Các bài toán tìm khoảng cách

Bài 2: Các bài toán tìm khoảng cách – Khóa LTĐH Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
BTVN BÀI CÁC BÀI TOÁN TÌM KHOẢNG CÁCH
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, có
SA h=
và vuông góc
với
mp(ABCD). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của:
1. SB và CD
2. SC và BD
HDG : 1. Vì ABCD là hình vuông nên
BC CD⊥
Lại có:
( )
( )
( )
BC AB
BC SAB BC SB
BC SA do SA ABCD
⊥


⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥ ⊥


Vậy BC là đoạn vuông góc chung của SB và CD, và
BC a=
2. Gọi
O AC BD= ∩ ⇒
AC và BD vuông góc nhau tại O, mà

SA BD⊥ ⇒
( )
BD mp SAC⊥
. Trong
tam giác SAC, kẻ OI vuông góc với SC khi đó BD và OI vuông góc nhau do đó OI là đường vuông
góc chung của SC và BD
Ta có:
( )
2 2
.
2 2
SA SC SAOC ah
SAC OIC OI
OI OC SC
h a
∆ ∆ ⇒ = ⇒ = =
+
:
Bài 2: Cho chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng
3 ,a
cạnh bên bằng
2 .a
Gọi G là trọng tâm tam
giác ABC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.
HDG : Trong tam giác ABC đều, kéo dài AG cắt BC tại M
AG BC⇒ ⊥
Chóp S.ABC đều, mà G là tâm
ABC
∆
ABC nên

( )
SG ABC SG BC⊥ ⇒ ⊥
, từ đó suy ra
( )
BC SAG⊥
.
Trong
SAM
∆
kẻ
( )
MN SA N SA MN BC⊥ ∈ ⇒ ⊥
. Do vậy MN là đoạn vuông góc chung của BC và
SA. Ta có:
2
. 3 3

4
SAM
S
SG MA a
MN
SA SA
∆
= = = =
Bài 3 : Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA vuông góc với mp(ABC) và
2.SA a
=
. Đáy ABC là
tam giác vuông tại B với BA=a. Gọi M là trung điểm của AB. Tìm độ dài đoạn vuông góc chung của 2

đường thẳng SM và BC.

HDG:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
Bài 2: Các bài toán tìm khoảng cách – Khóa LTĐH Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Ta có
( )
SA BC
BC SAB
AB BC
⊥

⇒ ⊥

⊥

tại B. Dựng
( )BH SM H SM
⊥ ∈
.
Ta thấy:
BH BC
⊥
. Vậy BH chính là đoạn vuông góc chung của SM và BC.
Ta tính BH như sau:
Vì
1 2
2
3
3 3

2
2
a
BH BM BH a
BH
a
SA SM
a
= ⇔ = = ⇒ =
Bài 4: Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD có tâm là O, cạnh
a
và
3
.
3
a
OB =
Trên đường thẳng
vuông góc với mp(ABCD) tại O, lấy điểm S sao cho
.SB a=
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA
và BD.
HDG :
Dễ chứng minh được
( )
BD SAC⊥
(vì
,BD AC BD SO⊥ ⊥
)
Trong mp(SAC) kẻ

( )
OI SA I SA⊥ ∈ ⇒
OI là đoạn vuông góc chung của SA và BD.
Ta có:
2 2
6 2 3
3 3
a a
SO OA SA SO OA= = ⇒ = + =

2
. 3

3
SOA
S
SO OA a
OI
SA SA
∆
⇒ = = = =
Bài 5: Cho tứ diện ABCD với AB=CD=a, AC=BD=b, BC=AD=c. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của
AB và CD. Hãy tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và CD.
HDG:
Ta thấy ngay
ABC ABD
∆ = ∆
nên 2 trung tuyến CI và BD bằng nhau hay
ICD
∆

cân tại I. Nên ta có
IJ CD
⊥
.
CM tương tự ta có:
IJ AB
⊥
vậy IJ chính là đoạn vuông góc chung của AB và CD.
Tính IJ: Áp dụng công thức trung tuyến và ta tính IJ được kết quả là:

2 2 2
IJ
2
b c a
+ −
=
………………….Hết…………………
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 2
Page 2 of 3
Bài 2: Các bài toán tìm khoảng cách – Khóa LTĐH Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.

Nguồn: Hocmai.vn
Page 3 of 3