DE THI HSG TOAN 9 NAM HOC 2018 2019

PHÒNG GD &ĐT HUYỆN
TAM NÔNG

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học: 2018 - 2019
Môn: Toán

ĐỀ CHÍNH THỨC

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm).
Hãy chọn các phương án trả lời đúng rồi ghi vào bài làm
Câu 1. Cho A= (x − x 2 − 1) : (x 2 +

1
1
) + 2(x + ) 2 − 3 (Với x ≠ 0 ). Để A đạt giá trị nhỏ
2
x
x

nhất thì x bằng:
A. −

1
3

Câu 2. Cho P = (

B. ±

1

3

C. −1

D. 1

1+ a
1− a
1
1
+
).( 2 − 1 − ) .
2
a
a
1+ a − 1− a
1− a −1+ a

Giá trị của P khi x = 0,201920192019… là:
A. - 1

B. 1

C. 2

D. -2

Câu 3. Cho điểm A(1;2); B(-3;-4): C(3;4) . Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
là:
1 2

)
3 3

A. ( − ;

1 2
)
3 3

B. ( ;

1
3

C. ( ; −

2
)
3

D. Một kết quả khác

2 9
2 11
6 7
), B( − ; ), C( − ; − ), D cùng thuộc mặt phẳng
5 5
5 5
5 5

Câu 4. Cho bốn điểm A( ;

tọa độ Oxy. Tìm tọa độ điểm D, để tứ giác ABDC là hình chữ nhật.
A. (-2;1)

B. (-1;-2)

C. (-2;-1)

D. (2;1)

Câu 5. Giá trị của m, để khoảng cách từ gốc tọa độ O(0;0) đến đường thẳng
y = (1-m)x + 3 lớn nhất:
A. m = 2

B. m = 1

C. m = -1

D. m = 0

Câu 6. Biết phương trình x 2 +ax+b=0 có hai nghiệm nguyên dương và 5a + b =22.
Hai nghiệm nguyên dương đó là:
A. S = { 3;5}

B. S = { 12;17}

C. S = { 18; 40}

Câu 7. Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình x 2 − mx −

D. S = { 6;52}
1
= 0 . Giá trị nhỏ nhất
m2

của A = x14 + x24 là:
A. 4 + 2 2

B. 4 − 2 2

C. 3 + 2 2

D. 3 − 2 2


Câu 8. Cho phương trình (x + 1) 4 − (m − 1)(x + 1) 2 − m 2 + m − 1 = 0 (1). Tìm m để phương
(1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn x1 + x2 = 2 :
A.

1− 5
1+ 5
≤m≤
2
2

B.

− 5
5

≤m≤
2
2

C.

1
3
≤m≤
2
2

D.

1− 2 5
1+ 2 5
≤m≤
4
4

Câu 9. Cho x, y là các cạnh của tam giác vuông có cạnh huyền là

2 . Giá trị lớn

nhất của biểu thức P = x 2 y 4 là:
A.

2 6
9

B.

6
3

C.

3 6
2

D.

4 6
9

Câu 10. Cho tam giác ABC có góc A tù. Các đường trung tuyến AM, đường cao
AH khi đó :
A.
C.

Tan∠HAM =

1
(Cot ∠A − Cot ∠C )
2

1
Tan∠HAM = (Cot ∠B − Cot ∠C )
2

B.
D.

1
(Cot ∠C − Cot ∠B )
2
1
Tan∠HAM = (Cos∠A − Cos∠C )
2
Tan∠HAM =

Câu 11. Cho tam giác nhọn ABC các đường cao AH , BK, CL. Khi đó:
A. S ABC = S HBL .Cos 2 B B. S ABC = S HKL .Cos 2C C. S HKC = S ABC .Cos 2C D. S ALK = S ABC .Cos 2 A
Câu 12. Cho tam giác ABC các đường trung tuyến AM, BE, CF có độ dài tương
ứng bằng 5 cm, 4cm, 3cm khi đó độ dài cạnh BC là:
8
10
C. 3 cm
D. 4 cm
A. cm
B.
cm
3

3

Câu 13. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) có AB=8cm, AC=15cm,
đường cao AH =5cm ( H ∈ BC ) . Bán kính của đường tròn là:
A. R = 9 cm
B. R = 12 cm

C. R = 13 cm
D. R = 11 cm
Câu 14. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O;R), trên cung nhỏ BC lấy
điểm M. Giá trị lớn nhất của MA + MB + MC là:
A. 4R
B. 2R
C. 3R 2
D. 2,5R 2
Câu 15. Cho hình vuông ABCD, O thuộc đoạn AC. Đường tròn tâm O tiếp xúc với
các đường thẳng AB, AD và cắt mỗi cạnh BC, CD thành hai đoạn có độ dài 2 cm
và 23 cm bán kính của đường tròn là:
A. 37 cm
B. 35 cm
C. 17 cm
D. 20 cm
Câu 16.
Ông An có một mảnh vườn hình chữ nhật ABCD, AB=80m, AD=30m. Ông dự
tính chia mảnh vườn làm ba gồm các mảnh hình tam giác ADE, ABE, BEC với E
trên cạnh DC sao cho mảnh hình tam giác ABE có chu vi nhỏ nhất. Khi ấy chu vi
cả hai mảnh ADE và BCE là
A. 140m
B. 240m
C. 180m
D. 160m

II. PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm).


Câu 1: (3,0 điểm).
a) Tìm x, y là các số tự nhiên sao cho: x 2 = y 4 + 6 y 3 + 11y 2 + 6 y

b) Cho x, y, z là các số thực sao cho ( x + y )( y + x)( z + x) ≠ 0 và
( x + y + z )(

1
1
1
1
+
+
) = tính giá trị biểu thức:
x+ y y+z z+x
2

P = ( x + y + z )3 + x3   ( x + y + z )3 + y 3   ( x + y + z )3 + z 3 

Câu 2: (3,5 điểm)
a) Giải phương trình: 3( 2 + x − 2 ) = 2x+ x + 6
 x 2 + xy − 3 x + y = 0
b) Giải hệ phương trình:  4
2
2
2
 x + 3x y − 5 x + y = 0

Câu 3:( 4,5 điểm)
Cho tam giác đều ABC , đường cao AH , M là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi
P và Q là hình chiếu của M trên hai cạnh AB và AC; I là trung điểm của AM.
a) Tìm vị trí của M trên BC để đoạn thẳng PQ có độ dài lớn nhất, nhỏ nhất.
b) Gọi O là giao điểm của IH và PQ. Chứng minh rằng khi M thay đổi trên cạnh
BC thì MO luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 4: (1 điểm)
Với các số thực x,y,z dương thỏa mãn: x + y + z = 3 Chứng minh rằng:
x2
y2
z2
+3
+
≥3
3 yz
zx 3 xy

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN LẦN 2
Năm học: 2018 - 2019. Môn: Toán 9
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm). Mỗi câu trả lời đúng được 0,50 điểm


Câu

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Đáp
án

C

A B C

B

D

A A D

10

11

12 13 14 15

B,C C,D B

B

A

C

16
B

II. PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)
Câu 1 (3,0 điểm).
a) Tìm x, y là các số tự nhiên sao cho: x 2 = y 4 + 6 y 3 + 11y 2 + 6 y
b) Cho x, y, z là các số thực sao cho ( x + y )( y + x)( z + x) ≠ 0 và
( x + y + z )(

1
1
1
1
+
+
) = tính giá trị biểu thức:
x+ y y+z z+x
2

P = ( x + y + z )3 + x3   ( x + y + z )3 + y 3   ( x + y + z )3 + z 3 

Nội dung cần đạt
a) x 2 = y 4 + 6 y 3 + 11y 2 + 6 y ⇔ x 2 = y ( y + 2)( y + 1)( y + 3)
⇔ x 2 = ( y 2 + 3 y )( y 2 + 3 y + 2) ⇔ x 2 = a 2 + 2a ( a ∈ N , a = y 2 + 3 y )
+ a = 0 ⇒ x 2 = 0 ⇒ x = 0, y = 0
+ a > 0 ⇒ a 2 < x 2 < (a + 1) 2 nên x 2 không thể là số chính phương
Vậy: ( x; y ) = (0;0)

Điểm
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25

B, Đặt x+y=a, y+z=b, z+x=c khi đó a,b,c khác không và:
1
1
1
1
1
1
1
+
+
) = ⇔ ( x + y + y + z + z + x )(
+
+
) =1
x+ y y+z z+x
2
x+ y y+z z+x
1 1 1
(a + b + c)( + + ) = 1
a b c
( x + y + z )(

0,25
0,25

1 1 1
1
1 1 1
1
+ + =
⇔ + + −
= 0 ⇔ (a + b)(b + c)(c + a ) = 0
a b c a +b+c
a b c a +b +c

0,5

⇔ ( x + 2 y + z )( x + y + 2 z )(2 x + y + z ) = 0

0,25

x + 2 y + z = 0
x + y + z = − y

⇔  x + y + 2 z = 0 ⇔  x + y + z = − z ⇒ P = 0
 2 x + y + z = 0
 x + y + z = − x

0,25

Câu 2(3,5 điểm)
a) Giải phương trình: 3( 2 + x − 2 ) = 2x+ x + 6

 x 2 + xy − 3 x + y = 0
b) Giải phương trình:  4
2
2
2
 x + 3x y − 5 x + y = 0

Nội dung
a) ĐKXĐ: x ≥ 2


Đặt t = x − 2 ( t ≥ 0 ) ⇒ x = t 2 + 2
Phương trình (1) ⇔ 3(2 + t) = 2(t 2 + 2) + t 2 + 8 ⇔ −2t 2 + 3t + 2 = t 2 + 8
 1
2
−
 2t + 3t + 2 ≥ 0
− ≤ t ≤ 2
⇔
⇔
 2
2
2
2
( −2t + 3t + 2) = t + 8
t 4 − 3t 3 + 3t − 1 = 0

 1
− 2 ≤ t ≤ 2
t = 1

 1
− ≤ t ≤ 2
 t = ±1
⇔ 2
⇔ 
⇒  3− 5
t =
(t − 1)(t + 1)(t 2 − 3 t + 1) = 0
 3 ± 5


2
 t =
 
2

Với t = 1 ⇒ x − 2 = 1 ⇔ x = 3 (T/m ĐKXĐ);
Với t=

3− 5
3− 5
11 − 3 5
⇒ x−2 =
⇔x=
.
2
2
2
 11 − 3 5 


2




Vậy tập nghiệm S = 3;

2
 x + xy − 3 x + y = 0
b) Ta có :  4
2
2
2
 x + 3x y − 5 x + y = 0

Nếu x = 0 ⇒ y = 0 . Do đó (x:y)=(0;0) là một nghiệm của hpt

0,25

y

x
+
+ y −3= 0

x
Nếu x ≠ 0 Hpt ⇔ 
2
 x2 + y + 3 y − 5 = 0


x2

0,25

Đặt u= x +

u + v = 0
v = −u
u = −1
y
⇔ 2
⇔
; v = y − 3 Hpt ⇔  2
hoặc
x
v = 1
u + v − 2 = 0
u − u − 2 = 0

u = 2

 v = −2

0,5

y

u = −1
x + = 1  y = 4
⇔

⇔ 2
x
TH 1: 
HPT vô nghiệm
v = 1
x − x + 4 = 0
 y − 3 = 1

0,25

y

y =1
u = 2
x = 1
x + = 2
⇔
⇔ 2
⇔
x
TH 2: 
 v = −2
y =1
x − 2x + 1 = 0
 y − 3 = −2

0,25


x = 1

x = 0
hoặc 
y =1
y = 0

Vậy hpt có nghiệm (x;y) là: 

0,25

Câu 3(4,5 điểm)
Câu

Đáp án

Hình vẽ

A

K

J

T

P

I
Q

O

E

F
B

3a

Thang
điểm
0,25

H

C

M

AM AM
+
= AM
2
2
⇒ PQ ≤ AM ≤ AC
PQ ≤ PI + IQ =

 PQ lớn nhất bằng AC khi M trùng B hoặc trùng C
PQ
= AM ⇒ PQ = AM.sin 600 ≥ AH.sin 600
sin A

3
 PQ nhỏ nhất bằng AH.
khi M trùng với H.
2
Các điểm A, P, H, M, Q đều nằm trên đường tròn đường
kính AM.
·
·
Tứ giác: APHQ nội tiếp mà PAH
= HAQ
⇒ PH = HQ.
Ta có: HP=HQ, IP=IQ => IH đi qua O.
Gọi T là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
E, F lần lượt là giao điểm của BK và PM, CJ và MQ.
Dễ thấy tứ giác METF là hình bình hành
ME MF 2
=
= ⇒ EF//PQ
MP MQ 3
Gọi N là trung điểm của EF. Theo bổ đề hình thang ta có
T, O, N, M thẳng hàng. Vậy MO luôn đi qua điểm T cố
định khi M di động trên BC.
Câu 4: (1 điểm)
Với các số thực x,y,z dương thỏa mãn: x + y + z = 3 Chứng minh rằng:

0,5
0,5
0,5
0,5

3b

x2
y2
z2
+3
+
≥3
3 yz
zx 3 xy

0,25
0,5
0,5
0,5

0,5


Nội dung cần đạt

Điểm

Áp dụng BĐT cô si cho 3 số dương:
x2
y2
z2
+3
+
=

3 yz
zx 3 xy

3

x2
y2
z2
3x 2
3y 2
3z 2
+
+
≥
+
+
y.z.1 3 z.x.1 3 x. y.1 1 + y + z 1 + z + x 1 + x + y

x2
y2
z2
( x + y + z )2
= 3(
+
+
)≥3
=3
1+ y + z 1+ z + x 1+ x + y
3 + 2( x + y + z )

0,25
0,25
0,5