọi I là giao điểm của AC và AC . Khi đó, I chính là tâm của mặt cầu ngoại
tiếp hình lập phương. Bán kính R được tính bởi

R  IA 


AC 

2

AA2  AC 2

2

a2  a2  a2
AA2  AB2  AD2

2
2

a 3
.
2

Câu 23: [2H2-3-2] (THPT Kiến An - HP - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp
S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A , B . Biết SA   ABCD  , AB  BC  a
, AD  2a , SA  a 2 . Gọi E là trung điểm của AD . Tính bán kính mặt cầu đi
qua các điểm S , A , B , C , E .
A.

a 30
.
6

B.

a 6
.
3

C.

a 3
.

2

D. a .

Lời giải
Chọn D
S

A
B

E
C

* Do SA   ABCD   SA  AC  SAC  90 .
* Do BC   SAB   BC  SC  SBC  90 .
* Do CE //AB  CE   SAD   CE  SE  SEC  90 .

D


Suy ra các điểm A , B , E cùng nhìn đoạn SC dưới một góc vuông nên mặt
cầu đi qua các điểm S , A , B , C , E là mặt cầu đường kính SC .
Bán kính mặt cầu đi qua các điểm S , A , B , C , E là: R 

SC
.
2

Xét tam giác SAC vuông tại A ta có: AC  AB 2  a 2  SC  AC 2  2a

R

SC
a.
2

Câu 24: [2H2-3-2] (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 8 Tuần HK1 - 2018 - BTN)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Bất kì một hình hộp nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp.
B. Bất kì một hình tứ diện nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp.
C. Bất kì một hình chóp đều nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp.
D. Bất kì một hình hộp chữ nhật nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp.
Lời giải
Chọn A
Điều kiện cần để một hình hộp có một mặt cầu ngoại tiếp là đáy của hình hộp là đa
giác nội tiếp.

Câu 25: [2H2-3-2] (THPT Trần Hưng Đạo-TP.HCM-2018) Cho hình lăng trụ tam giác
đều ABC.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 2a . Tính thể tích V
của khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC. ABC.
32 3 a3
.
27
32 3 a3
V
.
81

A. V 

B. V 

32 3 a3
.
9

C. V 

8 3 a3
.
27

D.

Lời giải

Chọn B
C

A
O

B
I

C'

A'
O'
B'

Dựng trục OO của hai đáy và gọi I là trung điểm của OO . Khi đó I là tâm của mặt cầu
và bán kính mặt cầu R  IA .


Trong tam giác vuông IOA ta có R  OA2  OI 2 với OA 

R

a 3
và OI  2a ta có
3

32 3 a3
4
2a 3
. Thể tích khối cầu V   R 3  V 
.
3
27
3

Câu 26: [2H2-3-2] (THPT Trần Hưng Đạo-TP.HCM-2018) Cho khối tứ diện OABC
với OA , OB , OC từng đôi một vuông góc và OA  OB  OC  6 . Tính bán kính
R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC .
A. R  4 2 .
R3 3.

C. R  3 .

B. R  2 .

D.

Lời giải
Chọn A
A

N
I
C

O
M
B

Gọi M là trung điểm của BC , do tam giác OBC vuông tại O nên M là tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác OBC .
Qua M dựng đường thẳng d song song với OA khi đó d là trục đường tròn ngoại
tiếp tam giác OBC .Gọi  là đường trung trực của cạnh OA và I là giao điểm của
 và d . Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC .
1
2

Ta có OM  BC 

1
1
OB 2  OC 2  3 2 ; ON  IM  OA  3 .
2

2

Tam giác OMI vuông tại M nên IM  OM 2  IM 2 

3 2 

2

 32  3 3 .

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là R  3 3 .
Câu 27: [2H2-3-2] (THPT Lê Hồng Phong - Nam Định - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho
hình chóp S.ABC có SA   ABC  , tam giác ABC vuông tại B . Biết SA  2a ,

AB  a , BC  a 3 . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
A. a .

B. 2a .

C. a 2 .
Lời giải

Chọn C.

D. 2a 2 .


 BC  SA
Ta có: SA   ABC  và tam giác ABC vuông tại B nên 
 BC  SB .

 BC  AB
Do đó các đỉnh A và B cùng nhìn đoạn SC dưới một góc vuông.
Vậy tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là trung điểm I của cạnh SC và bán kính
1
1
1
R
SA2  AC 2 
SA2  AB 2  BC 2 
4a 2  a 2  3a 2  a 2 .
2
2
2

Câu 28: [2H2-3-2] (THPT Kim Liên - HN - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Trong các hình
đa diện sau, hình nào không nội tiếp được trong một mặt cầu?
A. Hình tứ diện.
C. Hình chóp ngũ giác đều.
vuông.

B. Hình hộp chữ nhật.
D. Hình chóp có đáy là hình thang
Lời giải

Chọn D
Vì hình thang vuông không nội tiếp được trong một đường tròn nên hình chóp có
đáy là hình thang vuông không nội tiếp được trong một mặt cầu.
Câu 29: [2H2-3-2] (THPT Thăng Long – Hà Nội – Lần 1 – 2018) Cho hình chóp
S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy, I là tâm mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. I là trung điểm SC .
SBD .

B. I là tâm đường tròn ngoại tiếp

C. I là giao điểm của AC và BD .

D. I là trung điểm SA .
Lời giải

Chọn A


Gọi I là trung điểm SC .
Ta có SA   ABCD   SA  AC  tam giác SAC vuông tại A

 IA  IC  IS 1
Lại có: AB , AD là hình chiếu vuông góc của SB , SD lên mặt phẳng  ABCD 
Mà BC  AB , CD  AD nên BC  SB , CD  SD (định lí ba đường vuông góc)

 các tam giác SBC và SAD vuông tại B và D 



IB  IC  IS
 2 .
IC  ID  IS

Từ 1 và  2  suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Vậy tâm I mặt mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là trung điểm SC .

Câu 30: [2H2-3-2] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Một hình hộp
hình chữ nhật nội tiếp mặt cầu và có ba kích thước là a , b , c . Tính bán kính của
mặt cầu.
A.

a 2  b2  c 2 .

B.

2  a 2  b 2  c 2  . C.

1 2 2 2
a b c .
2
Lời giải
Chọn D

a 2  b2  c2
.
3

D.


Đường kính của mặt cầu chính là đường chéo của hình hộp chữ nhật, nên mặt cầu
1 2
có bán kính R 
a  b2  c2 .
2

Câu 31: [2H2-3-2] (CỤM CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU
LONG-LẦN 2-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a .
Cạnh bên SA  a 6 và vuông góc với đáy  ABCD  . Tính theo a diện tích mặt
cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD
A. 8 a 2

C. 2 a 2

B. a 2 2

D. 2a 2

Lời giải
Chọn A

S

A

I
B

C

D

Gọi I là trung điểm của SC . Ta có IS  IA  IB  IC  ID 

1

SC nên I là tâm
2

mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD .
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là R 

1
1
1
SC 
SA2  AC 2 
6a 2  2a 2  a 2 .
2
2
2

Diện tích mặt cầu S  4 R 2  8 a 2 .
Câu 32: [2H2-3-2] (Chuyên Long An - Lần 2 - Năm 2018) Tính bán kính mặt cầu tiếp
xúc với tất cả các cạnh của một hình lập phương cạnh a .
A.

2a
.
2

B.

3a
.
2

C.
Lời giải

Chọn A

a
.
2

D.

a
.
2


B

C

A

D

I
H
B'

C'

A'

D'

Gọi I là giao của hai đường chéo của hình lập phương ABCD.ABCD ; H là trung
điểm của AA .
Gọi  S  là mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương ABCD.ABCD
. Khi đó mặt cầu  S  có tâm là điểm I và bán kính R  IH 

1
a 2
AC  
.
2
2

Câu 33: [2H2-3-2] (Chuyên KHTN - Lần 3 - Năm 2018) Cho khối lăng trụ tam giác đều
có cạnh đáy bằng a . Góc giữa đường chéo của mặt bên và đáy của lăng trụ là 60 .
Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đó.
A.

13 2
πa .
3

B.

5 2
πa .

3

C.

13 2
πa .
9

D.

5 2
πa .
9

Lời giải
Chọn A

Gọi H là tâm ABC thì AH 



 

a 3
.
3



Ta có AB,  ABC   AB, AB  ABA  60  AA  AB.tan 60  a 3 .

a 3
. Mặt phẳng trung trực của đoạn AA cắt
2
trục của đường tròn ngoại tiếp ABC tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.
Gọi M là trung điểm AA thì AM 


Ta có R 2  IA2  IM 2  AM 2  AH 2  AM 2 

3a 2 a 2 13a 2


.
4
3
12

13a 2 13 2
 πa .
12
3
Câu 34: [2H2-3-2] (THPT Chuyên Quốc Học Huế - Lần 2 -2018 - BTN) Cho tam giác
đều ABC cạnh a . Gọi  P  là mặt phẳng chứa đường thẳng BC và vuông góc với

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ S  4πR 2  4π

mặt phẳng  ABC  . Trong  P  , xét đường tròn  C  đường kính BC . Tính bán
kính của mặt cầu chứa đường tròn  C  và đi qua điểm A .
A. a 3 .

B.

a 3
.
2

C.

a 3
.
3

D.

a 3
.
4

Lời giải
Chọn C

Gọi  S  là mặt cầu chứa đường tròn  C  và đi qua điểm A ; H là đường cao tam
giác đều ABC ; I là trọng tâm của tam giác ABC thì I cũng là tâm của mặt cấu
S  .
Ta có IH 

BC a
1
a 3


, bán kính của đường tròn  C  là R 
AH 
2
2
3
6

 Bán kính của mặt cầu  S  là r  IB  BH 2  IH 2 

a 3
.
3

Câu 35: [2H2-3-2] [Sở GD và ĐT Cần Thơ - mã 301 - 2017-2018-BTN] Cho hình chóp
tam giác đều S.ABC có đáy bằng 3a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 45 .
Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng.
4 a3 2
A.
.
3

B. 4 a

3

2.

4 a3 3 .
Lời giải

Chọn D

4 a3 3
C.
.
3

D.


2 3a 3
 a 3 ; SAH vuông cân  SH  AH  a 3 .
3 2

Ta có: AH  .

6a 2
SA2

a 3.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABC là: R 
2 SH 2a 3
3
4
4
Vậy V   R 3   a 3  4 a 3 3 .
3
3





Câu 36: [2H2-3-2] (THPT HÀM RỒNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2017 - 2018 - BTN)
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB  a, AD  2a, AA  3a . Tính bán
kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ACBD
A. R 

R

a 6
.
2

B. R 

a 14
.
2

C. R 

a 3
.
4

D.

a 3
2

Lời giải

Chọn B

B

C
D

A

C'

B'
A'

D'

Vì mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ACBD cũng là mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật
ABCD.ABCD .
Nên bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ACBD là


R

AC 

2

AB 2  AA2  AD 2 a 14


.
2
2

Câu 37: [2H2-3-2] (THPT Gia Định - TPHCM - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Tính bán
kính R của mặt cầu ngoại tiếp một hình lập phương có cạnh bằng 2a .

3a
.
3
R  3a .

A. R 

C. R  2 3a .

B. R  a .

D.

Lời giải
Chọn D

A'

D'

B'

C'
I

A

D

B

Ta có: R 

C

AC 2a 3

 a 3.
2
2

Câu 38: [2H2-3-2] (THPT Gia Định - TPHCM - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho tứ diện
ABCD có tam giác BCD vuông tại C , AB vuông góc với mặt phẳng  BCD  ,
AB  5a , BC  3a và CD  4a . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD .
A. R 

R

5a 2
.
2

B. R 

5a 2
.
3

5a 3
.
3
Lời giải

Chọn A

C. R 

5a 3
.
2

D.


A

I

D

B

C

CD  BC
Vì 
 CD  AC , gọi I là trung điểm của AD .
CD  AB
Khi đó ta có tam giác ACD và ABD vuông cùng có cạnh huyền AD nên bốn
điểm A , B , C và D cùng thuộc mặt cầu tâm I đường kính AD .
Bám kính mặt cầu là: R 

5a 2
1
1
1
AB 2  BC 2  CD 2 
AB 2  BD 2 
AD 
2
2
2
2

.

Câu 39: [2H2-3-2] (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với độ dài đường chéo
bằng 2a , cạnh SA có độ dài bằng 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính bán
kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD ?
A.

a 6
.
2

B.

2a 6
.
3

C.
Lời giải

Chọn A

a 6
.
12

D.

a 6
.
4


S

I

D

A
B

C

Gọi I là trung điểm của SC , ta có các tam giác SAC , SBC , SCD là các tam
giác vuông có cạnh huyền SC nên các đỉnh S , A , B , C , D cùng nằm trên
1
2

mặt cầu đường kính SC có tâm I , bán kính R  SC 


1
SA2  AC 2
2

1
a 6
2a 2  4a 2 
.
2
2

Câu 40: [2H2-3-2] (Toán Học Tuổi Trẻ - Số 5 - 2018 - BTN) Tính bán kính mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện ABCD biết rằng AB  CD  a , BC  AD  b , AC  BD  c .
A.

C.

a 2  b2  c 2 .
1
2 2

B.

a 2  b2  c2 .

D.

2  a 2  b2  c2  .
1 2
a  b2  c2 .
2

Lời giải
Chọn C
Dựng hình hộp ABCD.ABCD
B'
A

C

D'
B

A'

C'
D

Xét mặt bên CDDC  là hình bình hành có CD  AB  CD nên mặt bên CDDC 
là hình chữ nhật. Tương tự ta có tất cả các mặt bên của hình hộp ABCD.ABCD
đều là các hình chữ nhật. Do đó ABCD.ABCD là hình hộp chữ nhật.