tailieulovebook com bài tập đơn điệu cực trị của hàm số

Chuyên đ gi i tích 12 - Ngô In 2016

Your dream – Our mission

BÀI T P TÍNH
N I U VÀ C C TR C A HÀM S
A/- KI N TH C C B N.
I. Tính đ n đi u c a hàm s .
1). nh ngh a: Cho hàm s y = f ( x) xác đ nh trên K
 Hàm s y = f ( x) đ ng bi n trên K n u "x1, x2 Î K : x1 < x2  f ( x1 ) < f ( x2 )
 Hàm s y = f ( x) ngh ch bi n trên K n u "x1, x2 Î K : x1 < x2  f ( x1 ) > f ( x2 )
Chú ý: K là m t kho ng ho c đo n ho c n a kho ng
2). nh lý: Cho hàm s y = f ( x) xác đ nh trên K
a) N u f ¢( x) > 0, "x Î K thì hàm s f ( x) đ ng bi n trên K
b) N u f ¢( x) < 0, "x Î K thì hàm s f ( x) ngh ch bi n trên K
nh lý m r ng: Gi s hàm s y = f ( x) có đ o hàm trên K
a) N u f ¢( x) ³ 0, "x Î K và f ¢( x) = 0 t i m t s h u h n đi m thì hàm s đ ng bi n trên K
b) N u f ¢( x) £ 0, "x Î K và f ¢( x) = 0 t i m t s h u h n đi m thì hàm s ngh ch bi n trên K
c) N u f ¢( x) = 0, "x Î K thì f ( x) không đ i trên K
3). Hai d ng toán c b n.
D ng 1. Tìm các kho ng đ n đi u c a hàm s
Quy t c tìm:
 Tìm t p xác đ nh c a hàm s
 Tính đ o hàm f ¢( x) . Tìm các đi m xi (i = 1, 2,..., n) mà t i đó đ o hàm b ng 0 ho c không xác
đ nh
 L p b ng bi n thiên
 Nêu k t lu n v các kho ng đ ng bi n và ngh ch bi n c a hàm s .
D ng 2. Tìm các giá tr m đ hàm s đ n đi u (đ ng bi n, ngh ch bi n) trên kho ng cho
tr c
Ph ng pháp: Xét hàm s y = f ( x) trên K
 Tìm t p xác đ nh c a hàm s (n u c n). Tính f ¢( x)

 Nêu đi u ki n c a bài toán:
+ Hàm s đ ng bi n trên K  f ¢( x) ³ 0, "x Î K
+ Hàm s ngh ch bi n trên K  f ¢( x) £ 0, "x Î K
 T đi u ki n trên s d ng các ki n th c v d u c a nh th c b c nh t, tam th c b c hai đ tìm
m
Chú ý: Cho hàm s f ( x)  ax 2  bx  c  a  0 
a  0
  0

 f ( x)  0, x    

a  0
  0

 f ( x)  0, x    

II. C c tr c a hàm s .
1). nh lí 1. Gi s hàm s y = f ( x) liên t c trên kho ng K  ( x0  h; x0  h) và có đ o hàm trên

K ho c K \ { x0 } (h > 0) .
a) f ¢( x) > 0 trên ( x0  h; x0 ) và f ¢( x) < 0 trên ( x0 ; x0  h) thì x0 là m t đi m C c a f ( x) .
b) f ¢( x) < 0 trên ( x0  h; x0 ) và f ¢( x) > 0 trên ( x0 ; x0  h) thì x0 là m t đi m CT c a f ( x) .
Nh n xét: Hàm s có th đ t c c tr t i nh ng đi m mà t i đó đ o hàm không xác đ nh.
Qui t c 1 tìm c c tr hàm s (d a vào đ nh lý 1).
 Tìm t p xác đ nh.
 Tính f ¢( x) . Tìm các đi m t i đó f ¢( x) = 0 ho c f ¢( x) không xác đ nh.
 L p b ng bi n thiên.
Trang 1/9 – tailieulovebook.com

Chuyên đ gi i tích 12 - Ngô In 2016

Your dream – Our mission

 T b ng bi n thiên d a vào đ nh lý 1 suy ra các đi m c c tr .
2). nh lí 2. Gi s y = f ( x) có đ o hàm c p 2 trong ( x0  h; x0  h) (h > 0) .
a) N u f ¢( x0 ) = 0, f ¢¢( x0 ) > 0 thì x0 là đi m c c ti u.
b) N u f ¢( x0 ) = 0, f ¢¢( x0 ) < 0 thì x0 là đi m c c đ i.
Qui t c 2 tìm c c tr hàm s (d a vào đ nh lý 2).
 Tìm t p xác đ nh.
 Tính f ¢( x) . Gi i ph ng trình f ¢( x) = 0 và kí hi u xi là nghi m
 Tìm f ¢¢( x) và tính f ¢¢( xi ) .
 D a vào d u c a f ¢¢( xi ) suy ra tính ch t c c tr c a xi .
3). Các d ng toán th ng g p
D ng 1. Tìm c c tr c a hàm s cho tr c.
Ph ng pháp: D a vào quy t c 1 ho c quy t c 2
D ng 2. i u ki n đ hàm s đ t c c tr
Ph ng pháp:
 Tìm t p xác đ nh D c a hàm s
 Tính f ¢( x)
 Hàm s đ t c c tr t i x0 Î D  f ¢( x) đ i d u khi qua x0
M t s chú ý:
 Hàm s y = ax3 + bx 2 + cx = d , a ¹ 0 có c c tr (c c đ i và c c ti u)  y ¢ = 0 có hai
nghi m phân bi t
 Xét hàm s trùng ph ng y = ax 4 + bx + c, a ¹ 0
éx = 0
y ¢ = 4ax3 + 2bx = 2 x(2ax 2 + b), y ¢ = 0  êê
2
(1)
êë 2ax + b = 0

+ Hàm s có ba c c tr  (1) có hai nghi m phân bi t khác 0  ab < 0
+ Hàm s có m t c c tr  (1) có nghi m kép ho c vô nghi m ho c có nghi m x = 0
é ab > 0
ê
êëb = 0
B/-M T S VÍ D MINH H A.
VD1. Cho hàm s y   x3  3 x 2  1 . Tìm các kho ng đ n đi u và c c tr c a hàm s
GI I
 TX : D =  .
éx = 0
 y ¢ = -3 x 2 + 6 x ; y ¢ = 0  -3x 2 + 6 x = 0  ê
êë x = 2

 Gi i h n: lim y  ,
x 

lim y  

x 

 B ng bi n thiên:
x

0

2

y'

0

0

y

-1
CT

3
C
Trang 2/9 – tailieulovebook.com


Chuyên đ gi i tích 12 - Ngô In 2016

Your dream – Our mission

Hàm s đ ng bi n trên (0; 2); hàm s ngh ch bi n trên (;0) và (2; ) .
Hàm s đ t c c đ i t i x = 2, yC = 3; hàm s đ t c c ti u t i x = 0, yCT = -1 .
VD2. Cho hàm s y   x 4  3x 2  1 . Tìm các kho ng đ n đi u và c c tr c a hàm s .
GI I
 TX : D =  .
éx = 0
ê
 y ¢ = -4 x 3 + 6 x ; y ¢ = 0  -4 x 3 + 6 x = 0  ê
êx =  6
2
ëê
 Gi i h n: lim y  , lim y  
x 

x 

 B ng bi n thiên
x

0
0

y'

0

0
1
CT

y
C

C




 6

6
6
6 

;0  và 
;   .
Hàm s đ ng bi n trên  ; 
 ; ngh ch bi n trên  
 và  0;
2 
 2

 2 

 2 
6
13
Hàm s đ t c c đ i t i x  
, y  , Hàm s đ t c c ti u t i x = 0, yCT = 1
C
2
4

VD3. Cho hàm s y 

x
. Tìm các kho ng đ n đi u và c c tr c a hàm s .
x 1

GI I
 T p xác đ nh D   \ 1 .
 y¢ = -

1

< 0, "x Î D .
2
x
1
(
)
 Gi i h n: lim y = lim y = 1;
x-¥

lim y = -¥ ; lim y = +¥ .

x1-

x+¥

x1+

 BBT
x

1

y'
y

1
1

Hàm s ngh ch bi n trên các kho ng  ;1  và 1;   .

Hàm s không có c c tr
x3
VD4. Cho hàm s y = m 2 -1
+ (m + 1) x 2 + 3 x + 5 . Tìm m đ hàm s đ ng bi n trên  .
3
GI I
TX : D = 
o hàm: y ¢ = m 2 -1 x 2 + 2 (m + 1) x + 3

(

(

)

)

 N u m = 1 thì y ¢ = 4 x + 3
Trang 3/9 – tailieulovebook.com


Chuyên đ gi i tích 12 - Ngô In 2016

Your dream – Our mission

3
( lo i so v i yêu c u bài toán)
4
 N u m = -1 thì y ¢ = 3 > 0 "x Î  . Hàm s đ ng bi n trên  (nh n so v i ycbt) (1)
 N u m ¹ 1 thì hàm s đ ng bi n trên  khi và ch khi

ìïa = m 2 -1 > 0
ï
y ¢ ³ 0 "x Î   ïí
ïïD = (m + 1)2 - 3 m 2 -1 £ 0
ïî
é m < -1
ïìm < -1  m > 1 ì
ïm < -1  m > 1
 ïí 2
ê
ï
í
êë m ³ 2 (2)
ïïm - m - 2 ³ 0
ïïîm £ -1  m ³ 2
î
é m £ -1
T (1) và (2) suy ra hàm s đ ng bi n trên   ê
ëê m ³ 2
Hàm s đ ng bi n khi và ch khi y ¢ ³ 0  x ³

(

)

VD5. Cho hàm s y = -x3 - 3(2m + 1) x 2 - (12m + 5) x - 2 .
hàm s luôn luôn ngh ch bi n.
GI I
TX : D = 
o hàm: y ¢ = -3 x 2 - 6 (2m + 1) x - (12m + 5)

nh m i giá tr c a tham s m đ

2

Bi t s D¢ = 9 (2m + 1) - 3(12m + 5) = 36m 2 - 6
Vì h s a c a y ¢ là -3 < 0, "m nên hàm s luôn luôn ngh ch bi n  y ¢ £ 0 , "x Î 
6
6
£m£
6
6
6
6
£m£
V y các giá tr m c n tìm là: 6
6
1
VD6. nh a đ hàm s y = - x3 + (a -1) x 2 + (a + 3) x - 4 .
3
GI I
TX : D = 
o hàm: y ¢ = -x 2 + 2 (a -1) x + a + 3
Hàm s đ ng bi n trên kho ng (0;3)  y ¢ ³ 0, "x Î (0;3)
 D¢ £ 0  36m 2 - 6 £ 0  -

ng bi n trên kho ng (0;3)

 -x 2 + 2 (a -1) x + a + 3 ³ 0, "x Î (0;3) (1)
Xét b t ph ng trình (1)

(1)  x 2 + 2 x - 3 £ a (2 x + 1)

x2 + 2 x - 3
= g ( x)
x Î (0;3)  2 x + 1 > 0 nên (1)  a ³
2 x +1
Xét hàm s g ( x ) trên kho ng (0;3)

Có g ¢ ( x ) =

2 x2 + 2 x + 8
2

(2 x + 1)

> 0, "x Î (0;3)

Trang 4/9 – tailieulovebook.com


Chuyên đ gi i tích 12 - Ngô In 2016

Your dream – Our mission

BBT:
x

0

3

g'(x)
12
g(x)

7
-3

T BBT suy ra a ³ g ( x), "x Î (0;3)  a ³

12
7

12
7
3
2
nh m đ hàm s y = x + 3 x + (m + 1) x + 4m . Ngh ch bi n trên kho ng (-1;1)

V y, hàm s đ ng bi n trên kho ng (0;3)  a ³

VD7.
GI I
TX : D = 
o hàm: y ¢ = 3 x 2 + 6 x + m + 1
Hàm s ngh ch bi n trên kho ng (-1;1)  y ¢ £ 0, "x Î (-1;1)

 3 x 2 + 6 x + m + 1 £ 0, "x Î (-1;1) (1)

Xét BPT (1): (1)  m £ -3 x 2 - 6 x -1 = g ( x)

Xét hàm s g ( x), x Î (-1;1)
Có: g ¢( x) = -6 x - 6 £ 0, "x Î (-1;1)
BBT:
x

-1

1

g'(x)
0
g(x)
- 10

T BBT suy ra m £ g ( x), "x Î (-1;1)  m £ -10
V y, hàm s đ ng bi n trên kho ng (-1;1)  m £ -10
VD8. Tìm đi u ki n c a m đ hàm s y = 2 x3 - 3(m + 2) x 2 + 6 (m + 1) x - 3m + 6 đ ng bi n

trên kho ng (5; ¥) .
GI I
TX : D = 
o hàm: y ¢ = 6 x 2 - 6 (m + 2) x + 6 (m + 1)
Hàm s đ ng bi n trên kho ng (5; ¥)  y ¢ ³ 0, "x Î (5; +¥)
 6 x 2 - 6 (m + 2) x + 6 (m + 1) ³ 0, "x Î (5; +¥) (1)

Xét BPT (1): (1)  6 x 2 -12 x + 6 ³ 6m ( x -1)

Trang 5/9 – tailieulovebook.com

Chuyên đ gi i tích 12 - Ngô In 2016

Your dream – Our mission

Vì x Î (5; +¥) nên x -1 > 0 do đó:
x2 - 2 x +1
(1)  m £
, "x Î (5; +¥)  m £ x -1 = g ( x), "x Î (5; +¥)
x -1
Xét hàm s g ( x ), x Î (5;0) ta có: g ¢ ( x) = 1 > 0, "x Î (5; +¥)
BBT:
x

5

g'(x)
g(x)
4

T BBT suy ra m £ g ( x), "x Î (5; +¥)  m £ 4
V y, hàm s đ ng bi n trên kho ng (5; +¥)  m £ 4
VD9. Cho hàm s : y = (m - 2) x3 - mx - 2 . V i giá tr nào c a m thì đ th c a hàm s không có
đi m c c đ i và đi m c c ti u.
GI I
TX : D = 
o hàm: y ¢ = 3(m - 2) x 2 - m
Hàm s không có c c tr thì ph ng trình y ¢ = 0 vô nghi m ho c có nghi m kép
 D £ 0  0 + 4.3m (m - 2) £ 0  0 £ m £ 2

(

)

1
VD10. Cho hàm s : y = x3 - mx 2 + m 2 - m + 1 x + 1 . Tìm m đ hàm s
3
a) Có c c đ i và c c ti u.
b) t c c đ i t i đi m x = 1
GI I
TX : D = 
o hàm: y ¢ = x 2 - 2mx + m 2 - m + 1
a) Tìm m đ hàm s có c c đ i và c c ti u.
Hàm s có c c đ i và c c ti u  y ¢ = 0 có 2 nghi m phân bi t.
ì1 ¹ 0
ìa y ¢ ¹ 0
ï
ïï
ï
ï
í
í
 m -1 > 0  m > 1
2
2
ï
ï
¢
1
0
m

m
m
+
>
0
D
>
(
)
ï
ïï
ï
î y¢
î
b) Tìm m đ hàm s đ t c c ti u t i đi m x = 1
y ¢ = x 2 - 2mx + m2 - m + 1 và y ¢¢ = 2 x - 2m
ìï y ¢ (1) = 0
ïìm 2 - 3m + 2 = 0 ïìïm = 1  m = 2
ï
ï
Hàm s đ t c c đ i t i x = 1  í
í
í
m=2
ïï y ¢¢ (1) < 0 ïï2 - 2m < 0
ïïîm > 1
î
î
V y khi m = 2 hàm s đ t c c đ i t i x = 1
1

1
VD11. Cho hàm s y = mx3 - (m -1) x 2 + 3(m - 2) x + . Tìm m đ hàm s đ t c c đ i, c c
3
3
ti u t i x1 , x2 th a mãn x1 + 2 x2 = 1
GI I

(

)

Trang 6/9 – tailieulovebook.com


Chuyờn gi i tớch 12 - Ngụ In 2016

Your dream Our mission

TX : D =
o hm: y  = mx 2 - 2 (m -1) x + 3(m - 2)
ùùỡa y  ạ 0
ùùỡm ạ 0
ớ
Hm s cú 2 c c tr ớ
ùùDÂy  > 0 ùùD = (m -1)2 - 3m (m - 2) > 0
ợ
ùợ
ỡùm ạ 0
ỡm ạ 0
ùù

ù

ù
(*)
ớ
ớ
ùù1- 6 < m < 1 + 6
ù-2m 2 + 4m + 1 > 0
ù
ợ
ùùợ
2
2
Vỡ x1 , x2 l 2 nghi m c a ph ng trỡnh y  = 0 nờn: x1 + 2 x2 = 1 (1)
ùùỡ
b 2 (m -1)
(2)
ùù x1 + x2 = - =
a
m
ù
v
v ớ
ùù
c 3(m - 2)
ùù x1.x2 = =
(3)
a
m
ùợ

T (1) v (2) x1 = 3 -

4
2
, x2 = -1 +
m
m

ộm = 2 ( N )
ổ
ửổ
ử
ờ
m
3
2
(
)
2
4
3m2 - 5m + 4 = 0 ờ
Thay vo (3) ỗỗ-1 + ữữữỗỗ3 - ữữữ =
2
ờm = ( N )
ốỗ
m ứốỗ
mứ
m
ờở

3
2
V y: m = 2, m = th a yờu c u bi toỏn
3

C/-BI T P P D NG.
BI T P C B N.
Bi 1. Tỡm cỏc kho ng n i u v c tr c a cỏc hm s :
a). y = x3 - 6 x 2 + 9 x - 4
b). y = x3 - 3 x 2 + 3 x + 5
c). y = x3 + x 2 + 2 x - 3
1
d). y = -x3 + 3 x 2 + 2
f). y = -x3 + 2 x 2 - x + 2
e). y = - x3 + x 2 - x + 4
3
Bi 2. Tỡm cỏc kho ng n i u v c tr c a cỏc hm s :
a). y = x 4 - 2 x 2 + 5
b). y = x 4 + 3 x 2 - 4
c). y = -x 4 + 4 x 2 + 3
1
1
d). y = x 4 - 2 x 2 + 1
e). y = x 2 - x 4
f). y = -x 4 - 5 x 2 + 1
4
4
Bi 3. Tỡm cỏc kho ng n i u v c tr (n u cú) c a cỏc hm s :
x-2
2 x +1

x +1
x2 - 2 x + 2
e). y = 2
b). y =
a). y =
f). y =
x +1
x -3
x -1
x +8
Bi 4. Tỡm cỏc kho ng n i u v c tr c a cỏc hm s :

a). y = 2 x - x 2
d). y =

x2
2

x +1

b). y = x 2 - 4 x + 3

c). y =

e). y = 5 - x + x -1

f). y = x x 2 - 9

x -1
BI T P NNG CAO.

x2 - x +1

Trang 7/9 tailieulovebook.com


Chuyên đ gi i tích 12 - Ngô In 2016

Your dream – Our mission

 Lo i 1. Tính đ n đi u c a hàm s .
Bài 1. Tìm m đ hàm s y = -x3 + (m + 2) x 2 - (2m -1) x + 2 ngh ch bi n trên  .
1
Bài 2. Tìm m đ hàm s y = x3 + mx 2 + 4 x -10 đ ng bi n trên  .
3
x3
Bài 3. Cho hàm s y = - 2mx 2 + 4mx + 2 . Xác đ nh m đ :
3
a) Hàm s đ ng bi n trên mi n xác đ nh
b) Hàm s đ ng bi n trên kho ng (-¥;0)
x3
+ 2 x 2 - mx + 1 . Xác đ nh m đ :
3
ngh ch bi n trên trên t p xác đ nh c a nó
ngh ch bi n v i m i x > 1
1- m 3
hàm s y =
x - 2(2 - m) x 2 + 2(2 - m) x + 5 ngh ch bi n trên 
3
3

x
hàm s y = + ( m + 1) x 2 - (m + 1) x + 1 đ ng bi n trên (1;+¥) .
3
hàm s y = x3 - 3(2m + 1) x 2 + (12m + 5) x + 2 đ ng bi n trên (2; +¥)

Bài 4. Cho hàm s y = a) Hàm s
b) Hàm s
Bài 5. Tìm m đ
Bài 6. Tìm m đ
Bài 7. Tìm m đ

mx - 2
luôn đ ng bi n trên t ng kho ng xác đ nh
x+2
x+m
đ ng bi n trên (–1; +).
Bài 9. Tìm m đ hàm s y =
x-m
Bài 10. Tìm m đ hàm s y = x3 + 3 x 2 + mx + m ngh ch bi n trên kho ng có đ dài b ng 1
 Lo i 2. C tr c a hàm s .
Bài 1. Tìm m đ các hàm s sau có c c đ i và c c ti u:
a) y = x3 + 3 x 2 + mx -10
b) y = x3 - 3mx 2 - 3(m 2 - 2) x + 1

Bài 8. Tìm m đ hàm s

y=

c) y = x3 - (2m + 1) x 2 + (m 2 - 3m + 2) x + 4

d) y = (m + 2) x3 + 3 x 2 + mx + m

1
Bài 2. Tìm đ hàm s y = x3 + (m 2 - m + 2) x 2 + (3m 2 + 1) x + m đ t c c ti u t i x = -2
3
Bài 3. Tìm m đ hàm s y = mx3 + ( m 2 - 2) x 2 - 8 x + 1 đ t c c đ i t i x = 2

Bài 4. Cho hàm s y = x 4 - mx 2 + n . Tìm m, n đ hàm s đ t c c tr b ng 2 t i x = 1

x3
Bài 5. Cho hàm s y = + (m + 1) x 2 + (6 - 2m) x + m .Tìm m đ đ th hàm s có hai đi m
3
c c tr n m v hai phía đ i v i tr c Oy
Bài 6. Cho hàm s y = x3 - 3(m + 1) x 2 + 3m(m + 2) + 1 . Tìm m đ hàm s đ t c c tr t i hai
đi m có hoành đ d ng
Bài 7. Cho hàm s y = x3 - 3 x 2 - 3m(m + 2) x -1 . Tìm m đ hàm s có hai c c tr cùng d u
1
m
Bài 8. Cho hàm s y = x3 - (m -1) x 2 + 3(m - 2) x + . Tìm m đ hàm s có c c đ i và c c
3
3
ti u đ ng th i hoành đ các đi m c c đ i và c c ti u c a đ th là x1, x2 : x1 + 2 x2 = 1
Trang 8/9 – tailieulovebook.com


Chuyên đ gi i tích 12 - Ngô In 2016

Your dream – Our mission

Bài 9. Cho hàm s y = x3 + 2( m -1) x 2 + (m 2 - 4m + 1) x - 2(m 2 + 1) . Tìm m đ hàm s có c c

1
1
1
tr t i x1; x2 : + = ( x1 + x2 )
x1 x2 2
Bài 10. Cho hàm s y = 2 x3 + mx 2 -12 x -13 . Tìm m đ đ th hàm s có đi m c c đ i và
đi m c c ti u và các đi m này cách đ u tr c tung
Bài 11. Cho hàm s y = x3 + 3mx 2 + 3( m 2 -1) x + m 2 - 3m . Tìm m đ hàm s có c c đ i và

c c ti u v i hoành đ x1; x2 th a mãn: x12 + x22 = 10
Bài 12. Tìm m đ đ th hàm s y = 2 x3 - 3(2m + 1) x 2 + 6m(m + 1) x + 1 có hai đi m c c tr đ i
x ng nhau qua đ ng th ng D : y = x + 4

S u t m: Nhà sách giáo d c LOVEBOOK.VN
t i thêm tài li u, vui lòng truy c p:

Trang 9/9 – tailieulovebook.com