35 bài tập trắc nghiệm cực trị của hàm số mức độ 3 vận dụng đề số 1 (có lời giải chi tiết) image marked image marked

35 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ - CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
MỨC ĐỘ 3: VẬN DỤNG – ĐỀ SỐ 1
CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y  x 4  2 mx 2  1 có ba điểm
cực trị tạo thành tam giác vuông cân.
A. m   3 3

B. m  1

C. m  1; m  3 3

D. m   3 3; m  1

Câu 2: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y  x 4  2 mx 2  2 m 2  m có ba điểm cực
trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân?
A. Không có.

B. 1.

C. Vô số.

D. 2.

Câu 3: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình bên. Mệnh
đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 2
B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất
bằng -2.
C. Hàm số đạt cực đại tại x  0 và cực tiểu tại x  2
D. Hàm số có ba cực trị.
Câu 4: Cho hàm số y   m  1 x 4   m  1 x 2  1. Số các giá trị nguyên của m để hàm số có một điểm cực

đại mà không có điểm cực tiểu là:
A. 1.

B. 0.

C. 3.

D. 2.

Câu 5: Cho hàm số y  x 4  2 mx 2  2 m 2  m 4 có đồ thị (C). Biết đồ thị (C) có ba điểm cực trị A, B, C và
ABDC là hình thoi, trong đó D(0;-3), A thuộc trục tung. Khi đó m thuộc khoảng nào?
9 
A. m   ;2  .
5 

1

B. m   1;  .
2


Câu 6: Cho hàm số

x12  2 ax2  9a
a2



y

a2
x22  2 ax1  9a

5 

A. a   3;  .
2 


x3
 ax 2  3ax  4.
3

C. m   2;3 .

1 9
D. m   ;  .
2 5

Để hàm số đạt cực trị tại

x1; x2

thỏa mãn

 2 thì a thuộc khoảng nào?

7 

B. a   5;  .

2 


C. a   2; 1 .

 7

D. a    ; 3  .
 2


Câu 7: Đồ thị hàm số y  ax 3  bx 2  cx  d có hai điểm cực trị là A 1; 7  ; B  2; 8  . Tính y  1 .
1


A. y  1 = 7.

B. y  1 = 11.

C. y  1 = -11.

D. y  1 = -35.

a  2018
Câu 8: Cho hàm số f  x   ax 3  bx 2  cx  d với a, b, c, d  ; a  0 và 
. Số cực trị
a  b  c  d  2018  0
của hàm số y  f  x   2018 bằng:
A. 3.

B. 2.

C. 1.

D. 5.

Câu 9: Cho hàm số y  x 4  2 mx 2  1  m. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có 3
điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ O là trực tâm.
A. m = 0.

B. m = 1.

C. m = -1.

D. m = 2.

Câu 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  x 3  3mx 2  4 m3 có hai điểm cực trị A và
B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4, với O là gốc tọa độ
A. m  1; m  1.

B. m  1.

C. m  0.

D. m  

1
42

;m 

1
42

Câu 11: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên R đồng thời hàm số
y  f  x  có đồ thị như hình vẽ bên. Xác định số cực trị của hàm

số y  f  x  .
A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Câu 12: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên R và có đạo hàm f '  x    x  1 x  2 

2

 x  32017 .

Khẳng

định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số đồng biến trên các khoảng (1;2) và  3;   .
B. Hàm số có ba điểm cực trị.
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3).
D. Hàm số đạt cực đại tại x  2, đạt cực tiểu tại x  1 và x  3.





Câu 13: Tìm tất cả những giá trị thực của m để hàm số y  x 3   2m  1 x 2  2m 2  3m  1 x  2m 2  5m  3
có cực đại, cực tiểu và các giá trị cực trái dấu.
3 3 

A. m   1;    ;2 
2 2 


B. m  1;2  .
2


 3 3 
C. m   1;    ;2  .
 2 2 

D. m   ;1   2;   .

Câu 14: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ.
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số
y  f  x  m  có 5 điểm cực trị.

A. m  2.

B. m  2.

C. m  2.

D. m  2.

Câu 15: Giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y  x 4  2 mx 2  m 4 2 m có ba điểm cực trị là ba đỉnh
của một tam giác có diện tích bằng 4 2 thỏa mãn điều kiện nào dưới đây?
A. m  4.

B. m  3.

C. 0  m  4.

D. 3  m  0.

Câu 16: Hàm số y  mx 4   m  3 x 2  2 m  1 chỉ có cực đại mà không có cực tiểu khi m:
A. m  3.

B. m > 3.



C. – 3 < m < 1.



D. m  3  m  0.

Câu 17: Cho hàm số y  x 3  3mx 2  3 m 2  1 x  m3  1 có đồ thị (Cm) và điểm M(-2;2). Biết đồ thị (Cm)
có hai điểm cực trị A, B và tam giác ABM vuông tại M. Hỏi có bao nhiêu giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài
toán?

A. 2.

B. 0.

C. 3.

D. 1.

Câu 18: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y  x 3  3mx 2  2 có 2 điểm cực trị A và
B sao cho các điểm A, B và M(1;-2) thẳng hàng.
A. m  2.

C. m  2; m   2. D. m  2.

B. m   2.

1
1
Câu 19: Cho hàm số y  x 3  mx 2  4 x  10, với m là tham số, gọi x1, x2 là các điểm cực trị của hàm số
3
2







đã cho. Giá trị lớn nhất của biểu thức P  x12  1 x22  1 bằng
A. 9.

B. 1.





C. 4.

D. 0.

Câu 20: Cho hàm số y  x 3 3mx 2  3 m 2  1 x  m3 với m là tham số; gọi (C) là đồ thị của hàm số đã cho.
Biết rằng, khi m thay đổi, điểm cực đại của đồ thị (C) luôn nằm trên một đường thẳng d cố định. Xác định hệ
số góc k của đường thẳng d.
A. k  3.

B. k  3.

1
C. k   .
3

1
D. k  .
3

3


Câu 21: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị (C) của hàm số

y  x 4  2 m 2 x 2  m 4  5 có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị cùng với gốc tọa độ O tạo thành một
tứ giác nội tiếp. Tìm phần tử của S.
A. 0.

B. 1.







C. 2.



D. 3.

Câu 22: Cho hàm số f  x   m 2018  1 x 4  2 m 2018  22018 m 2  3 x 2  m 2018  2018, với m là tham số.
Số cực trị của hàm số y  f  x   2017 là
A. 7.

B. 5.

C. 3.

D. 6.

Câu 23: Cho hàm số y  x 4  2 mx 2  2 m. Tìm m để hàm số có điểm cực đại, cực tiểu tạo thành một tam

giác có diện tích bằng 32 được:
A. m = 4.

B. m = -3.

C. m = 5.

D. m = 1.

Câu 24: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a để hàm số y  x 3  27ax có cực đại, cực tiểu và đường
thẳng đi qua cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ:
A. a  0.

B. a  1.

Câu 25: Cho hàm số y 

x2  m x  4
x m

C. 1  a  0.

D. a  0.

. Biết rằng đồ thị hàm số có hai điểm cực trị phân biệt A, B. Tìm số

giá trị m sao cho ba điểm A, B, C(4;2) phân biệt thẳng hàng.
A. 1.

B. 0.

C. 3.

D. 2.





Câu 26: Hàm số f  x  liên tục trên R và có đúng ba điểm cực trị là -2, -1, 0. Hỏi hàm số y  f x 2  2 x có
bao nhiêu điểm cực trị?
A. 5.

B. 3.

C. 2.

D. 4.

Câu 27: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ. Số cực trị



của hàm số y  f x 2  2 x



A. 2.

B. 5.

C. 4.

D. 3.

Câu 28: Cho hàm số f  x   x 4  4 mx 3  3  m  1 x 2  1. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để
hàm số có cực tiểu mà không có cực đại. Tính tổng các phần tử của tập S.
A. 1.

B. 2.

C. 6.

D. 0.

Câu 29: Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị như hình vẽ
4


Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y  f  x   m có ba điểm cực trị.
A. m  3 hoặc m  1.

B. m  1 hoặc m  3.

C. m  3 hoặc m  1.

D. 1  m  3.

Câu 30: Cho hàm số y  f  x  có đúng ba điểm cực trị là -2; -1; 0 và có đạo hàm liên tục trên R. Khi đó





hàm số y  f x 2  2 x có bao nhiêu cực trị?
A. 4.

B. 6.

C. 3.

D. 5.

Câu 31: Cho hàm bậc bốn y  f  x  . Hàm số y  f '  x  có đồ
thị như hình bên. Số điểm cực đại của hàm số f  x 2  2 x  2 


là
A. 1.

B. 2.

C. 4.

D. 3.

Câu 32: Cho hàm số y  f '  x  có đồ thị như hình vẽ bên dưới
đây. Tìm số điểm cực trị của hàm số y  e
A. 1.

B. 2.

C. 4.

D. 3.

2 f  x  1

f x
 5  .

Câu 33: Cho hàm số y  x 4  2 m 2 x 2  m 2 có đồ thị (C). Để đồ thị (C) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho 4
điểm A, B, C, O là bốn đỉnh của hình thoi (O là gốc tọa độ) thì giá trị của tham số m là:
A. m   2.

B. m  

2
.
2

C. m   2.

D. m 

2
.
2
5

Câu 34: Tổng tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho đồ thị hàm số y  x 3  3mx 2  4 m3 có điểm cực
đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là
A.

2
.
2

B.

1
.
2

C. 0.

D.

1
.
4

Câu 35: Biết đồ thị hàm số y  f  x   ax 4  bx 2  c có hai điểm cực trị là A(0;2) và B(2;-14). Tính f 1 .
A. f 1 = 0.

B. f 1 = -6.

C. f 1 = -5.

D. f 1 = -7.

6


HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
1-B

2-B

3-C

4-B

5-D

6-B

7-D

8-D

9-B

10-A

11-D

12-C

13-C

14-D

15-C

16-A

17-A

18-C

19-A

20-A

21-C

22-A

23-A

24-D

25-B

26-B

27-B

28-A

29-A

30-C

31-A

32-A

33-D

34-C

35-C

Câu 1: Chọn B.
Phương pháp:
+ Tính y’ giải phương trình y '  0 để điều kiện hàm số có 3 cực trị
+ Tìm tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số theo m
+ Nhận thấy 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm BC
+ Tìm điều kiện để AM = MB = MC.
Cách giải:
Có y '  4 x 3  4 mx  0  x  0 hoặc x 2  m
Hàm số có 3 cực trị  m  0



 

Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số: A  0;1 , B  m ;1  m 2 , C



m ;1  m 2





Ta thấy ABC cân tại A có M 0;1  m 2 là trung điểm BC.
ABC vuông cân  AM  MB  MC  m 2 





m  m 4  m  m m3  1  0  m  1 (do m < 0)

Câu 2: Chọn B.
Phương pháp:
Hàm số bậc bốn y  x 4  bx 2  c có 3 cực trị thì phương trình y '  0 có 3 nghiệm phân biệt. Và khi hàm số
trên có ba cực trị thì ba cực trị đó luôn tạo thành một tam giác cân.
Cách giải:

x  0
Ta có: y '  4 x 3  4 mx  0   2
 x  m
Để phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt  m  0.

7






 x  0  y  2 m 2  m  A 0;2 m 2  m


 y '  0   x  m  y  m2  m  B m ; m2  m

 x   m  y  m2  m  C  m ; m2  m










Ta có tam giác ABC luôn là tam giác cân tại A nên để ABC là tam giác vuông cân thì ta cần thêm điều kiện
tam giác ABC vuông tại A.
 
 AB. AC  0


AB  m ; m 2 ; AC   m ; m 2













 m  0(ktm)
  m  m 4  0  m m3  1  0  
 m  1(tm)
Vậy m = 1.
Câu 3: Chọn C.
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa của cực đại, cực tiểu để làm. Cụ thể điểm x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số

y  f  x  nếu trong lân cận V của điểm x0 ta có f  x   f  x0  , x  V.

Điểm x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y  f  x  nếu trong lân cận V của điểm x0 ta có

f  x   f  x0  , x  V.
Cách giải:
Nhìn vào đồ thị ta thấy, hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng  ;0  và  2;  nghịch biến trên
khoảng (0;2). Do đó hàm số đã cho đạt cực trị (địa phương) tại các điểm x  0 và x  2 . Hơn nữa trong lân
cận của điểm x  0 thì giá trị của y lớn nhất là 2 do đó hàm số đã cho có cực đại tại x  0 và giá trị cực đại y

= 2. Tương tự ta có hàm số đã cho đạt cực tiểu (địa phương) tại x  2 và giá trị cực tiểu là y = -2.
Câu 4: Chọn B.
Phương pháp:
Hàm số đã cho là hàm chẵn nên nếu x1 là điểm làm cho hàm số nhận cực đại thì ta cũng có điểm –x1 là điểm
làm cho hàm số nhận cực đại. Do đó x1   x1  x1  0.
Sử dụng điều kiện cần và đủ để hàm đạt cực đại tại x  0 để suy ra điều kiện của m > 1.
Sử dụng điều kiện này để biện luận các điểm còn lại có đạt cực đại, cực tiểu hay không và kết luận được
không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cách giải:
Giả sử x1 là điểm làm cho hàm số đạt cực đại. Khi đó ta có
8


4

2

y  x1    m  1 x14   m  1 x12  1   m  1  x1    m  1  x1   1  y   x1  .
Do đó nếu x1 là điểm làm cho hàm số nhận cực đại thì ta cũng có điểm –x1 làm cho hàm số nhận cực đại. Do
hàm số chỉ có điểm cực đại nên x1   x1  x1  0.

x  0
Ta có y '  4  m  1 x 3  2  m  1 x, y '  0  4  m  1 x 3  2  n  1 x  0  
2
2  m  1 x   m  1  0(1)
Ta lại có y ''  12  m  1 x 2  2  m  1  y ''  0   2  m  1 .
Để x  0 là điểm cực đại của hàm số thì ta cần y ''  0   0  2  m  1  0  m  1.
Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm là x 1  

m 1

m 1
, x2 
2  m  1
2  m  1

2


m 1 
Ta có y ''  x1   12  m  1  
  2  m  1  4  m  1  0 nên x1 là điểm cực tiểu của hàm số.
 2  m  1 



Như vậy với m > 1 thì hàm số đã cho có điểm cực tiểu.
Do đó không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 5: Chọn D.
Phương pháp:
Sử dụng điều kiện cần của cực trị hàm số để tìm điều kiện của m để hàm số có cực trị. Sau đó tìm tọa độ các
điểm cực trị. Sử dụng tính chất của hình thoi để tìm giá trị của m.
Cách giải:

Ta có y '  4 x 3  4 mx. Để đồ thị có ba điểm cực trị thì phương trình y '  0  4 x 3  4 mx  0 phải có 3
nghiệm phân biệt.

9


x  0

4 x 3  4 mx  0   2
 x  m
Khi đó điều kiện cần là m > 0.Ta có ba nghiệm là x  0, x  m , x   m .
Với x  0 thì y  m 4  2 m 2 .
Với x   m thì y  m 4  3m 2 .





Do A thuộc trục tung nên A 0; m 4  2 m 2 . Giả sử điểm B nằm bên phải của hệ trục tọa độ, khi đó

B



 



m ; m 4  3m 2 , B  m ; m 4  3m 2 .

 
Ta kiểm tra được AD  BC. Do đó để ABDC là hình thoi thì trc hết ta cần AB  CD.

Ta có

AB 

 m ; m  3m    m  2m    m ; m .


CD   m ; 3   m  3m     m ; m  3m  3 .
4

2

4

 
Do đó AB  CD 



4

2

2

2

4

 

m ; m2 

2



m ; m 4  3m 2  3  m 2  m 4  3m 2  3

m2  1
 m  1
 m 4  4m2  3  0  

.
 m 2  3
m   3

Do đó điều kiện để có ba điểm cực trị là m > 0 nên ta chỉ có m = 1 hoặc m  3.

Với m = 1 thì A  0; 1 , B 1; 2  ; C  1; 2  . Ta có AB  1; 1  AB  2.
Tương tự ta có BD  CD  CA  2. Như vậy ABDC là hình thoi. Vậy m = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
1
9  
Do m  1   ;2  ,  1;  ,  2;3 nên các đáp án A, B, C đều sai.
2
5  

Đáp án D đúng.



 



Với m  3. Trong trường hợp này B 4 3;0 , C  4 3;0 , A  0;3 .

Ta kiểm tra được AB  BD  DC  CA  9  3.
Do đó ABDC cũng là hình thoi và m  3 thỏa mãn yêu cầu bào toán.
Câu 6: Chọn B.
Phương pháp:
Sử dụng điều kiện cần của cực trị và định lý Vi-et để tìm trực tiếp giá trị của a, sau đó kết luận.
Cách giải:
10


Ta có y '  x 2  2 ax  3a.
Để phương trình có hai cực trị x1; x2 thì ta cần phương trình y '  0  x 2  2 ax  3a  0 (1) có hai nghiệm
phân biệt.
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

a  0
 '  a2   3a   a2  3a  0  a  a  3  0  
 a  3
Khi đó áp dụng định lí Vi-et ta nhận được x1  x2  2 a(2).
Chú ý x1 là nghiệm của (1) và sử dụng (2) nên





x12  2 ax1  3a  0  x12  2 ax2  9a  x12  2 ax1  3a  2 a  x1  x2   12 a  2 a  x1  x2   12 a  2 a  x1  x2   12 a  4
tương tự ta có x22  2 ax1  9a  4 a2  12 a.
Từ đó

x12  2 ax2  9a
a2



a2
x22  2 ax1  9a

2

4 a2  12 a
a2



a2
4 a2  12 a

2

4 a  12
a

2
a
4 a  12

2
7 

2
  4 a  12   a2  2 a  4 a  12   0   4 a  12   a   0  a  4   5;  .

2 


Câu 7: Chọn D.
Phương pháp:
Lập hệ phương trình bậc 4 ẩn a, b, c, d để tính a, b, c, d.
Cách giải:

a  b  c  d  7
d  7  a  b  c
Đồ thị hàm số đi qua A và B nên 

8a  4 b  2c  d  8 7a  3b  c  1(1)
3a  2 b  c  0(2)
y '  3ax 2  2 bx  c có hai nghiệm x = 1 và x = 2 (hoành độ của A, B) nên 
12 a  4 b  c  0(3)
Từ (1), (2), (3) ta có a  2; b  9; c  12  d  12
Khi đó y  1  a  b  c  d  35.
Câu 8: Chọn D.
Phương pháp:
Xét hàm số g  x   f  x   2018, tính các giá trị g  0  , g 1 sau đó nhậ xét số cực trị của hàm số g  x  cũng
như số cực trị của hàm số y  f  x  .
Cách giải:
11


Ta có hàm số g  x   f  x   2018 là hàm số bậc 3 và liên tục trên R.
Do a > 0 nên lim g  x   ; lim g  x   
x 

x 

Ta có: g  0   d  2018  0, g 1  a  b  c  d  2018  0
Khi đó, phương trình g  x   0

có đúng 3 nghiệm phân biệt trên R  Đồ thị hàm số

y  g  x   f  x   2018 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt nên hàm số y  f  x   2018 có đúng 5 cực trị.
Câu 9: Chọn B.
Phương pháp:
Tính đạo hàm của hàm số đã cho, biểu diễn tọa độ của các điểm cực trị.
Sử dụng tính chất của trực tâm tam giác:

 
-Nếu H là trực tâm của tam giác ABC  AH  BC  AH. BC  0

Cách giải:

x  0
Ta có: y '  4 x 3  4 mx  0   2
 x  m
Hàm số có 3 điểm cực trị khi m > 0.
Khi đó gọi A  0;1  m  , B


Ta có: OB 





 



m ; m 2  m  1 , C  m ; m 2  m  1 là điểm cực trị của đồ thị hàm số.


 
m  0
m ; m 2  m  1 , AC   m ; m 2  OB. AC  m  m 2 m 2  m  1  0  
 m  1











Kết hợp điều kiện ta được m = 1.
Câu 10: Chọn A.
Phương pháp:
-Tìm y ', giải phương trình y '  0, tìm hai điểm cực trị A, B của đồ thị hàm số.
1
-Diện tích tam giác vuông SOAB  OA.OB.
2

Cách giải:

 x  0  y  4 m3
y'  0  
 x  2 m  y  0





Suy ra A 0;4 m3 ; B  2 m;0 
SOAB 

1
4 m3 . 2 m  4  8m 4  8  m  1
2

Câu 11: Chọn D.
12


Phương pháp:
-Dựng đồ thị hàm số y  f  x  từ đồ thị hàm số y  f  x  :
-Dựng đồ thị hàm số y  f  x  có được từ đồ thị hàm số f  x  .
Cách giải:
Từ hình vẽ ta có đồ thị hàm số y  f  x  là một trong hai đồ thị dưới đây:

Từ hai đồ thị trên ta dựng được đồ thị y  f  x  là một trong đồ thị dưới đây:

Từ hai đồ thị ở trên ta thấy: Ở hai trường hợp thì hàm số y  f  x  đều có 5 điểm cực trị.
Câu 12: Chọn C.
Phương pháp:
Dựa vào phương trình đạo hàm bằng 0. Lập bảng biến thiên của hàm số, từ đó kết luận tính đơn điệu cũng
như điểm cực trị của hàm số.
Cách giải:
Ta có f '  x    x  1 x  2 

2

 x  32017   x  1 x  3 .  x  2 2  x  32016
13


x  3
Suy ra f '  x   0  
và f '  x   0  x  1;3 , đồng thời x = 2 không là điểm cực trị của hàm số.
x  1
Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (1;3).
Câu 13: Chọn C.
Phương pháp:
Áp dụng lý thuyết về cực trị của hàm bậc ba.
Cách giải:





2





Ta có: y '  3 x 2  2  2 m  1 x  2 m 2  3m  1 và  '   2 m  1  3 2 m 2  3m  1  2 m 2  5m  2
Hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y '  0 có hai nghiệm phân biệt

x  2
 2 m  5m  2  0  
x  1

2
2

1 
2m  1 
8m 2  2
2 m 2  3m  1 
Và y   x 
y '
x

3 
3 
3
3

Khi đó các giá trị cực trị trái dấu

 8m 2  2

2 m 2  3m  1   8m 2  2
2 m 2  3m  1 
 yC . yCT  0  
xC 
xCT 

0



3
3
3
3



 3 3 
Áp dụng định lý Vi-et, giải và đối chiếu ta được m   1;    ;2  .
 2 2 

Câu 14: Chọn D.
Phương pháp:
Ta thấy đồ thị hàm số y  f  x  m  là đồ thị hàm số y  f  x  tịnh tiến sang bên trái một đoạn bằng m, khi
m > 0, tịnh tiến sang bên phải một đoạn bằng |m| khi m < 0.
Hơn nữa đồ thị hàm số y  f  x  m  là đồ thị hàm số y  f  x  m  lấy trong khoảng x > 0 và phần đồ thị
hàm số này lấy đối xứng qua trục Oy.
Vì vậy để hàm số có 5 cực trị thì đồ thị phải tịnh tiến về bên phải sao cho điểm hai cực trị phải nằm hoàn
toàn bên phải trục tung.
Cách giải:

Ta thấy đồ thị hàm số y  f  x  m  là đồ thị hàm số y  f  x  tịnh tiến sang bên trái một đoạn bằng m khi
m > 0, tịnh tiến sang bên phải mộ đoạn bằng |m| khi m < 0.

14


Hơn nữa đồ thị hàm số y  f  x  m  là đồ thị hàm số y  f  x  m  lấy trong khoảng x > 0 và phần đồ thị
này lấy đối xứng qua trục Oy.
Vì vậy để hàm số có 5 cực trị thì đồ thị phải tịnh tiến về bên phải sao cho điểm hai điểm cực trị phải nằm
hoàn toàn bên phải của trục tung. Hay đồ thị hàm số đã cho phải tịnh tiến một đoạn lớn hơn 2

m  0

 m  2.
 m  2
Câu 15: Chọn C.
Phương pháp:
+) Giải phương trình y '  0 tìm các điểm cực trị.
+) Tính diện tích tam giác tại bởi các điểm cực trị.
Cách giải:
TXĐ: D = R.

x  0
y '  4 x 3  4 mx  0   2
 x  m
Đồ thị hàm số có ba cực trị thì phương trình y '  0 có 3 nghiệm phân biệt  m  0
Khi đó gọi ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là



 

 

A 0; m 4  2 m , B  m ; m 4  m 2 2 m ,C

m ; m 4  m 2 2 m






Ta có tam giác ABC cân tại A có BC  2 m ;d  A; BC   m 4  2 m  m 4  m 2  2 m  m 2
 SABC 

1
1
BC.d  A; BC   .2 m .m 2  m 2 m  4 2  m  2
2
2

0m4

Câu 16: Chọn A.
Phương pháp:
Xét hàm số y  ax 4  bx 2  c.
+) Với x  0, b  0 ta có y  bx 2  c là phương trình bậc hai có đồ thị là một parabol. Hàm số này chỉ có
mộ cực trị x = 0 (là cực đại nếu b < 0, là cực tiểu nếu b > 0).
+) Với a  0 thì y  ax 4  bx 2  c là hàm trùng phương (bậc 4). Hàm này hoặc có ba cực trị hoặc có một

cực trị. Trong trường hợp hàm có ba cực trị thì luôn luôn có cực tiểu nên để hàm số có cực đại mà không có
cực tiểu thì hàm số chỉ có một cực trị là cực đại.
Nghĩa là phương trình y '  0 có nghiệm x0 duy nhất và x0 là điểm cực đại.
Cách giải:
15


+) Với m =0 thì hàm số y  3 x 2  1 có 3 > 0 nên đồ thị hàm số là một parabol có bề lõm hướng lên trên 
hàm số có cực tiểu x = 0.
+) Với m  0 ta có hàm trùng phương y  mx 4   m  3 x 2  2 m  1





 y '  4 mx 3  2  m  3 x  x 4 mx 2  2 m  6 , y ''  12 mx 2  2  m  3 .

x  0
Xét phương trình y '  0  x 4 mx 2  2 m  6  0   2 m  3
x 
(2)

2m





Để hàm số có cực đại mà không có cực tiểu thì phương trình y '  0 có nghiệm x  0 suy nhất.
Hay phương trình (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x = 0



 m  3
m  3
m3
0
0 
2m
2m
m  0

Với m > 0 thì 4 mx 2  2 m  6  0x nên y '  0  x  0, y '  0  x  0 do đó x  0 là điểm cực tiểu của
hàm số (loại).
Với m  3 thì 4 mx 2  2 m  6  0x nên y '  0  x  0, y '  0  x  0 do đó x  0 là điểm cực tiểu của
hàm số (nhận).
Câu 17: Chọn A.
Phương pháp:
+) Giải phương trình y '  0 tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số.
 
+) ABM vuông tại M  MA. MB  0
Cách giải:





y '  3 x 2  6 mx  3 m 2  1

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình y '  0 có 2 nghiệm phân biệt

2





  '   3m   9 m 2  1  9m 2  9m 2  9  9  0m  R 
3m  3

 x A  3  m  1  A  m  1; 3m  2 

Đồ thị hàm số luôn có hai điểm cực trị 
 x  3m  3  m  1  B  m  1; 3m  4 
 B
3


 MA   m  3; 3m  4  , MB   m  1; 3m  2 
 
Để tam giác ABM vuông tại M thì MA. MB  0  m 2  4 m  3  9m 2  6 m  8  0  10m 2  10m  5  0 

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
16


Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 18: Chọn C.
Phương pháp:
-Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm cực trị.
-Để A, B, M thẳng hàng thì M thuộc đường thẳng (d), ta thay tọa độ của điểm M vào phương trình của

đường thẳng (d) vừa tìm được.
Cách giải:

y  x 3  3mx 2  2  y '  3 x 2  6 mx
Lấy t chia y ' ta được: y 

1
 x  m  . y ' 2m2 x  2, suy ra, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
3

A, B là: y  2 m 2 x  2.
Để A, B, M(1;-2) thẳng hàng thì 2  2 m 2 .1  2  m   2.
Câu 19: Chọn A.
Phương pháp:
Dựa vào hệ thức Viet cho phương trình bậc hai để xác định được tổng và tích, từ biểu thức P phân tích theo
tổng và tích để đưa về biểu thức chứa tham số m suy ra giá trị lớn nhất.
Cách giải:

x  x  m
x1 , x2
 Theo hệ thức Viet, ta được  1 2
Ta có y '  x 2  mx  4  0 
 x1. x2  4
2





2

2

Khi đó P   x1 x2   x12  x22  1   x1 x2    x1  x2   2 x1 x2  1  9  m 2  9.
Vậy giá trị lớn nhất của P là 9.
Câu 20: Chọn A.
Phương pháp:
Tìm tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số bậc ba qua tham số m, biểu diễn tham số qua hai đại lượng biến
x, y từ đó suy ra họ đường thẳng mà điểm thuộc, khi đó suy ra hệ số góc k
Cách giải:





x  m 1
Ta có y '  3 x 2  6 mx  3 m 2  1 ; y '  0  x 2  2 mx  m 2  1  0  
.
x  m 1
Dễ thấy m  1  m  1 và a  1  0  x  m  1 là điểm cực đại của đồ thị (C).
3

2





Khi đó y  m  1   m  1  3m  m  1  3 m 2  1  m  1  m3
y  m  1  m3  3m 2  3m  1  3m3  6 m 2  3m  3m3  3m 2  3m  3  m3

17


y  m  1  3m  2

x  m 1
3 x  3m  3
Suy ra 

 3 x  y  1  0.
 y  2  3m
 y  2  3m
Vậy điểm cực đại của đồ thị (C) thuộc đường thẳng cố định d : 3 x  y  1  0  k  3.
Câu 21: Chọn C.
Phương pháp:
Xác định tọa độ ba điểm cực trị của đồ thị hàm số trùng phương và sử dụng điều kiện tứ giác nội tiếp để tìm
giá trị tham số m.
Cách giải:

x  0
Ta có y '  4 x 3  4 m 2 x; y '  0  x 3  m 2 x  0  
.
 x  m
Để hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi m  0.





Khi đó, gọi A 0; m 4  5 , B  m;5 , C  m;5 là tọa độ 3 điểm cực trị.

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác OBAC. Vì OA là trung trực của BC

 I  BC  I  Oy  I  0; a  .

 m4  5 
I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác OBAC  IA  IO  I là trung điểm của OA  I  0;


2 

Mà OI = IB nên suy ra
2
2
2
 m 2  0(ktm)
 m4  5 
 m4  5 
 m4  5 
m4  5
1
2
2
 m 
m
.
 
  m 
   2 1
 2 
 2 

 2 
2
5
m








5

Vậy có tất cả hai giá trị m cần tìm  Số phần tử của S là 2.
Câu 23: Chọn A.
Phương pháp:
Chuẩn hóa tham số và dựa vào cách vẽ đồ thị hàm số y  f  x  để xác định điểm cự trị và giá trị cực trị
của hàm số.
Cách giải:
Chọn m = 0, khi đó f x  x 4  3 x 2  2018  g  x   f  x   2017  x 4  3 x 2  1

18


Dựa vào đồ thị hàm số g  x   x 4  3 x 2  1  Hàm số y  f  x   2017 có 7 cực trị.
Câu 23: Chọn A.
Phương pháp:
+) Tính y ', giải phương trình y '  0, tìm điều kiện để ohuowng trình y '  0 có 3 nghiệm phân biệt.
+) Tìm các điểm cực trị của hàm số.

+) Tính diện tích tam giác cân tại bởi các điểm cực trị của hàm số.
Cách giải:

x  0
Ta có: y '  4 x 3  4 mx  0   2
 x  m
Để hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu  pty '  0 có 3 nghiệm phân biệt  m  0

 x  0  y  2m
 y'  0  
 A  0;2 m  , B
 x   m  y  m 2  2 m



 



m ; m2  2m , C  m ; m2  2m .

Tam giác ABC cân tại A với mọi m.
Đường thẳng BC có phương trình y  m 2  d  A; BC   2 m  m3  2 m  m 2 ; BC  2 m
 SABC 

1
1
BC.d  A; BC   .2 m .m 2  32
2
2

 m .m 2  32 

 m

5

 25  m  2  m  4(tm).

Câu 24: Chọn D.
Phương pháp:
+) Tính y’, tìm điều kiện để phương trình y '  0 có 2 nghiệm phân biệt.
+) Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số và viết phương trình đường thẳng (d) đi qua các điểm cực trị.
+) Tìm điều kiện để O  0;0   d.
19


Cách giải:
Ta có: y '  3 x 2  27 x  0  x 2  9a.
Để hàm số có cực đại, cực tiểu  pt y '  0 có 2 nghiệm phân biệt  a  0.
Khi đó phương trình y '  0 có 2 nghiệm phân biệt




 x  3 a  y  54 a a  A 3 a ; 54 a a

 x  3 a  y  54 a a  B 3 a ;54 a a





 Phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu là:
x 3 a
3 a 3 a



y  54 a a
54 a a  54 a a





x 3 a
6 a



y  54 a a
108a a



 18a x  3 a   y  54 a a  18ax  y  0(d )
Ta thấy đường thẳng d luôn đi qua gốc tọa độ với mọi a > 0.
Câu 25: Chọn B.
Phương pháp:

+) Tìm điều kiện để phương trình y '  0 có 2 nghiệm thỏa mãn ĐKXĐ.
+) Viết phương trình đường thẳng AB. Để A, B, C thẳng hàng  C  AB
Cách giải:
TXĐ: D  R \  m 
Ta có:

 2 x  m  x  m   x 2  m x  4  x 2  2 m x  m2  4  0  x  m 2  4


 x  m 2
 x  m 2
 x  2  m  y  m  4  A  2  m ;4  m 

 x  2  m  y  m  4  B  2  m ; 4  m 
y' 

 Đồ thị hàm số luôn có hai điểm cực trị A, B phân biệt.
Đường thẳng AB có phương trình:

x 2 m
4



y4 m
8

 2x  4  2 m  y  4  m  y  2x  m

Để A, B, C  4;2  thẳng hàng  C  AB  2  2.4  m  m  6

Khi đó ta có: B  4;2   C  không thỏa mãn.
Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 26: Chọn B.
20


Phương pháp:
Đạo hàm của hàm hợp:  f  u  x     f '  u  x   .u '  x  .





Tìm số nghiệm của phương trình y '  f ' x 2  2 x  0
Cách giải:

x  1
y  f x  2x  y '  f ' x  2x .2x  2  0  
2
 f ' x  2x  0






2



2







Vì f  x  liên tục trên R và có đúng ba điểm cực trị là -2, -1, 0 nên f '  x  đổi dấu tại đúng ba điểm -2, -1, 0
và f '  2   f '  1  f '  0   0.
Giải các phương trình: x 2  2 x  2  x 2  2 x  2  0 : vô nghiệm
2
x 2  2 x  1  x 2  2 x  1  0   x  1  0  x  1

x  0
x2  2x  0  
x  2





Như vậy, y '  0 có 3 nghiệm x  0,1,2 và y ' đều đổi dấu tại 3 điểm này. Do đó, hàm số y  f x 2  2 x có
3 điểm cực trị.
Câu 27: Chọn B.
Phương pháp:
Đạo hàm hàm hợp: y  f  u  x    y '  f '  u  x   .u '  x 
Cách giải:
Dựa vào đồ thị hàm số y  f  x  ta thấy hàm số có hai điểm cực trị là

x  2
xCT  2, xCD  0  f '  x   0  
x  0









y  f x2  2x  y '  f ' x2  2x .2x  2
x  0
 x2  2x  0
x  2

 f ' x2  2x  0
2
y'  0  
 x  2x  2  
.
x  1 3

2 x  2  0


x  1

 x  1









Vậy, hàm số y  f x 2  2 x có 5 cực trị.
21


Câu 28: Chọn A.
Phương pháp:
Tính đạo hàm, biện luận phương trình để hàm số có cực tiểu.
Cách giải:
Xét f  x   x 4 4 mx 3  3  m  1 x 2  1, có f '  x   4 x 3  12 mx 2  6  m  1 x; x  .

x  0
Phương trình f '  x   0  2 x 2 x 2  6 mx  3m  3  0   2
.
2 x 6 mx  3m  3  0(*)





Vì hệ số a = 1 > 0 nên để hàm số có 2 cực tiểu và 1 cực đại  hàm số có 1 cực tiểu mà không có cực đại
 Phương trình (*) vô nghiệm   '(*)  0

 9m 2  6 m  6  0 

1 7
1 7
m
 0,55  m  1,2.
3
3

Kết hợp với m  , ta được m  0,1   m  1.
Câu 29: Chọn A.
Phương pháp:
Dựa vào đồ thị hàm số y  f  x  suy ra các giá trị cực trị của đồ thị hàm số y  f  x   m và dựa vào cách
vẽ đồ thị hàm số y  f  x   m .
Cách giải:
Đồ thị hàm số y  f  x   m có được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y  f  x  lên trên theo phương trục
Oy m đơn vị, do đó đồ thị hàm số y  f  x   m có xCD  1  m; xCT  3  m

 yCT  3  m  0
m  3
Để đồ thị hàm số y  f  x   m . có 3 cực trị thì 

 m  1
 yCD  1  m  0
Câu 30: Chọn C.
Phương pháp:
Đạo hàm hàm hợp: y  f  u  x    y '  f '  u  x   .u '  x 
Cách giải:









y  f x 2 2 x  y '  f ' x 2  2 x .  2 x  2 

22


 x 2  2 x  2

x  0
 f ' x2  2x  0
 x 2  2 x  1
y'  0  

  x  2
2 x  2  0
 x2  2x  0

 x  1

x  1









Vậy, hàm số y  f x 2  2 x có 3 cực trị.
Câu 31: Chọn A.
Phương pháp:
+) Đặt g  x   f  x 2  2 x  2 


+) Tìm số nghiệm của phương trình g '  x   0 (không là nghiệm bội chẵn).
+) Lập BBT và kết luận điểm cực đại của hàm số.
Cách giải:

 x  1
Quan sát đồ thị hàm số y  f '  x  ta thấy f '  x   0   x  1
 x  3
x 1

Đặt g  x   f  x 2  2 x  2   g '  x  



f '  x 2  2 x  2 

x2  2x  2 

 x  1


x 1  0
 x 2  2 x  2  1(vn)
g ' x  0    2

 f '  x  2 x  2   0
 x 2  2 x  2  1(1)
 


 x 2  2 x  2  3(2)


1  x 2  2 x  2  1  x 2  2 x  1  0   x  12  0  x  1
 2   x 2  2 x  2  9  x  1  2

2

Nghiệm của phương trình (1) là nghiệm bội 2 nên không là cực trị của hàm số y  g  x   f  x 2  2 x  2  .


Lập BBT của hàm số y  g  x  :

x
g ' x

1  2 2




0

1  2 2

-1
+

0

-

0



+

23


g x

Dựa vào BBT ta thấy hàm số y  g  x  đạt cực đại tại x  1.
Câu 32: Chọn D.
Phương pháp:
Số điểm cực trị của hàm số y  f  x  là số nghiệm của phương trình f '  x   0 mà qua đó f '  x   0 đổi
dấu.
Cách giải:
f x 1
f x

2 f x 1
f x
Ta có y '  2 f '  x  .2    f '  x  .5    f '  x  2e    5     0



Vì 2e

2 f  x  1

2 f x 1
f x
f x
 5    0x  y '  0  f '  x   0  Số điểm cực trị của hàm số y  e    5   bằng

số cực trị của hàm số y  f  x  .
Dựa vào đồ thị hàm số y  f '  x  ta thấy hàm số y  f  x  có 3 điểm cực trị.
Vậy hàm số y  e

2 f  x  1

f x
 5   cũng có 3 điểm cực trị.

Câu 33: Chọn D.
Phương pháp:
+) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị.
+) Xác định các điểm cực trị của đồ thị hàm số A, B, C  A  Oy  .
+) Gọi I là trung điểm của BC, để ABOC là hình thoi  I là trung điểm của OA.
Cách giải:

TXĐ: D = R.

x  0
Ta có y '  4 x 3  4 m 2 x  0   2
 x  m 2
Để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị  m  0.



 

 

Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là A 0; m 2 ; B m; m 4  m 2 ; C m; m 4  m 2
Dễ thấy B, C đối xứng qua trục Oy.







Gọi I là trung điểm của BC ta có I 0; m 4  m 2 . Để tứ giác ABOC là hình thoi  I phải là trung điểm của





OA  m 2  2 m 4  2 m 2  2 m 4  m 2  m 2 2 m 2  1  0  m 

1
2

.
24


Câu 34: Chọn C.
Phương pháp:
Tính đạo hàm, giải phương trình để tìm tọa độ hai điểm cực trị, tìm tọa độ trung điểm của hai điểm cực trị
và cho điểm thuộc đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.
Cách giải:

x  0
Ta có y '  3 x 2  6 mx  0  
.
 x  2m
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi m  0.


Khi đó, gọi hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A 0;4 m3 ; B  2 m;0   AB  2 m; 4 m3 .









Phương trình đường phân giác của góc phần tư thứ nhất d : y  x  x  y  0.





Gọi I là trung điểm của đoạn AB  I m;2 m3 .
1

m  2 m3  0
m
(tm)
 I  (d )
2


 m(1  2 m )  0 
.
Yêu cầu bài toán 
2

3
 AB  (d )
2
m

4
m

0


 m  0(ktm)

Do đó tổng các giá trị m thỏa mãn là 0.
Câu 35: Chọn C.
Phương pháp:
A, B thuộc đồ thị hàm số nên tọa độ điểm A, B thỏa mãn hàm số.
A, B là các điểm cực trị nên x = 2 là nghiệm của phương trình y '  0.
Cách giải:

c  2
A, B thuộc đồ thị hàm số y  f  x   
(1)
16 a  4 b  c  14

x  0
b

 4 (2).
Ta có y '  4 ax  2 bx  0   2
b
x  
2a

2a
3

a  1

Từ (1) và (2)  b  8  y  f  x   x 4  8 x 2  2  f 1  5.

c  2


25