D04 các bài toán khác(góc, khoảng cách, ) liên quan đến thể tích khối đa diện muc do 3
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.33 MB, 35 trang )
Câu 35: [2H1-3.4-3] [1H1-3] (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - Lần 1) Cho tứ diện
có
. Hai tam giác
và
có diện tích lần lượt là
và
. Biết thể tích khối tứ
diện
bằng
A.
. Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng
.
B.
.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn B.
Gọi
là hình chiếu của
xuống
Gọi
là hình chiếu của
xuống
Mặt khác
. Ta có
.
, dễ thấy
. Vậy
.
Do đó
Câu 21.
.
[2H1-3.4-3] (THPT HOA LƯ A- LẦN 1-2018) Một viên đá có hình dạng là khối chóp tứ giác đều với tất cả
các cạnh bằng . Người ta cắt khối đá đó bởi mặt phẳng song song với đáy của khối chóp để chia khối
đá thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính diện tích của thiết diện khối đá bị cắt bởi mặt phẳng nói
trên. (Giả thiết rằng tổng thể tích của hai khối đá sau vẫn bằng thể tích của khối đá đầu).
A.
.
B.
.
C.
.
D.
Lời giải
Chọn D.
Gọi
,
,
,
lần lượt là giao điểm của mặt phẳng cắt với cạnh bên
,
,
,
và
. Do
Đặt
(Định lý Thales) và
.
Ta có
Theo ycbt :
.
Mặt khác
.
Câu 41.
[2H1-3.4-3] (THPT HOA LƯ A- LẦN 1-2018) Cho hình hộp chữ nhật
hình vuông cạnh
A.
,
có đáy
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
.
B.
.
C.
.
và
D.
là
.
.
Lời giải
Chọn B.
Gọi
lần lượt là tâm của hai mặt đáy.Khi đó tứ giác
Do
là hình bình hành và
nên
.
Ta có :
Lại có
Trong
.
hạ
Khi đó :
Câu 47.
.
[2H1-3.4-3] (THPT HOA LƯ A- LẦN 1-2018) Cho khối lăng trụ đứng, mặt phẳng
trung điểm của
bằng với
,
Tìm
chia khối lăng trụ
.
đi qua
và các
thành hai khối đa diện có tỷ số thể tích
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn D.
Gọi
trụ
lần lượt là trung điểm của
. Khi đó ta có
và
là độ dài chiều cao của khối lăng
Mặt khác
Suy ra
Câu 23. [2H1-3.4-3] (Chuyên Bắc Ninh - Lần 1 - 2018) Hình lăng trụ
tam giác vuông tại
đường thẳng
A.
Hình chiếu vuông góc của
. Tính khoảng cách từ điểm
.
B.
.
.
C.
D.
.
Chọn C.
Giả sử
Ta có
là hình chiếu vuông góc của
;
;
lên
.
.
.
trên
đến mặt phẳng
Lời giải
Gọi
có đáy
là
nằm trên
.
.
Câu 6.
[2H1-3.4-3] (THPT XUÂN HÒA-LẦN 1-2018) Cho hình chóp tứ giác
có đáy là
vuông; mặt bên
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết
khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
bằng
. Tính thể tích
của khối chóp
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn D.
Gọi
;
lần lượt là trung điểm của
Đặt cạnh đáy bằng
Vì
khi đó
;
;
,
là hình chiếu của
lên
.
nên
Từ đó suy ra
.
Câu 45. [2H1-3.4-3] (THPT XUÂN HÒA-LẦN 1-2018) Cho hình lăng trụ đứng
là tam giác đều cạnh . Khoảng cách từ tâm
của tam giác
bằng
A.
.
. Tính thể tích khối lăng trụ
B.
.
.
C.
Lời giải
Chọn D.
, biết đáy
đến mặt phẳng
.
D.
.
Diện tích đáy là
.
Chiều cao là
.
Do tam giác
là tam giác đều nên là trọng tâm của tam giác
của
,
là hình chiếu vuông góc của lên
ta có
Xét tam giác
vuông tại
. Gọi
là trung điểm
ta có:
.
Câu 37.
[2H1-3.4-3] (THTT Số 2-485 tháng 11-năm học 2017-2018) Cho hình chóp tam giác
đều
có các cạnh bên
,
,
vuông góc với nhau từng đôi một. Biết thể tích của hình
chóp bằng
. Bán kính
A.
.
mặt cầu nội tiếp của tứ diện là
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn A.
Do
nên các tam giác
góc với nhau từng đôi một nên ta có:
vuông cân tại , do
,
,
vuông
.
Gọi O là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp.
Gọi
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
ta có
lên
và
.
Câu 14:
[2H1-3.4-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018) Cho hình chóp
có
từ điểm
,
là tam giác đều cạnh
đến mặt phẳng
A.
.
và tam giác
cân. Tính khoảng cách
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn A.
Gọi
là trung điểm
Trong tam giác
. Do tam giác
, kẻ
đều nên
.
.
Do
Từ
.
và
, ta suy ra
Theo giả thiết, ta có
Tam giác
vuông nên
.
,
(đường cao trong tam giác đều cạnh
).
.
Câu 27:
[2H1-3.4-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018) Cho hình lập phương
có cạnh bằng
từ điểm
A.
đến
.
. Gọi
là điểm thuộc cạnh
sao cho
. Tính khoảng cách
.
B.
.
C.
D.
.
.
Lời giải
Chọn C.
Ta có:
.
Ta có:
.
Câu 45.
[2H1-3.4-3] (THPT Ngô Sĩ Liên-Bắc Giang-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình lăng
trụ đứng
có đáy
điểm của
A.
là tam giác vuông,
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
.
B.
.
,
C.
Lời giải
Chọn A.
,
,
là
.
D.
.
là trung
Cách 1: Gọi
là trung điểm
.
Ta có
Mà
là trung điểm
nên
Trong mặt phẳng
, kẻ
Trong mặt phẳng
, kẻ
thì
.
Tam giác
vuông tại
có
Tam giác
vuông tại
có
Cách 2: Chọn hệ trục
.
.
như hình vẽ
Ta có :
;
;
là trung điểm
;
nên
;
;
;
Khi đó
.
.
Câu 32. [2H1-3.4-3] (THPT Nguyễn Đức Thuận-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018)
Hình chóp tam giác đều
có cạnh đáy bằng
, cạnh bên bằng
. Tính khoảng cách
từ đỉnh
A.
tới mặt phẳng đáy
.
B.
?
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn B.
Hình chóp
có tất cả các cạnh đều bằng nhau nên là hình tứ diện đều cạnh
Khi đó, hình chiếu vuông góc của đỉnh
tiếp tam giác
trên mặt phẳng đáy
. Và
.
là tâm đường tròn ngoại
.
Vậy
Câu 33. [2H1-3.4-3] (THPT Nguyễn Đức Thuận-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018)
Cho hình lăng trụ đứng
có đáy
là tam giác vuông
, cạnh bên
. Gọi
là trung điểm của
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
?
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn A.
Nhận xét: hai đường thẳng
và
chéo nhau và không vuông góc nên ta chọn phương
pháp tính thông qua đoạn vuông góc chung.
Qua điểm
, dựng đường thẳng
với
. Ta dễ dàng chứng minh được
. Vậy
Do
.
là chân đường vuông góc hạ từ
điểm của đoạn thẳng
Gọi
xuống mặt phẳng
, nên ta có mối quan hệ
là hình chiếu vuông góc của
trên
Ta dễ dàng chứng minh được
.
,
là hình chiếu vuông góc của
với
, ta có
là đường cao của tam giác vuông
Có
là trung
trên
.
.
Theo định lý Talet trong tam giác
Có
, đồng thời
là đường cao của tam giác
.
nên
.
nên
Vậy, ta có:
Câu 35. [2H1-3.4-3] (THPT Nguyễn Đức Thuận-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018)
Cho hình chóp
vuông góc của
có đáy
là tam giác vuông tại
trên mặt đáy là trung điểm
khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
A.
B.
.
của cạnh
,
. Hình chiếu
. Biết
. Tính theo
?
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn B.
Để tính khoảng cách từ điểm
trên mặt phẳng
đến mặt phẳng
qua các bước sau:
, ta xác định hình chiếu vuông góc của
- Dựng
- Dựng
với
, chứng minh được
là hình chiếu vuông góc của
Vậy
trên
và
.
, ta chứng minh được
.
.
Do
nên dễ dàng chỉ ra được
là trung điểm của
và
,
.
Ta có
nên
Do
.
nên xét tam giác vuông
có:
;
Do vậy, ta có
.
.
Câu 37. [2H1-3.4-3] (THPT Nguyễn Đức Thuận-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018)
Cho hình chóp
có đáy là hình vuông cạnh , tam giác đều
nằm trong mặt
phẳng vuông góc với đáy. Gọi ,
lần lượt là trung điểm của
,
. Ta có
của góc
tạo bởi hai mặt phẳng
A.
.
và
B.
bằng:
.
C.
.
D.
Lời giải
Chọn B.
Ta có:
là trung điểm
thì
(vì tam giác
đều)
Mà
Mặt khác
Mà
, với
.
là trung điểm
.
.
Khi đó
.
Câu 42. [2H1-3.4-3] (THPT Nguyễn Đức Thuận-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018)
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông, cạnh bên
vuông góc với đáy và
. Biết diện tích tam giác
A.
.
B.
là
, khoảng cách từ điểm
.
C.
.
đến
là
D.
.
Lời giải
Chọn D.
Ta có:
và
Vì đáy
suy ra
là hình vuông tâm
.
nên
;
,
suy ra
.
Vậy
là khoảng cách từ điểm
Xét
vuông tại
đến
có
:
,
,
suy ra
.
Câu 44. [2H1-3.4-3] (THPT Nguyễn Đức Thuận-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018)
Cho hình chóp
trong đó
,
,
vuông góc với nhau từng đôi một. Biết
,
A.
,
. Khoảng cách từ
.
B.
.
đến
bằng:
C.
Lời giải
.
Chọn D.
Do
;
suy ra
. Kẻ
.
D.
.
Vậy khoảng cách từ
đến
là
Trong đó
, trong tam giác vuông
,
Câu 46. [2H1-3.4-3]
:
suy ra
.
(THPT Nguyễn Đức Thuận-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018)
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông,
khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
bằng:
A.
B.
C.
.
.
. Cạnh
.
D.
,
.
Lời giải
Chọn D.
Gọi
,
Xét
có
Kẻ
Câu 45:
. Xét
có
.
.
,
. Ta có
.
[2H1-3.4-3] (THPT Nguyễn Khuyến-TPHCM-năm 2017-2018) Cho lăng
trụ đứng
có tất cả các cạnh đều bằng
bởi đường thẳng
và mặt phẳng
A.
B.
. Gọi
. Tính giá trị
C.
Lời giải
Chọn D.
là trung điểm cạnh
D.
là góc tạo
Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
Khi đó ta có
nên góc giữa
và
Mặt khác ta có
đều (vì có ba cạnh bằng nhau) nên
, suy ra
Ta có
là đường cao tam giác đều
Hơn nữa
.
bằng góc giữa
, lại có
và
nên
.
nên
Do đó
Câu 39. [2H1-3.4-3] (THPT Chuyên Hùng Vương-Bình Phước-lần 2-năm 20172018) Cho khối hộp chữ nhật
có thể tích bằng
. Thể tích phần chung
của hai khối
và
bằng
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B.
Gọi
, ,
, , ,
và
,
và
Phần chung của hai khối
lần lượt là giao điểm của
,
và
.
và
là khối
và
,
và
.
,
và
,
Thể tích khối
là:
.
Câu 27.
[2H1-3.4-3] (THPT Lục Ngạn-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Cho lăng trụ
có đáy là tam giác vuông cân tại
phẳng
là điểm
góc
A.
thuộc cạnh
,
. Hình chiếu vuông góc của
sao cho
. Mặt bên
lên mặt
tạo với đáy một
. Thể tích khối lăng trụ là:
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn D.
Tam giác
vuông cân tại
Ta có
,
và
tạo với đáy một góc
Suy ra
.
là
, với
.
.
Vậy thể tích khối lăng trụ là:
.
Câu 43. [2H1-3.4-3] (THPT Triệu Sơn 1-lần 1 năm 2017-2018) Cho tứ diện
,
bằng
và
. Khoảng cách từ
. Biết thể tích của khối tứ diện bằng
đến mặt phẳng
. Góc giữa hai mặt phẳng
là
A.
.
B.
.
C.
Lời giải
Chọn C.
.
có
D.
.
và
Gọi
là trung điểm cạnh
và
là trung điểm cạnh
.
Ta có
Tam giác
có
;
và
tam giác
vuông cân tại
.
Mà:
nên
Mặt khác
Tam giác
có
Tam giác
có
tam giác
.
,
và
vuông tại
hay
.
Câu 44. [2H1-3.4-3] (THPT Triệu Sơn 1-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp tứ giác đều
có cạnh đáy bằng
. Mặt bên của hình chóp tạo với mặt đáy một góc
. Mặt
phẳng
chứa
và đi qua trọng tâm
. Thể tích khối chóp
A.
.
của tam giác
,
lần lượt tại
là
B.
.
C.
Lời giải
Chọn A.
cắt
.
D.
.
và
Gọi
là trung điểm cạnh
và
là tâm hình vuông
.
Ta có
là hình chóp tứ giác đều nên các mặt bên hợp với đáy các góc bằng nhau
Giả sử
Tam giác
vuông tại
có
.
.
Mặt khác:
Mà
là trọng tâm tam giác
nên
cũng là trọng tâm tam giác
.
Ta lại có
Khi đó
.
Câu 45: [2H1-3.4-3] (THPT Kim Liên-Hà Nội năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ đứng
có đáy là tam giác vuông và
. Tính khoảng cách của hai đường thẳng
A.
.
B.
.
,
và
C.
Lời giải
Chọn C.
,
là trung điểm của
.
.
D.
.
Tam giác
vuông và
nên
Ta có
chỉ có thể vuông tại
.
.
Kẻ
.
Tứ diện
Câu 23:
là tứ diện vuông
[2H1-3.4-3] (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-lần 2 năm 2017-2018) Cho hình
chóp
có đáy
đường thẳng
là tam giác vuông tại
và mặt phẳng
giữa hai đường thẳng
và
A.
B.
.
bằng
,
. Gọi
và
. Góc giữa
là trung điểm của cạnh
. Khoảng cách
bằng
.
C.
Lời giải
Chọn D.
,
.
D.
.
Trong mặt phẳng
, kẻ
tại
cắt
.
Ta có
.
Hạ đường cao từ
xuống
Kẻ
.
tại
.
Khi đó
.
Ta có
.
Ta lại có
.
Do
, tứ giác
suy ra
có:
là hình chữ nhật.
.
Ta có
.
.
Câu 31:
[2H1-3.4-3] (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-lần 2 năm 2017-2018) Cho tứ diện
biết
diện
,
,
đôi một vuông góc với nhau, biết
bằng 6. Khi đó khoảng cách từ
đến mặt phẳng
và thể tích khối tứ
bằng:
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn D.
Ta có:
.
Vẽ
,
suy ra:
.
Lại có:
Câu 48.
.
[2H1-3.4-3] (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp tứ
giác đều
. Mặt phẳng
đường thẳng
tại
. Gọi
chứa đường thẳng
và
và vuông góc với mặt phẳng
lần lượt là thể tích các khối chóp
đo góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy của hình chóp
A.
B.
.
biết
C.
.
.
và
Lời giải
Chọn A.
Gọi
là trung điểm
Dựng
Vậy
Kéo dài
. Góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là góc
dễ thấy
.
.
. Đây là giao điểm cần tìm.
. Tính số
.
D.
.
, cắt
.
Ta có
.
Dựng
Giả sử
vậy
,
.
,
Xét tam giác vuông
Dễ thấy
.
.
ta có
.
.
Xét tam giác vuông
vuông tại
có
.
Câu 28. [2H1-3.4-3] (THPT Thạch Thành 2-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Cho tứ
diện
có
, hai tam giác
,
có diện tích lần lượt là
và . Biết thể
tích của tứ diện
A.
bằng
.
, tính số đo góc giữa hai mặt phẳng
B.
.
C.
và
.
D.
.
.
Lời giải
Chọn C.
* Hạ
và
suy ra
* Do đó góc giữa hai mặt phẳng
* Lại có
* Trong tam giác vuông
và
;
, ta có
nên
.
chính là góc
.
.
.
Câu 43: [2H1-3.4-3] (THPT Thăng Long-Hà Nội-lần 1 năm 2017-2018) Cho lăng trụ
có đáy
là tam giác đều cạnh bằng , biết
. Tính thể
tích khối lăng trụ
?
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn B.
Gọi
là trọng tâm tam giác
. Theo giả thiết ta có
nên
là tứ diện đều cạnh
cao của khối chóp
.
Xét tam giác vuông
ta có
Diện tích tam giác
hay
và
là đường
.
là
.
Thể tích khối lăng trụ
Câu 50.
là tam giác đều cạnh bằng
là
.
[2H1-3.4-3] (THPT Chuyên Thái Bình-lần 3 năm 2017-2018) Cho khối lăng trụ đứng
có đáy là tam giác vuông
tạo với mặt phẳng
A.
.
góc
B.
.
vuông tại
,
. Đường thẳng
. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
C.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
,
.
D.
Ta có
, dễ thấy góc giữa đường thẳng
tạo với mặt phẳng
. Suy ra
là góc
.
Vậy
.
----------HẾT----------
Câu 34: [2H1-3.4-3] (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa năm 2017-2018) Cho lăng trụ đứng
có đáy là tam giác
vuông cân tại
và mặt phẳng
A.
bằng
, cạnh
. Tính thể tích
B.
. Góc giữa mặt phẳng
của khối lăng trụ
C.
?
D.
Lời giải
Chọn D
Vì tam giác
vuông cân tại
Chọn hệ trục tọa độ
, cạnh
sao cho
,
;
VTPT của
nên
,
,
,
.
.
là:
,
.
.
.
VTPT của mặt phẳng
Vì góc giữa mặt phẳng
là:
.
và mặt phẳng
bằng
nên:
.
Vậy thể tích của khối lăng trụ
Câu 38.
là:
.
[2H1-3.4-3] (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng-lần 2 năm 2017-2018) Cho
hình chóp
có đáy
là hình thang vuông tại
và
,
,
. Gọi
là
trung điểm cạnh
chóp
A.
, biết hai mặt phẳng
bằng
.
,
cùng vuông góc với đáy và thể tích khối
. Tính góc giữa hai mặt phẳng
B.
.
C.
,
.
.
D.
.
Lời giải
Chọn D.
Diện tích hình thang
,
Độ dài đường cao
Vẽ
.
.
tại
.
Ta có
.
.
.
Câu 40. [2H1-3.4-3] (PTNK-ĐHQG TP HCM-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp tứ giác
đều
cách
có thể tích
từ
A.
.
. Gọi
đến mặt phẳng
B.
là trung điểm cạnh
thì khoảng
bằng bao nhiêu?
.
C.
Lời giải
Chọn A.
. Nếu
.
D.
.
Gọi
là tâm hình vuông
Đặt
.
.
;
.
Tam giác
vuông tại
nên
.
.
;
(Vì
).
.
Ta có:
.
Lại có:
.
Câu 42. [2H1-3.4-3] (THPT Hồng Bàng – Hải Phòng – năm 2017 – 2018) Cho hình
chóp
có đáy
đường thẳng
bằng
A.
là hình vuông,
và mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng
bằng
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
.
B.
.
Lời giải
Chọn C.
. Biết rằng thể tích khối chóp
và
C.
, góc giữa
bằng
.
D.
.
