30 bài tập trắc nghiệm cực trị của hàm số mức độ 3+4 vận dụng + vận dụng cao đề số 2 (có lời giải chi tiết) image marked image marked
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (564.85 KB, 24 trang )
30 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ - CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
MỨC ĐỘ 3 + 4: VẬN DỤNG + VẬN DỤNG CAO – ĐỀ SỐ 2
CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN.
Câu 1: Cho hàm số y x 2 3 x 5 . Số điểm cực trị của hàm số trên là:
A. 1.
B. 0.
C. 2.
D. 3.
Câu 2: Hình vẽ là đồ thị hàm số y f x . Gọi S là tập
hợp các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số
y f x 1 m có 5 điểm cực trị. Tổng giá trị tất cả
các phần tử của S bằng
A. 9.
B. 12.
C. 18.
D. 15.
Câu 3: Cho hàm số f x xác định trên R và có đồ thị f ' x
như hình vẽ. Đặt g x f x x. Hàm số g x đạt cực đại
tại điểm nào sau đây?
A. x = 1.
B. x = 2.
C. x = 0.
D. x = -1.
1
Câu 4: Cho hàm số D R \ . Có đồ thị như hình bên.
c
f x
f x
Tìm số điểm cực trị của hàm số y 2 3 .
A. 6.
B. 5.
C. 4.
D. 3.
Câu 5: Tìm tập hợp S tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y x 4 2 m 2 x 2 m 4 3 có ba điểm
cực trị đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ O tạo thành tứ giác nội tiếp.
1
1
1
A. S
;0; .
3
3
B. S 1;1 .
1 1
C. S
; .
3 3
1 1
D. S
;
.
2 2
Câu 6: Cho hàm số y f x với đạo hàm f ' x có đồ thị
như hình vẽ. hàm số g x f x
x3
x 2 x 2 đạt cực
3
đại tại điểm nào?
A. x 1.
B. x 1.
C. x 0.
D. x 2.
Câu 7: Cho hàm số y f x với đạo hàm f ' x x 2 x 1 x 2 2 mx 5 . Có tất cả bao nhiêu giá trị
nguyên của m để hàm số y f x có đúng 1 điểm cực trị.
A. 7.
B. 0.
C. 6.
D. 5.
Câu 8: Cho hàm số y x 4 2 m m 2 x 2 m 2. Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành một
tam giác có diện tích lớn nhất.
1
A. .
2
3
B. .
2
C. -1.
Câu 9: Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x x 1
2
D.
1
33
.
x2 2 x , với mọi x R. Có bao nhiêu giá trị
nguyên dương của tham số m để hàm số y f x 2 8 x m có 5 điểm cực trị?
A. 16.
B. 17.
C. 15.
D. 18.
Câu 10: Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y f x . Gọi S
là tập hợp các số nguyên dương của tham số m để hàm số
y f x 1 m có 5 điểm cực trị. Tổng giá trị tất cả các
phần tử của S bằng:
A. 12.
B. 15.
C. 18.
D. 9.
2
Câu 11: Cho hàm số y f x xác định trên R. Đồ thị hàm số y f ' x
1
3
3
như hình vẽ. Đặt g x f x x 3 x 2 x 2018. Điểm cực tiểu
3
4
2
của hàm số g x đoạn [-3;1] là:
A. xCT 1.
1
B. xCT .
2
C. xCT 2.
D. xCT 0.
Câu 12: Cho hàm số y x 4 2 1 m 2 x 2 m 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có cực
đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích lớn nhất.
A. m 0.
1
B. m .
2
C. m 1.
1
D. m .
2
Câu 13: Hàm số f x có đạo hàm f ' x trên . Hình
vẽ bên là đồ thị của hàm số f ' x trên . Hỏi hàm số
y f x 2018 có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 5.
B. 3.
C. 2.
D. 4.
1
Câu 14: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 5;5 để hàm số y x 4 x 3 x 2 m có 5 điểm
2
cực trị?
A. 7.
B. 5.
C. 4.
D. 6.
Câu 15: Cho hàm số y f x . Đồ thị của hàm số y f ' x như
hình bên. Hàm số g x f x 2 có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 4.
B. 3.
C. 5.
D. 2.
3
Câu 16: Để đồ thị hàm số y x 4 2 mx 2 m 1 có 3 điểm cực trị nhận gốc tọa độ O làm trực tâm thì giá
trị của tham số m bằng
A. 1.
B.
1
.
2
C.
1
.
3
D. 2.
Câu 17: Hình vẽ bên là đồ thị hàm số y f x . Có bao nhiêu giá trị
nguyên dương của tham số m để hàm số y f x 1 m có 5 điểm
cực trị?
A. 2.
B. 3.
C. 1.
D. 0.
Câu 18: Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x x 3 2 x 2
x3 2 x ,
với mọi x . Hàm số
y f 1 2018 x có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?
A. 9.
B. 2022.
C. 11.
D. 2018.
Câu 19: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y x 4 2 m 2 x 2 2 m có ba điểm cực trị A, B,
C sao cho O, A, B, C là các đỉnh của một hình thoi (với O là gốc tọa độ).
A. m 1.
B. m 1.
C. m 2.
D. m 3.
Câu 20: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên tập R. Hàm
số y f ' x có đồ thị như hình bên. Hàm số y f 1 x 2
đạt cực đại tại điểm:
A. x 1.
B. x 3.
C. x 0.
D. x 2.
3
Câu 21: Số nguyên bé nhất của tham số m sao cho hàm số y x 2 mx 2 5 x 3 có 5 điểm cực trị là:
A. -2.
B. 2.
C. 5.
D. 0.
Câu 22: Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên R, có đồ thị f ' x
như hình vẽ. Xác định điểm cực tiểu của hàm số g x f x x.
A. Không có điểm cực tiểu.
B. x 2.
C. x 0.
D. x 1.
4
Câu 23: Biết rằng đồ thị hàm số y x 4 2 mx 2
7
có ba điểm cực trị
2
là A, B, C và tam giác ABC nhận gốc tọa độ làm trực tâm. Tìm m.
A. m 4.
B. m 1.
C. m 2.
D. m 3.
Câu 24: Cho hàm số f x x 3 3 x 2 m với m 5;7 là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để
hàm số f x có đúng 3 điểm cực trị?
A. 8.
B. 13.
C. 10.
D. 12.
a b 1
Câu 25: Cho hàm số f x x 3 ax 2 bx 2 thỏa mãn
. Số điểm cực trị của hàm số
3 2 a b 0
y f x bằng:
A. 5.
B. 9.
C. 2.
D. 11.
Câu 26: Cho hàm số y x 4 4 mx 2 4 có đồ thị hàm số (Cm). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để
các điểm cực trị của (Cm) thuộc các trục tọa độ.
A. m 0.
1
B. m .
2
C. m 0.
1
D. m 0 hoặc m .
2
1
Câu 27: Cho hàm số y mx 3 3mx 2 2 m 1 x m 3 có đồ thị (C) và điểm M ;4 . Giả sử đồ thị
2
hàm số có hai cực trị là A, B. Khi đó khoảng cách lớn nhất từ M đến đường thẳng AB là:
A. 2 3.
B. 2 2.
C.
2.
D. 1.
Câu 28: Cho hàm số y x 3 1 2 m x 2 2 m 1 x m 2. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao
cho đồ thị của hàm số đã cho có 2 điểm cực trị, đồng thời điểm cực tiểu nhỏ hơn 1 là
7
A. ; 1 ; .
5
7
B. ; .
5
5 7
C. ; 1 ; .
4 5
5
D. ; 1 ; .
4
5
Câu 29: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên R.
Đồ thị hàm số y f ' x như hình vẽ. Số điểm cực trị của
hàm số g x f x 4 x là
A. 2.
C. 1
B. 3.
.
D. 4.
Câu 30: Cho hàm số y f x xác định trên R và có bảng biến thiên như sau:
x
f ' x
1
+
f x
0
2
-
0
+
0
-
-1
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y f x m có 11 điểm cực trị
A. m 0.
B. m 0.
C. 0 m 1.
D. 0 < m < 1.
6
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
1.D
2.B
3.D
4.D
5.C
6.B
7.C
8.C
9.C
10.A
11.A
12.A
13.A
14.D
15.C
16.A
17.B
18.A
19.A
20.D
21.B
22.D
23.C
24.C
25.D
26.A
27.C
28.C
29.C
30.D
Câu 1: Chọn D.
Phương pháp:
Vẽ đồ thị hàm số hoặc BBT và dựa vào đó để kết luận số điểm cực trị của hàm số.
Cách giải:
Ta có đồ thị hàm số y x 2 3 x 5 có dạng:
Quan sát đồ thị hàm số ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị.
Câu 2: Chọn B.
Phương pháp:
+ Xác định đồ thị hàm số y f x 1
+ Áp dụng tính chất: Số cực trị của đồ thị hàm số y f x bằng tổng số cực trị của đồ thị hàm số
y f x và số giao điểm (không phải là cực trị) của đồ thị hàm số y f x với Ox.
Cách giải
Tịnh tiến đồ thị hàm số y f x sang phải 1 đơn vị, ta được đồ thị hàm số y f x 1 .
Do đó đồ thị hàm số y f x 1 có 3 cực trị và có 4 giao điểm với Ox.
Để được đồ thị hàm số y f x m với m nguyên dương ta phải tịnh tiến đồ thị hàm số y f x 1 lên
trên m đơn vị
Để thỏa mãn điều kiện đề bài thì đồ thị hàm số y f x 1 m cắt Ox tại đúng 2 điểm (không phải là điểm
cực trị của chính nó), do đó 3 m 6 S 3;4;5 .
Tổng giá trị các phần tử của S là 12.
7
Câu 3: Chọn D.
Phương pháp:
Hàm số y g x đạt cực đại tại điểm x0 g ' x0 0 và qua điểm x0 thì g ' x đổi dấu từ dương sang
âm.
Cách giải:
x0 1
Ta có: g ' x f ' x 1 0 f ' x0 1 x0 2
x0 1
g ' x 0 f ' x 1 x ; 1 2;
g ' x 0 f ' x 1 x 1;1 1;2
Ta có BBT:
x
g' x
-1
+
0
1
-
0
2
-
0
+
g x
Ta thấy qua x0 1 thì g’(x) đổi dấu từ dương sang âm, qua x0 =1 thì g’(x) không đổi dấu (luôn mang dấu
âm) và qua x0 = -2, g’(x) đổi dấu từ âm sang dương.
Vậy x0 = -1 là điểm cực đại của hàm số y g x .
Câu 4: Chọn D.
Phương pháp:
Tính đạo hàm của hàm số và tìm nghiệm của phương trình y ' 0 dựa vào bài toán tương giao và đồ thị
hàm số y f x Số điểm cực trị của hàm số cần tìm.
Cách giải:
f x
f x
f x
f x
Xét hàm số g x 2 3 g ' x f ' x .2 . ln 2 f ' x .3 . ln 3; x R
f ' x 0
f ' x 1(1)
f ' x 0
ln 3
2 f x ln 3
.
Ta có g ' x 0
f x log 2
2
2 f x . ln 2 3 f x . ln 3
ln 2
ln 2
3
3
Dựa vào đồ thị hàm số y f x , ta thấy:
Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt (vì hàm số y f x có 3 điểm cực trị). Phương trình (2) vô
8
nghiệm vì đường thẳng y log 2
3
ln 3
1 không cắt ĐTHS.
ln 2
Vậy phương trình g ' x 0 có 3 nghiệm phân biệt hay hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.
Câu 5: Chọn C.
Phương pháp:
Tìm tọa độ các điểm cực trị của hàm số trùng phương sau đó dựa vào tính chất của tứ giác nội tiếp đường
tròn để tìm được tham số m
Cách giải:
x 0
Ta có y ' 4 x 3 4 m 2 x 0 x x 2 m 2 0 2
(*).
x m 2
Để hàm số có 3 điểm cực trị m 0. Khi đó, gọi A 0; m 4 3 , B m;3 , C m;3 là 3 điểm cực trị.
Vì y A yB yC nên yêu cầu bào toán Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn (C).
AB AC
Và
suy ra OA là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
OB OC
OA là đường kính của đường tròn (C) OB. AB 0 (I).
Mà AB m; m 4 , OB m;3 suy ra I m.m 3m 4 0 m 2
1
1
m
.
3
3
Câu 6: Chọn B.
Phương pháp:
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số để kết luận điểm cực trị
Cách giải:
Xét hàm số g x f x
x3
x 2 x 2, có g ' x f ' x x 2 2 x 1; x R
3
2
Ta có g ' x 0 f ' x x 1 (*)
2
Từ đồ thị hàm số f ' x ta thấy: f ' 0 1 0 1 nên x 0 là một nghiệm của g ' x .
2
f ' 1 0 1 1 x 1 là nghiệm của g ' x .
2
f ' 2 1 2 1 x 2 là nghiệm của g ' x .
Vậy phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt x1 0; x2 1; x3 2.
2
Vẽ đồ thị hàm số y x 1 trên cùng mặt tọa độ với y f ' x ta thấy:
9
Trong khoảng (0;1) thì đồ thị hàm số y f ' x nằm phía trên đồ thị hàm số y x 1
2
nên
2
nên
g ' x 0, x 0;1 .
Trong khoảng (1;2) thì đồ thị hàm số y f ' x nằm phía trên đồ thị hàm số y x 1
g ' x 0, x 1;2 .
Vậy x 1 là điểm cực đại của hàm số y g x .
Câu 7: Chọn C.
Phương pháp:
Dựa vào điều kiện để một điểm là điểm cực trị của hàm số
Cách giải:
x 0; x 1
Ta có f ' x 0 x 2 x 1 x 2 2 mx 5 0 2
.
x 2 mx 5 0(*)
Vì f ' x không đổi dấu qua nghiệm x = 0 nên hàm số khôn đạt cực trị tại x 0.
Do đó, hàm số y f x có đúng một cực trị trong các trường hpwj sau:
1. Phương trình (*) vô nghiệm. Khi đó ' m 2 5 0 5 m 5.
' m 2 5 0
2. Phương trình (*) có nghiệm kép bằng -1. Khi đó
(hệ vô nghiệm).
12 2 m 5 0
3. Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm bằng -1.
' m 2 5 0
m 2 5 0
m 3.
Khi đó
12 2 m 5 0
m 3
Vậy có tất cả 6 giá trị nguyên m cần tìm.
Câu 8: Chọn C.
Phương pháp:
Tìm tọa độ ba điểm cực trị của đồ thị hàm số, tính diện tích và tìm giá trị lớn nhất.
Cho hàm số: y ax 4 bx 2 c a 0 có 3 điểm cực trị A, B và C.
Khi đó công thức tính nhanh diện tích tam giác ABC là: S ABC
b5
32 a3
.
Cách giải:
Ta có y ' 4 x 3 4 m m 2 x, x .
10
y ' 0 4 x 3 4m m 2 x 0
x 0
4x x2 m m 2 0
.
2
g
x
x
m
m
2
0(*)
Để hàm số có 3 điểm cực trị khi (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 m m 2 0 2 m 0
Gọi A 0; m 2 , B m 2 2 m ; yB , C m 2 2 m ; yC là ba điểm cực trị.
Dựa vào công thức tam giác cực trị của hàm trùng phương ta có diện tích ABC là:
SABC m 2 2 m
2
m 2 2 m 1 m 1
2
2 2
2
1 m 1 .
2
Mà m 1 0; m 1 m 1 1 S 1.
Dấu “=” xảy ra khi m 1. (tm)
Câu 9: Chọn C.
Phương pháp:
Đặt g x f x 2 8 x m , tính g ' x và giải phương trình g ' x = 0, tìm điều kiện để phương trình có 5
nghiệm phân biệt và qua các nghiệm đó g ' x đổi dấu.
Cách giải:
x 4
Ta có: g ' x 2 x 8 . f ' x 2 8 x m 0
. (I)
2
f ' x 8 x m 0 (*)
Mà f ' x x 1
2
x2 2 x x 12 x x 2 ;x R.
x 2 8 x m 1 0 (1)
2
(2) .
Suy ra * x 2 8 x m 1 x 2 8 x m x 2 8 x m 2 0 x 2 8 x m 0
x 2 8 x m 2 0 (3)
Qua các nghiệm của phương trình (1) (nếu có) thì g ' x đều không đổi dấu. Do đó ta không xét phương
trình (1).
Để hàm số đã cho có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (2);(3) có 2 nghiệm phân biệt khác 4.
16 m 0
16 m 2 0
m 16
16
m
0
18 m 0
11
Kết hợp m Z có 15 giá trị m cần tìm.
Câu 10: Chọn A.
Phương pháp:
Suy ra cách vẽ của đồ thị hàm số y f x 1 m và thử các trường hợp và đếm số cực trị của đồ thị hàm
số. Một điểm được gọi là cực trị của hàm số nếu tại đó hàm số liên tục và đổi chiều.
Cách giải:
Đồ thị hàm số y f x 1 nhận được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y f x sang phải 1 đơn vị nên
không làm thay đổi tung độ các điểm cực trị.
Đồ thị hàm số y f x 1 m nhận được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y f x 1 lên trên m đơn vị
nên ta có: yCD 2 m; yCT 3 m, yCT 6 m
Đồ thị hàm số y f x 1 m nhận được bằng cách từ đồ thị hàm số y = f\left( x-1 \right)+m lấy đối xứng
phần đồ thị phía dưới trục hoành qua trục hoành và xóa đi phần đồ thị phía dưới trục hoành.
12
Để đồ thị hàm số có 5 cực trị
6 m 0 3 m 3 m 6 m 3;4;5
S 3;4;5 3 4 5 12.
Câu 11: Chọn A.
Phương pháp:
Tính g ' x , tìm các nghiệm của phương trình g ' x 0.
Điểm x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y g x khi và chỉ khi g ' x0 0 và qua điểm x x0 thì
g ' x đổi dấu từ âm sang dương.
Cách giải:
x 1
3
3
3
2 3
g ' x f ' x x x 0 f ' x x x x 1
2
2
2
2
x 3
2
Khi x 1 ta có: f ' x x 2
f ' x x2
3
3
x g ' x 0, khi x 1 ta có
2
2
3
3
x g ' x 0
2
2
Qua x 1, g ' x đổi dấu từ dương sang âm x 1 là điểm cực đại của
đồ thị hàm số y g x
chứng minh tương tự ta được x 1 là điểm cực tiểu và x 3 là điểm cực đại của đồ thị hàm số
y g x .
Câu 12: Chọn A.
Phương pháp:
Tìm tọa độ điểm cực trị của đồ thị hàm số trùng phương và tính diện tích tam giác
Cách giải:
TXĐ: D = R.
Ta có y ' 4 x 3 4 1 m 2 x; x R.
x 0
Phương trình y ' 0 2
.
x 1 m 2 (*)
Hàm số có 3 điểm cực trị * có 2 nghiệm phân biệt khác 1 m 2 0 1 m 1.
13
x 0 y m 1
2
Khi đó y ' 0 x 1 m 2 y m 2 1 m 1
2
x 1 m2 y m2 1 m 1
2
2
Gọi A 0; m 1 , B 1 m 2 ; m 2 1 m 1 ,C 1 m 2 ; m 2 1 m 1 là ba điểm cực trị. Tam
giác ABC cân tại A.
2
2
2
Trung điểm H của BC là H 0; m 2 1 m 1 AH m 2 1 1 m 2
Và BC 2 1 m 2
2
1
1 m2
Diện tích tam giác ABC là SABC . AH. BC 1 m 2
2
Mà 1 m 2 1; m R suy ra
1 m2
5
1 m2
5
1 SABC 1.
Vậy Smax = 1. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi m = 0.
Câu 13: Chọn A.
Phương pháp:
Tính đạo hàm của hàm hợp, giải phương trình đạo hàm để tìm số điểm cực trị
Cách giải:
x x1 0
Dựa vào hình vẽ, ta thấy f ' x 0 có 3 nghiệm phân biệt
.
x x2 ; x3 0
f x 2018khix 0
Ta có: g x f x 2018
.
f
x
2018
khix
0
f ' x khix 0
g ' x
f ' x khix 0
x x2
f ' x 0khix 0
x x3
g ' x 0
x x2
f ' x 0khix 0
x x3
Do đó g ' x 0 bị tiệt tiêu tại 4 điểm x2 , x2 , x3 , x3 và không có đạo hàm tại x 0.
14
Vậy hàm số đã cho có 5 điểm cực trị.
Câu 14: Chọn D.
Phương pháp:
Tính đạo hàm của hàm trị tuyệt đối, giải phương trình đạo hàm bằng 0 để biện luận số điểm cực trị
Cách giải:
1
Ta có y x 4 x 3 x 2 m y '
2
4 x3 3x2 x x 4 x3 12 x2 m
1
x x x2 m
2
4
3
; x D.
1
4 x 3 3x 2 x 0
x 1;0; 4
Phương trình y ' 0
.
x 4 x3 1 x2 m 0
1 2
4
3
2
m f x x x 2 x
1
Để hàm số có 5 điểm cực trị m f x có 2 nghiệm phân biệt khác 1;0; . (*)
4
1
1
Xét hàm số f x x 4 x 3 x 2 , có f ' x 4 x 3 3 x 2 x; f ' x 0 x 1;0; .
4
2
1
3
1
.
Tính f 1 ; f 0 0; f
2
256
4
m 0
m 0
.
Khi đó *
m 1 ; 3
m 3 ; 1
256 2
2 256
Kết hợp với m và m 5;5 , ta được m 5; 4; 3; 2; 1;0 .
Vậy có 6 giá trị nguyên m cần tìm.
Câu 15: Chọn C.
Phương pháp:
Công thức đạo hàm hàm hợp: y f u x y ' f ' u x .u ' x .
Cách giải:
15
x 2 2
x2 0
x 0
f ' x2 0
2
2
2
g x f x g ' x f ' x .2 x 0
x 1 x 1
x 0
2
x 3
x 3
x 0
Bảng xét dấu:
x
3
-1
0
1
3
f ' x2
+
0
-
0
+
0
+
0
-
0
+
x
|
-
0
-
0
+
|
+
|
+
g ' x
0
+
0
-
0
+
0
-
0
+
Vậy, g x f x 2 đạt cực trị tại 5 điểm x 0; x 1; x 3.
Câu 16: Chọn A.
Phương pháp:
Xác định tọa độ ba điểm cực trị (biểu diễn thông qua tham số m)
Dựa vào tính chất trực tâm để tìm giá trị của m.
Cách giải:
y x 4 2 mx 2 m 1 y ' 4 x 3 4 mx
x 0
y' 0 2
x m
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị m 0. Khi đó, tọa độ 3 điểm cực trị:
A 0; m 1 , B m ; m 2 m 1 , C
m ; m2 m 1
OA. BC 0(1)
O là trực tâm tam giác ABC
OB. AC 0(2)
Ta có: OA 0; m 1 , OB m ; m 2 m 1 , BC 2 m ;0 , AC
1 0.2
2
m ; m2
m m 1 .0 0 (luôn đúng)
m . m m 2 m 1 m 2 0 m m 4 m3 m 2 0 m m3 m 2 m 1 0
16
m 0(ktm)
m m 1 m 2 1 0
.
m 1(tm)
Vậy m = 1.
Câu 17: Chọn B.
Phương pháp:
Số cực trị của hàm số y f x 1 m bằng số cực rị của hàm số y f x cộng với số giao điểm của đồ
thị hàm số y f x 1 và đường thẳng y m.
Cách giải:
Nhận thấy hàm số y f x có 3 điểm cực trị hàm số y f x 1 cũng có ba điểm cực trị. Do đó để
hàm số y f x 1 m có 5 điểm cực trị thì đồ thị hàm số y f x 1 cắt đường thẳng y m tại 5 – 3
= 2 điểm phân biệt khác các điểm cực trị của hàm số y f x 1 .
m 2
m 2
6 m 3 3 m 6
Mà m Z m 3;4;5 , có 3 giá trị của m thỏa mãn.
Câu 18: Chọn A.
Phương pháp:
Số điểm cực trị của hàm số y g x là m + n, với m là số điểm cực trị của đồ thị hàm số y g x , n là số
nghiệm của phương trình g x 0 (khác điểm cực trị).
Cách giải:
Ta có f ' x x 3 2 x 2
x3 2 x x3 x 2 x2 2 ;x .
Số điểm cực trị của hàm số y g x f 1 2018 x là tổng
Số nghiệm phương trình g ' x 0 2018. f ' 1 2 18 x 0
có 4 điểm. Số nghiệm của phương
có tối đa 5 nghiệm vì đạo hàm có 4 nghiệm.
trình f 1 2018 x 0
Vậy hàm số đã cho có 9 điểm cực trị.
Câu 19: Chọn A.
Phương pháp:
Xác định tọa độ các điểm cực trị và tìm điều kiện để O, A, B, C là các đỉnh của một hình thoi.
Cách giải:
y x 4 2m2 x 2 2m y ' 4 x 3 4m2 x
17
x 0
y ' 0 4 x 3 4m2 x 0 2
.
x m 2
Để hàm số có 3 điểm cực trị thì m 0. Khi đó, tọa độ 3 điểm cực trị:
A m; m 4 2 m , B 0;2 m , C m; m 4 2 m
Do AC luôn nhận Oy là trục đối xứng và O, B Oy nên để O, A, B, C là các đỉnh của một hình thoi thì OA
= AB.
OA2 AB 2 m 2 m 4 2 m
2
m2 m 4 2m 2m
2
m 4 2m
2
m 4 2m m 4
m8
m 4 2 m m 4
m 0
m 0( L)
4
.
m m 0
m 1( TM )
Vậy, m = 1.
Câu 20: Chọn D.
Phương pháp:
Hàm số đạt cực đại tại x x0 khi y ' đổi dấu từ dương sang âm tại điểm đó.
Cách giải:
y f 1 x 2 y ' 2 x. f ' 1 x 2
x 0
x 0
x 0
2
y' 0
1
x
1
2
f ' 1 x 0
x 2
2
1 x 3
Bảng xét dấu y ' :
x
2
x
f ' 1 x2
|
+
0
+
0
Vậy, hàm số y f 1 x 2 đạt cực đại tại điểm x
0
-
y ' 2 x. f ' 1 x 2
2
0
+
|
+
-
|
-
0
+
-
0
+
0
-
2.
Câu 21: Chọn B.
Phương pháp:
18
3
Đánh giá số điểm cực trị của hàm số y x 2 mx 2 5 x 3 qua hàm số y x 3 2 mx 2 5 x 3
Cách giải:
' 0
3
Xét hàm số y x 2 mx 2 5 x 3 có 5 điểm cực trị thì
(x1, x2 là nghiệm của phương trình
0 x1 x2
y ' 0)
15
4 m 2 15 0
m
2
15
4m
0
15 m
2
3
m
2
5
3 0
m 0
3
Mà m Z m 2;3;4;... Số nguyên bé nhất của tham số m sao cho hàm số y x 2 mx 2 5 x 3
có 5 điểm cực trị là 2.
Câu 22: Chọn D.
Phương pháp:
Điểm cực tiểu của hàm số y g x thỏa mãn g ' x 0 và qua đó g ' x đổi dấu từ âm sang dương.
Cách giải:
x 0
Ta có g ' x f ' x 1 0 f ' x 1 x 1
x 2
x 0 f ' x 1 f ' x 1 0 g ' x 0
1 x 0 f ' x 1 f ' x 1 0 g ' x 0
Qua điểm x 0 thì g ' x không đổi dấu x = 0 không là cực trị của hàm số y g x .
0 x 1 f ' x 1 f ' x 1 0 g ' x 0
1 x 2 f ' x 1 f ' x 1 0 g ' x 0
Qua điểm x 1 thì g ' x đổi dấu từ âm sang dương x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số y g x .
1 x 2 f ' x 1 f ' x 1 0 g ' x 0
x 2 f ' x 1 f ' x 1 0 g ' x 0
Qua điểm x 2 thì g ' x đổi dấu tù dương sang âm x = 2 là điểm cực đại của hàm số y g x .
Vậy hàm số g x f x x có 1 điểm cực tiểu.
19
Câu 23: Chọn C.
Phương pháp:
+) Giải phương trình y ' 0 tìm tọa độ các điểm A, B, C.
+) O là trực tâm của tam giác ABC AB.OC 0.
Cách giải:
TXĐ: D = R.
x 0
Ta có y ' 4 x 3 4 mx 0 2
x m
Để hàm số có 3 điểm cực trị m 0.
7
7
7
A 0; ; B m ; m 2 ;C m ; m 2
2
2
2
7
AB m ; m 2 ; OC m ; m 2
2
Do O là trực tâm tam giác ABC AB.OC 0.
7
m m 4 m 2 0 m 2 (Do m > 0).
2
Câu 24: Chọn C.
Cách giải:
Quan sát đồ thị hàm số y x 3 3 x 2 , ta thấy:
+) Nếu m = 0 thì hàm số f x x 3 3 x 2 m x 3 3 x 2 đạt cực trị tại 3
điểm : x 0, x 2, x 3.
+) Nếu m = 4 thì hàm số f x x 3 3 x 2 m x 3 3 x 2 4 đạt cực trị tại 3
điểm : x 0, x 2, x 1.
+) Nếu m 0, m 4 thì số cực trị của hàm số f x x 3 3 x 2 m bằng
tổng của số giao điểm của y x 3 3 x 2 với Ox và 2 (là 2 cực trị của hàm số
y x 3 3x 2 )
Do đó, để hàm số f x x 3 3 x 2 m có đúng 3 điểm cực trị thì đồ thị hàm số y x 3 3 x 2 với Ox
m 0
m 4
20
m 0
Vậy, để hàm số f x x 3 3 x 2 m có đúng 3 điểm cực trị thì
.
m 4
Mà m 5;7 m 5; 4;0;1;2;3;4;5;6;7 . Có 10 giá trị m thỏa mãn.
Câu 25: Chọn D.
Cách giải:
f x x 3 ax 2 bx 2 f 1 a b 1
f ' x 3 x 2 2 ax b f ' 1 3 2 a b
f 1 0
a b 1
Theo đề bài,
3 2 a b 0 f ' 1 0
Khi đó, đồ thị hàm số y f x có dạng như hình vẽ bên.
Như vậy, hàm số y f x có tất cả 11 cực trị.
Câu 26: Chọn A.
Phương pháp:
Giải phương trình y ' 0 tìm các điểm cực trị của hàm số.
Cách giải:
TXĐ: D = R.
x 0 A 0; 4 Oy
y ' 4 x 3 8mx 4 x x 2 2 m 0
x 2 2 m
TH1: 2 m 0 m 0 Đồ thị hàm số có 1 điểm cực trị thuộc trục tung (tm).
TH2: 2 m 0 m 0
x 2 2 m x 2 m 0m 0 y 4 m 2 4
A 0; 4 Oy
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị trong đó B 2 m ; 4 m 2 4
C 2 m ; 4 m 2 4
Ta có
2 m 0 B, C Oy
4 m 2 4 0m 0 B, C Ox
m 0 không thỏa mãn.
Câu 27: Chọn C.
21
Phương pháp:
+) Lấy y chia y ' lấy phần dư, xác định đường thẳng (d) đi qua hai điểm cực trị.
+) Tính khoảng cách từ điểm M đến (d) theo m, sử dụng phương pháp hàm số tìm GTLN của khoảng cách
đó.
Cách giải:
Ta có: y ' 3mx 2 6 mx 2 m 1
m 1
Để hàm số có hai điểm cực trị 9m 2 3m 2 m 1 0 3m 2 3m 0
m 0
Lấy y chia y’ lấy phần dư, ta tìm được phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là:
y
2 m 2
1
10
x m 2 m 2 x 3 y m 10 0 d
3
3
3
m 1 12 m 10
d M; d
Đặt f m
2
2m 2 9
2m 1
4 m 2 8m 13
4m2 4m 1
4 m 2 8m 13
4m2 4m 1
m 1
với
4 m 2 8m 13
m 0
1
m
48m 96 m 60
2
f 'm
0
2
5
m
4 m 2 8m 13
2
2
Lập BBT:
m
f 'm
f m
1
2
0
0
5
2
1
+
0
1
+
-
2
1
1
1/13
0
max f m 2 d A; d max 2.
Câu 28: Chọn C.
Cách giải:
22
y x 3 1 2 m x 2 2 m x m 2 y ' 3x 2 2 1 2 m x 2 m
5
2
Để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị thì ' 0 1 2 m 3. 2 m 0 4 m 2 m 5 0 m .
4
Giả sử x1, x2 , x1 x2 là nghiệm của phương trình y ' 0. Theo Vi-et: x1 x2
4m 2
2m
, x1 x2
3
3
Do a = 1 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = x2.
x1 1 x2 1 0
x1 x2 x1 x2 1 0
The đề bài, ta có: điểm cực tiểu nhỏ hơn 1 x1 x2 1
x1 1 x2 1 0 x1 x2 2 0
2 m 4m 2
1 0
5m 7 0
7
3
3
m
5
4m 8 0
4m 2 2 0
3
Vậy, để đồ thị của hàm số đã cho có 2 điểm cực trị, đồng thời điểm cực tiểu nhỏ hơn 1 thì
5 7
m ; 1 ; .
4 5
Câu 29: Chọn C.
Phương pháp:
Nếu đạo hàm của hàm số đổi dấu khi đi qua x = a thì a là một cực trị của hàm số.
Cách giải:
g ' x f ' x 4
Ta tịnh tiến đồ thị hàm số y f ' x xuống 4 đơn vị dọc theo trục Oy sẽ được đồ thị hàm số
g ' x f ' x 4 . Nhận thấy đồ thị hàm số g ' x f ' x 4 chỉ cắt Ox tại hai điểm nhưng tại điểm x = -1
thì không đổi dấu hàm số g x chỉ có 1 cực trị.
Câu 30: Chọn D.
Phương pháp:
Cho hàm số y f x liên tục trên R. Ta dựng:
+) Đồ thị hàm số y f x bằng cách bỏ toàn bộ phần đồ thị y f x ở phần bên trái trục tung và lấy đối
xứng phần bên phải . Như vậy nếu đồ thị hàm số y f x có n điểm cực trị ở phần bên phải trục tung thì
đồ thị hàm số y f x sẽ có 2n + 1 điểm cực trị ( do lấy đối xứng + 1 điểm cực trị nằm ở trục tung .
23
+) Đồ thị hàm số y f x bằng cách bỏ toàn bộ phần đồ thị y f x nằm bên dưới trục hoành, lấy đối
xứng phần bỏ đi qua trục hoành. Vậy nếu đồ thị hàm số y f x có n điểm cực trị thì đồ thị hàm số
y f x sẽ có n + p điểm cực trị với p là số gaio điểm của đồ thị hàm số y f x với trục Ox.
Cách giải:
Xét đồ thị y f x m khi m thay đổi thì đồ thị hàm số sẽ tịnh tiến dọc theo trục Oy. Từ bảng biến thiên
ta thấy y f x đồ thị hàm số đã cho có 2 điểm cực trị nằm bên phải trục Oy. Vậy nếu giả sử y f x m
cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ dương thì đồ thị hàm số y f x m sẽ có 5 điểm cực trị (theo lí thuyết
phần phương pháp), suy ra đồ thị hàm số y f x m sẽ có 11 điểm cực trị (theo lí thuyết phần phương
pháp). Như vậy ta tìm điều kiện của m để phương trình f x m 0 có 3 nghiệm dương phân biệt. Từ bảng
biến thiên dễ thấy với 0 < m < 1 thỏa mãn.
24
