đề thi HSG toán 9 năm học 2018 2019

PHÒNG GD&ĐT HUYỆN KRÔNG NĂNG
TRƯỜNG THCS QUANG TRUNG
____________________

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
-------------------------

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN CẤP THCS

Năm học: 2018 – 2019
Môn: Toán lớp 9.
Thời gian làm bài : 150 phút
______________
Câu 1 (4 điểm): Cho biểu thức





2

� ba
a a  b b � b  a  ab

:
�
�
a

b

b

a
a b
�
P= �
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa?
b) Rút gọn P
c) Chứng tỏ P �0

Câu 2 (3 điểm): Gi¶i ph¬ng tr×nh:
x 2  x  2018  2018
Câu 3 (6 điểm):
a) Chứng minh phân số sau tối giản với n�Z
12n  1
26n  2
b) Chứng minh abcabc  7 là hợp số.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C=2x2-2xy+5y2+5.
Câu 4 (5 điểm): Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm D trên đoạn
OB. Đường trung trực của đoạn AD cắt (O) tại C và cắt AD tại H. Đường
tròn đường kính BD cắt BC tại E.Chứng minh rằng:
a) AC song song với DE
b) HE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BD
Câu 5 (2 điểm): Cho đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC. Các cạnh BC, BA,
AC tiếp xúc với đường tròn lần lượt tại D, F, E. Chứng minh rằng, nếu tam
giác ABC vuông tại A thì SABC = BD.DC
…………………….HẾT……………………
Duyệt của chuyên môn nhà trường

Krông Năng, ngày 21 tháng 1 năm 2019

Giáo viên ra đề

1


Nguyễn Văn Châu
PHÒNG GD&ĐT HUYỆN KRÔNG NĂNG
TRƯỜNG THCS QUANG TRUNG

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

____________________

-------------------------

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu

Nội dung

Điểm

a �0
�
�
b �0
�
�
a �b

�

a)

Điều kiện

b)

�
a  ab  b �b  ab  a
P �b  a 
:
�
a

b
�
� a b
ab
a b

.
a  b b  ab  a
ab

b  ab  a

Câu 1
4đ

c) Ta có

a �0
�
�
b �0
�
�
a �b
�

0,75

1
0.5
0.5

0,25
, áp dụng BĐT Cô - si cho hai số a và b:
0,5

a  b  2 ab  ab

0.25

� b  ab  a  0
P 
Do đó

0,25

ab
�0
b  ab  a

Giải phương trình : x  x  2018  2018 (1)
ĐKXĐ: x �- 2018
Biến đổi phương trình:
2
(1) � x  x  x  2018  2018  x .
Đặt a = x  2018 (a �0), ta có: x2 + x + a = a2 � (x2 – a2) + (x + a) = 0
Câu 2 � (x + a)(x – a + 1) = 0
� x1 = - a; x2 = a – 1.
3đ
+) Với x = - a, ta có: x = - x  2018 (ĐK: x �0)
2

� x2 = x + 2018 � x2 – x – 2018 = 0 � x1 =

1  3 897
0
2

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

( loại)
2


1  3 897
0
2

x2 =
(chọn)
+) Với x = a – 1, ta có: x = x  2018  1 � x  2018 =x + 1 (ĐK: x �- 1)
� x + 2018 = (x + 1)2 � x2 + x – 2017 = 0
� x1 =

x2 =

1  8069
 1
2
1  8069
2

(loại)
0,25

(chọn)
x1 

0,5

1  3 897
1  8069
; x2 
2
2

0.25

Giả sử d=(12n+1, 26n+2). Khi đó,

0,5

12n  1M
d
156n  13M
d
�
�
��
�
26n  2Md �
156n  12M
d
�
� (156n  13)  (156n  12)  1M
d
� d  �1

Vậy

0,5
0.25
0.25

12n  1
26n  2

0.25

là phân số tối giản

0.5

5
4
3
2
b) abcabc  7 = a.10  b.10  c.10  a.10  b.10  c  7

Câu 3
6đ

0.5

 100100a  10010b  1001c  7
 1001 100a  10b  c   7
vì 1001

0,25
0,25

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm:
a)

0,25

0.5

M7 và 7 M7 nên 1001 100a  10b  c   7 chia hết cho 7

0.5

c) C=2x2-2xy+5y2+5=(x2-4xy+4y2)+(x2+2xy+y2)+5
=(x-2y)2+(x+y)2+5
vì (x-2y)2 � 0 và .(x+y)2 �0 nên (x-2y)2+(x+y)2+5 �5 với mọi x,y
GTNN của C là 5
và C có GTNN là 5 khi

0.5
0.5
0.5
0.25

�x  2 y  0
�x  0
�
�
�x  y  0 � �y  0

0.25

Câu 4 Vẽ hình, ghi GT, KL đúng theo
yêu cầu chung của đề bài
5đ

C

1

K

1

E

2
A

1
H

O

D

I

0,5
B

3


a) Tam giác ACB vuông tại C
Tam giác DEB vuông tại E
�
�
Suy ra ACB = DEB
=900
Do đó AC// DE

0.5
0.5
0.5

b) Gọi K là trung điểm của CE, I là trung điểm của BD.
Có HK là đường trung bình của hình thang ACED
=> HK vuông góc với CE

0.5
0.5
0,5

=>  CHE cân tại H
� �
� �
� �
=> E1 =C1 . Có E 2 =B1 và B1  C1  90

0,25

0

0
� �
0
�
=> E1 +E 2  90 => HEI  90

0.5
0.25

Vậy HE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BD

0,25
0.25

Câu 5

A

2đ
E
F
C
D
B

Đặt AB=c, AC=b, BC=a
Đường tròn (O) tiếp xúc với AC,AB theo thứ tự tại E và F. Ta có:

0.25

2DB=BD+BF=(BC-DC)+(AB-FA)
=(BC+AB)-(DC+FA)

0,25

=BC+AB-(CE+EA)
=BC+AB-AC

0.25

=a+c-b=a-(b-c)
4


Tương tự, 2DC=a+(b-c)

0,25

Suy ra
4DB.DC  a 2  (b  c) 2
 a 2  (b 2  c 2 )  2bc

(1)

2
2
2
Nếu tam giác ABC vuông tại A thì a  b  c

1
1
SABC  AB.AC  bc
2
2
và

0,25
0.25

(2)

0.25
0.25

1
bc
Từ (1) và (2) suy ra BD.DC= 2 =SABC
Hướng dẫn chấm

- Giáo viên chấm có thể chia điểm thành phần đến 0,25 điểm cho từng câu để
chấm.
- Điểm toàn bài là tổng điểm thành phần.
- Học sinh có thể giải theo cách khác với đáp án nhưng đúng và chặt chẽ vẫn cho
điểm tối đa tương ứng.
Hết
Duyệt của chuyên môn nhà trường

Krông Năng, ngày 21 tháng 1 năm 2019

Giáo viên ra đề

Nguyễn Văn Châu

5