ĐƯỜNG THẲNG VA MẶT PHẲNG

Câu 1: [1H2-1-3]
(Toán Học Tuổi Trẻ - Tháng 12 - 2017) Cho hình chóp S.ABCD có
đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và M là trung
KS
điểm SC . Gọi K là giao điểm của SD với mặt phẳng  AGM  . Tính tỷ số
.
KD
A.

1
.
2

B.

1
.
3

C. 2 .

D. 3 .

Lời giải
Chọn A

Gọi O  AC  BD , I  AM  SO .
Trong mặt phẳng  SBD  , kéo dài GI cắt SD tại K  K  SD   AMG  .
Trong tam giác SAC , có SO , AM là hai đường
OG 1
OI 1

 .
 , ta lại có
trung tuyến. Suy ra I là trọng tâm tam giác SAC 
OB 3
OS 3
KD GD
OI OG



.
 GI // SB  GK // SB 
OS OB
KS GB
Ta có DO  BO  3GO  GD  4GO , GB  2GO .
KD GD 4GO
KS 1


 .
2
Vậy
KS GB 2GO
KD 2
Câu 2: [1H2-1-3]
(CỤM CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU
LONG-LẦN 2-2018) Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh là 2 . Gọi M
, N lần lượt là trung điểm của BC và CD . Tính diện tích thiết diện của hình lập
phương khi cắt bởi mặt phẳng  AMN  .
A.

7 17
6

B.

5 17
6

C.
Lời giải

Chọn A

2 35
7

D.

3 35
7


A'

D'

C'

B'

P

A

D

F

Q
N
H
B

M

C

E

Gọi E  MN  AB , F  MN  AD , Q  AE  BB , P  AF  DD .
Từ đó suy ra thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng  AMN  là ngũ
giác APNMQ .
Vì M , N lần lượt là trung điểm của BC và CD nên suy ra BE  CN  1,

DF  CM  1 . Từ đó suy ra AE  AF  3  EF  3 2 .
Ta có AE  AA2  AE 2  22  32  13 , tương tự AF  13 . Do đó tam giác
AEF là tam giác cân.
2

Gọi H là trung điểm EF , ta có AH  AE  EH 
2

Diện tích tam giác AEF là: S 

2

3 2 
34
.
13  
 
2
 2 
2

1
1
34 3 17
EF . AH  .3 2.
.

2
2
2
2

Ta thấy EQM  FPN .
Từ

1
EQ EM EB 1
1 1
1


 suy ra S EQM  . .S  S  S FPN  S .
9
EA EF EA 3
3 3
9

1
1
Vậy, diện tích thiết diện APNMQ là S APNMQ  S  SEQM  SFPN  S  S  S
9
9
7
 S.
9

7 3 17 7 17
Hay S APNMQ  .
.

9 2
6
Câu 3: [1H2-1-3]
(THPT Chuyên Trần Phú - Hải Phòng - Năm 2018) Cho hình lập
phương ABCD.ABCD có cạnh bằng 2 . Cắt hình lập phương bằng một mặt

phẳng chứa đường chéo AC . Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích thiết diện thu
được.


A. 2 6 .
.

B.

6.

D. 4 2

C. 4 .

Lời giải
Chọn A

C

B

A

D

A

C'

B'
A'

A'

C'

D'
H

Gọi  H  là thiết diện của hình lập phương và mặt phẳng   chứa AC .
+ Trường hợp  H  có một đỉnh thuộc cạnh BB hoặc DD .
Giao tuyến của   và  ABCD  là đường thẳng d , hình chiếu vuông góc của
A lên d là điểm H . Khi đó góc giữa   và  ABCD  là AHA .

Vì AH  d nên AH  AC , do đó sin  

AA AA

 sin AC A , do đó
AH AC 

cos   cos AC A

Hình chiếu vuông góc của hình  H  lên  ABCD  là hình vuông ABCD , do
đó diện tich hình  H  : S ABCD  S H  .cos   S H  

S ABC D
.
cos 

Diện tích thiết diện nhỏ nhất khi cos  lớn nhất, tức là cos   cos ACA 
Khi đó diện tích cần tìm là S H  

2
.
3

4 3
2 6.
2

+ Trường hợp  H  có một đỉnh thuộc cạnh CD hoặc AB , chọn mặt phẳng chiếu


là  BCC B  , chứng minh tương tự ta cũng có S H  

S BBC C
, min S H   2 6 .
cos 

+ Trường hợp  H  có một đỉnh thuộc cạnh BC hoặc AD , chọn mặt phẳng chiếu
là  BAAB  , chứng minh tương tự ta cũng có, min S H   2 6 .

Câu 4: [1H2-1-3] Cho tứ diện ABCD . Gọi O là một điểm bên trong tam giác BCD và M
là một điểm trên đoạn AO . Gọi I , J là hai điểm trên cạnh BC , BD . Giả sử IJ
cắt CD tại K , BO cắt IJ tại E và cắt CD tại H , ME cắt AH tại F . Giao
tuyến của hai mặt phẳng  MIJ  và  ACD  là đường thẳng:
A. KM .

B. AK .

C. MF .

D. KF .

Lời giải
Chọn D

Do K là giao điểm của IJ và CD nên K   MIJ 

 ACD 

(1)

Ta có F là giao điểm của ME và AH
Mà AH   ACD  , ME   MIJ  nên

F   MIJ 

 ACD  (2)

Từ (1) và (2) có  MIJ 

 ACD   KF

Câu 5: [1H2-1-3] Cho tứ diện SABC có D, E lần lượt là trung điểm của AC , BC và G là
trọng tâm của tam giác ABC . Mặt phẳng   đi qua AC cắt SE , SB lần lượt tại
M , N . Một mặt phẳng    đi qua BC cắt SD , SA tương ứng tại P và Q .

a) Gọi I  AM  DN , J  BP  EQ . Khẳng định nào sau đây là đúng?


A. Bốn điểm S , I , J , G thẳng hàng.
thẳng hàng.

B. Bốn điểm S , I , J , G không

C. Ba điểm P , I , J thẳng hàng.

D. Bốn điểm I , J , Q thẳng hàng.

b) Giả sử K  AN  DM , L  BQ  EP . Khằng định nào sau đây là đúng?
A. Ba điểm S , K , L thẳng hàng.
hàng.

B. Ba điểm S , K , L không thẳng

C. Ba điểm B, K , L thẳng hàng.

D. Ba điểm C, K , L thẳng hàng.
Lời giải

L
S

Q
K
N

P
M

J
I

A

D

C

G
E
B

a) Chọn A
Ta có S   SAE    SBD  , (1)



G   SAE 
G  AE   SAE 
G  AE  BD  


G   SBD 
G  BD   SBD  

 2

 I   SBD 

 I  DN   SBD 
I  AM  DN  


 I  AM   SAE   I   SAE 

 3


 J  BP   SBD  
 J   SBD 
J  BP  EQ  


 J  EQ   SAE  
 J   SAE 

 4

Từ (1),(2),(3) và (4) ta có S , I , J , G là điểm chung của hai mặt phẳng  SBD  và

 SAE  nên chúng thẳng hàng
b) Chọn A
Câu 6: [1H2-1-3] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , gọi O là giao điểm của hai đường chéo
AC và BD . Một mặt phẳng   cắt các cạnh bên SA, SB, SC , SD tưng ứng tại các
điểm M , N , P, Q . Khẳng định nào đúng?

A. Các đường thẳng MP, NQ, SO đồng qui.
chéo nhau.

B. Các đường thẳng MP, NQ, SO

C. Các đường thẳng MP, NQ, SO song song.
trùng nhau.

D. Các đường thẳng MP, NQ, SO

Lời giải
Chọn A
S

Q
M

I
P

N

D
A
O
B

C

Trong mặt phẳng  MNPQ  gọi I  MP  NQ .
Ta sẽ chứng minh I  SO .
Dễ thấy SO   SAC    SBD  .

 I  MP   SAC 

 I  NQ   SBD 
 I   SAC 

 I  SO
 I   SBD 
Vậy MP, NQ, SO đồng qui tại I .
Câu 7: [1H2-1-3] Cho hai mặt phẳng  P  và  Q  cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng

a . Trong  P  lấy hai điểm A, B nhưng không thuộc a và S là một điểm không
thuộc  P  . Các đường thẳng SA, SB cắt  Q  tương ứng tại các điểm C , D . Gọi E
là giao điểm của AB và a .Khẳng định nào đúng?
A. AB, CD và a đồng qui.

B. AB, CD và a chéo nhau.

C. AB, CD và a song song nhau.

D. AB, CD và a trùng nhau

Lời giải
Chọn A


Q

C
D
a
E

P

B

A

S

Trước tiên ta có S  AB vì ngược lại thì S  AB   P   S   P 
(mâu thuẫn giả thiết) do đó S , A, B không thẳng hàng, vì vậy ta có mặt phẳng

 SAB  .

C  SA   SAB  C   SAB 
Do C  SA   Q   

C   Q 

C   Q 

1


 D   SAB 

 D  SB   SAB 
Tương tự D  SB   Q   


 D   Q 
D  Q 

 2

Từ (1) và (2) suy ra CD   SAB    Q  .


 E  AB   SAB  
 E   SAB 
Mà E  AB  a  

 E  CD .
E

a

Q
E

Q









Vậy AB, CD và a đồng qui đồng qui tại E .
Câu 8: [1H2-1-3] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , có đáy là hình thang với AD là đáy lớn
và P là một điểm trên cạnh SD .
a) Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng ( PAB ) là hình gì?
A. Tam giác.
bình hành.

B. Tứ giác.

C. Hình thang.

D. Hình

b) Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC . Thiết diện của hình
chóp cắt bởi  MNP  là hình gì?
A. Ngũ giác.
bình hành.

B. Tứ giác.
Lời giải

a) Chọn B

C. Hình thang.

D. Hình

S

P

Q

A

B

D
C
E

Trong mặt phẳng  ABCD  , gọi E  AB  CD .
Trong mặt phẳng  SCD  gọi Q  SC  EP .
Ta có E  AB nên EP   ABP   Q   ABP  , do đó Q  SC   ABP  .
Thiết diện là tứ giác ABQP .
b) Chọn A
S
P
H
F

A
K

D

M
B

N

C
G

Trong mặt phẳng  ABCD  gọi F , G lần lượt là các giao điểm của MN với
AD và CD

Trong mặt phẳng  SAD  gọi H  SA  FP
Trong mặt phẳng  SCD  gọi K  SC  PG .
Ta có F  MN  F   MNP  ,  FP   MNP   H   MNP 

 H  SA
 H  SA   MNP  Tương tự K  SC   MNP  .
Vậy 
 H   MNP 
Thiết diện là ngũ giác MNKPH .
Câu 9: [1H2-1-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành tâm O .
Gọi M , N , P là ba điểm trên các cạnh AD, CD, SO . Thiết diện của hình chóp với
mặt phẳng ( MNP ) là hình gì?


A. Ngũ giác.
bình hành.

B. Tứ giác.

C. Hình thang.

D. Hình

Lời giải
Chọn A
S
H
R

T

P
F

N
C

D
M
E

K

O

A

B

Trong mặt phẳng ( ABCD ) gọi E , K , F lần lượt là giao điểm của MN với
DA, DB, DC .
Trong mặt phẳng  SDB  gọi H  KP  SB
Trong mặt phẳng  SAB  gọi T  EH  SA
Trong mặt phẳng  SBC  gọi R  FH  SC .

 E  MN
 EH   MNP  ,
Ta có 
 H  KP

T  SA
 T  SA   MNP  .

T  EH   MNP 

Lí luận tương tự ta có R  SC   MNP  .
Thiết diện là ngũ giác MNRHT .
Câu 10: [1H2-1-3] Cho tứ diện ABCD , O là một điểm thuộc miền trong tam giác BCD ,
M là điểm trên đoạn AO
a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng  MCD  với các mặt phẳng  ABC  .
A. PC trong đó P  DC  AN , N  DO  BC .
B. PC trong đó P  DM  AN , N  DA  BC .
C. PC trong đó P  DM  AB , N  DO  BC .
D. PC trong đó P  DM  AN , N  DO  BC .
b) Tìm giao tuyến của mặt phẳng  MCD  với các mặt phẳng  ABD  .
A. DR trong đó R  CM  AQ , Q  CA  BD .
B. DR trong đó R  CB  AQ , Q  CO  BD .
C. DR trong đó R  CM  AQ , Q  CO  BA .
D. DR trong đó R  CM  AQ , Q  CO  BD .

c) Gọi I , J là các điểm tương ứng trên các cạnh BC và BD sao cho IJ
không song song với CD . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng  IJM  và

 ACD  .
A. FG trong đó F  IJ  CD , G  KM  AE , K  BE  IA ,
E  BO  CD .
B. FG trong đó F  IA  CD , G  KM  AE , K  BA  IJ ,
E  BO  CD .
C. FG trong đó F  IJ  CD , G  KM  AE , K  BA  IJ ,
E  BO  CD .
D. FG trong đó F  IJ  CD , G  KM  AE , K  BE  IJ ,
E  BO  CD .
Lời giải
b) Chọn D

b) Chọn D

c) Chọn D

A

R

G

M

P

D
Q

J
B

O

K
I

E

N
C

F

a) Trong  BCD  gọi N  DO  BC , trong  ADN  gọi P  DM  AN


 P  DM   CDM 


 P  AN   ABC 

 P   CDM    ABC 
Lại có C   CDM    ABC   PC   CDM    ABC  .
b)Tương tự, trong  BCD  gọi Q  CO  BD , trong  ACQ  gọi R  CM  AQ


 R  CM   CDM 

 R   CDM    ABD 

 R  AQ   ABD 


D là điểm chung thứ hai của  MCD  và  ABD  nên DR   CDM    ABD  .

c) Trong  BCD  gọi E  BO  CD, F  IJ  CD , K  BE  IJ ; trong  ABE 
gọi G  KM  AE .

 F  IJ   IJM 
Có 
 F   IJM    ACD  ,
 F  CD   ACD 


G  KM   IJM 


G  AE   ACD 

Câu 11: [1H2-1-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi
M , N , E , F lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB, SBC , SCD và SDA . Chứng
minh:
a) Bốn điểm M , N , E , F đồng phẳng.
Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Bốn điểm M , N , E , F đồng phẳng.
B. Bốn điểm M , N , E , F không đồng phẳng.
C. MN, EF chéo nhau
D. Cả A, B, C đều sai
b) Ba đường thẳng ME , NF , SO đồng qui ( O là giao điểm của AC và BD ).
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. ME , NF , SO đôi một song song ( O là giao điểm của AC và BD ).
B. ME , NF , SO không đồng quy ( O là giao điểm của AC và BD ).
C. ME , NF , SO đồng qui ( O là giao điểm của AC và BD ).
D. ME , NF , SO đôi một chéo nhau ( O là giao điểm của AC và BD ).
Lời giải
a) Chọn A

b) Chọn B
S

F

A

D

N

M'
B

E

I

M

F'
E'

O
N'

C

a) Gọi M ', N ', E ', F ' lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC , CD và DA .


Ta có

SM 2 SN 2
SM
SN
 ,
 

SM ' 3 SN ' 3
SM ' SN '

 MN M ' N '
Tương tự

1 .

SE
SF

 EF E ' F '
SE ' SF '

 2

M ' N ' AC
Lại có 
 M ' N ' E ' F '  3
 E ' F ' AC
Từ 1 ,  2  và  3 suy ra MN EF . Vậy bốn điểm M , N , E , F đồng phẳng.
b) Dễ thấy M ' N ' E ' F ' cũng là hình bình hành và O  M ' E ' N ' F ' .
Xét ba mặt phẳng  M ' SE ' ,  N ' SF ' và  MNEF  ta có :

 M ' SE '   N ' SF '  SO
 M ' SE '   MNEF   ME
 N ' SF '   MNEF   NF
ME  NF  I .
Do đó theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì ba đường thẳng ME , NF , SO
đồng qui.
Câu 12: [1H2-1-3] Cho bốn điểm A, B, C , S không cùng ở trong một mặt phẳng. Gọi I , H
lần lượt là trung điểm của SA, AB . Trên SC lấy điểm K sao cho IK không song
song với AC ( K không trùng với các đầu mút). Gọi E là giao điểm của đường thẳng
BC với mặt phẳng IHK . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. E nằm ngoài đoạn BC về phía B .

B. E nằm ngoài đoạn BC về phía

C.

C. E nằm trong đoạn BC .
E

B, E

D. E nằm trong đoạn BC và

C.

Lời giải
Chọn D


S
K
I

A

F

C
H

E
B

● Chọn mặt phẳng phụ ABC chứa BC .

● Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ABC và IHK .
Ta có H là điểm chung thứ nhất của ABC và IHK .
Trong mặt phẳng SAC , do IK không song song với AC nên gọi F
có
▪ F

AC mà AC

▪ F

IK mà IK

ABC suy ra F

IHK suy ra F

IK

AC . Ta

ABC .

IHK .

Suy ra F là điểm chung thứ hai của ABC và IHK .
Do đó ABC

IHK

HF .

● Trong mặt phẳng ABC , gọi E
▪ E HF mà HF

HF

BC . Ta có

IHK suy ra E

IHK .

▪ E BC .
Vậy E

BC

IHK .

Câu 13: [1H2-1-3] Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi G là trọng tâm tam giác
ABC . Mặt phẳng GCD cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích là:
A.

a2 3
.
2

B.

a2 2

.
4

Lời giải
Chọn B

C.

a2 2
.
6

D.

a2 3
.
4


A

M
G

B

D

H

N
C

Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, BC suy ra AN MC

G.

Dễ thấy mặt phẳng GCD cắt đường thắng AB tại điểm M .
Suy ra tam giác MCD là thiết diện của mặt phẳng GCD và tứ diện ABCD .
a 3
.
2

Tam giác ABD đều, có M là trung điểm AB suy ra MD
Tam giác ABC đều, có M là trung điểm AB suy ra MC
Gọi H là trung điểm của CD
Với MH

MC 2

Vậy S

1 a 2
.
.a
2 2

MCD

HC 2

MC 2

MH
CD 2
4

CD

S

MCD

a 3
.
2

1
.MH .CD
2

a 2
.
2

a2 2
.
4

Câu 14: [1H2-1-3] Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 2a . Gọi M , N lần lượt

là trung điểm các cạnh AC , BC ; P là trọng tâm tam giác BCD . Mặt phẳng MNP
cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích là:
A.

a 2 11
.
2

B.

a2 2
.
4

Lời giải
Chọn C

C.

a 2 11
.
4

D.

a2 3
.
4

A

D

M
B

D
H

M

P

N

N

C

Trong tam giác BCD có: P là trọng tâm, N là trung điểm BC . Suy ra N , P , D
thẳng hàng.
Vậy thiết diện là tam giác MND .
AB
2

Xét tam giác MND , ta có MN

a ; DM

DN

AD 3
2

a 3.

Do đó tam giác MND cân tại D .
Gọi H là trung điểm MN suy ra DH
Diện tích tam giác S

MND

1
MN .DH
2

MN .
1
MN . DM 2
2

MH 2

a 2 11
.
4

Câu 15: [1H2-1-3] Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD , M là trung điểm
CD , I là điểm ở trên đoạn thẳng AG, BI cắt mặt phẳng ACD tại J . Khẳng định

nào sau đây sai?
A. AM

ACD

B. A, J , M thẳng hàng.

ABG .

C. J là trung điểm của AM .

D. DJ
Lời giải

Chọn C

ACD

BDJ .


A

J
I
B

D
G

M

C

Ta có A là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng ACD và GAB .
Do BG CD

M

M

BG

ABG

M

ABG

M

CD

ACD

M

ACD

M là điểm chung thứ hai giữa

hai mặt phẳng ACD và GAB .
ABG

ACD

BI

Ta có

AM , BI

ABM

ABG
BI

A đúng.

ABG

Ta có AM

J

AM

đồng phẳng.

ABM

AM

A, J , M

DJ

ACD

DJ

BDJ

DJ

thẳng hàng
ACD

BDJ

B đúng.
D đúng.

Điểm I di động trên AG nên J có thể không phải là trung điểm của AM
C sai.
Câu 16: [1H2-1-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD không phải là hình thang. Trên cạnh
SC lấy điểm M . Gọi N là giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng AMB .
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Ba đường thẳng
B. Ba đường thẳng

C. Ba đường thẳng
D. Ba đường thẳng

đôi một song song.
AB, CD, MN đôi một cắt nhau.
AB, CD, MN đồng quy.
AB, CD, MN cùng thuộc một mặt phẳng.
Lời giải
AB, CD, MN


Chọn C
S

K

N

M
O

A
B
C
D
I

Gọi I

AD BC. Trong mặt phẳng SBC , gọi K

, gọi N

BM SI . Trong mặt phẳng SAD

AK SD .

Khi đó N là giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng AMB .
Gọi O

AB CD . Ta có:

● O AB mà AB

AMB suy ra O

● O CD mà CD

SCD suy ra IJ, MN , SE .

Do đó O

SCD .

1

MN .

2

Mà AMB

AMB
SCD

AMB .

Từ 1 và 2 , suy ra O MN . Vậy ba đường thẳng AB, CD, MN
Câu 17: [1H2-1-3] Cho hai hình vuông ABCD và CDIS không thuộc một mặt phẳng và cạnh
bằng 4. Biết tam giác SAC cân tại S , SB 8 . Thiết diện của mặt phẳng ACI và
hình chóp S.ABCD có diện tích bằng:
A. 6 2 .
Chọn B

B. 8 2 .
Lời giải

C. 10 2 .

D. 9 2 .


S

I

O

C
D

N
B

Gọi O SD CI ; N
O, N

A
BD.

AC

lần lượt là trung điểm của DS, DB

ON

1
SB
2

4.

Thiết diện của mp ACI và hình chóp S.ABCD là tam giác
Tam giác
CO
S

SAC

cân tại S

SC

SA

SDC

OCA.

SDA

AO (cùng là đường trung tuyến của 2 định tương ứng)

OCA

1
ON .AC
2

1
.4.4 2
2

OCA

cân tại O

8 2.

Câu 18: [1H2-1-3] Cho tứ diện ABCD . Các điểm P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD ;
điểm R nằm trên cạnh BC sao cho BR 2RC . Gọi S là giao điểm của mặt phẳng

PQR và cạnh AD . Tính tỉ số

A. 2 .

SA
SD

.

B. 1 .

C.
Lời giải

Chọn A

1
.
2

D.

1
.
3


A
P

S

B

I
D
Q

R
C

Gọi I là giao điểm của BD và RQ. Nối P với I , cắt AD tại S .
Xét tam giác BCD bị cắt bởi IR, ta có

DI BR CQ
.
.
IB RC QD

1

DI
.2.1
IB

1

DI
IB

1
.
2

Xét tam giác ABD bị cắt bởi PI , ta có

AS DI BP
.
.
SD IB PA

1

SA 1
. .1
SD 2

1

SA
SD

2.

Câu 19: [1H2-1-3] Cho tứ diện ABCD và ba điểm P, Q, R lần lượt lấy trên ba cạnh AB, CD, BC
. Cho PR // AC và CQ 2QD . Gọi giao điểm của AD và PQR là S . Chọn khẳng
định đúng ?
A. AD 3DS .
AS

B. AD 2 DS .

C. AS

3 DS .

DS .

Lời giải
Chọn A
A
P
S
D

B

I

Q
R
C

Gọi I là giao điểm của BD và RQ. Nối P với I , cắt AD tại S .
Ta có

DI BR CQ
.
.
IB RC QD

1 mà

CQ
QD

2 suy ra

Vì PR song song với AC suy ra

RC
BR

DI BR
.
IB RC

AP
PB

DI
IB

1
2

DI
IB

1 AP

.
.
2 PB

1 RC
.
.
2 BR

D.


Lại có

SA DI BP
.
.
SD IB PA

1

SA 1 AP BP
. .
.
SD 2 PB PA

SA
SD

1

2

AD

3 DS.

Câu 20: [1H2-1-3] Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCD . Gọi A là trọng tâm của tam giác BCD
. Tính tỉ số

GA
GA

.

A. 2 .

B. 3 .

C.

1
.
3

D.

1
.
2

Lời giải
Chọn B
A

E

G
B

D
A'

M

C

Gọi E là trọng tâm của tam giác ACD, M là trung điểm của CD .
Nối BE cắt AA tại G suy ra G là trọng tâm tứ diện.
Xét tam giác MAB, có

ME
MA

MA
MB

Khi đó, theo định lí Talet suy ra

1

3

AE
AB

suy ra A E // AB
AG
AG

1
3

GA
GA

AE
AB

1
.
3

3.

Câu 21: [1H2-1-3] Cho tứ diện ABCD trong đó có tam giác BCD không cân. Gọi M , N lần
lượt là trung điểm của AB, CD và G là trung điểm của đoạn MN . Gọi A1 là giao
điểm của AG và BCD . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. A1 là tâm đường tròn tam giác BCD .
B. A1 là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCD .
C. A1 là trực tâm tam giác BCD .

D. A1 là trọng tâm tam giác BCD .
Lời giải
Chọn D


A

M
G

B
P

D

A1

N

C

Mặt phẳng ABN cắt mặt phẳng BCD theo giao tuyến BN .
Mà AG

ABN suy ra AG cắt BN tại điểm A1 .

Qua M dựng MP // AA1 với M BN .
Có M là trung điểm của AB suy ra P là trung điểm BA1

BP

PA1

1.

Tam giác MNP có MP // GA1 và G là trung điểm của MN .
A1 là trung điểm của NP

Từ 1 , 2 suy ra BP

PA1

PA1
A1 N

2.

NA1
BA1
BN

2
3

mà N là trung điểm của CD .

Do đó, A1 là trọng tâm của tam giác BCD .
Câu 22: [1H2-1-3] Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?
A. Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước thì cả ba đường thẳng đó cùng
nằm trong một mặt phẳng.

B. Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một và không nằm trong một mặt phẳng thì
đồng quy.
C. Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt nhau cho trước thì cả ba đường thẳng
đó cùng nằm trong một mặt phẳng.
D. Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một thì cùng nằm trong một mặt phẳng.
Lời giải
Chọn B
Gọi d1 , d 2 , d 3 là 3 đường thẳng cắt nhau từng đôi một. Giả sử d1 , d 2 cắt nhau tại
A , vì d 3 không nằm cùng mặt phẳng với d1 , d 2 mà d 3 cắt d1 , d 2 nên d 3 phải đi


qua A . Thật vậy giả sử d 3 không đi qua A thì nó phải cắt d1 , d 2 tại hai điểm B ,

C điều này là vô lí, một đường thẳng không thể cắt một mặt phẳng tại hai điểm phân
biệt.

Câu 23: [1H2-1-3] Cho tứ diện ABCD . G là trọng tâm tam giác BCD , M là trung điểm CD
, I là điểm trên đoạn thẳng AG , BI cắt mặt phẳng  ACD  tại J . Khẳng định nào
sau đây sai?
A. AM   ACD    ABG  .

B. A , J , M thẳng hàng.

C. J là trung điểm AM .

D. DJ   ACD    BDJ  .
Lời giải

Chọn C

Ta

có

A   ACD    ABG  ,

M  BG
 M   ACD    ABG 

M  CD

nên

AM   ACD    ABG  .
Nên AM   ACD    ABG  vậy A đúng.

A , J , M cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt  ACD  ,  ABG  nên A , J , M
thẳng hàng, vậy B đúng.
Vì I là điểm tùy ý trên AG nên J không phải lúc nào cũng là trung điểm của AM
.

Câu 24: [1H2-1-3] Cho tứ diện ABCD . M , N , P , Q lần lượt là trung điểm AC , BC , BD
, AD . Tìm điều kiện để MNPQ là hình thoi.


B. BC  AD .

A. AB  BC .
AB  CD .

C. AC  BD .

D.

Lời giải.
Chọn D
D

P

Q

B

A

M

N

C

Ta có: MN song song với PQ vì cùng song song với AB , MQ song song với

PN vì cùng song song với CD nên tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Tứ giác MNPQ là hình thoi khi MQ  PQ  AB  CD .
Câu 25: [1H2-1-3] Cho tứ diện ABCD. Gọi M , N , P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của
các cạnh AC , BD, AB, AD, BC , CD. Bốn điểm nào sau đây đồng phẳng?
A. P, Q, R, S .

B. M , N , R, S .

M , P, R, S .

Lời giải
Chọn A

C. M , N , P, Q.

D.


Do PQ là đường trung bình của tam giác ABD  PQ BD. Tương tự, ta có
RS BD. Vậy PQ RS  P, Q, R, S cùng nằm trên một mặt phẳng.

Các bộ bốn điểm M , N , R, S ; M , N , P, Q và M , P, R, S đều không đồng
phẳng.
Câu 26: [1H2-1-3] Cho hình chóp S.ABCD . Điểm C nằm trên cạnh SC .
Thiết diện của hình chóp với mp  ABC   là một đa giác có bao nhiêu cạnh?
A. 3 .

C. 5 .

B. 4 .
Lời giải

Chọn B

S
M

A'
D

A

C
B
I
Xét  ABA  và  SCD  có

D. 6 .



 A  SC , SC   SCD 
 A là điểm chung 1.



A

ABA




Gọi I  AB  CD

 I  AB, AB   ABA 
Có 

 I là điểm chung 2.
 I  CD, CD   SCD 

  ABA    SCD   IA
Gọi M  IA  SD .
Có

 ABA   SCD   AM
 ABA   SAD   AM
 ABA   ABCD   AB
 ABA   SBC   BA
Thiết diện là tứ giác ABAM .
Câu 27: [1H2-1-3] Cho tứ giác lồi ABCD và điểm S không thuộc mp (ABCD). Có nhiều nhất
bao nhiêu mặt phẳng xác định bởi các điểm A, B, C, D, S?
A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

Lời giải
Chọn C
Có C42  1  7 mặt phẳng.
Câu 28: [1H2-1-3] Cho tứ diện ABCD . M , N , P , Q lần lượt là trung điểm AC , BC , BD
, AD . Tìm điều kiện để MNPQ là hình thoi.
A. AB  BC .
AB  CD .

B. BC  AD .
Lời giải.

Chọn D

C. AC  BD .

D.