D06 phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số muc do 4

Câu 6.

[2D1-5.6-4] (THPT Ngô Sĩ Liên-Bắc Giang-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số
có đồ thị
tại đó tiếp tuyến của
A.

. Gọi

,

là hoành độ các điểm

song song với đường thẳng
B.

,

trên

Khi đó

C.

mà

bằng

D.

Lời giải

Chọn C.
Ta có

. Tiếp tuyến của

song song với đường thẳng

nên

hoành độ tiếp điểm là nghiệm phương trình
.
Phương trình trên có hai nghiệm
Câu 1.

[2D1-5.6-4]

,

.

(THPT Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 2 năm 2017-

2018) Cho hàm số

thuộc đồ thị

, có đồ thị

có hoành độ bằng . Tìm

tròn
A.

thỏa mãn

với

là tham số thực. Gọi

để tiếp tuyến

với đồ thị

tại

là điểm
cắt đường

tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất
.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C.
Đường tròn

có tâm

Ta có

;

và điểm

Do đó

cắt

:

. Dễ thấy

nằm trong đường tròn

tại

nhỏ nhất

Khi đó đường

.
.

Suy ra phương trình

Giả sử

,

,

luôn đi qua điểm cố định

.

. Thế thì ta có:

.

lớn nhất

có 1 vectơ chỉ phương

.
;

.

nên ta có:

Câu 49:

[2D1-5.6-4] (THPT Chuyên ĐH KHTN-Hà

Nội năm 2017-2018)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

biết tiếp tuyến đó cắt

trục tung và cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt
cân là
A.
.
B.
.
C.
.
Lời giải
Chọn A.

,

Gọi

là đồ thị hàm số

sao cho tam giác

D.

.

.

Gọi

,

.

Ta có

phương trình tiếp tuyến

của

tại

là:

.

.
Ba điểm
Ta thấy

,

,

tạo thành tam giác

vuông tại

.

nên theo giả thiết

cân tại

.
Vì

nên phương trình tương đương với
.

Khi đó,
.
Câu 48:
[2D1-5.6-4] (THPT Kinh Môn 2-Hải Dương năm 2017-2018) Gọi
là tiếp tuyến của đồ thị hàm số
đồng thời

tại điểm có tung độ dương,

cắt hai tiệm cận của

nhỏ nhất. Khi đó

bằng bao nhiêu ?
A.
.

B.

lần lượt tại

sao cho độ dài

tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích
.

C.
Lời giải

Chọn C.
; gọi điểm

và

.

.

D.

.

Phương trình tiếp tuyến:

.

Ta có tiệm cận đứng:

và tiệm cận ngang:

nên tọa độ điểm

.

là nghiệm của hệ:

nên tọa độ điểm

là nghiệm của hệ:

;
min bằng
Suy ra

.
. Vì

,

.

nên ta có phương trình

nên tọa độ điểm

:

.

là nghiệm của hệ:
.

nên tọa độ điểm

là nghiệm của hệ:

.
Vậy
Câu 48:

.

[2D1-5.6-4] (THPT Lương Văn Chánh Phú Yên năm 2017-2018)

Cho hàm số

có đồ thị

khoảng cách từ

và điểm

đến tiếp tuyến của

. Biết rằng
tại

là lớn nhất, mệnh đề

nào sau đây đúng?
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D.
Phương trình tiếp tuyến của

tại

Ta có
Lại có
Do đó

.

có dạng

.


.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
.
Dấu “ ” xảy ra
Bài ra

nên

.

Câu 49. [2D1-5.6-4] [2D1-4] (THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018) Cho hàm số
có đồ thị là
tại

cắt

tại điểm

tọa độ điểm

là điểm trên

khác

, …, tiếp tuyến của
A.

.

, tiếp tuyến của

tại

. Tìm

cắt

tại

để:

.

có hoành độ
tại

. Tiếp tuyến của

cắt

tại điểm

khác

khác

, gọi

là

.

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn C.
Phương trình hoành độ giao điểm của

và tiếp tuyến là

.

Phương trình

có một nghiệm kép

Ta có:

và một nghiệm

.

.

Áp dụng định lí Viét cho phương trình bậc ba, ta có:
.
Suy ra:

,

,

, …,

.

Ta có:
.
Câu 49. [2D1-5.6-4] [2D1-4] (THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018) Cho hàm số
có đồ thị là

tại

cắt

tại điểm

A.
Chọn C.

.

. Tìm

là điểm trên

khác

, …, tiếp tuyến của
tọa độ điểm

.

, tiếp tuyến của

tại

cắt

để:
B.

có hoành độ

tại

tại

. Tiếp tuyến của

cắt

tại điểm

khác

khác

, gọi

là

.
.

C.
Lời giải

.

D.

.


Phương trình hoành độ giao điểm của

và tiếp tuyến là
.

Phương trình

có một nghiệm kép

Ta có:

và một nghiệm

.

.

Áp dụng định lí Viét cho phương trình bậc ba, ta có:
.
Suy ra:

,

,

, …,

.

Ta có:
.
Câu 40. [2D1-5.6-4] (SGD Phú Thọ – lần 1 - năm 2017 – 2018) Cho hàm số
đồ thị

và điểm

. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của

để từ điểm
phía của trục hoành?
A.
.
Chọn C.
Đường thẳng

Để

kẻ được hai tiếp tuyến đến

B.

.

đi qua điểm

là tiếp tuyến của

C.
Lời giải
, hệ số góc

có
trong đoạn

sao cho hai tiếp điểm nằm về hai
.

D.

có phương trình:

.

.

thì hệ phương trình

có nghiệm.

Thay (**) vào (*) ta được:
với
Do từ

kẻ được hai tiếp tuyến đến

.

nên phương trình

có hai nghiệm phân biệt khác .

.

Khi đó toạ độ hai tiếp điểm là
do đó

,

và

với

,

.

Hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành khi
.

là nghiệm của


Kết hợp điều kiện

suy ra

nên trên đoạn

số giá trị nguyên của

thỏa yêu cầu bài toán là
.
Câu 44. [2D1-5.6-4] (SGD Phú Thọ – lần 1 - năm 2017 – 2018)
, ( ,

,

,

,

,

như hình vẽ dưới đây. Biết
tuyến của

A.

tại giao điểm của

.

) có đồ thị

Cho hàm số

. Đồ thị của hàm số

cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng

. Tiếp

với trục hoành có phương trình là

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn C.
Xét hàm số

có

.

Ta có đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
. Từ đồ thị

nhận đường thẳng

nên

làm tiệm cận đứng nên

.
Mặt khác ta lại có đồ thị

đi qua điểm

nên

.
Vậy

.

Đồ thị

cắt trục

tại điểm

Vậy phương trình tiếp tuyến của

và

.

tại giao điểm của

và trục

là

.
Câu 49. [2D1-5.6-4] (THPT Chuyên ĐH Vinh – lần 1 - năm 2017 – 2018) Cho đồ thị
. Có bao nhiêu số nguyên
qua điểm
A. .

để có đúng một tiếp tuyến của

?
B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn C.
Gọi

là hoành độ tiếp điểm, phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

có dạng:

đi


.
Tiếp tuyến đi qua điểm

khi và chỉ khi:

Xét hàm số

.

Ta có

;

.

Ta có bảng biến thiên:

Để có đúng một tiếp tuyến của
một nghiệm

đi qua điểm

điều kiện là phương trình

. Từ bảng biến thiên, ta có điều kiện của

Do đó, các số nguyên

là

.

để có đúng một tiếp tuyến của
. Hay có

có đúng

đi qua điểm

giá trị nguyên của

là
.

 Chú ý: Ta có thể sử dụng điều kiện tiếp xúc để giải bài này như sau:
Gọi tiếp tuyến có hệ số góc

. Phương trình tiếp tuyến là

Điều kiện tiếp xúc:

. Từ đây lập luận như trên ta cũng được

kết quả.
Câu 36. [2D1-5.6-4] (THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – lần 4 - năm 2017 – 2018) Gọi
là tập hợp các điểm thuộc đường thẳng
mà qua mỗi điểm thuộc đều kẻ được hai tiếp
tuyến phân biệt tới đồ thị hàm số
Tính tổng hoành độ
A.

.

đồng thời hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.

của tất cả các điểm thuộc
B.

.

.

C.
Lời giải

.

Chọn D.

Gọi điểm

. Đường thẳng đi qua

Điều kiện tiếp xúc:

Để

tiếp tuyến vuông góc nhau

có dạng

D.


Vậy tổng hai hoành độ là

.

Câu 48. [2D1-5.6-4] (THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai – Lần 2 năm 2017
– 2018) Cho hàm số
nhiêu điểm
A.

có đồ thị

mà qua

.

có thể kẻ đến

B.

.

. Hỏi trên trục

có bao

đúng ba tiếp tuyến?

C. .
Lời giải

D.

.

Chọn C.
Nhận xét: hàm số đã cho là hàm số chẵn và có đạo hàm trên . Việc chứng
minh hàm số có đạo hàm trên
, ta chỉ cần chứng minh hàm số có đạo
hàm tại
.
Thật vậy, ta có

Nên hàm số có đạo hàm tại

và .

Vì hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị
đó từ điểm

của

trên trục

nếu kẻ được một tiếp tuyến

qua phép đối xứng trục

Vậy để qua điểm

của nó đối xứng qua
đến

cũng là một tiếp tuyến của

trên trục

có thể kẻ đến

. Do
thì ảnh

.

đúng ba tiếp tuyến thì

điều kiện cần và đủ là có một tiếp tuyến vuông góc với trục tung và một
tiếp tuyến với nhánh phải của đồ thị
, với
Gọi

thuộc

có:

, tức là phần đồ thị của hàm số

.
và

là tiếp tuyến qua

có hệ số góc

. Ta

.

Điều kiện tiếp xúc là:

Suy ra:
Yêu cầu đề bài tương đương phương trình
một nghiệm

.

Phương trình

có nghiệm

Thử lại, với

thì

Vậy

nên

trở thành:

có đúng một nghiệm

và

.
(đúng).

.

Câu 46: [2D1-5.6-4] (THPT Chuyên Thái Bình – Thái Bình – Lần 5 năm 2017 –
2018) Cho các hàm số

,

,

. Hệ số góc của các tiếp tuyến của các


đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ

sau đây đúng?
A.

.

B.

.

bằng nhau và khác
C.

.

. Khẳng định nào

D.

.

Lời giải
Chọn A.
Ta có

mà

Ta có

.

Đặt

nên

Vậy

.
, dấu

xảy ra khi

.

Câu 43: [2D1-5.6-4] (SỞ GD VÀ ĐT HA NAM-2018) Cho hàm số
và điểm

. Gọi

có đồ thị là

là tập hợp tất cả các giá trị thực của

tiếp tuyến đến đồ thị

. Tổng giá trị tất cả các phần tử của

A.

B.

.

.

C.

để qua

kẻ được đúng

bằng

.

D.

.

Lời giải
Chọn B.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị
Để qua

kẻ được đúng

hai nghiệm

Thay

vào

Như vậy, hệ

và có hệ số góc

tiếp tuyến đến đồ thị

là:

.

điều kiện là hệ phương trình sau có đúng

phân biệt

ta được

có đúng hai nghiêm khi và chỉ khi phương trình

và một nghiệm khác
Phương trình

đi qua

; hoặc phương trình

có nghiệm

có nghiệm duy nhất khác

khi và chỉ khi

.

. Khi đó, phương trình

;
Do đó
thỏa mãn.
Phương trình
có nghiệm duy nhất khác

có một nghiệm bằng

điều kiện là

trở thành


.

Như vậy

.

Tổng giá trị tất cả các phần tử của
Câu 46:

[2D1-5.6-4]

(CHUYÊN
. Gọi

là

.
THÁI

NGUYÊN

A. .

. Giá trị của
B.

Cho

đồ

thị

là điểm nằm trên trục tung mà từ đó kẻ

được ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị
nửa khoảng

-2018)

. Biết tập hợp các giá trị của

là

bằng

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C.
- Ta có:
- Gọi
là đường thẳng đi qua
và có hệ số góc là
- Đường thẳng
là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có
nghiệm:

.
Hệ phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi
- Xét hàm số:
có
BBT:

trên

có nghiệm.

,
.


Dựa vào BBT ta thấy: phương trình
. Vậy

có nghiệm

hay

.

Câu 46. [2D1-5.6-4] (CHUYÊN HÀ TĨNH -LẦN 1-2018) Cho hàm số
trên

, thỏa mãn

. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

tại điểm có hoành độ bằng
A.

.

có đạo hàm liên tục

là:

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn D.
Từ

(*), cho

và

ta được

Lấy đạo hàm hai vế của (*) ta được

, cho

và

ta được

.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

tại điểm

là

.
Câu 43:

[2D1-5.6-4] (THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Đồng Nai - Lần 1 -

2018) Cho hàm số
nhiêu điểm
A.

có đồ thị

mà qua

.

B.

có thể kẻ đến
.

. Hỏi trên trục

có bao

đúng ba tiếp tuyến?

C. .
Lời giải

D.

.

Chọn C.
Vì hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị
đó từ điểm
của

trên trục

nếu kẻ được một tiếp tuyến

qua phép đối xứng trục

Vậy để qua điểm

trên trục

đến

cũng là một tiếp tuyến của
có thể kẻ đến

điều kiện cần là có một tiếp tuyến của
góc với

của nó đối xứng qua

qua

. Do
thì ảnh

.

đúng ba tiếp tuyến thì
mà tiếp tuyến này vuông

, tức là tiếp tuyến này có hệ số góc bằng

.

Ta có

Mặt khác

.

Từ đó ta thấy có hai tiếp tuyến có hệ số góc bằng

là

và

.


cắt

tại

,

cắt

tại

.

* Ta viết phương trình các tiếp tuyến kẻ từ
của

đến nhánh bên phải

.

Xét hệ phương trình

Vậy từ

hoặc

.

kẻ được hai tiếp tuyến đến nhánh bên phải

trong đó có một tiếp tuyến vuông góc với
vuông góc với

. Suy ra từ

kẻ được

tiếp tuyến đến

.

đến nhánh bên phải

.

Xét hệ phương trình
Vậy từ
của

,

và một tiếp tuyến không

* Ta viết phương trình các tiếp tuyến kẻ từ

của

của

.

kẻ được một tiếp tuyến duy nhất đến nhánh bên phải
mà tiếp tuyến này vuông góc với

một tiếp tuyến duy nhất đến
* Vậy

. Suy ra từ

kẻ được

.

là điểm duy nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do đó đáp án

đúng là

C.

Câu 37: [2D1-5.6-4] (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU-2018) Cho hàm số
điểm

. Điểm

,

sao cho tiếp tuyến tại

thẳng
A. .

. Giá trị của

bằng
B. .

có đồ thi

của

và

vuông góc với đường

C. .
Lời giải

D. .

Chọn D.
Phương trình tiếp tuyến tại

có dạng:

Vậy vec tơ chỉ phương của đường thẳng tiếp tuyến là:

Mặt khác ta có:
Để tiếp tuyến tại

Với
Vì

của

vuông góc với đường thẳng

thì:

và
vậy

.

Câu 48: [2D1-5.6-4] (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH -LẦN 1-2018) Cho đồ thị
nhiêu số nguyên
A. .

B.

để có đúng một tiếp tuyến của
.
C. .

đi qua điểm
D. .

. Có bao
?


Lời giải
Chọn C.
Gọi

là hoành độ tiếp điểm, phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

có dạng:

.
Tiếp tuyến đi qua điểm

khi và chỉ khi:

Xét hàm số

.

Ta có

;

.

Ta có bảng biến thiên:

Để có đúng một tiếp tuyến của

đi qua điểm
điều kiện là phương trình
Thanh Tâm
một nghiệm . Từ bảng biến thiên, ta có điều kiện của là
.
Do đó, các số nguyên

để có đúng một tiếp tuyến của
. Hay có

A.

B.

điểm.

có đồ thị

điểm.

C. điểm.
Hướng dẫn giải

D.

.

Gọi

là hoành độ tiếp điểm, phương trình tiếp tuyến có dạng

Gọi

là điểm nằm trên đường thẳng

Tiếp tuyến đi qua điểm

là
.
. Hỏi có

sao cho từ đó kẻ được hai tiếp tuyến với

Chọn A.
Ta có

đi qua điểm

giá trị nguyên của

Câu 39: [2D1-5.6-4] (SỞ GD-ĐT HÀ NỘI -2018) Cho hàm số
bao nhiêu điểm trên đường thẳng

có đúng

khi và chỉ khi

.

điểm.

.


Yêu cầu đề bài

có hai nghiệm phân biệt có một nghiệm bằng

kép khác

hoặc

hoặc

có nghiệm

.

Vậy có điểm
thỏa đề bài.
Câu 47. [2D1-5.6-4] (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC-LẦN 1-2018) Tìm trên đường thẳng
có tung độ là số nguyên nhỏ nhất mà qua đó có thể kẻ tới đồ thị

điểm

của hàm số

đúng ba tiếp tuyến phân biệt.
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A.
Tập xác định:
Gọi

. Ta có:

.

là điểm cần tìm. Do hàm số

thị hàm số

nên tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Phương trình tiếp tuyến

Giả sử tiếp tuyến

của

sẽ luôn tồn tại hệ số góc

đi qua

tiếp xúc với

với hệ số góc

tại điểm có hoành độ là

phương trình
Ta tìm

có đạo hàm tại mọi điểm thuộc đồ

là

.
.

. Khi đó

là nghiệm của hệ

.

để cho hệ phương trình trên có đúng

nghiệm. Điều này tương đương với phương

trình

có đúng

nghiệm

phân biệt.
Đặt

. Ta có:

.

Xét

.

Đồ thị hàm số

cắt trục hoành tại

điểm phân biệt khi và chỉ khi

.
Vậy giá trị nguyên nhỏ nhất của
Câu 48:

thỏa mãn yêu cầu bài toán là

. Vậy

[2D1-5.6-4] (THPT Kinh Môn 2 - Hải Dương - 2018) Gọi

tuyến của đồ thị hàm số

nhiêu ?
A.
.
Chọn C.

là tiếp

tại điểm có tung độ dương, đồng thời

cắt hai tiệm cận của
nhất. Khi đó

.

lần lượt tại

và

sao cho độ dài

nhỏ

tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng bao
B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.


; gọi điểm

.

Phương trình tiếp tuyến:

.

Ta có tiệm cận đứng:

và tiệm cận ngang:

nên tọa độ điểm

.

là nghiệm của hệ:

nên tọa độ điểm

là nghiệm của hệ:

;
min bằng
Suy ra

.
. Vì

,

.

nên ta có phương trình

nên tọa độ điểm

:

.

là nghiệm của hệ:
.

nên tọa độ điểm

là nghiệm của hệ:

.
Vậy
Câu 37:

.

[2D1-5.6-4] (THPT Phan Chu Trinh - Đaklak - L2 - 2018) Cho hàm

số

có đồ thị

tuyến đến đồ thị

và điểm

sao cho từ

vẽ được ba tiếp

, trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Khi đó

khẳng định nào sau đây đúng.
A.

.

B.

.

C.

.

Lời giải
Chọn C.
Ta có

.

Gọi

thuộc đồ thị hàm số.

Phương trình tiếp tuyến

của đồ thị hàm số tại
.

là:

D.

.

.
Khi

ta có phương trình tiếp tuyến

.

Đối với đồ thị hàm số không có tiếp tuyến nào vuông góc với
cầu bài toán tương đương phương trình

có hai nghiệm

thỏa

.
Thay

vào

thử lại có 2 nghiệm phân biệt khác

.

nên yêu
và

khác