Đề và ĐA thi thử ĐH 2009 (Đề số 20)

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2009 – MÔN TOÁN KHỐI A, B, D
ĐỀ SỐ 20
Câu I: (2 điểm) Cho hàm số : y =
2
2 2
1
x x
x
+ +
+
(*)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số (*) .
2. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của ( C ).Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C ) đi qua
điểm I .
Câu II:( 2 điểm). 1. Giải bất phương trình :
2
8 6 1 4 1 0x x x− + − + ≤
2. Giải phương trình :
2
2
cos2 1
( ) 3
2 cos
x
tg x tg x
x
π
−
+ − =

Câu III: (3 điểm). 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho 2 đường tròn :

(C
1
): x
2
+ y
2

9=
và (C
2
): x
2
+ y
2

2 2 23 0x y− − − =
. Viết phương trình trục đẳng phương d của 2 đường
tròn (C
1
) và (C
2
). Chứng minh rằng nếu K thuộc d thì khỏang cách từ K đến tâm của (C
1
) nhỏ hơn khỏang
cách từ K đến tâm của ( C
2
).
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(5;2; - 3) và mặt phẳng
(P) :
2 2 1 0x y z+ − + =

. a) Gọi M
1
là hình chiếu của M lên mặt phẳng ( P ). Xác định tọa độ điểm M
1
và tính độ dài đọan MM
1
. b) Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) đi qua M và chứa đường thẳng
x-1 y-1 z-5
:
2 1 -6
= =

Câu IV: ( 2 điểm). 1.Tính tích phân
4
sin
0
( cos )
x
tgx e x dx
π
+
∫
.
2. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác
nhau và nhất thiết phải có 2 chữ 1, 5 ?
Câu V: (1 điểm) Cmrằng nếu
0 1y x≤ ≤ ≤
thì

1

4
x y y x− ≤
. Đẳng thức xảy ra khi nào?
BÀI GIẢI
CÂU I 1/ Khảo sát
2
x 2x 2
y
x 1
+ +
=
+
(C)
MXĐ:
{ }
D R \ 1= −
( )
+
= = ⇔ + = ⇔ = = −
+
2
2
2
x 2x
y' ,y' 0 x 2x 0 x 0 hay x 2
x 1
BBT
x
−∞
-2 -1 0

+∞
y'
+ 0 - - 0 +
y
−∞
-2

+∞

−∞
2
+∞
Tiệm cận
x 1= −
là pt t/c đứng.
y x 1= +
là pt t/c xiên
Đồ thị :Bạn đọc tự vẽ.
2/ Chứng minh không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua
( )
I 1,0−
là giao điểm của 2 tiệm cận.
Gọi
( )
( )
2
o o
o o o o
o
x 2x 2

M x ,y C y
x 1
+ +
∈ ⇔ =
+
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại
o
M
( ) ( )
( )
( )
2
o o
o o o o o
2
o
x 2x
y y f ' x x x y y x x
x 1
 
+
 ÷
− = − ⇔ − = −
 ÷
+
 
Tiếp tuyến đi qua
( )
I 1,0−
( )

( )
( )
+ − −
⇔ − =
+
2
o o o
o
2
o
x 2x 1 x
0 y
x 1
2 2
o o o o
o o
x 2x 2 x 2x
x 1 x 1
+ + +
⇔ =
+ +
2 0
⇔ =
Vô lí. Vậy không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua
( )
I 1,0−
CÂU II 1/ Giải bất phương trình
2
8x 6x 1 4x 1 0− + − + ≤
(1)

(1)
2
8x 6x 1 4x 1⇔ − + ≤ −


≤ ≥



− + ≥

= ≥


 
⇔ − ≥ ⇔ ≥ ⇔
  
  
≤ ≥
− + ≤ −




− ≥


2
2 2
2

1 1
x Vx
1 1
4 2
8x 6x 1 0
x Vx
1
4 2
4x 1 0 x
1
4
x 0 hay x
8x 6x 1 (4x 1)
4
8x 2x 0
⇔
= ≥
1 1
x hay x
4 2
2/ Giải phương trình
2
2
cos2x 1
tg x 3tg x
2
cos x
π −
 
+ − =

 ÷
 
(2)
(2)
2
2
2
2sin x
cot gx 3tg x
cos x
−
⇔ − − =
π
⇔ − − = ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − + π ∈
2 3
1
tg x 0 tg x 1 tgx 1 x k ,k Z
tgx 4
CÂU III 1/ Đường tròn
( )
1
C
có tâm
( )
O 0,0
bán kính
1
R 3=
Đường tròn
( )

2
C
có tâm
( )
I 1,1
, bán kính
2
R 5=
Phương trình trục đẳng phương của 2 đường tròn
( )
1
C
,
( )
2
C
là
( ) ( )
2 2 2 2
x y 9 x y 2x 2y 23 0+ − − + − − − =
x y 7 0⇔ + + =
(d)
Gọi
( ) ( )
k k k k
K x ,y d y x 7∈ ⇔ = − −
( ) ( ) ( )
= − + − = + = + − − = + +
2 2 2
2 2 2 2 2

k k k k k k k k
OK x 0 y 0 x y x x 7 2x 14x 49
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2
k k k k k k
IK x 1 y 1 x 1 x 8 2x 14x 65= − + − = − + − − = + +
Ta xét
( ) ( )
2 2 2 2
k k k k
IK OK 2x 14x 65 2x 14x 49 16 0− = + + − + + = >
Vậy
2 2
IK OK IK OK(ñpcm)> ⇔ >
2/ Tìm
1
M
là h/c của M lên mp (P)
Mp (P) có PVT
( )
n 2,2, 1= −
r
Pt tham số
1
MM
qua M,
( )
P⊥
là

x 5 2t
y 2 2t
z 3 t
= +


= +


= − −

Thế vào pt mp (P):
( ) ( ) ( )
2 5 2t 2 2 2t 3 t 1 0+ + + − − − + =
18 9t 0 t 2
⇔ + = ⇔ = −
. Vậy
( ) ( )
1 1
MM P M 1, 2, 1∩ = − −
Ta có
( ) ( ) ( )
2 2 2
1
MM 5 1 2 2 3 1 16 16 4 36 6= − + + + − + = + + = =
* Đường thẳng
− − −
∆ = =
−
x 1 y 1 z 5

:
2 1 6
đi qua A(1,1,5) và có VTCP
( )
a 2,1, 6= −
r
Ta có
( )
= −
uuuur
AM 4,1, 8
Mặt phẳng (Q) đi qua M, chứa
∆

⇔
mp (Q) qua A có PVT là
( )
 
=
 
uuuur r
AM,a 2,8,2
hay
( )
1,4,1
nên pt
(Q):
( ) ( ) ( )
− + − + + =x 5 4 y 2 z 3 0
Pt (Q):

x 4y z 10 0+ + − =

Cách khác: Mặt phẳng (Q) chứa
∆
nên pt mp(Q) có dạng:
− + = − + + + − =x 2y 1 0 hay m(x 2y 1) 6y z 11 0
. Mặt phẳng (Q) đi qua M(5;2; - 3) nên ta có 5 – 4 +
1 = 0 ( loại) hay m( 5 – 4 + 1) + 12 – 3 – 11 = 0 ⇔ m = 1.
Vậy Pt (Q):
x 4y z 10 0+ + − =

CÂU IV: 1/ Tính
( )
π
= +
∫
/ 4
sinx
0
I tgx e cos x dx
Ta có:
/ 4 / 4 / 4 / 4
sinx sin x
0 0 0 0
sin x
I tgxdx e cosxdx dx e cos xdx
cosx
π π π π
= + = +
∫ ∫ ∫ ∫

( )
1
/ 4
/ 4
sinx
2
0
o
ln cos x e ln 2 e 1
π
π
= − + = + −
 
 
2/ Gọi
1 2 3 4 5
n a a a a a=
là số cần lập
Trước tiên ta có thể xếp 1, 5 vào 2 trong 5 vị trí: ta có:
2
5
A 4.5 20= =
cách
Xếp 1,5 rồi ta có 5 cách chọn 1 chữ số cho ô còn lại đầu tiên
4 cách chọn 1 chữ số cho ô còn lại thứ 2
3 cách chọn 1 chữ số cho ô còn lại thứ 3
* Theo qui tắc nhân ta có:
2
5
A .5.4.3 20.60 1200= =

số n.
Cách khác : - Bước 1 : xếp 1, 5 vào 2 trong 5 vị trí: ta có:
2
5
A 4.5 20= =
cách
-Bước 2 : có
= =
3
5
A 3.4.5 60
cách bốc 3 trong 5 số còn lại rồi xếp vào 3 vị trí còn lại .
Vậy có 20.60 = 1200 số n thỏa ycbt.
CÂU V. Ta có
2
0 x 1 x x≤ ≤ ⇒ ≥
Ta có
1 1
x y y x x y y x
4 4
− ≤ ⇔ ≤ +
(1)
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có
+ ≥ + ≥ =
2 2
1 1 1
y x yx 2 yx . x y
4 4 4
⇒
1

x y y x
4
− ≤
Dấu = xảy ra

≤ ≤ ≤

=



⇔ = ⇔
 
=
 


=

2
2
0 y x 1
x 1
x x
1
y
1
4
yx
4