TRỌN BỘ CÔNG THỨC HÌNH HỌC 12 ÔN THI THPT QUỐC GIA

HÌNH HỌC 12
CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC 12
I. TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG

AB
AC
(ĐỐI chia HUYỀN) 2. cos  =
(KỀ chia HUYỀN)
BC
BC
A
AC
AB
3. tan  =
(ĐỐI chia KỀ) 4. cot  =
(KỀ chia ĐỐI)
AC
AB
1. sin  =

II. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
1. BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pitago)=>AB2 = BC2 - AC2
2. AB2 = BH.BC
3. AC2 = CH.BC
4. AH2 = BH.CH

5. AB.AC = BC.AH

6.



B
H

C

1
1
1


2
2
AH
AB AC2

III. ĐỊNH LÍ CÔSIN
1. a2 = b2 + c2 – 2bccosA

a
b
c


 2R
sin A sin B sin C

IV. ĐỊNH LÍ SIN
V. ĐỊNH LÍ TALET
a)

2. b2 = a2 + c2 – 2accosB 3. c2 = a2 + b2 – 2abcosC
A

MN // BC

AM AN MN


;
AB AC BC

b)

N

M

AM AN

MB NC

B

C

VI. DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG
1. Tam giác thường:
a) S =

1
ah
2

b) S =

p(p  a)(p  b)(p  c) (Công thức Hê-rông)

c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác)
2. Tam giác đều cạnh a:

a 3
a) Đường cao: h =
;
2

a2 3
b) S =
4

c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
3. Tam giác vuông: a) S =

1
ab (a, b là 2 cạnh góc vuông)
2

b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền
4. Tam giác vuông cân (nửa hình vuông):
a) S =

1 2
a (2 cạnh góc vuông bằng nhau)
2

b) Cạnh huyền bằng a 2

5. Nửa tam giác đều:
a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30o hoặc 60o

a2 3
a 3
b) BC = 2AB
c) AC =
d) S =
8
2
B
1
6. Tam giác cân: a) S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)
2

A

60 o

30 o

C

b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
7. Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước)
8. Hình thoi:

S=

1
d1.d2 (d1, d2 là 2 đường chéo)
2
lvdoqt 1


9. Hình vuông: a) S = a2
b) Đường chéo bằng a 2
10. Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)
11. Đường tròn: a) C = 2  R (R: bán kính đường tròn)
b) S =  R2 (R: bán kính đường tròn)
VII. CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC
1. Đường trung tuyến: G: là trọng tâm của tam giác
a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm
b) * BG =

1
2
BN; * BG = 2GN; * GN = BN
3
3

A

N

M
G
B

C

P

2. Đường cao: Giao điểm của của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm
3. Đường trung trực: Giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác
4. Đường phân giác: Giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam
giác
VIII. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1. Hình tứ diện đều: Có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau.
Chân đường cao trùng với tâm của đáy (hay trùng với trọng tâm của tam giác đáy).
Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau
2. Hình chóp đều: Có đáy là đa giác đều .Có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Chân
đường cao trùng với tâm của đa giác đáy .Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau
3. Đường thẳng d vuông góc với mp(  ):

d  a; d  b

 d ( )
a) Đt d vuông góc với 2 đt cắt nhau cùng nằm trên mp(  ) Tức là: a  b
a,b  

()  ()


b) ()  ()  a  d  (  )
d
a  d  ()

A
c) Đt d vuông góc với mp(  ) thì d vuông góc với mọi đt nằm trong mp(  )
4. Góc  giữa đt d và mp(  ): d cắt (  ) tại O và A  d
O

AH  ()
d'
ˆ
Nếu 
thì góc giữa d và (  ) là  hay AOH =  
H
 H  ( )
5. Góc giữa 2 mp(  ) và mp(  ):
()  ()  AB

Nếu  FM  AB;EM  AB
EM  (),FM  ()

ˆ =
thì góc giữa (  ) và (  ) là  hay EMF


F

E

B



M



A

6. Khoảng cách từ điểm A đến mp(  ):
Nếu AH  (  ) thì d(A, (  )) = AH (với H  (  ))
IX. KHỐI ĐA DIỆN:
1. Thể tích khối lăng trụ:
V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao)
2. Thể tích khối chóp:

V=

1
Bh (diện tích đáy là đa giác)
3
lvdoqt 2


3. Tỉ số thể tích của khối chóp:
4. Diện tích xq của hình nón tròn xoay:
5. Thể tích của khối nón tròn xoay:
6. Diện tích xq của hình trụ tròn xoay:

7. Thể tích của khối trụ tròn xoay:
8. Diện tích của mặt cầu:
9. Thể tích của khối nón tròn xoay:

VS.ABC SA SB SC

.
.
VS.ABC SA SB SC
Sxq = Rl (R: bk đường tròn; l: đường sinh)
1
V = Bh (diện tích đáy là đường tròn)
3
Sxq = 2 Rl (R: bk đường tròn; l: đường sinh)
2
V = Bh = R h ( h: chiều cao khối trụ)
2
S = 4 R (R: bk mặt cầu )
4 3
V = R (R: bán kính mặt cầu)
3

lvdoqt 3


PHẦN: HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN
x A  x B  xC

 xG 
3


y A  y B  yC

 yG 
3

z A  z B  zC

 zG 
3


I. CÔNG THỨC VECTƠ:
. Trong không gian với hệ trục Oxyz cho

a  a1 ; a2 ; a3 


b  b1 ; b2 ; b3 

và k  R

Ta có:
 
1) a  b  a1  b1 ; a 2  b2 ; a 3  b3 

2) ka  ka1 ; ka 2 ; ka 3 

4) G là trọng tâm tứ diện ABCD


 GA  GB  GC  GD  0


3) a.b  a1 b1  a 2 b2  a 3 b3

4) a  a12  a 22  a 32

x A  x B  xC  X D

xG 
4

y

y

yC  y D
A
B
 
yG 
4

z A  z B  zC  z D

 zG 
4

5) Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k. Ta có:



5) Tích có hướng của hai vectơ a và b là

a, b   ab ba

a 3 a 1 a1 a 2
;
 2 3 b3 b1 b1 b2
 
 

a, b  a . b .Sin a, b
2

6)

3

;

 

 






a1  b1
  
7) a  b  a 2  b2
a  b
3
 3


 
8) a cùng phương b  a, b  0
 
  
9) a a, b hay b  a, b
  

10) a , b , c đồng phẳng  a, b .c  0
 
11) ab  a1 b1  a 2 b2  a 3 b3  0

x A  kx B

x M 
1 k

y A  ky B

y M 
1 k


z A  kz B

z M  1  k


 
 
 

 

 Ứng dụng của vectơ:



1
. AB, AC
2





S ABC 



VHoäpABCD. A B C D  AB, AD . AA /



VTöùdieänABCD 

/

/

/



/



6) I là trung điểm của đoạn AB thì:
xA  xB

x I 
2

y A  yB

y I 
2

z A  z2

z I 
2





III. MẶT PHẲNG:
1) Giả sử mp   có cặp VTCP là :



1
. AB, AC . AD
6


a  a1 ; a 2 ; a 3 

b  b1 ; b2 ; b3 

II. TOẠ ĐỘ ĐIỂM:
Trog không gian Oxyz cho Ax A ; y A ; z A 

Nên có VTPT là:

B x B ; y B ; z B 

x B

 x A    y B  y A   z B  z A 
2

3) G là trọng tâm ABC , ta có:

2

    a 2 a 3 a 3 a1 a1 a 2 
;
;
n  a, b  

 b2 b3 b3 b1 b1 b2 
2) Phương trình tổng quát của mp   có

 

1) AB   x B  x A ; y B  y A ; zB  z A 
2) AB 

, k 1

2

dạng:
Ax + By + Cz + D = 0
Với A 2  B 2  C 2  0 ; trong đó

n  A; B; C  là VTPT của mp  
3) Phương trình các mặt phẳng toạ độ:
lvdoqt 4

 (Oxy) : z = 0 ; (Ozy) : x = 0
 (Oxz) : y = 0
4) Chùm mặt phẳng:Cho hai mặt phẳng cắt
nhau:  1  : A1 x  B1 y  C1 z  D1  0

 2  : A2 x  B2 y  C 2 z  D2  0
P.tr của chùm mp xác định bởi  1  và  2 
là:

 A1 x  B1y  C1z  D1    A2 x  B2 y  C2 z  D2   0

với 2   2  0
5) Các vấn đề viết phương trình mặt
phẳng:
Vấn Đề 1: Viết phương trình mặt phẳng
P.Pháp:

 Tìm VTPT n   A; B; C  và điểm đi
qua M 0 x0 ; y 0 ; z 0 
 dạng:

Ax  x 0   By  y 0   C z  z 0   0

Vấn Đề 2: Viết phương trình mặt phẳng qua
ba điểm A, B, C
P.Pháp:



Tính AB, AC

Mp (ABC) có VTPT là




n  AB, AC



và qua A

 Kết luận.
Vấn Đề 3: Viết phương trình mp   đi qua
điểm A và vuông góc BC
P.Pháp:
Mp    BC. Nên có VTPT là BC qua A
Chú ý:

 Trục Ox chứa i  1;0;0



 Trục Oz chứa k  0;0;1


Trục Oy chứa j  0;1;0

Vấn Đề 4: Viết phương tình mp  là mặt
phẳng trung trực của AB.
P.Pháp:

 Mp   AB. Nên có VTPT là AB đi
qua I là trung điểm của AB
 Kết luận.

Vấn Đề 5: Viết phương tình mp  đi qua
điểm M 0  x 0 ; y 0 ; z 0  và song song với mặt
phẳng  : Ax  By  Cz  D  0
P.pháp:
  //   . Nên phương trình  có
dạng:
Ax + By + Cz + D / = 0
 M 0    D /
 Kết luận
Vấn Đề 6: Viết phương trình mp (P) đi qua
hai điểm A, B và vuông góc với mp (Q)
P.Pháp:


Mp (P) có cặp VTCP là: AB và VTPT

của (Q) là n Q









 Mp (P) có VTPT là n  AB, nQ và qua
A
 Kết luận.

Vấn Đề 7: Viết phương trình mp   đi
qua các điểm là hình chiếu của điểm
M x 0 ; y 0 ; z 0  trên các trục toạ độ.
P.Pháp:* Gọi M1, M2, M3 lần lượt là hình
chiếu của điểm M trên Ox, Oy, Oz. Thì
M1(x0;0;0) , M2(0;y0;0) , M3(0;0;x0)
* Phương trình mp   là:
y
x
z


1
x0 y
z0
Vấn Đề 8: Viết phương trình mp   đi
qua điểm M0 và vuông góc với hai mặt
phẳng (P) và (Q).
P.Pháp:

 (P) có VTPT là n P

 (Q) có VTPT là n Q
 
 Mp   có VTPT là n P , n Q  và qua
Mo

 Kết luận.



Vấn Đề 9:Viết phương trình mặt phẳng   đi qua giao tuyến của hai mp  1  và  2 
* Đi qua điểm M0
P.Pháp: Mp   đi qua giao tuyến của  1  và  2  có dạng:

 A1 x  B1 y  C1 z  D1    A2 x  B2 y  C 2 z  D 2   0
M 0     k1   k 2 

lvdoqt 5


Kết luận.

*Song song với mặt phẳng  3  : A3x + B3y + C3z +D3 = 0
Mp   có dạng: A1  A2  x  B1   B2  y  C1   C 2  z  D1  D 2  0
  Có VTPT : n  A1  A2 ; B1  B2 ; C1  C 2 
 3  Có VTPT : n3   A3 ; B3 ; C 3 
A1  A2 B1  B2 C1  C 2
Vì   //  3  .Nên


A3
B3
C3
Giải tìm , 
*   vuông góc với  3  : A3x + B3y + C3z +D3 = 0
 

 
Ta có : n  n 3  n  .n 3  0
Chọn    Kết luận.
Chọn  

 Vấn Đề 10: Viết phương trình mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu (S) tại tiếp điểm A.
P.Pháp:
 Xác định tâm I của mặt cầu (S)



Mặt phẳng   : Mp tiếp diện có VTPT : IA
Viết phương trình tổng quát.

I
II. ĐƯỜNG THẲNG:
 Phương trình đường thẳng:
1) Phương trình tổng quát của đường thẳng:

 A1 x  B1 y  C1 z  D1  0

 A2 x  B 2 y  C 2 z  D 2  0
với A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2

2) Phương trình tham số của đường thẳng đi
qua điểm M 0 x 0 ; y 0 ; z 0  có VTCP


a a1 ; a 2 ; a 3  là:
 x  x 0  a1 t


y  y 0  a 2 t
z  z  a t
0
3


t  R

3) Phương trình chính tắc của đường thẳng đi

qua điểm M0 có VTCP: a a1 ; a 2 ; a3  là

x  x 0 y  y 0 z  z0


a1
a2
a3

Với

a12  a 22  a32  0
 Qui ước: Nếu ai = 0 thì x – x0 = 0
 Vấn Đề 11: Tìm VTCP của đường thẳng
tổng quát.

 A1 x  B1 y  C1 z  D1  0
: 
 A2 x  B 2 y  C 2 z  D 2  0

P.Pháp:

  B1C1 C1 A1 A1 B1 

;
;

B
C
C
A
A
B
2
2
2
2
1
2


 Vấn Đề 12: Viết phương trình đường thẳng
:
P.Pháp:

 Cần biết VTCP a  a1 ; a 2 ; a 3  và điểm

 có VTCP là : a  

M 0 x 0 ; y 0 ; z 0   

 Viết phương trình tham số theo công thức (2)
 Viết phương trình chính tắc theo công thức (3)
 Viết phương trình tổng quát. thì từ phương
trình chính tắc , ta có phương trình tổng quát:

 x  x0 y  y0

 a
a2
 1

 x  x 0  z  z0
 a1
a3
 Rút gọn về dạng (1)
 Chú ý:
Viết phương trình tổng quát về phương trình
tham số Hoặc chính tắc. Ta tìm:

- VTCP u  a1 ; a 2 ; a 3  bằng vấn đề 11
- Cho một ẩn bằng 0 Hoặc bằng một giá trị nào
đó. Giải hệ tìm x, y => z
- Có điểm thuộc đường thẳng
- Kết luận.

 Vấn Đề 13: Viết ptr đường thẳng  đi
qua điểm M 0 x 0 ; y 0 ; z 0  và vuông góc với
mặt phẳng  : Ax  By  Cz  D  0

lvdoqt 6


P.Pháp:

 Mp   có VTPT là n  A; B; C 
Đường thẳng  đi qua điểm M0 và có VTCP

là n
 Viết phương trình chính tắc => Ptr tổng
quát
 Vấn Đề 14: Viết phương trình hình chiếu
của d trên mp  
P.Pháp:
 Gọi d/ là hình chiếu của d trê mp  
 Gọi  là mặt phẳng chứa d và 
 Nên  có cặp VTCP là


 VTCP của d là u d và n  là VTPT của mặt
phẳng  

 
 Mp  có VTPT n  u d , n  



Mp  đi qua điểm M0 d
Viết phương trình tổng quát của Mp



  :
  :
 Vấn Đề 15: Viết phương trình đường
thẳng d qua điểm M 0 x 0 ; y 0 ; z 0  và vuông
góc với hai đường  1 và  2
P.Pháp:

  1 có VTCP u1

  2 có VTCP u 2
 d vuông góc với  1 và  2 . Nên d có

 
VTCP là u d  u1 , u 2 
 Vấn Đề 16: Viết phương trình đường
thẳng d đi qua điểm A và cắt cả hai đường
 1 và  2 .
P.Pháp:
 Thay toạ độ A vào phương trình  1 và  2
 A  1 , A   2
 Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm A và
chứa  1
 Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua điểm A và
chứa  2


Phương trình đường thẳng d/: 

 P  :
 P.tr đường thẳng d: 
Q  :
 Vấn Đề 17: Viết phương trình đường
thẳng d  P  cắt cả hai đường  1 và  2 .
P.Pháp:
 Gọi A   1  P 

 Gọi B   2  P 
 Đường thẳng chính là đường thẳng AB
 Vấn Đề 18: Viết phương trình đường
thẳng d // d1 và cắt cả hai đường  1 và  2 .
P.Pháp
 Gọi (P) là mặt phẳng chứa  1 và (P) // d1
 Gọi (Q) là mặt phẳng chứa  2 và (Q) // d1
 d  P   Q
 P  :
 Phương trình đường thẳng d 
Q  :
 Vấn Đề 19: Viết phương trình đường
vuông góc chung của hai đường thẳng chéo
nhau  1 và  2 .
P.Pháp:


 Gọi u1 và u 2 lần lượt là VTCP của  1 và
2
  
 Gọi v  u1 , u 2 
 Gọi (P) là mặt phẳng chứa  1 và có một


 

VTCP là v . Nên có VTPT là n P  u1 , v 
 phương trình mặt phẳng (P)
 Gọi (Q) là mặt phẳng chứa  2 và có một


 
VTCP là v . Nên có VTPT là nQ  u2 , v 
 phương trình mặt phẳng (Q)
 Phương trình đường vuông góc chung của
 P  :
 1 và  2 : 
Q  :
 Vấn Đề 30: Viết phương trình đường
thẳng d vuông góc (P) và cắt hai đường
thẳng  1 và  2
P.Pháp:
 Gọi   là mặt phẳng chứa  1 và có một
VTCP là n P ( VTPT của (P) )
 Gọi  là mặt phẳng chứa  2 và có một
VTCP là n P ( VTPT của (P) )
 Đường thẳng d     
 Vấn Đề 31: Viết phương trình đường
thẳng d đi qua điểm M0 vuông góc với
đường thẳng  1 và cắt đường thẳng  2
P.Pháp:
 Gọi   là mặt phẳng đi qua M0 và
vuông góc  1

 Gọi  là mặt phẳng đi qua điểm M0 và
chứa  2
lvdoqt 7


 Đường thẳng d     
 Vấn Đề 32: Viết phương trình đường
thẳng d đi qua giao điểm của đường thẳng
 và mặt phẳng   và d  , d
P.Pháp:
 Gọi A    
 Gọi  là mặt phẳng đi qua A và
vuông góc với  . Nên  có
VTPT là VTCP của 
Đường thẳng d     
IV. MẶT CẦU:
1. Phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a;b;c)
bán kính R là: (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2
2. Mặt cầu (S) có phươngtrình : x2 + y2 + z2 2ax - 2by -2cz + d = 0 với đk a2 + b2 + c2 –
d>0
thì (S) có :

Tâm I(a ; b ; c)

Bán kính R  a 2  b 2  c 2  d
 Vấn Đề 20: Viết phương trình mặt cầu
P.Pháp:
Cần:
 Xác định tâm I(a ; b ; c) của mặt cầu
 Bán kính R

 Viết phương trình mặt cầu
(x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2
 Vấn Đề 21: Viết phương trình mặt cầu
đường kính AB
P.Pháp:

 Gọi I là trung điểm của AB. Tính
toạ độ I => I là tâm mặt cầu
1
 Bán kính R  AB
2
 Viết phương trình mặt cầu
 Vấn Đề 22: Viết phương trình mặt cầu
(S) có tâm I(a ; b ; c) và tiếp xúc với   :
Ax + By + Cz + D = 0
P.Pháp:
 Mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với   .
Nên có bán kính
Ax I  By I  Cz I  D
 R  d I ,  
A2  B2  C 2
 Viết phương trình mặt cầu
 Vấn Đề 23: Viết phương trình mặt cầu
(S) ngoại tiếp tứ diện ABCD
P.Pháp:
 Phương trình mặt cầu (S) có dạng
x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by -2cz + d = 0

 A, B, C, D thuộc (S). Ta có hệ

phương trình
 Giải hệ phương trình tìm a, b, c, d
 Kết luận
 Vấn Đề 24: Lập phương trình mặt cầu
đi qua ba điểm A, B, C có tâm nằm trên
mặt phẳng Oxy
P.Pháp:
 Gọi I(xI ; yI ; 0) là tâm của mặt cầu,
I  Oxy 
 Ta có AI2 = BI2 = CI2
 AI 2  BI 2
 Ta có Hpt  2
2
 AI  CI
 Giải Hpt  I
 IA = R
 Kết luận
 Vấn Đề 25: Tìm tâm, bán kính của mặt
cầu (S): x2 + y2 + z2 + mx + ny + pz + q = 0
P.Pháp 1:
 Phương trình mặt cầu (S) có dạng:
x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by -2cz + d = 0
 2 a  m a 
 2 b  n
b 


 Suy ra: 

 2c  p

c 
d  q
d 
 Vậy (S) có tâm là I(a ; b ; c) ,
Bán kính R  a 2  b 2  c 2  d
P.Pháp 2:
 Đưa về dạng (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2

V. KHOẢNG CÁCH:
1) Khoảng cách giữa hai điểm AB
AB   x B  x A   y B  y A   z B  z A 
2) Khoảng cách từ điểm M0(x0 ; y0 ; z0) đến
mặt phẳng   : Ax + By + Cz + D = 0
Ax 0  By 0  Cz 0  D
d M 0 ,   
A2  B2  C 2
3) Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng
d
 Lấy M0 d

 Tìm VTCP của đường thẳng d là u

M 0 M1 , u
d M 1 , d  

u
2

2



2



lvdoqt 8


4) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau  và  /

 Gọi u và u / lần lượt là VTCP của
 và  /
  đi qua điểm M0 , M 0/  /

u, u / .M 0 M 0/
d , /  

u, u /

 
 

VI.GÓC:


1. Góc giữa hai vectơ a và b



Gọi  là góc giữa hai vectơ a và b

a1 b1  a 2 b2  a 3 b3
a.b
Cos    
2
a.b
a1  a 22  a 32 . b12  b22  b32

2. Góc giữa hai đường thẳng (a) và (b)
Gọi  là góc giữa hai đường thẳng (a) và (b)
0    90 0 
Đường thẳng (a) và (b) có VTCP lần lượt là :

a  a1 , a 2 , a 3 

b  b1 , b2 , b3 

a.b
a1 b1  a 2 b2  a 3 b3
Cos    
a.b
a12  a 22  a 32 . b12  b22  b32

 Đặc biệt: ab  a.b  0
3. Góc giữa hai mặt phẳng   và  / 
  : Ax + By + Cz + D = 0
 /  : A/x + B/y + C/z + D/ = 0
Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng   và
 / 

Cos 

AA /  BB /  CC /

A2  B2  C 2 . A/ 2  B/ 2  C / 2
4. Góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng
 

(d): có VTCP là u = (a, b, c)
  : Ax + By + Cz + D = 0
Gọi  là góc nhọn giữa (d) và  
Aa  Bb  Cc
Sin 
A2  B2  C 2 . a2  b2  c2

 Vấn Đề 26: Vị trí tương đối
1. Vị trí tương đối của hai đường  và  /

 có VTCP : a  a1 , a 2 , a 3  ; M 0  
 / có VTCP : a /  a1/ ; a 2/ ; a 3/  ; M 0/  /

a)  và  / đồng phẳng

 a.a / .M 0 M 0/  0


 a.a / .M 0 M 0/  0
/
b)  cắt   
/

/
/

a1 : a 2 : a 3  a1 : a 2 : a 3
c)   /  a1 : a 2 : a3  a1/ : a 2/ : a3/

 

 

 x 0/  x 0  : y 0/  y 0  : z 0/  z 0 

d)  chéo  /  a.a / .M 0 M 0/  0
2. Vị trí tương đối giữa đường thẳng  và mặt
phẳng  

 

Giả sử:

 có VTCP : a  a1 , a 2 , a 3  và đi qua
M0(x0 ; y0 ; z0)
  : Ax + By + Cz + D = 0
P.Pháp:
 Viết phương trình tham số của 
 Toạ d0ộ giao điểm của đường thẳng  và mp
  là nghiệm của hệ phương trình



 x  x 0  a1 t _ 1
 y  y  a t _ 2 

0
2

z  z 0  a 3 t _ 3
 Ax  By  Cz  D  0 _ 4 



Thế (1), (2), (3) vào (4) ta được phương
trình () theo t
 Nếu () vô nghiệm  //  
 Nếu () có nghiệm tuỳ ý thì    
 Nếu () có một nghiệm thì  cắt   tại
một điểm thế vào (1), (2), (3) tìm toạ độ giao
điểm
3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

 1  : A1 x  B1 y  C1 z  D1  0
 2  : A2 x  B2 y  C 2 z  D2  0

P.Pháp:


 1  //  2  

A1 B1 C1




A2 B 2 C 2
  1    2  
A1 B1 C1



A2 B 2 C 2

D1
D2
D1
D2
lvdoqt 9




 1  cắt  2 



B1 C1
A
C
hay 1  1

B2 C 2
A2 C 2

A1 B1
hay

A2 B 2

4. Vị trí tương đối giữa mp   và mặt cầu (S)
có tâm I, bán kính R
P.Pháp:
 Tính d(I,   )
 Nếu d(I,   ) > R =>   không cắt (S)
 Nếu d(I,   ) = R =>   tiếp xúc (S)
 Nếu d(I,   ) < R =>   cắt (S) theo một
đường tròn giao tuyến có bán kính

r  R 2  d I ,  

2

Gọi d/ là đường thẳng đi qua tâm I và d /  

Gọi H  d /    H là tâm đường tròn
giao tuyến
5. Tọa độ giao điểm của đường thẳng  và
mặt cầu (S)
P.Pháp:
* Viết phương trình đường  về dạng phương
trình tham số
* Thay vào phương trình mặt cầu (S) ta được
phương trình () theo t

 Nếu ptr () vô nghiệm =>  không cắt mặt
cầu (S)
 Nếu ptr () có nghiệm kép =>  cắt (S) tại
một điểm
Nếu ptr () có hai nghiệm =>  cắt (S) tại hai
điểm. Thế t = ... vào phương trình tham số của 
=> Tọa độ giao điểm
 Vấn Đề 27: Tìm giao điểm H của  và mp

 

 x  x 0  a1 t

 : y  y 0  a 2 t
z  z  a t
0
3

và   : Ax + By + Cz + D = 0

 Vấn Đề 28: Tọa độ điểm M/ đối xứng của
M qua mặt phẳng  
P.Pháp:
 Gọi M/ (x/ ; y/ ; z/ ) là điểm đối xứng của
M qua  
 Gọi d là đường thẳng đi qua M và d 

. Nên d có VTCP là n
 Viết phương trình tham số của d
 Gọi H  d   

 Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương

d  :
=> Tọa độ điểm H
  :

trình 

 Vì H là trung điểm của MM/ => Tọa độ
điểm M/

 Vấn Đề 29: Tìm tọa độ điểm M/ đối
xứng của M0 qua đường thẳng d
P.Pháp:

Gọi M/ (x/ ; y/ ; z/ )

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm
M0 và P d . Nên (P) nhận VTCP của d
làm VTPT

Gọi H  d  P 

M/ là điểm đối xứng của M0 qua
đường thẳng d. Nên H là trung điểm của
đoạn M0M/

x0  x /
x


 H
2

y  y/

Ta có:  y H  0
=> M/
2


z0  z /
z H 
2


P.Pháp:
 Gọi H    
 Tọa điểm H là nghiệm của hệ phương trình

 x  x 0  a1 t _ 1
 y  y  a t _ 2 

0
2

z  z 0  a 3 t _ 3
 Ax  By  Cz  D  0 _ 4 




Thế (1), (2), (3) vào (4) ta được phương trình
=> t
Thế t = ...vào (1), (2), (3) ta được tọa độ điểm
H
lvdoqt 10


lvdoqt 11


Hình học 12
5
TỌA
ĐỘ
TRONG
KHƠNG
GIAN
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------hoctoancapba.com
CÁC DẠNG TỐN

TĨM TẮT LÝ THUYẾT

Dạng 1: Chứng minh A,B,C là ba đỉnh tam giác

1. AB  ( x B  x A , y B  y A , z B  z A )
2. AB  AB 



 x B  x A  2   y B  y A 2   z B  z A  2



3. a  b  a1  b1 , a 2  b2 , a3  b3 
4. k.a  ka1 , ka2 , ka3 
5. a  a12  a 22  a32







A,B,C là ba đỉnh tam giác  [ AB, AC ] ≠ 0

1 
SABC =
[AB, AC]
2



Đường cao AH =



Shbh = [AB, AC]



2.S ABC
BC



Dạng 2: Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành
 Chứng minh A,B,C không thẳng hàng

 a1  b1

6. a  b  a 2  b2
a  b
3
 3



ABCD là hbh 

AB  DC

Dạng 3: Chứng minh ABCD là một tứ diện:

7. a.b  a1 .b1  a 2 .b2  a3 .b3



a1 a 2 a3



b1 b2 b3

8. a // b  a  k .b  a  b  0 



 







12. a, b, c khơng đồng phẳng  a  b .c  0
13. M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1
 x kxB y A kyB z A kzB 
M A
,
,

1 k
1 k 
 1 k
14. M là trung điểm AB
 x  xB y A  y B z A  z B 
M A
,
,


2
2 
 2
15. G là trọng tâm tam giác ABC
 x  x B  xC y A  y B  y C z A  z B  z C 
G A
,
,
,
3
3
3


16. Véctơ đơn vị : e1  (1,0,0); e2  (0,1,0); e3  (0,0,1)
17. M ( x,0,0)  Ox; N (0, y,0)  Oy; K (0,0, z )  Oz
18. M ( x, y,0)  Oxy; N (0, y, z )  Oyz; K ( x,0, z )  Oxz
1
1
a12  a 22  a32
19. S ABC  AB  AC 
2
2
1
20. V ABCD  ( AB  AC ).AD
6
21. V ABCD. A/ B / C / D /  ( AB  AD).AA /





Đường cao AH của tứ diện ABCD
1
V  S BCD . AH  AH  3V
3
S BCD

9. a  b  a.b  0  a1 .b1  a 2 .b2  a3 .b3  0
 a a3 a3 a1 a1 a 2 

10. a  b   2
,
,

b
b
b
b
b
b
2
3
3
1
1
2



11. a, b, c đồng phẳng  a  b .c  0



[ AB, AC ]. AD ≠ 0


1 
Vtd =
[AB, AC] . AD
6

Thể tích hình hộp :





V ABCD. A/ B / C / D /  AB; AD . AA /
Dạng4: Hình chiếu của điểm M
1. H là hình chiếu của M trên mp
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và
vuông góc mp : ta có a d  n 
 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và ()
2. H là hình chiếu của M trên đường thẳng (d)

Viết phương trình mp qua M và vuông góc
với (d): ta có n  a d


Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và ()

Dạng 5 : Điểm đối xứng
1.Điểm M/ đối xứng với M qua mp

Tìm hình chiếu H của M trên mp (dạng 4.1)

H là trung điểm của MM/
2.Điểm M/ đối xứng với M qua đường thẳng d:

Tìm hình chiếu H của M trên (d) ( dạng 4.2)
 H là trung điểm của MM/

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Hình học 12
6
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

MẶT PHẲNG

TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1. Vectơ pháp tuyến của mp :
 

n ≠ 0 là véctơ pháp tuyến của   n  
2. Cặp véctơ chỉ phương của mp :
 

 
a // b là cặp vtcp của   a , b cùng // 
  
 

3 Quan hệ giữa vtpt n và cặp vtcp a , b : n = [ a , b ]

4. Pt mp qua M(xo ; yo ; zo) có vtpt n = (A;B;C)

CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: Mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C :


qua A ( hay B hay C )

°



° Cặp vtcp: AB , AC

 

vtpt n  [ AB , AC ]

Dạng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB :
° 

qua M trung điể m AB



vtpt n  AB

Dạng 3: Mặt phẳng  qua M và  d (hoặc AB)
A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = 0

() : Ax + By + Cz + D = 0 ta có n = (A; B; C)
5.Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ;

C(0,0,c) :

x y z
  1
a b c

Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần:
1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến
6.Phương trình các mặt phẳng tọa độ
(Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0
7. Chùm mặt phẳng : giả sử 1  2 = d trong đó
(1): A1x + B1y + C1z + D1 = 0
(2): A2x + B2y + C2z + D2 = 0
Pt mp chứa (d) có dạng sau với m2+ n2 ≠ 0 :
m(A1x + B1y + C1z + D1) + n(A2x + B2y + C2z + D2) = 0

8. Vò trí tương đối của hai mp (1) và (2) :
°  cắt   A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2
A
B

C
D
°  //   1  1  1  1
A2 B2 C2
D2
A
B
C
D
°    1  1  1  1
A2 B2 C2
D2
ª     A1 A2  B1 B2  C1C2  0
9.KC từ M(x0,y0,z0) đến () : Ax + By + Cz + D = 0
d(M, ) 

Ax o  By o  Cz o  D
A 2  B2  C2

10.Góc giữa hai mặt phẳng :

 
n1 . n 2
cos( ,  )   
n1 . n 2

qua M

° 

 
Vì   (d) nên vtpt n  a ....(AB)
d

Dạng 4: Mp qua M và // : Ax + By + Cz + D = 0
° 

qua M


Vì  //  nê n vtpt n




n



Dạng 5: Mp chứa (d) và song song (d/)
 Điểm M ( chọn điểm M trên (d))
a d  a
 Mp chứa (d) nên
Mp song song (d/) nên a d /  b
■



Vtpt n  a d , a d /



Dạng 6 Mp qua M,N và   :
■

Mp qua M,N nên MN  a

■

Mp  mp nên

n  b

qua M (hay N)

°

 

vtpt n  [ MN , n ]



Dạng 7 Mp chứa (d) và đi qua
■

Mp chứa d nên a d  a

■

Mp đi qua M  (d ) và A nên AM  b
qua A

°


(Cách 2: sử dụng chùm mp)

vtpt n  [ a , AM]
d

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Hình học 12
7
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN
TĨM TẮT LÝ THUYẾT
CÁC DẠNG TOÁN

1.Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua

M(xo ;yo ;zo) có vtcp a = (a1;a2;a3)

Dạng 1: : Đường thẳng (d) đi qua A,B
(hayB)
quaA
(d )

ad  AB
 Vtcp

x  x o  a 1t

(d) : y  y o  a 2 t ; t  R
z  z  a t
o
3


Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A và song song ()
qua A

2.Phương trình chính tắc của (d)
(d) :

x  xo
a



y  yo

1

a2



z-z

0

a3

(d )
Qui ước:
Mẫu = 0 thì Tư û= 0

qua A

(d )

A x  B1 y  C1z  D1  0
(d) :  1
A 2 x  B 2 y  C 2 z  D 2  0

 B1
Véctơ chỉ phương a  
 B2

C1 C1
,
C2 C2

A1 A1
,
A2 A2

B1
B2








(d) qua M có vtcp a d ; (d’) qua N có vtcp a d /


 d chéo d’  [ a d , a d / ]. MN ≠ 0 (không đồng phẳng)


 d,d’ đồng phẳng  [ a d , a d / ]. MN = 0






/
 d,d’ song song nhau  { a d // a d / và M  ( d ) }

 d,d’ trùng nhau  { a d // a d / và M  ( d / ) }


Cho (d) qua M có vtcp a d ; (d’) qua N có vtcp a d /

Kc từ điểm đến đường thẳng: d ( A, d ) 

Kc giữa 2 đường thẳng :


n
d


d (d ; d / ) 

 Viết pt mp chứa (d) và vuông góc mp

quaM  (d )

(  )  (d )  a  a
d

 
       n  b
  n   [a d ; n ]


ª (d

/

( )
)
(  )

Dạng 5: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc
(d1),(d2)

(d )

qua A


vtcp a  [ a

d1


,a

d2

]

Dạng 6: PT d vuông góc chung của d1 và d2 :


+ Tìm a d = [ a d1, a d2]
+ Mp chứa d1 , (d) ; mp chứa d2 , (d)

[a d ; AM ]



d=

ad

Dạng 7: PT qua A và d cắt d1,d2 : d =   

[a d ; a d / ].MN

với mp = (A,d1) ; mp = (A,d2)
Dạng 8: PT d //  và cắt d1,d2 : d = 1  2
với mp1 chứa d1 //  ; mp2 chứa d2 // 

[a d ; a d / ]



Vì (d)  ( ) nê n vtcp a



 d,d’ cắt nhau  [ a d , a d / ]  0 và [ a d , a d / ]. MN =0

5.Khoảng cách :



Dạng4: PT d’ hình chiếu của d lên  : d/ =   

4.Vò trí tương đối của 2 đường thẳng :



d


a

Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc mp

3.PT tổng quát của (d) là giao tuyến của 2 mp 1 và 2




Vì (d) // () nê n vtcp a



6.Góc : (d) có vtcp a d ; ’ có vtcp a d / ; ( ) có vtpt n

a d .a d /
Góc giữa 2 đường thẳng : cos(d,d' ) 

ad . ad /
 
ad . n
Góc giữa đường và mặt : sin(d, )  

ad . n

Dạng 9: PT d qua A và  d1, cắt d2 : d = AB
với mp qua A,  d1 ; B = d2  
Dạng 10: PT d  (P) cắt d1, d2 : d =   
với mp chứa d1 ,(P) ; mp chứa d2 ,  (P)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Hình học 12
8
MẶT
CẦU
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

CÁC DẠNG TOÁN

TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1.Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c),bán kính R
S(I,R) : x  a  y  b  z  c  R
2

2

2

2

(1)

S(I,R) : x2  y2  z2  2ax  2by  2cz  d  0 (2)

( với a  b  c  d  0 )
2



2

2

2
2
2
Tâm I(a ; b ; c) và R  a  b  c  d

2.Vò trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho (S) : x  a2  y  b2  z  c2  R2
và  : Ax + By + Cz + D = 0
Gọi d = d(I,) : khỏang cách từ tâm mc(S)
đến mp :
 d > R : (S)   = 
 d = R :  tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, :
tiếp diện)
*Tìm tiếp điểm H (là hchiếu của tâm I trên mp)
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I
và vuông góc mp : ta có a d  n 
 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và ()
 d < R :  cắt (S) theo đường tròn có pt
(S) : x  a2  y  b2  z  c2  R2


 : Ax  By  Cz  D  0

*Tìm bán kính r và tâm H của đường tròn:
+ bán kính r  R2  d2 ( I ,  )
+ Tìm tâm H ( là hchiếu của tâm I trên mp)
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I
và vuông góc mp : ta có a d  n 
 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và ()
3.Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu
x  x o  a1t

d : y  y o  a 2 t (1) và
z  z o  a 3 t


(S) : x  a  y  b  z  c  R2 (2)
+ Thay ptts (1) vào pt mc (2), giải tìm t,
+ Thay t vào (1) được tọa độ giao điểm
2

2

Dạng 1: Mặt cầu tâm I đi qua A
ª

S(I,R) : x  a  y  b  z  c  R 2 (1)
2

2

2

 Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R2
Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB
 Tâm I là trung điểm AB
 Viết phương trình mặt cầu tâm I (1)
 Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R2
Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mp
Pt mặ t cầ u tâ m I

(S )

R  d(I, ) 

A.x  B. y  C . z  D
I
I
I
A2  B 2  C 2

Dạng 4: Mặt cầu tâm I và tiếp xúc ()

(S )

tâ m I
R  d(I, )

Dạng 5: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Dùng (2) S(I,R) : x2  y2  z2  2ax  2by  2cz  d  0
A,B,C,D  mc(S)  hệ pt, giải tìm a, b, c, d

Dạng 6:Mặt cầu đi qua A,B,C và tâm I € (α)
S(I,R) : x2  y2  z2  2ax  2by  2cz  d  0 (2)

A,B,C  mc(S): thế tọa tọa A,B,C vào (2)
I(a,b,c) (α): thế a,b,c vào pt (α)
Giải hệ phương trình trên tìm a, b, c, d
Dạng 7: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A




Tiếp diện  của mc(S) tại A :  qua A, vtpt n  IA
Dạng 8: Mặt phẳng  tiếp xúc (S) và  
+ Viết pt mp vuông góc  : n  a   ( A, B, C )
+ Mp : Ax + By + Cz + D = 0
+ Tìm D từ pt d(I ,  ) = R
Dạng 9: Mặt phẳng  tiếp xúc (S) và // 2 đt a,b :

 
n  [ a ,b ]



pt : Ax  By  Cz  D  0
từ d(I,  )  R  D

2

Dạng 10: Mp chứa  và tiếp xúc mc(S) :
thuộ c chù m mp chứ a 



R  d(I, )  m, n

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Hình học 12
9
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------