vai trò của tham số tự do trong việc ứng dụng phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP



Giáo viên hướng dẫn:
TS. NGUYỄN VĂN HOA
Sinh viên thực hiện:
MAI THỊ ĐẮC KHUÊ



THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
THÁNG 4/2010


Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 1

LỜI CẢM ƠN
Em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn
Hoa – giáo viên hướng dẫn khóa luận này – thầy đã tận tình hướng dẫn,
truyền thụ cho em những kiến thức bổ ích và đóng góp những kinh nghiệm quý
báu để em thực hiện khóa luận.
Em xin chân thành cảm ơn PGS.TSKH. Lê Văn Hoàng đã đóng góp ý
kiến quý báu cho khóa luận này.

Em xin chân thành cảm ơn thầy Lữ Thành Trung đã tận tình giúp đỡ em
trong suốt quá trình làm.
Em xin chân thành cảm ơn thư viện trường Đại học Sư phạm thành phố
Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện cho em được đọc và mượn về nhà các tài liệu
liệu quan đến đề tài.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Vật Lý đã tận tình dạy
bảo em trong suốt bốn năm đại học, để em có được những kiến thức như ngày
hôm nay và cụ thể là qua những kết quả khóa luận này đã phần nào thể hiện.
Em xin chân thành cảm ơn các bạn lớp Lý khóa 32 cũng như các bạn
khác và những người thân đã giúp đỡ em trong suốt thời gian làm khóa luận.
Trong quá trình thực hiện đề tài không thể tránh khỏi nhiều thiếu sót, em
rất mong nhận được sự góp ý tận tình của quý thầy cô.
Cuối cùng em xin kính gửi đến Ban Giám Hiệu trường Đại học Sư phạm
thành phố Hồ Chí Minh và Ban Chủ Nhiệm khoa Vật Lý cùng tất cả quý thầy
cô giáo lời chúc sức khỏe và thành công!


Sinh viên thực hiện
Mai Thị Đắc Khuê


Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 2

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN 1
MỤC LỤC 2
MỞ ĐẦU 4
1 Tình hình nghiên cứu 4
2

Lí do chọn đề tài
4
3

Mục tiêu của đề tài
6
4
Phương pháp nghiên cứu và dự kiến kết quả đạt được
6
5
C
ấ
u

trúc

c
ủ
a

lu
ậ
n

v
ă
n
7
NỘI DUNG

9
Chương 1 PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ
HYDRO 9
1.1 Lời giải chính xác cho bài toán nguyên tử hidro 9
1.1.1 Phương trình Schrodinger của nguyên tử hydro 9
1.1.2 Năng lượng của nguyên tử hydro 11
1.1.3 Hàm sóng của nguyên tử hydro 12
1.2 Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro 13
1.2.1 Toán tử động năng 14
1.2.2 Toán tử thế năng 15
1.2.3 Toán tử hamilton 16
1.3 Sử dụng phương pháp toán tử tính mức năng lượng cơ bản của
nguyên tử hydro khi chưa có bổ chính 17
Chương 2 SỬ DỤNG SƠ ĐỒ LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN TÍNH CÁC BỔ
CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO 19
2.1 Sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn 19
2.2 Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo lý thuyết
nhiễu loạn bằng phương pháp toán tử 22


Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 3

2.2.1 Tính bổ chính bậc một 22
2.2.2 Tính bổ chính bậc hai 22
2.3 Nhận xét 35
Chương 3 VAI TRÒ CỦA THAM SỐ TỰ DO TRONG VIỆC ỨNG DỤNG
PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO 36
3.1 Vai trò của tham số tự do trong việc ứng dụng phương pháp toán tử
cho bài toán nguyên tử hydro 36

3.2 Sự phụ thuộc của năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo thông
số biến phân 36
3.3 Nhận xét 40
Chương 4 SỬ DỤNG SƠ ĐỒ VÒNG LẶP TÍNH CÁC BỔ CHÍNH NĂNG
LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO 42
4.1 Mục đích sử dụng sơ đồ vòng lặp 42
4.2 Thiết lập sơ đồ vòng lặp 42
4.3 Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro ứng với
k=4,6,8,10 theo sơ đồ vòng lặp 44
4.4 Nhận xét 46
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI 47
TÀI LIỆU THAM KHẢO 48
PHỤ LỤC 48
Phụ lục 1 Các toán tử sinh – hủy một chiều 48
Phụ lục 2 Dạng chuẩn (Normal) của một số biểu thức trong luận văn 51
Phụ lục 3 Toán tử thế năng 53
Phụ lục 4 Tính các yếu tố ma trận của
ˆ
H
58
Phụ lục 5 Chương trình viết bằng Fortran 61



Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 4

MỞ ĐẦU
1 Tình hình nghiên cứu
Ngày

nay,

Vật

lý

thực

nghiệm

đã

có

những

bước

phát

triển

mạnh

mẽ,

đòi

hỏi

phải

có

những

tính

toán

lý

thuyết

chính

xác.

Trong

khi

đó,

phương

pháp

gần

đúng

chủ

yếu

sử

dụng

cho

hệ

vi

mô

là

phương

pháp

nhiễu

loạn

không

sử

dụng

được

cho

bài

toán không

có

nhiễu

loạn.

Trước

tình

hình

đó,

việc

tìm

ra

một

phương

pháp

mới

hiệu

quả,

có

phạm

vi

áp

dụng rộng

rãi

rất

được

quan

tâm

trong

những

năm

gần

đây.

Phương

pháp

toán

tử

với những

tính

toán

thuần

đại

số,

được

xây

dựng

cho

nhóm

các

bài

toán

nguyên

tử

là

một phương

pháp

đang

được

các

nhà

Vật

lý

lý

thuyết

quan

tâm

nghiên

cứu.

Ý

tưởng

về

phương

pháp

toán

tử

xuất

hiện

vào

những

năm

1979.

Tuy

nhiên phương

pháp

toán

tử

(Operator

Method)

được

đưa

ra

đầu

tiên

vào

năm

1982

do

nhóm nghiên

cứu

của

giáo

sư

Kamarov

L.

I.

thuộc

trường

đại

học

tổng

hợp

Belarus

và

được

áp

dụng

thành

công

cho

một

nhóm

các

bài

toán

trong

vật

lý

chất

rắn,

vật

lý

nguyên

tử,

lý

thuyết

trường,…

Qua

việc

nghiên

cứu

và

khai

thác

trong

nhiều

bài

toán

cụ

thể,

phương

pháp

toán

tử

đã

tỏ

ra

là

một

phương

pháp

nổi

trội

hơn

hẳn

phương

pháp

truyền

thống

như:


Đơn

giản

hóa

việc

tính

toán

các

yếu

tố

ma

trận

phức

tạp

mà

thông

thường

phải tính

tích

phân

các

hàm

đặc

biệt.

Trong

suốt

quá

trình

tính

toán,

ta

sử

dụng

các

phép biến

đổi

đại

số

và

những

chương

trình

tính

toán

như

Maple,

Mathematica,…để

tự

động hóa

quá

trình

tính

toán.


Cho

phép

giải

các

hệ

cơ

học

lượng

tử

với

trường

ngoài

có

cường

độ

bất

kỳ.

Với

phương

pháp

toán

tử,

bước

đầu

đã

giải

quyết

một

phần

những

khó

khăn

về phương

pháp

của

Vật

lý

lý

thuyết,

góp

phần

vào

sự

phát

triển

không

ngừng

của

nền khoa

học

kỹ

thuật

toàn

cầu.


Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 5

2

Lí do chọn đề tài
Hiện nay, trong cơ học lượng tử, chỉ có một số ít bài toán có lời giải
chính xác cho phương trình Schrodinger xác định các trạng thái dừng, đó là:

bài toán hạt trong hố thế vuông góc, dao động tử điều hòa và bài toán về
nguyên tử hydro (chuyển động của hạt trong trường xuyên tâm). Đây là các
hệ đã lí tưởng hóa được gặp trong tự nhiên. Việc nghiên cứu các hệ đơn
giản, lí tưởng hóa cho ta hiểu được đầy đủ hơn các phương pháp của cơ
học lượng tử. Ngoài ra các kết quả thu được có một tầm quan trọng đặc
biệt, vì trong một sự gần đúng nào đó, chúng phản ánh những tính chất của
hệ thực tương ứng.
Trong đó bài toán về nguyên tử hydro là một bài toán quan trọng của
vật lý lượng tử. Mặc dù là một bài toán có lời giải chính xác nhưng bài toán
về nguyên tử hydro là một bài toán khá phức tạp. Để giải được bài toán này
phải xây dựng một hệ thống kiến thức về toán tử momen xung lượng trong
hệ tọa độ cầu; xét các tính chất, trị riêng và hàm riêng của toán tử momen
xung lượng; phương trình bán kính; sự lượng tử hóa không gian, sự phân bố
electron và tính chẵn lẻ của các hàm cầu…
Bằng cách biểu diễn tất cả các toán tử tương ứng với các đại lượng vật lý
qua các toán tử sinh hủy có chứa thông số biến phân, phương pháp toán tử đã
cho kết quả bước đầu đáng tin cậy và có thể đưa ra lời giải cho bất kì giá trị
nào của trường ngoài nếu kết hợp với phương pháp nhiễu loạn.
Tính năng lượng của nguyên tử hydro bằng phương pháp toán tử kết hợp
áp dụng sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn dẫn đến kết luận: chuỗi các bậc bổ chính là
hội tụ. Nếu muốn tăng độ chính xác của năng lượng, chúng ta có thể điều
chỉnh thông số biến phân trong các toán tử sinh hủy hoặc thêm các bổ chính
bậc cao hơn cho đến khi đạt kết quả chính xác. Tuy nhiên, tốc độ hội tụ chậm
vì các bổ chính bậc càng cao thì càng giảm nhanh.
Xuất phát từ nhu cầu muốn tìm ra một phương pháp để thu được năng
lượng hội tụ về giá trị chính xác nhanh hơn bằng tính số trên máy tính, mà
không cần phải tính đến các bổ chính bậc cao cũng như sự điều chỉnh thông số
biến phân. Chúng tôi đi tới ý tưởng xây dựng một sơ đồ vòng lặp, mà cứ sau
mỗi vòng lặp thu được một giá trị năng lượng gần đúng, lại tiếp tục cho lặp lại,
để được một giá trị gần đúng hơn nữa. Quá trình lặp cứ tiếp, cho tới khi giá tri

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 6

sau khác giá trị ngay trước đó trong khoảng sai số mong muốn thì dừng lại.
Kết quả cuối cùng thu được hội tụ về một giá trị, chính là giá trị năng lượng
cần tìm ứng với sai số đã chọn.
Nội dung bài khóa luận này sẽ trình hai hướng tiếp cận bài toán nguyên
tử hydro là: lý thuyết nhiễu loạn kết hợp với nguyên lý biến phân và sơ đồ
vòng lặp trong phương pháp toán tử cho việc tìm năng lượng cơ bản của
nguyên tử hydro.
3

Mục tiêu của đề tài
Trong luận văn này, chúng tôi tiếp cận phương pháp toán tử như một
công cụ mới với mục tiêu cụ thể là:


Tìm hiểu về phương pháp toán tử: cơ sở hình thành, sơ đồ tính toán, ưu
điểm… Kết hợp phương pháp toán tử, lý thuyết nhiễu loạn có sử dụng nguyên
lý biến phân để tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro.


Tìm hiểu vai trò của thông số biến phân được đưa vào trong toán tử sinh,
hủy cũng như khảo sát sự phụ thuộc của năng lượng cơ bản của nguyên tử
hydro theo thông số biến đó.

Xây dựng sơ đồ vòng lặp để tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử
hydro từ đó so sánh tốc độ hội tụ của hai hướng tiếp cận bài toán nguyên tử

hydro là:
lý thuyết nhiễu loạn có sử dụng nguyên lý biến phân và sơ đồ vòng
lặp trong phương pháp toán tử cho việc tìm năng lượng cơ bản của nguyên tử
hydro. Từ đó nhận định xem hướng tiếp cận nào tốt hơn để lựa chọn cho
những bài toán có phức tạp hơn.
4
Phương pháp nghiên cứu và dự kiến kết quả đạt được

Từ

những

khó

khăn

của

lý

thuyết

nhiễu

loạn

khi

giải

quyết

bài

toán

nguyên

tử

hydro

trong

trường
ngoài
trung

bình

và

những

ưu

điểm

vượt

trội

của

phương

pháp

toán

tử

so

với

phương

pháp

nhiễu

loạn,

nên

phương

pháp

toán

tử

là

phương

pháp

chính

được

sử

dụng

trong

quá

trình

thực

hiện

khóa

luận

này.
Lập trình bằng ngôn ngữ fortran theo sơ đồ vòng lặp để tính mức năng
lượng cơ bản của nguyên tử hydro từ đó so sánh tốc độ hội tụ của hai hướng
tiếp cận:
lý thuyết nhiễu loạn kết hợp với nguyên lý biến phân và sơ đồ vòng


Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 7

lặp trong phương pháp toán tử cho việc tìm năng lượng cơ bản của nguyên tử
hydro.
Dự kiến kết quả đạt được:
 Tính bổ chính bậc hai cho mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro
theo lý thuyết nhiễu loạn bằng phương pháp toán tử.
 Thấy được vai trò của tham số tự do đưa vào trong toán tử sinh hủy trong
việc tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro. Dùng lý thuyết nhiễu
loạn có sử dụng nguyên lý biến phân để tính mức năng lượng cơ bản của
nguyên tử hydro khi tính tới bổ chính bậc hai.
 Tính toán bằng số trên máy tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử
hydro theo sơ đồ vòng lặp. Qua đó thấy được sự hội tụ và tính ưu thế của
hướng tiếp cận này so với hướng tiếp cận lý thuyết nhiễu loạn có sử dụng
nguyên lý biến phân bằng phương pháp toán tử cho việc tìm năng lượng cơ
bản của nguyên tử hydro.

5
C
ấ

u

trúc

c
ủ
a

lu
ậ
n

v
ă
n

T
ừ

mục

tiêu

và

dự

kiến

kết

quả

đạt

đ
u
ợc,

em

xây

dựng

cấu

trúc

luận

văn

gồm

3

phần

chính:


Phần

mở

đầu:

Nêu

lên

tình

hình

nghiên

cứu

vấn

đề,

lý

do

chọn

đề

tài,

ph
ươ
ng pháp

nghiên

cứu

và

dự

kiến

kết

quả

đạt

đ
u
ợc.



Phần

nội

dung:

gồm

4

ch
ươ
ng
Ch
ươ
ng

1:
PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ
HYDRO
Ch
ươ
ng

này

trình

bày

những

kết

quả

mà

c
ơ

học

l
u
ợng

tử

đã

đạt

đ
u
ợc

về

bài

toán nguyên

tử

hydro:

năng lượng, hàm sóng
…
Giới thiệu về phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro và
dùng phương pháp toán tử kết hợp với lý thuyết nhiễu loạn tính mức
năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro khi chưa có bổ chính.
Chương 2: SỬ DỤNG SƠ ĐỒ LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN TÍNH CÁC BỔ
CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO


Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 8

Xây dựng sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn.
Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu
loạn bằng phương pháp toán tử.
Chương 3: VAI TRÒ CỦA THAM SỐ TỰ DO TRONG VIỆC ỨNG DỤNG
PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO
Vai trò của thông số biến phân trong việc ứng dụng phương pháp toán tử cho
bài toán nguyên tử hydro.
Khảo sát sự phụ thuộc của năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo thông
số biến phân.
Chương 4: SỬ DỤNG SƠ ĐỒ VÒNG LẶP TÍNH CÁC BỔ CHÍNH NĂNG
LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO

Nêu mục đích của sơ đồ lặp.
Thiết lập sơ đồ vòng lặp.
Dùng sơ đồ vòng lặp tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro.
Nhận xét kết quả thu được.

Phần

kết

luận:
tóm

tắt

lại

kết

quả

đã

đạt

đ
u
ợc

của

luận

văn,

h
u
ớng

phát

triển sắp

tới

của

đề

tài.



Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 9

NỘI DUNG

Chương 1
PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN
NGUYÊN TỬ HYDRO

1.1 Lời giải chính xác cho bài toán nguyên tử hidro
[2], [4], [6]

1.1.1 Phương trình Schrodinger của nguyên tử hydro
Thế năng của một hạt khối lượng m
o
chuyển động trong một trường lực
đối xứng xuyên tâm chỉ phụ thuộc khoảng cách r từ hạt đến tâm lực: U=U(r).
Do đó hamilton của hạt có dạng:

2
2
ˆ
( )
2
O
H U r
m

  

(1.1)
Trong nguyên tử hydro, thế năng tương tác giữa electron và hạt nhân chỉ
phụ thuộc vào khoảng cách
1 2
r r

giữa chúng. Như đã biết từ trong cơ học
giải tích, bài toán chuyển động hai hạt với định luật tương tác
1 2

( )
U r r

rút về
bài toán chuyển động của một hạt có khối lượng rút gọn

trong trường lực
U(r). Trong trường hợp nguyên tử hydro
.
e p
e p
m m
m m



với m
p
, m
n
tương ứng là
khối lượng của proton và electron. Vì
p e
m m

nên
e
m



. Nếu bỏ qua kích
thước của proton, nguyên tử hydro sẽ được coi như gồm hạt electron chuyển
động trong trường Coulomb gây bởi một tâm đứng yên.
Chọn gốc thế năng tại tâm hạt nhân và gọi r là khoảng cách từ tâm hạt
nhân đến electron thì thế năng tương tác giữa electron và hạt nhân là:

2
( )
Ze
U r
r
  (CGS) (1.2)
Trong đó:
Ze là điện tích của hạt nhân.
U(r) chỉ phụ thuộc vào r, không phụ thuộc vào thời gian nên đối với
nguyên tử hydro phương trình Schrodinger là phương trình dừng.


Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 10

Do tính đối xứng xuyên tâm, để tiện lợi ta giải bài toán trong tọa độ cầu.
Phương trình Schrodinger cho các trạng thái dừng của hạt trong trường hợp
này có dạng:

 
2
2
( ) 0
e

m
E U r
 
   

(1.3)
Trong tọa độ cầu, toán tử

có dạng
,
2
2
2
2
,
2 2
2
2 2 2
1
1
1 1
sin
sin sin
1 1 1
sin
sin sin
r
r
r
r

r
r r r
r
 
 

    

    
    
 
 
 
 
 
 
  
 
  
 
  
 
  
 
     
 
  
 
(1.4)
Thay vào ta được:

 
2
,
2 2 2
21 1
( ) ( ) 0
e
m
r E U r
r r r r
 
 
 
 
    
 

(1.5)
Do
2
,
2
ˆ
L
 
  

ta viết lại như sau:

 

2
2
2 2 2 2
ˆ
2
1
( ) ( ) 0
e
m
L
r E U r
r r r r
 
 
 
   
 
 
(1.6)
Trước hết chúng ta chứng minh rằng, đối với chuyển động trong trường đối
xứng xuyên tâm, ngoài định luật bảo toàn năng lượng, còn hai định luật bảo
toàn nữa, đó là định luật bảo toàn mômen xung lượng toàn phần và định luật
bảo toàn của hình chiếu mômen theo trục z định hướng tùy ý trong không
gian. Muốn vậy ta xét các điều kiện giao hoán của các toán tử
2
ˆ
L
và
ˆ
z

L
với
ˆ
H
.
Trong trường hợp này
ˆ
H
có dạng:

2 2
2
2 2
ˆ
1
ˆ
( ) ( )
2 2
e
L
H r U r
r r r m r
 

 
   
 

(1.7)
Ta thấy

2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ
0
HL L H
 
;
2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ
0
Z Z
HL L H
 
(1.8)


Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 11

Vì các toán tử và chỉ tác động lên các biến góc
,
 
nên giao hoán với các toán
tử lấy vi phân theo r.
Như vậy cũng giống như trong cơ học cổ điển, đối với chuyển động trong
trường đối xứng xuyên tâm có ba đại lượng bảo toàn: năng lượng, bình
phương mômen
2
ˆ
L
và hình chiếu mômen

ˆ
Z
L
. Do đó chúng ta sẽ khảo sát các
trạng thái với giá trị đã cho của ba đại lượng này. Một cách tương ứng ta, ta
viết nghiệm của phương trình dưới dạng

,
( , , ) ( ). ( , )
nlm n l m
r R r Y
    

(1.9)
Năng lượng của hạt được đặc trưng bằng số lượng tử chính n, còn các trị riêng
của các toán tử và được đặc trưng bằng các số lượng tử quĩ đạo l và số lượng
tử từ m. Thay (1.2) và (1.6) vào phương trình (1.9) và chú ý rằng
2
ˆ
( 1)
lm lm
LY l l Y
 

ta đi tới phương trình cho thành phần xuyên tâm
( )
nl
R r
của
hàm sóng

( , , )
nlm
r
  
:



2 2
2
2 2 2
1
21
( ) 0
2
e
e
l l
md dR Ze
r E R r
r dr dr r m r
 
 
   
 
 
 
 



(1.10)
1.1.2 Năng lượng của nguyên tử hydro
Từ kết quả của cơ học lượng tử ta có công thức tính năng lượng của
nguyên tử hydro

4 2
2 2
2
n
me Z
E E
n
   

(CGS) (1.11)
Trong hệ không thứ nguyên
1
m e
  

thì:

2
2
2
n
Z
E E
n
   

(1.12)
Công thức (1.11) cho phép xác định năng lượng của electron trong nguyên tử
hydro. Theo (1.11) thì năng lượng này gián đoạn và tỉ lệ nghịch với bình
phương các số nguyên. Tính gián đoạn này là hệ quả của điều kiện hữu hạn
đối với hàm sóng ở vô cực.
Ứng với n = 1, năng lượng có giá trị thấp nhất
1
13,6
E eV
  . Khi n càng tăng
thì các mức
n
E
liên tiếp càng gần nhau hơn. Khi
n
 
thì
0
n
E

.


Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 12

Một số mức năng lượng kích thích:
2 3
3,4 ; 1,5 ;

E eV E eV
   

 Đối với thế Coulomb, Z hữu hạn, ta có một số vô hạn các trạng thái liên
kết, bắt đầu ứng với năng lượng
2 4
2
2
mZ e


và kết thúc ứng với năng lượng 0.
 Ứng với một giá trị đã cho của n (số lượng tử chính) thì
l
có thể có những
giá trị l = 0, 1, 2, , n- 1. Như vậy có tất cả n giá trị của
l
;
l
gọi là lượng tử số
quỹ đạo và nó xác định độ lớn moment xung lượng

 
1
L l l 

(1.13)
 Ba số nguyên n, l, m duy nhất xác định một hàm riêng







, , ,
nlm nl lm
r R r Y
   
  gọi là ba số lượng tử, m gọi là số lượng tử từ.
Ứng với một giá trị đã cho của l thì m có thể nhận các giá trị
, 1, , 1,0,1, , 1,
m l l l l
     
. Tất cả có


2 1
l

giá trị của m. Lượng tử số m
xác định độ lớn hình chiếu moment xung lượng trên trục z

z
L m



Như vậy, ứng với một mức năng lượng E
n
có nhiều trạng thái khác nhau

nlm

,
ta nói có sự suy biến. Đối với một giá trị n xác định, số trạng thái suy biến có
cùng giá trị năng lượng E
n
là

 
1
2
0
2 1
n
l
l n


 

(1.14)
Nếu không tính đến spin, mức năng lượng cơ bản
1
E
không suy biến, mức kích
thích thứ nhất
2
E
suy biến bậc 4, mức kích thích thứ hai
3

E
suy biến bậc 9
Nếu tính cả spin có hai giá trị thì tổng số trạng thái suy biến trên bằng
2
2
n
.
1.1.3 Hàm sóng của nguyên tử hydro
Hàm sóng chuẩn hóa của nguyên tử hydro có dạng:







, , ,
nlm nl lm
r R r Y
   
 

Với
2
2
2
o
o
Zr
và a

na me

 

(1.15)


Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 13

a
0
: là bán kính Bohr thứ nhất
Bảng 1.1 Hàm sóng toàn phần


, ,
nlm
r
  
của các hệ giống hydro ứng với
các giá trị n=1, 2, 3,…


n l m


, ,
nl m
r

  

1 0 0
3 / 2
0 0
1
( / ) exp( / 2 )
Z a Zr a



2
2

2
0
1

1
0
0

1


3 / 2
0 0 0
1
( / ) (1 / 2 ) exp( / 2 )
2 2

Z a Zr a Zr a

 
3 / 2
0 0 0
1
( / ) ( / )exp( / 2 ) cos
4 2
Z a Zr a Zr a




3/2
0 0 0
1
( / ) ( / ) exp( / 2 )sin exp( )
8
Z a Zr a Zr a i
 

 

3

3
3

3
3

3
0

1
1

2
2

2
0

0
1



0
1



2


3/ 2 2 2 2
0 0 0 0
1
( / ) (1 2 /3 2 / 27 )exp( /3 )

3 3
Z a Zr a Z r a Zr a

  
3/ 2
0 0 0 0
2 2
( / ) (1 /6 )( )exp( /3 )cos
27
Z a Zr a Zr a Zr a


  
3/2
0 0 0 0
2
( / ) (1 /6 )( / )exp( /3 )sin
27
i
Z a Zr a Zr a Zr a e




 

3/ 2 2 2 2 2
0 0 0
1
( / ) ( / )exp( /3 )(3cos 1)

81 6
Z a Z r a Zr a


 

3/ 2 2 2 2
0 0 0
1
( / ) ( / )exp( /3 )sin cos
81
i
Z a Z r a Zr a e

 



3/ 2 2 2 2 2 2
0 0 0
1
( / ) ( / )exp( / 3 )sin
162
i
Z a Z r a Zr a e






Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 14

1.2 Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro
[12]

Xét bài toán nguyên tử hydro, phương trình Schrodinger viết cho nguyên
tử đồng dạng hydro trong hệ SI có dạng:

2 2
0
Δψ( ) ( ) ( )
2 4
Ze
r r E r
m r
 

  

  
(1.16)
Trong đó
,
m e
– lần lượt là khối lượng và điện tích của điện tử;
Z
là số điện

tích.
Ta sẽ viết phương trình trên theo hệ đơn vị nguyên tử, đặt
0
x a x

,
0
y a y

,
0
z a z

với
2 2
0 0
4 /
a me



là bán kính Bohr. Khi đó phương
trình (1.17) có dạng không thứ nguyên:

1
Δ ψ( ) ( )
2
Z
r r
r


 
  
 
 
 
(1.17)
Với tọa độ và năng lượng lần lượt có đơn vị là
0
a
và
2 2
0
/
ma

. Ta có thể viết
dưới dạng tường minh như sau:

ˆ
( , , ) ( , , )
H x y z x y z
  

(1.18)
Với:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1

ˆ
2
Z
H
x y z
x y z
 
  
    
 
  
 
 
(1.19)
Ta định nghĩa các toán tử sinh huỷ dưới dạng:

 
1 1
,
2 2
a a
 
 
 
 
 
   

   
 

   
   
   
 
   
(1.20)
với
, ,
x y z


, trong đó


là các tham số thực dương, ta sẽ xác định nó sau.
Dễ dàng thấy rằng


, 1
a a
 

 

 
 
(1.21)
(Phụ lục1trang 51)
Các giao hoán này chính là công cụ chính cho các tính toán đại số. Ta viết lại
các thành phần trong hamilton

ˆ
H
trong biểu thức (1.19) qua biểu diễn các
toán tử sinh huỷ này.


Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 15

1.2.1 Toán tử động năng

2 2 2
2 2 2
2
2
1 1
ˆ
2 2
T
H
x y z


  
    
  
 


 


 

(1.22)
Từ (1.20) ta có:



2
2
a a a a

   


  
 
 
    
 
   

Suy ra









2
2 2
2
1 2
2 2
a a a a a a a a
 
       
 

   

      

 
 
 
       
(1.23)
Ta thay (1.23) vào (1.22) ta được

 






2 2

1
ˆ
1 2
4
T
H a a a a
  
 


 
 
    
 
 

(1.24)
Đặt



2 2
, ,
A a A a N a a
 
    
  
  
   
(1.25)

Thay (1.25) vào (1.24), ta được:

1 1
ˆ ˆ
ˆ ˆ
1 2
4 4
T
H N A A
    
 
 

 
 
   
 
 
 
(1.26)
với
, ,
x y z



1.2.2 Toán tử thế năng
Với số hạng liên quan đến tương tác Coulomb thì các toán tử sinh huỷ sẽ
nằm ở mẫu số và trong dấu căn cho nên cần phải đưa về dạng chuẩn để có thể
sử dụng trong tính toán. Dùng phép biến đổi laplace ta có thể viết thành phần

thế năng dưới dạng:

2 2 2
( )
0
2 2 2
1
ˆ
t x y z
U
Z Z
H dt e
t
x y z


  
   
 

(1.27)
(Phụ lục 2 trang 51)
Từ đó ta có thành phần thế năng được viết dưới dạng:

 


0
0
'

,
1
ˆ ˆ
ˆ
U
n k
Z
dt
t
H S S
 



  


(1.28)


Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 16

với:


0
ˆ
x
S

: là toán tử chứa những số hạng trung hòa, toán tử


0
ˆ
x
S
khi tác dụng
lên vector trạng thái sẽ thu được trạng thái không đổi.
 
 
 
 
 
 
 
2
0
2 2
2 2
1 1 , 1
1 1
1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
1
!
1 2
! ! !
m i m

m m i i i i m i m i
x x x x x x x x x x x
m i i m
x
i l l i
S N A A A N A
m
i i m
   


  
 
  
 


 

   







  
(1.29)
'

ˆ
x
S
: là toán tử chứa những số hạng trung hòa, toán tử
'
ˆ
x
S
khi tác dụng lên
vector trạng thái sẽ làm thay đổi trạng thái đang xét.
     
 
 
   
 
'
, 1 1 1
, 1 , 1 , , 1
1 1 1
1
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ
! ! ! !
1 2
1 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
! ! ! ! ! ! !
m l l i
l m m l l l i i

x x x x x x x x x
ml l i
x
i l i m i l m
i l i l i m i m i l m i m
x x x x x x x x x x x x
i l i m i l m
l i l i
S N A A A
ml l i
A A A N A N A
i l i m i l m
   

    

  

  
   
  
    
  
 

  
  





  
  
  
  
l





(1.30)
(Phụ lục 3 trang 53)
1.2.3 Toán tử hamilton
Thay (1.26), (1.28) vào biểu thức
ˆ ˆ ˆ
T U
H H H
 
, ta được:
 


     

       
0
0
0
'

0 0 0 0 0 0 0
' '
1
1
1 1
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ
1 2
4 4
1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ
1 2
4 4

x y z x y z x y z
Z
dt
t
Z
dt
t
H N A A S S
N A A S S S S S S S S S
      
 

    
 



 
 






 
 
    
 
 
 
 
     
 
 


  
 
         

0 0 0 0 0
' ' ' ' ' ' ' ' ' '
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

x y z x y z x y z x y z x y z
S SS SS S SS S SSS SSS

    
(1.31)
Toán tử hamilton trong bài toán nguyên tử hydro được chia thành hai
thành phần:
0
ˆ ˆ ˆ
H H V
 
(1.32)
 Thành phần toán tử chứa các toán tử trung hòa, xem như loại toán tử
hamilton

0
H
trong bài toán không nhiễu loạn, với:

(0) (0) (0)
0
, ,
0
1 1
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
(2 1) ( )
4
x y z
x y z
Z
H N S S S dt
t

 





  


(1.33)


Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 17

 Thành phần toán tử chứa các toán tử không trung hòa, xem như loại toán
tử nhiễu loạn

V
, với:

 



0 ' ' ' 0 ' ' ' 0 0 0 ' 0 ' 0 ' 0 0 ' ' '
2
2
1
0

2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
1
ˆ
4
x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z
S SS SS S SS S SSS SSS SS S S SS
Z
V a a dt
t
 





      
 
  
 
 


(1.34)
Dùng các toán tử
ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ
, , , ,
a a A A N

 
và qua quá trình tính toán ta tính được
các yếu tố ma trận của
ˆ
H
:
ˆ
nk
H n H k

m
2i-1 2i
(0) 2 1/2
,
2
m=1 i=1 =0 =1
2i m
2i-1 2i
,
2 1/2
2
i=1 m=1
=0 =1
(-1) 1
ˆ
{1+ [ ( ) ( 2 )]
m! (i!)
(-1) (-1)
[ ( ) ( 2 )] ( 2 ) }
(i!) m!

1 2
m m i
n k
n k
i m
S k k k i
k k i k i
 
 
    
 
   
 

   

  

 
 
    
    

   
 
 
(1.35)
Suy ra
2
2

0
0
2
1/2
(2 )!
(2 2 )!( !)
1
2 | |2 ,
(1 2 ) 2
(1 2 )
k
i
i
k
k
k i i k
k S k k



 
  






   





n , 2
n , 2
m l
2l-1
' 1/2
m=0 l=1 =0
i m
2i
1/2
i=1 m=0 =1
i m l
2
i=1 m=0 l=1 =0
(-1) (-1)
ˆ
{ [ ( )] ( 2 )
m! l!
(-1) (-1)
[ ( )]
i! m!
(-1) (-1) (-1)
[ (
i! m! l!
k l
k i
m l m
i m m

i m l
S k k l
k k
 
 
    

   

  

   
   
  


 
 
  
  
 

 

 

  
n , 2 2
l-1 2i
1/2 m 1/2

=1
1
)] (k -2l) [ ( 2 )] }
1+2
k l i
k k l
 
  


  

 
  
 
(Phụ lục 4 trang 58) (1.36)
Suy ra
1/2 1/2
min( , ) 2
2
0
'
1/2
(2 )! (2 )!
( 1)
.
( )!( )! (2 )! (2 )!
1
ˆ
2 2 .

(1 2 )
(1 2 )
,
2 2
k n k n i
k n i
i
k n
k n
k i n i i i
n S k
k n
k n
 
 
 
 
 
 
 
 
 



 
 


   


   
 
   



 




Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 18

1.3 Sử dụng phương pháp toán tử tính mức năng lượng cơ
bản của nguyên tử hydro khi chưa có bổ chính




0
(0)
0
, ,
0 0 0
1
1/2
0
2

, ,
1
000 000 000 2 1 000
4
ˆ ˆ ˆ
000 000

(1 2 )
x y z
x y z
x y z
E H N
S S S
Z
dt
t











  







Do tính chất đối xứng 
x

y

z
nên biểu thức năng lượng bậc không trở
thành:
(0)
0
1
3
0
2
3 1
4
1
Z
E dt
t
t




 

 
 

 
 
 
 
 


Ta đã đặt 2
2
t
dt d
  

  
(0)
0
1 3
0
2 2
2
3 1
2
4
(1 2 )
Z
E d
  


 

  




Suy ra
(0)
0
3 2
4
E



  (1.37)
Vì mức là mức năng lượng thấp nhất nên ta tiến hành cực tiểu hóa năng lượng:
(0)
0
3 16
0 0 0.56588424210451677
4 9
dE Z
d

 
 
      

Thay
16
9


 vào
(0)
0
E
ta được:
(0)
0
4
-0.42441318157838759
3
E

  
. (1.38)


Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 19


Chương 2
SỬ DỤNG SƠ ĐỒ LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN
TÍNH CÁC BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN
CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO
2.1 Sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn

[6], [10]

Phương trình Schrodinger là phương trình vi phân tuyến tính với các đạo
hàm riêng phần và các hệ số biến đổi. Nghiệm chính xác của nó có thể tìm
được trong một số tương đối nhỏ các trường hợp đơn giản nhất như: nguyên tử
hydro, bài toán dao động tử điều hòa, chuyển động trong hố thế vuông góc,…
Sự phức tạp của việc giải phụ thuộc vào dạng của thế năng và số chiều của
không gian trong bài toán cần giải. Phần lớn các bài toán của cơ học lượng tử
dẫn tới những phương trình rất phức tạp về mặt toán học, và không thể giải
được một cách chính xác. Do đó thường phải ứng dụng những phương pháp
gần đúng để giải bài toán, nghĩa là phải tìm một cách gần đúng các trị riêng và
hàm riêng của nó. Một trong những phương pháp gần đúng rất quan trọng để
giải bài toán cơ học lượng tử là lý thuyết nhiễu loạn. Nội dung lý thuyết nhiễu
loạn như sau:
Xét phương trình Schrodinger:

ˆ
( ) ( )
H x E x
  
(2.1)
ta tách toán tử hamilton của bài toán thành hai thành phần:

0
ˆ ˆ ˆ
H H V

  (2.2)
Trong đó:
Thành phần

0
ˆ
H
là toán tử hamilton có nghiệm riêng chính xác

0
ˆ
n n n
H
  

(2.3)
Thành phần
ˆ
V
còn lại được gọi là thế nhiễu loạn, điều kiện áp dụng lý
thuyết nhiễu loạn là thành phần nhiễu loạn
ˆ
V
phải “nhỏ” so với
0
ˆ
H
,


Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 20

0

ˆ ˆ
V H

. Khi đó, nghiệm của phương trình (2.3) sẽ gần với nghiệm của
phương trình (2.1). Lúc này chúng ta xem
n

và
n

là nghiệm gần đúng bậc
zero của (2.1), các nghiệm gần đúng bậc cao hơn sẽ được tính bằng cách xét
đến ảnh hưởng của
ˆ
V
thông qua các bổ chính năng lượng và hàm sóng. Ở đây
ta đưa vào tham số nhiễu loạn

để mặc định thành phần nhiễu loạn là nhỏ và
dễ dàng nhìn thấy các bậc nhiễu loạn trong sơ đồ tính toán qua số mũ của

.
Ta giả thiết rằng các trị riêng của
ˆ
H
là không suy biến và có phổ gián
đoạn, hệ hàm riêng
n

của

0
ˆ
H
là đầy đủ và trực giao ứng với năng lượng
n

,
với
0,1,2,
n

. Khi đó, chúng ta tìm nghiệm của (2.1) dưới dạng khai triển
theo các hàm riêng của
0
ˆ
H
như sau:

0
( ) ( )
k k
k
x C x



 

(2.4)
Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết hàm sóng cho trạng thái

n
như
sau:

0
( )
( ) ( ) ( )
n n k k
k
k n
x x C x
 



  

(2.5)
Thay vào phương trình (2.1) ta có:
0
0, 0,
ˆ ˆ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n k k n n k k
k k n k k n
H V x C x E x C x
    
 
   
   

   
   
   
 
(2.6)
Nhân hai vế của (2.6) với
*
( )
n
x

rồi tích phân theo toàn miền biến số x ta
được:
* *
0
0, 0,
ˆ ˆ
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n k k n n n k k
k k n k k n
x H V x C x x E x C x
      
 
   
   
   
   
   
 

hay


Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 21

* * * *
0 0
0, 0,
* *
0,
ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ).
n n n n n k k n k k
k k n k k n
n n n n n k k
k k n
x H x x V x x H C x x V C x
x E x x E C x
         
   
 
   

 
  
 
 


Ta có:
0 ( )
nn nn k nk n
k k n
H V C V E
 

 
  

(2.7)
Bây giờ làm tương tự như trên cho
*
( ),
j
x j n


ta có:

* *
0
0, 0,
ˆ ˆ
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
j n k k j n n k k
k k n k k n
x H V x C x x E x C x
      

 
   
   
   
   
   
 

Hay:
* * * *
0 0
0, 0,
* *
0,
ˆ ˆ ˆ ˆ
( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ).
j n j n n j k k j k k
k k n k k n
j n n j n k k
k k n
x H x x V x x x H C x x V C x
x E x x E C x
          
   
 
   

 
  

 
 


Ta có:
0 ( )
j jj jn k jk n j
k k n
C H V C V E C
 

 
  

(2.8)
Ta viết (2.7) và (2.8) lại như sau:

0,
n nn nn k nk
k k n
E H V C V
 

 
  

(2.9)

0
( )

n jj j jn k jk
k
k n
E H C V C V
 



  

,


j n

(2.10)
Với ký hiệu các yếu tố ma trận:

*
0
ˆ
( ) ( )
kk k k
H x H x dx
 





*
ˆ
( ) ( )
jk j k
V x V x dx
 




(2.11)
Hệ phương trình đại số (2.9) - (2.10) có thể xem tương đương với phương
trình Schrodinger (2.1). Giải hệ phương trình này ta thu được năng lượng
n
E



Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 22

và các hệ số
j
C
, nghĩa là tìm được hàm sóng
( )
n
x


qua công thức (2.5). Ta
có thể sử dụng lý thuyết nhiễu loạn cho hệ phương trình này bằng cách phân
tích theo tham số nhiễu loạn như sau:

(0) ( )
1
s s
n n
s
E E E



  

(2.12)

(0) ( )
1
,
s s
j j j
s
C C C j n



   

(2.13)

Ở đây ta ký hiệu
(0) (0)
,
n j
E C
là năng lượng và hệ số gần đúng bậc zero, còn
( ) ( )
, , 1
s s
n j
E C s
  
là các bổ chính vào năng lượng và hệ số hàm sóng. Thay
(2.12) và (2.13) vào (2.10), (2.11) sau đó đồng nhất hai vế theo bậc s ta được:

(0) (0)
, 0
n nn j
E H C
 
,

(1) (1)
(0)
, ( )
jn
n nn j
n jj
V
E V C j n

E H
    

;
2:
s


( ) ( 1)
0
s s
n nk k
k
k n
E V C




  

,

1
( ) ( 1) ( ) ( )
(0)
0 1
1
( )
s

s s s t t
j jk k n j
k t
n jj
k n
C V C E C j n
E H
 
 
 

 
 
      
 

 
 
 
(2.14)
Giá trị riêng và hàm sóng ở gần đúng (s) bất kỳ:

( ) ( )
2
s
s t
n nn n
t
E H E


  

(2.15)
Phương trình (2.14) và (2.15) gọi là sơ đồ Rayleigh-Schrodinger cho lý thuyết
nhiễu loạn dừng (sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn).
2.2 Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro
theo lý thuyết nhiễu loạn bằng phương pháp toán tử
[11]

2.2.1 Tính bổ chính bậc một

(1)
0
000 000 0
ˆ
E
  
V
(2.16)


Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 23

Do thế nhiễu
ˆ
V
không chứa các số hạng trung hòa nên các phần tử ma
trận trên đường chéo chính của
ˆ

V
bằng 0.
2.2.2 Tính bổ chính bậc hai
Xét ở bổ chính bậc hai (s=2) thì từ (2.14) ta được hiệu chính cấp hai cho
mức năng lượng của hệ là:

(2)
(0)
0
nk kn
n
k
n kk
k n
V V
E
E H


 


. (2.17)
Hiệu chính cấp hai cho mức năng lượng cơ bản sẽ là một đại lương âm
phụ thuộc vào đặc tính của nhiễu loạn. Như vậy, với độ chính xác đến các số
hạng có độ bé cấp hai, năng lượng của hệ suy ra từ (2.14), (2.15), (2.17), được
tính bằng:
2
(0)
(0)

0
nk
n nn
k
n kk
k n
V
E E H
E H



  


(2.18)
Trong bài toán tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro, gọi
k=k
x
+k
y
+k
z
thì biểu thức (2.17) được viết lại như sau:

,
2
(2)
0
(0) (0)

,
000
0
000
ˆ
x y
x y z
z
x y z
k k
k k k
k
k k k
E
E E


 


V
(2.19)
Ta tính các yếu tố ma trận của
ˆ
V
, thấy rằng
000 0
ˆ
x y z
k k k


V nếu
k

lẻ.
2 2 2 2 2 2
(2)
0
(0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0)
000 200 000 020 000 002 000 400 000 040 000 004
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
000 200 000 020 000 002 000 400 000 040 000 004
E
E E E E E E E E E E E E
  
  
       
  
     
  
  
V V V V V V

2 2 2 2 2 2
(0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0)
000 220 000 202 000 022 000 600 000 060 000 006
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
000 220 000 202 000 022 000 600 000 060 000 006
E E E E E E E E E E E E
 

 
      
 
     
 
 
V V V V V V

2 2 2 2 2 2
(0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0)
000 420 000 402 000 240 000 204 000 042 000 024
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
000 420 000 402 000 240 000 204 000 042 000 024
E E E E E E E E E E E E
     
     
V V V V V V

2
(0) (0)
000 222
ˆ
000 222

V
E E


 








Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 24

Do tính chất đối xứng ta được:
2 2 2
(2)
0
(0) (0) (0) (0) (0) (0)
000 200 000 400 000 220
2 4
2
(0)
000 6
ˆ ˆ ˆ
000 200 000 400 000 220
3 3 3
ˆ
000 600
3
bac bac
E
E E E E E E
E E
   

   
   
   
  
   
   


 
V V V
V
2 2
(0) (0) (0) (0) (0)
00 000 420 000 222
6
ˆ ˆ
000 420 000 222
6
bac
E E E E
 
 
  
 
 
 
 

V V
(2.20)

 Các yếu tố ma trận của
ˆ
V

 Các yếu tố ma trận của
ˆ
V
ứng với bậc 2 theo k






1
' (0) (0)
2
02 00 00
1 5
0 0
2 2
ˆ ˆ ˆ
2 2 2
ˆ
000 200
4 4
(1 2 )
2 2

4

3
x y z
S S S
Z
V dt d
t
 
  
 




 
     

  
 

 Các yếu tố ma trận của
ˆ
V
ứng với bậc 4 theo k






3

' (0) (0)
2
04 00 00
1 7
0 0
2 2
ˆ ˆ ˆ
6
ˆ
000 400 2 3
10
(1 2 )
x y z
S S S
Z Z
V dt d
t
 
 
  

 
     

 







 
3
' ' (0)
2
02 02 00
1 7
0 0
2 2
ˆ ˆ ˆ
2 2
ˆ
000 220 .
5
1 2
x y z
S S S
Z
V dt d
t
  

  

 
     

 

 Các yếu tố ma trận của

ˆ
V
ứng với bậc 6 theo k






5
' (0) (0)
2
06 00 00
1 9
0 0
2 2
ˆ ˆ ˆ
5
ˆ
000 600 2 5 2 .
14
(1 2 )
x y z
S S S
Z Z
V dt d
t
 
 
  


 
   

 






 
5
' ' (0)
2
04 02 00
1 9
0 0
2 2
ˆ ˆ ˆ
2 6 3
ˆ
000 420
14
1 2
x y z
S S S
Z
V dt d
t

  

  

 
   

 







 
5
' ' '
2
02 02 02
1 9
0 0
2 2
ˆ ˆ ˆ
4 2
ˆ
000 222 .
14
1 2
x y z

S S S
Z
V dt d
t
  

  

 
   

 

 Các yếu tố ma trận của
ˆ
V
ứng với bậc 8 theo k