D05 bài toán cực trị về khối nón, khối trụ muc do 4

Câu 49: [2H2-1.5-4] (THPT Nguyễn Khuyến-TPHCM-năm 2017-2018) Cho mặt cầu
đường kính

. Mặt phẳng

theo đường tròn

. Tính

vuông góc
theo

tại

(

thuộc đoạn

để hình nón đỉnh

), cắt mặt cầu

, đáy là hình tròn

có thể

tích lớn nhất?
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải:
Chọn C.

[phương pháp tự luận]
Gọi là trung điểm
,

là điểm bất kì trên đường tròn

Ta có

.

.

Thể tích hình nón:

.

Đặt

.(

là tham số). Tập xác định

;
;

.

.
;

. Vậy hàm số

Hay thể tích hình nón lớn nhất đạt khi

đạt giá trị lớn nhất khi

.

.

[phương pháp trắc nghiệm]
Thực hiện tương tự phương pháp tự luận, tính được thể tích hình nón:
.
Cho

, nhập thể tích:

. CALC bốn đáp án với

, được đáp án C cho giá trị lớn

nhất.
Câu 50: [2H2-1.5-4] (THPT Nguyễn Khuyến-TPHCM-năm 2017-2018) Trong tất cả hình
chóp tam giác đều nội tiếp mặt cầu bán kính bằng , thể tích lớn nhất của khối chóp là:
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.


Lời giải:
Chọn B.

Gọi

là hình chóp tam giác đều nội tiếp mặt cầu tâm . Gọi
là hình chiếu của trên
.
Giả sử thể tích hình chóp đạt lớn nhất khi
nằm giữa và , khi đó, lấy đối xứng , ,
qua mặt
phẳng vuông góc với
tại
ta được hình chóp
nội tiếp mặt cầu và có thể tích lớn hơn hình
chóp
.
Đặt
,
.
Có
Thể tích hình chóp

. Ta được

.
.







Câu 50.

[2H2-1.5-4] (THPT Cổ Loa-Hà Nội-lần 1-nawm-2018) Một khúc gỗ có
dạng khối nón có bán kính đáy
, chiều cao
. Anh thợ mộc chế tác khúc gỗ
đó thành một khúc gỗ có dạng khối trụ như hình vẽ. Gọi
là thể tích lớn nhất của khúc gỗ
dạng khối trụ có thể chế tác được. Tính .


A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D.

Gọi

là chiều cao của khúc gỗ hình khối trụ,
khúc gỗ hình khối trụ cần tìm.
là đỉnh của hình nón,
là tâm của đáy hình nón,
là tâm của đáy hình trụ và khác .
là một đường sinh của
hình nón,

là điểm chung của

với khối trụ. Ta có

.

Thể tích khối trụ là
Xét hàm số
Ta có

,

.
hay

.

Bảng biến thiên

Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn nhất khi chiều cao của khối trụ là
.

;


----------HẾT----------Câu 48:

[2H2-1.5-4](THPT Chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An-

lần 1 năm 2017-2018) Cho mặt cầu

và đường tròn đáy thuộc mặt cầu
A.

.

B.

bán kính

. Hình nón

. Thể tích lớn nhất của khối nón
.

C.

.

thay đổi có đỉnh
là:

D.

.

Lời giải

Chọn A.
Ta có thể tích khối nón đỉnh lớn hơn hoặc bằng thể tích khối nón đỉnh . Do đó chỉ cần xét khối nón
đỉnh có bán kính đường tròn đáy là và đường cao là
với
.
Thể tích khối nón được tạo nên bởi
là:
.
Xét hàm số:
Ta có

với

.

.
(loại) hoặc

.

Bảng biến thiên:

Ta có:

tại

.

Vậy thể tích khối nón được tạo nên bởi

có giá trị lớn nhất là

.
Chú ý: Sau khi tính được

ta có thể làm như sau:

khi


.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

.

Câu 42:
[2H2-1.5-4] (THPT Quỳnh Lưu 1 – Nghệ An – Lần 2 năm 2017 –
2018) Một khúc gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy bằng
,
chiều cao
. Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ đó thành một khúc gỗ có
dạng hình khối trụ như hình vẽ. Gọi
là thể tích lớn nhất của khúc gỗ hình
trụ sau khi chế tác. Tính .

A.

.

B.

.

C.

.

Lời giải
Chọn D.
Gọi

,

lần lượt là bán kính và chiều cao của khối trụ.

Ta có:

.

Ta lại có:

.

Xét hàm số

, với

có

;

(vì

Dựa vào BBT ta có

đạt tại

).

Bảng biến thiên

Vậy

.

.

D.

.


Câu 41: [2H2-1.5-4] (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN-LẦN 4-2018) Để chào mừng
năm thành lập thành phố A, Ban tổ chức quyết định trang trí cho cổng chào có hai hình trụ. Các

kỹ thuật viên đưa ra phương án quấn xoắn từ chân cột lên đỉnh cột đúng
vòng đèn Led cho
mỗi cột, biết bán kính hình trụ cổng là
cm và chiều cao cổng là
m. Tính chiều dài dây
đèn Led tối thiểu để trang trí hai cột cổng.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn D.
Cắt hình trụ theo đường sinh của nó rồi trải liên tiếp trên mặt phẳng
lần ta được hình chữ
nhật
có
và
.
Độ dài dây đèn Led ngắn nhất trang trí cột là
.
Chiều dài dây đèn Led tối thiểu để trang trí hai cột cổng là:

.

Câu 44. [2H2-1.5-4] (TRUNG TÂM DIỆU HIỀN -THÁNG 11-2017) Cho một miếng tôn hình tròn có
bán kính

. Biết hình nón có thể tích lớn nhất khi diện tích toàn phần của hình nón bằng
diện tích miếng tôn ở trên. Khi đó hình nón có bán kính đáy là:
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải.
Chọn D.
Ta có diện tích miếng tôn là
Diện tích toàn phần của hình nón là:
Thỏa mãn yêu cầu bài toán ta có:
Thể tích khối nón là:

.
.
.

. Dấu bằng xảy ra khi

, vậy

đạt GTLN khi

.