tối ưu hóa điều độ phát điện sử dụng phương pháp nhân tử lagrange

CHUYÊN ĐỀ
TỐI ƯU HÓA ĐIỀU ĐỘ PHÁT ĐIỆN
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ LAGRANGE


1. MỞ ĐẦU

Cần phải xác định sự phân bố tối ưu công suất phát giữa các nhà máy điện
trong hệ thống điện (giữa các tổ máy phát trong cùng một nhà máy nhiệt điện, giữa
các nhà máy nhiệt điện hoặc giữa các nhà máy nhiệt điện và các nhà máy thủy
điện) đủ đáp ứng một giá trị phụ tải cho trước (bao gồm cả tổn thất) nhằm nâng cao
tính vận hành kinh tế của hệ thống điện.
Phương pháp nhân tử Lagrange là phương pháp được sử dụng rộng rãi trong
các bài toán tìm nghiệm tối ưu, bởi vì:
 Đơn giản
 Dễ thực hiện, đặc biệt là với các bài toán có các biến giống nhau, có thể
hoán đổi cho nhau.
 Có ưu điểm đối với những bài toán có số biến lớn.
2. PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ LAGRANGE
Bài toán:
Cần phải xác định các ẩn số x1 , x2 ,..., xi ,..., xn sao cho đạt cực trị hàm mục
tiêu
f  x1 , x2 ,..., xi ,..., xn  � min  max 

(2.1)

Và thỏa mãn m điều kiện ràng buộc
g1  x1 , x2 ,..., xi ,..., xn   0

g 2  x1 , x2 ,..., xi ,..., xn   0
.......................................

g m  x1 , x2 ,..., xi ,..., xn   0

(2.2)

Trong đó m  n
Thành lập hàm Lagrange:
m

L  x1 , x2 ,..., xi ,..., xn   f  x1 , x2 ,..., xi ,..., xn   �i .g i  x1 , x2 ,..., xi ,..., xn 
i 1

(2.3)


Trong đó:



i i  1, m



là những hằng số

*

Nghiệm tối ưu X opt của hàm mục tiêu F cũng chính là nghiệm tối ưu của
hàm Lagrange L(X) và ngược lại.
L x , x ,..., xi ,..., xn 
Vì vậy, cần tìm nghiệm tối ưu cho hàm  1 2

Giải thích hình học của phương pháp nhân tử Lagrange
Định nghĩa Gradient
�
f X
,  i  1,..., n 
f X
Hàm   có các đạo hàm riêng �xi
thì vec tơ
��
f X
�
f  X �
,...,
�
�
xi
�
xn �
��
gọi là Gradient của f tại x . Kí hiệu:

��
f X
�
f  X �
�f  X   �
,...,
�
xi

�
xn �
��

Xét ví dụ với hàm

f  x, y 

h x, y  0
với điều kiện ràng buộc  

Ràng buộc h  x, y   0 xác định một đường cong như hình vẽ.

Lấy vi phân của phương trình h  x, y   0 với ẩn x, ta có:


�
h �
h dy
 . 0
�
x �
y dx

(*)

Tiếp tuyến của đường cong là
� dy �
T  x, y   �
1, �

� dx �

Và gradient của đường cong là
��
h �
h�
�h  � , �
x �
y�
��

Vì vậy, phương trình (*) có nghĩa là T .�h  0 . Nói cách khác, tiếp tuyến của
h x, y  0
đường cong  
phải vuông góc với gradient tại mọi điểm.

h x, y
f x, y
Ta chồng lên đường cong   họ các đường mức của hàm   , đó là

tập hợp các đường cong
thiên của f .

f  x, y   c

, trong đó c là số thực bất kì trong khoảng biến


*
Trong hình vẽ trên, ta có c1  c  c3  c4  c5 , nếu di chuyển dọc theo đường

h x, y
f x, y
cong   sẽ cho kết quả tăng hoặc giảm giá trị của hàm   .
x* , y * 
Hàm f sẽ đạt cực tiểu địa phương tại 
, tại đó chuyển động trực giao

với cả gradient �f , �h , điều đó có nghĩa là �f , �h phải song song với nhau. Do đó
tồn tại  �� sao cho



�f  .�h

x ,y 
Điểm cực trị 
*

*

của hàm f thỏa mãn hệ phương trình
h  x, y   0
�
�
�f  .�h  0
�

Đặt hàm L  X   f  X   .h  X  gọi là hàm Lagrange,  gọi là nhân tử
Lagrange.

Suy ra

 x , y  cũng là cực trị của hàm L  X 
*

*

Giải bài toán
x , x ,..., xi ,..., xn 
 ,  ,..., m 
Hãy xác định  1 2
và  1 2
sao cho
�
L X 
�
xj



�
f  X
�
xj

m

�
gi  X 

i 1

�
xj

 �i

0

với j  1, n

(2.4)

Và thỏa mãn các điều kiện ràng buộc:
gi  x1 , x2 ,..., xn   0

với i  1, m

(2.5)

Từ (2.4) ta có n phương trình và từ (2.5) ta có m phương trình nên sẽ giải
được (n+m) ẩn số x j và i
L X
Để xác định hàm   đạt cực đại hay cực tiểu ta cần phải xét thêm đạo hàm

L X
cấp hai của   tại các điểm dừng đã giải ra được ở trên.
d 2L
0
2

 Nếu dxi
thì hàm mục tiêu sẽ đạt cực tiểu.
2
d L
0
2
 Nếu dxi
thì hàm mục tiêu sẽ đạt cực đại.


Ví dụ áp dụng
Tìm các nghiệm x1 , x2 sao cho:
f  x1 , x2   x12  x22 � min

Với ràng buộc:
x1 x2
 1
2 3

Giải:
Thành lập hàm Lagrange:
m

L  x1 , x2   f  x1 , x2   �i .g i  x1 , x2 
i 1

�x x
�
L  x1 , x2   x12  x22  1. �1  2  1�
�2 3

�

Xác định các điểm dừng bằng cách giải các phương trình:
��
L X 

 2 x1  1  0
�
x1
2
��
�
L X 

��
 2 x2  1  0
�
x2
3
��
�x1 x2
�  1  0
�2 3

Giải hệ 3 phương trình trên ta được
x1* 

18 * 12
72
; x2 

1 
13
13 và
13

Và khi đó giá trị hàm mục tiêu là
*
f opt


36
13


3. ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ LAGRANGE TRONG HỆ
THỐNG ĐIỆN
Phương pháp nhân tử Lagrange được ứng dụng trong việc tính toán phân bố
tối ưu công suất trong hệ thống điện.
Xét bài toán:
Một nhà máy nhiệt điện có n tổ máy phát cung cấp cho phụ tải P pt cố định.
Biết những số liệu về đặc tính tiêu hao nhiên liệu của từng tổ máy. Cần phải xác
định công suất phát tối ưu của mỗi tổ máy P j với j = [1…n], sao cho chi phí nhiên
liệu tổng trong nhà máy đạt cực tiểu với ràng buộc về điều kiện cân bằng công
suất.
Mô tả dạng toán học
Cần xác định bộ nghiệm tối ưu
phí nhiên liệu tổng đạt cực tiểu:

P*  P1* , P2* ,..., Pn* 

sao cho hàm mục tiêu về chi

n

Z  Z  P1 , P2 ,..., Pj ,..., Pn   �Z j  Pj  � min
j 1

(2.6)

Thỏa mãn điều kiện ràng buộc về cân bằng công suất:
g  P   P1  P2  ...  Pj  ...  Pn  Ppt  P  0

(2.7)

Với Pj �0, j  1, n; Ppt  const
Do các tổ máy trong cùng một nhà máy cách nhau không xa nên ta có thể bỏ
qua tổn thất P
Khi đó ta có điều kiện ràng buộc:
g  P   P1  P2  ...  Pj  ...  Pn  Ppt  0

Ta giải bằng phương pháp Lagrange

(2.8)


Thành lập hàm Lagrange:
L  P   Z  P    .g  P 
L P
Điều kiện để hàm số   đạt cực trị:
L  P �

Z  P
�
g  P
��

 .
0
�
�
P
�
P
�
P
1
1
1
�
��
L  P �
Z  P
�
g  P

 .
0
�
P2
�
P2

�
P2
��
�
..........................................
�
��
L  P �
Z  P
�
g  P

 .
0
�
�
P
�
P
�
P
n
n
� n

(2.9)

Cùng với điều kiện ràng buộc
g  P   P1  P2  ...  Pj  ...  Pn  Ppt  0

Giải hệ (n+1) phương trình ta được công suất phát tối ưu của các tổ máy
trong nhà máy nhiệt điện là

P*  P1* , P2* ,..., Pn* 

và  .

4. VÍ DỤ ỨNG DỤNG.
Hãy phân bố tối ưu công suất cho các tổ máy của nhà máy nhiệt điện gồm
hai tổ máy với hàm chi phí sản xuất tương ứng là:
Z1   2, 2.P12  312.P1  4050 

(103 đ/h)

Z 2   1, 7.P22  350.P2  5150 

(103 đ/h)

Phụ tải của hệ thống điện là Ppt  270  MW 
Không xét đến tổn thất P
Giải:
Áp dụng phương pháp Lagrange


Hàm mục tiêu:

Z   P   Z1  Z 2 � min

g P  P  P  P  P  P  270  0
Hàm ràng buộc:   1 2 pt 1 2

Hàm Lagrange:
L  P   Z   P   .g  P    2, 2.P12  312.P1  4050    1, 7.P22  350.P2  5150   .  P1  P2  270 

Lấy đạo hàm của L(P) ta được:
�
L
  312
 4, 4.P1  312   � P1 
 0, 227.  70,91
�
P1
4, 4
�
L
  350
 3, 4.P2  350   � P2 
 0, 294.  102,94
�
P2
3, 4

Kết hợp với điều kiện ràng buộc:
g  P   P1  P2  270  0,521.  173,85  270  0

Từ đó � 0,521.  443,85 �   851, 28
Biết  dễ dàng tính được công suất phát của các tổ máy:
P1  0, 227.851, 28  70,91  122,564  MW 

P2  0, 294.851.28  102,94  147, 436  MW 

Thay các giá trị Pi tìm các giá trị của hàm chi phí săn xuất:
Z1   2, 2.122,5642  312.122,564  4050  103  75,338.106

đ/h

Z 2   1, 7.147, 436 2  350.147, 436  5150  103  93, 706.106

đ/h

� Z   169, 044.106

đ/h


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. PGS. TS Trần Bách, Tối ưu hóa chế độ của hệ thống điện, Hà Nội, 1999.
[2]. TS. Trần Quang Khánh, Vận hành hệ thống điện, NXB KH & KT, Hà Nội,
2006.
[3]. PGS. TS Nguyễn Lân Tráng, Quy hoạch phát triển hệ thống điện, NXB KH
& KT, Hà Nội, 2007.
[4]. Phạm Phúc Long, Về nguyên lý nhân tử Lagrange, Luận văn thạc sỹ toán
học, Người hướng dẫn khoa học – PGS. TS Trương Xuân Đức Hà, Trường
đại học sư phạm Thái Nguyên, Thái Nguyên, 2010.