Đề thi tuyển sinh lớp 10 Quốc Học nam 06-07

Sở Giáo dục-đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH VàO LớP 10 thpt qUốC HọC
Thừa Thiên Huế Khóa ngày 19.6.2006
Đề chính thức
Môn: TOáN
Số báo danh: ............. Phòng: Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (1 điểm)
So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi):
3 7+
và
19
.
Bài 2: (1 điểm)
a) Biến đổi
3 1x x +
về dạng
2
A b+
với b là hằng số và A là một biểu thức.
b) Suy ra giá trị lớn nhất của biểu thức
1
3 1x x +
. Giá trị đó đạt đợc khi
x
bằng bao
nhiêu ?
Bài 3: (1,25 điểm)
Viết phơng trình đờng thẳng d song song với đờng thẳng
2 1x y+ =
và đi qua giao điểm
của hai đờng thẳng
1

: 2 3 4d x y =
và
2
: 3 5d x y+ =
.
Bài 4: (1,25 điểm)
Cho phơng trình
2
6 4 0x mx + =
. Tìm giá trị của
m
, biết rằng phơng trình đã cho có hai
nghiệm x
1
và x
2
thỏa mãn điều kiện
2 2
1 2
1 1 7
2x x
+ =
.
Bài 5: (1,5 điểm)
Một máy kéo nông nghiệp có hai bánh sau to hơn hai bánh trớc. Khi bơm căng, bánh xe
sau có bán kính lớn hơn bán kính bánh xe trớc là 25 cm. Khi đi trên đoạn đờng dài 314m thì
bánh xe trớc quay nhiều hơn bánh xe sau 40 vòng. Tính bán kính của mỗi bánh xe trớc và sau.
Cho biết
3,14

=
.
Bài 6: (0,75 điểm)
Từ một đài quan sát của một con tàu cao 15m so với mực nớc biển, ngời thủy thủ bắt đầu
nhìn thấy đỉnh của ngọn hải đăng. Hỏi khi đó con tàu cách ngọn hải đăng bao nhiêu kilômét ?
Biết rằng theo bản đồ hàng hải, cột hải đăng đó cao 90m so với mực nớc biển và bán kính của
Trái Đất gần bằng 6400km.
Bài 7: (1,75 điểm)
Cho đờng tròn (O) tâm O, bán kính R. Trên (O) cho các
điểm B, C cố định và A di động. EF là đờng kính vuông góc
với BC. Gọi I là tâm của đờng tròn nội tiếp tam giác ABC.
Khi A chạy trên (O) thì I chạy trên các đờng nào ? Nêu
cách dựng các đờng đó.
Bài 8: (1,5 điểm)
Một cái phểu gồm một phần có dạng hình trụ, bán kính
đáy bằng R và phần còn lại có dạng hình nón, chiều cao
bằng 2R. Phểu chứa nớc có mực nớc đến sát đáy hình nón.
Ngời ta thả vào một quả bi hình cầu bằng kim loại vào thì
nó đặt vừa khít trong hình nón (hình vẽ). Tính chiều cao cột
nớc dâng lên theo R.
Hết
R
1/ Đa về so sánh
( )
2
3 7+
với
( )
2
19 19=

hay so sánh
10 2 21+
với 19 = 10 + 9, hay so sánh
2 21
với 9.
Ta có
( )
2
2
2 21 84 81 9= > =
,
suy ra:
( ) ( )
2 2
2 21 9 3 7 19 3 7 19> + > + >
2/
( )
( )
2 2
2
3 3 1 3 1 1
3 1 2 , 0
2 2 4 2 4 4
x x x x x x

+ = ì ì + + = +
ữ ữ
ữ ữ

Suy ra

3 1x x +
đạt giá trị nhỏ nhất là
1
4
khi
3 3
0
2 4
x x = =
Do đó
1
3 1x x +
đạt giá trị lớn nhất là
4
khi
3
4
x =
3/ + Đờng thẳng
1 1
2 1
2 2
x y y x+ = = +
, nên có hệ số góc
1
2
a =
+ Đờng thẳng d song song với đờng thẳng
2 1x y+ =
, nên

1 1
:
2 2
d y x b b

= +
ữ


+ Tọa độ giao điểm M của d
1
và d
2
là nghiệm của hệ phơng trình:
2 3 4
3 5
x y
x y
=


+ =

+ Giải hệ phơng trình ta có
19 2
;
11 11
M

ữ

+ Đờng thẳng d đi qua M nên:
2 19 15 1
11 22 22 2
b b = + =
+ Vậy phơng trình của đờng thẳng
1 15
: 11 22 15
2 22
d y x x y= + + =
4/ Ta có:
2
' 9 4m =
Để phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
cần và đủ là:

2 2
4 2 2 2
' 9 4 0 | |
9 3 3 3
m m m m hay m =
Theo giả thiết:
( )
2
2 2
1 2 1 2

1 2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2
1 1 7 7 7
2 2 2
x x x x
x x
x x x x x x
+
+
+ = = =
2
2
36 8 7 16 4
16 2 9 3
m
m m

= = =
. Cả hai giá trị này của
m
đều thỏa mãn điều kiện
2
| |
3
m
. Vậy các giá trị của m thỏa mãn điều kiện của bài toán là:
4
3

m =
5/ Gọi x (m) là bán kính của bánh xe trớc. Điều kiện: x > 0.
Khi đó bán kính của bánh xe sau x + 0,25 (m)
Chu vi của bánh xe trớc và sau là:
2 6,28 ;2 ( 0,25) 6, 28( 0,25)x x x x

= + = +
Theo giả thiết:
314 314 50 50
40 40
6,28 6,26( 0, 25) 0,25x x x x
= + =
+ +
2
4 1, 25 0x x + =
Giải phơng trình ta đợc:
1
1 21
0
8
x

= <
(loại),
2
1 21
0,45
8
x m
+

=
Vậy: Bán kính của bánh xe trớc là:
1 21
0,45
8
m
+

và bán kính của bánh xe sau là:
1 21
0,70
8
m
+

Gọi A là vị trí của đài quan sát trên tàu, C là đỉnh ngọn hải
đăng. Khi A nhìn thấy C thì AC là tiếp tuyến của trái đất, tiếp
điểm là B.
2 2
6400.015 6400 13,9AB km=
2 2
6400.09 6400 33,9BC km=
Vậy khi nhìn thấy ngọn hải đăng, thì con tàu cách đó khoảng
47,8km
.
+ Nếu học sinh tính độ dài tổng 2 cung
ẳ
ẳ
' , 'A B C B
(sử dụng máy tính bỏ tuí): đd

ẳ
1
2 6400 6400
' cos 13,9
360 6400.015
A B km


ì

= ì
ữ

, tơng tự với đd
ẳ
' 33,8C B km
, vẫn cho điểm
tối đa.
7/ + Tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC là giao điểm I của 3 đờng phân giác trong của tam
giác, nên:
ã
ã
à
à
à
0
180
2 2 2
B C A
IBC ICB

+ = + =
ã
à
0
90
2
A
BIC = +
+ Khi A chạy trên cung lớn
ẳ
BFC
:
à
ẳ
2
BEC
A

= =
(không đổi), nên:
ã
à
0 0
90 90
2 2
A
BIC

= + = +

(không đổi).
Do đó I chạy trên cung chứa góc
0
90
2

+
dựng trên đoạn BC ở bên trong (O)
Cách dựng: Ta có đờng kính EF vuông góc với dây BC, nên E
và F là trung điểm của hai cung trơng bởi BC và
ã
0
90EBF =
.
Suy ra
ã
ẳ
2 2
EC
EBC

= =
.
Trên tia đối của tia BF lấy điểm F', thì góc
ã
0
' 90
2
F BC

= +
.
Theo cách dựng cung quỹ tích thì E là tâm của cung chứa góc
0
90
2

+
dựng trên đoạn BC ở
bên trong (O).
+ Khi A chạy trên cung nhỏ
ẳ
BEC
:
à
ã
A BEC=
(không đổi)
ã
ã
0
90
2
BEC
BIC = +
(không đổi).
Do đó I chạy trên cung chứa góc
ã
0
90

2
BEC
+
dựng trên đoạn BC ở bên trong (O).
Cách dựng: Tơng tự nh trên, điểm F là tâm của cung tròn quĩ tích.
8/ + Hình cầu đặt khít hình nón, nên đờng tròn lớn của nó nội tiếp trong tam giác cân
SAB, với SA, SB là hai đờng sinh và AB là đờng kính đáy của đáy hình nón. Gọi I là
tâm và r là bán kính hình cầu, thì BI là phân giác góc SBA.
A'
C'
+ Theo tính chất phân giác, ta có:
IO OB IO OB
IS SB IO IS OB SB
= =
+ +
2
2
5 1 5
r R R
r
R
R R
= =
+ +
+ Thể tích hình cầu bằng thể tích cột nớc hình trụ dâng lên có chiều cao x > 0, nên ta có :
( )
3
3 2
3
2

4 4 32
3 3
3 1 5
r R
r R x x
R

= = =
+
Vậy chiều cao của cột nớc dâng lên là:
( )
3
32
3 1 5
R
x =
+
+ Cách 2:
ã ã
1 0
2 tan (2) 63 26 '6"tgSBO SBO

= =
(sử dụng máy tính hoặc bảng số).
Suy ra:
ã ã
0
31 43'3" 0,62IBO r Rtg IBO R =
.
Do đó:

3
3 2
2
4 4
0,32
3 3
r
r R x x R
R

= =