Đề và ĐA thi thử ĐH 2009 (Đề số 21)

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2009 – MÔN TOÁN KHỐI A, B, D
ĐỀ SỐ 21
Câu I: (2 điểm) Gọi (C
m
) là đồ thị của hàm số y= – x
3
+ ( 2m + 1) x
2
– m – 1 (1)
(m là tham số). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
=m 1
.
2) Tìm m để đồ thị (C
m
) tiếp xúc với đường thẳng y= 2mx – m – 1.
Câu II:( 2 điểm). 1. Giải bất phương trình :
2 7 5 3 2x x x+ − − ≥ −
2. Giải phương trình :
3 sin
( ) 2
2 1 cos
x
tg x
x
π
− + =
+

Câu III: (3 điểm). 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn
(C): x
2

+ y
2

4 6 12 0x y− − − =
. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng
d :
2 3 0x y− + =
sao cho MI = 2R , trong đó I là tâm và R là bán kính của đường tròn (C).
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho lăng trụ đứng OAB.O
1
A
1
B
1
với A(2;0;0), B(0; 4; 0), O
1
(0; 0;
4)
a) Tìm tọa độ các điểm A
1
, B
1
. Viết phương trình mặt cầu qua 4 điểm O, A, B, O
1
.
b) Gọi M là trung điểm của AB.Mặt phẳng ( P ) qua M vuông góc với O
1
A và cắt OA, OA
1
lần lượt tại N, K . Tính độ dài đọan KN.

Câu IV: ( 2 điểm). 1.Tính tích phân
3
2
1
ln
ln 1
e
x
I dx
x x
=
+
∫
.
2. Tìm k
{ }
0;1;2;.....;2005∈
sao cho
2005
k
C
đạt giá trị lớn nhất. (
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử)
Câu V: (1 điểm) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
2 1 2 1
2
7 7 2005 2005

( 2) 2 3 0
x x x
x
x m x m
+ + + +

− + ≤


− + + + ≥


BÀI GIẢI
CÂU I
1/ Khảo sát
( )
3 2
y x 2m 1 x m 1= − + + − −
khi m=1
Khi m = 1 thì
3 2
y x 3x 2= − + −
MXĐ: D=R
( )
= − + = − + = ⇔ = =
2
y' 3x 6x 3x x 2 ,y' 0 x 0 hay x 2
y'' 6x 6,y'' 0 x 1= − + = ⇔ =
BBT
x

−∞
0 1 2
+∞
y'
- 0 + + -
y''
+ + 0 - -
y
+∞
2
lõm -2 lõm 0 lồi lồi
−∞
2/ Tìm m để
( )
m
C
tiếp xúc với
( )
y 2mx m 1 d= − −
(d) tiếp xúc với
( )
m
C

( )
( )

− + + − − = − −

⇔


− + + =


3 2
2
x 2m 1 x m 1 2mx m 1
3x 2 2m 1 x 2m
có nghiệm
( )
( )

= − + + =

⇔

− + + =


2
2
x 0 hay x 2m 1 x 2m
3x 2 2m 1 x 2m
có nghiệm
( )
( ) ( )

− + + =

⇔ =


− + + = − + +


2
2 2
x 2m 1 x 2m
m 0 hay
3x 2 2m 1 x x 2m 1 x
có nghiệm
( )
( )

− + + =

⇔ =

− + =


2
2
x 2m 1 x 2m
m 0 hay
2x 2m 1 x 0
có nghiệm
( )

− + + =


⇔ =

+
=


2
x 2m 1 x 2m
m 0 hay
2m 1
x
2
có nghiệm
( )
+
 
⇔ = − + + =
 ÷
 
2
2
2m 1 1
m 0 hay 2m 1 2m
2 2
⇔ = =
1
m 0 hay m
2
CÂU II: 1/ Giải bpt
2x 7 5 x 3x 2+ − − ≥ −

(1)
Điều kiện
+ ≥


− ≥ ⇔ ≤ ≤


− ≥

2x 7 0
2
5 x 0 x 5
3
3x 2 0
(1)
⇔ + ≥ − + − ≤ ≤
2
2x 7 3x 2 5 x vaø x 5
3
( ) ( )
⇔ + ≥ − + − + − −2x 7 3x 2 5 x 2 3x 2 5 x

≤ ≤
2
vaø x 5
3
( ) ( )
⇔ ≥ − −2 3x 2 5 x

≤ ≤
2
vaø x 5
3
⇔ − + ≥
2
3x 17x 14 0

≤ ≤
2
vaø x 5
3
⇔ ≤ ≤
14
(x 1 hay x)
3

≤ ≤
2
vaø x 5
3
⇔
≤ ≤ ≤ ≤
2 14
x 1 hay x 5
3 3
2/ Giải phương trình
3 sin x
tg x 2
2 1 cosx

π
 
− + =
 ÷
+
 
(2)
(2)
sin x cosx sin x
cot gx 2 2
1 cosx sin x 1 cos x
⇔ + = ⇔ + =
+ +

2 2
cos x cos x sin x 2sin x 2sin x cos x⇔ + + = +
và
≠sin x 0
( ) ( )
⇔ + = +cosx 1 2sin x cosx 1
và
≠sin x 0
⇔ =2sin x 1
π
⇔ = + πx k2
6
hay
π
= + π
5

x k2
6
.
Ghi chú:Khi sinx ≠ 0 thì cos x ≠ ± 1
CÂU III. 1/ Đường tròn (C) có tâm
( )
I 2,3
, R=5
( ) ( )
M M M M M M
M x ,y d 2x y 3 0 y 2x 3∈ ⇔ − + = ⇔ = +
( ) ( )
2 2
M M
IM x 2 y 3 10= − + − =
( ) ( )
( )
2 2
2
M M M M
M M
M M
x 2 2x 3 3 10 5x 4x 96 0
x 4 y 5 M 4, 5
24 63 24 63
x y M ,
5 5 5 5
⇔ − + + − = ⇔ − − =
= − ⇒ = − ⇒ − −



⇔
 

= ⇒ = ⇒
 ÷

 

2/ a/ Vì
( ) ( )
1 1
AA Oxy A 2,0,4⊥ ⇒
( ) ( )
1 1
BB Oxy B 0,4,4⊥ ⇒
Viết pt mặt cầu (S) qua O, A, B, O
1
Ptmc (S):
2 2 2
x y z 2ax 2by 2cz d 0+ + − − − + =
Vì
( )
O S d 0∈ ⇒ =
Vì
( )
A S 4 4a 0 a 1∈ ⇒ − = ⇒ =
Vì
( )
B S 16 8b 0 b 2∈ ⇒ − = ⇒ =

Vì
( )
1
O S 16 8c 0 c 2∈ ⇒ − = ⇒ =
Vậy (S) có tâm I(1,2,2)
Ta có
2 2 2 2
d a b c R= + + −
⇒
2
R 1 4 4 9= + + =
Vậy pt mặt cầu (S) là:
( ) ( ) ( )
2 2 2
x 1 y 2 z 2 9− + − + − =
b/ Tính KN
Ta có
( )
M 1,2,0
,
( )
1
O A 2,0, 4= −
uuuur
Mp(P) qua M vuông góc với
1
O A
nên nhận
1
O A

uuuur
hay (1;0; -2) làm PVT
⇒ pt (P):
( ) ( )
− + − − − =1 x 1 0 y 2 2(z 0) 0
(P):
− − =x 2z 1 0
PT tham số OA là
=


=


=

x t
y 0
z 0
Thế vào pt (P):
( ) ( )
− = ⇒ = ⇒ ∩ =t 1 0 t 1 OA P N 1,0,0
Pt tham số
1
OA
là:
=


=



=

x t
y 0
z 2t
với
( )
1
OA 2,0,4=
uuuur
hay (1;0;2) là vtcp.
Thế vào pt (P):
− − = ⇒ = −
1
t 4t 1 0 t
3
( )
1
1 2
OA P K ,0,
3 3
 
⇒ ∩ = − −
 ÷
 
Vậy
( )
2 2

2
1 2 20 20 2 5
KN 1 0 0 0
3 3 9 3 3
   
= + + − + + = = =
 ÷  ÷
   
CÂU IV: 1/ Tính
3
2
e
1
ln x
I dx
x ln x 1
=
+
∫
Đặt
t ln x 1= +
⇒
2
dx
t ln x 1 2tdt
x
= + ⇒ =
và
2
t 1 ln x− =

Đổi cận:
= =
3
t(e ) 2; t(1) 1
( )
− +
= = = − +
+
∫ ∫ ∫
3
2 4 2
e 2 2
4 2
1 1 1
ln x t 2t 1
I dx 2tdt 2 t 2t 1 dt
t
x ln x 1
 
= − + =
 
 
2
5 3
1
t 2t 76
2 t
5 3 15
2.

k
2005
C
lớn nhất
k k 1
2005 2005
k k 1
2005 2005
C C
C C
+
−

≥

⇔

≥



k N∈
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2005! 2005!
k! 2005 k ! k 1 ! 2004 k !
k 1 2005 k
2005! 2005! 2006 k k
k! 2005 k ! k 1 ! 2006 k !


≥

− + −
+ ≥ −


⇔ ⇔
 
− ≥


≥

− − −

k 1002
1002 k 1003, k N
k 1003
≥

⇔ ⇔ ≤ ≤ ∈

≤

⇔
= =k 1002 hay k 1003
CÂU V: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
( )
+ + + +


− + ≤


− + + + ≥


2x x 1 2 x 1
2
7 7 2005x 2005 (1)
x m 2 x 2m 3 0 (2)
Điều kiện là
≥ −x 1
.Ta có
[ ]
+ + + +
− ≤ ∀ ∈ −
2x x 1 2 x 1
7 7 0, x 1;1
Ta có: (1)
( )
( )
[ ]
+
⇔ − ≤ − ∀ ∈ −
x 1 2x 2
7 7 7 2005 1 x : ñuùng x 1;1
và sai khi x > 1
Do đó (1) ⇔
1 x 1− ≤ ≤
. Vậy, hệ bpt có nghiệm ⇔

( ) ( )
= − + + + ≥
2
f x x m 2 x 2m 3 0
có nghiệm
[ ]
1,1∈ −
[ ]
{ }
∈ −
⇔ ⇔ − ≥
≥
x 1;1
0 max f( 1),f(1) 0
Maxf(x)
{ }
⇔ + + ≥ ⇔ + ≥ + ≥max 3m 6,m 2 0 3m 6 0 hay m 2 0
⇔ ≥−m 2