MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ CĂN THỨC

TRUNG TÂM TƯ VẤN VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC EDUFY
Số 130B Hoàng Văn Thái – Thanh Xuân – Hà Nội
Tel: 04.62 927 623
Hotline: 098 770 8400
Web:

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ CĂN THỨC
ThS. Nguyễn Anh Dũng (Hà Nội)
1. Bài toán tính tổng
Ví dụ 1: Tính tổng sau
S

1

1 2

1
1
 ... 
2 3
99  100

Lời giải: Với mỗi số thực dương n ta có:
Suy ra

S  2 1 3 

1
n  n1



n 1  n

2  ....  100  1  10  1  9

2. Tính giá trị của một biểu thức theo các số vô tỉ cho trước
Ví dụ 2: Tính S 

1
1
 5 biết a 
5
a
b

Lời giải: Từ giả thiết suy ra

7 3
7 3
;b
2
2

a  b  7 ; ab  1

2

Do đó a 2  b 2   a  b   2ab  5
3

a3  b3   a  b   3ab  a  b   4 7

Suy ra S 

1
1
 5  a 5  b5   a 2  b 2  a3  b3   a 2 b 2  a  b   20 7  7  19 7
5
a
b

3. Chứng minh một số là số vô tỉ
Ví dụ 3:

Cho x  3 

3

2 . Chứng minh rằng x là một số vô tỉ.

Lời giải: Giả sử x là một số hữu tỉ.
Ta có

3



2  x 3  2 x 3

3



 2  x3  3 3 x 2  9 x  3 3
 3

Suy ra

x3  9 x  2
3  x 2  1

3 là một số hữu tỉ: vô lí, Ta có điều phải chứng minh.
Page 1


TRUNG TÂM TƯ VẤN VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC EDUFY
Số 130B Hoàng Văn Thái – Thanh Xuân – Hà Nội
Tel: 04.62 927 623
Hotline: 098 770 8400
Web:

4. Chứng minh một số là số nguyên
Ví dụ 4: Chứng minh rằng số sau là một số nguyên
y 375 2 

3

75 2

Lời giải:

2

Ta có


3

1 

3

 2   2 
2   1  2   1 

y  31 3 2  3
3

3

1 3 2  3

2

 2   2

3

3

3

2  1 2

Suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 5: Cho a 

1 5
1 5
;b
2
2

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì số S n  a n  b n là một số tự nhiên.
Lời giải: Ta có: a  b  1; ab   1
Với mỗi số tự nhiên n ta có:
S n  2  a n  2  b n  2   a n  1  b n  1   a  b   ab  a n  b n   Sn  1  S n

Kết hợp với S 0  2 ; S1  1 ta được S 2  S0  S1  N ; S3  S1  S 2  N ; .....
Bằng quy nạp ta chứng minh được S n  N với mọi số tự nhiên n, ta có điều phải
chứng minh.
5. Bài toán về phần nguyên
Ví dụ 6: Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương thì:
 n  n  1    4n  2  trong đó kí hiệu

 


 a

chỉ số nguyên lớn nhất không

lớn hơn a.
Lời giải: Đặt a   4n  2   a  N 
Ta có:

a  4n  2  a 2  4n  2 Vì không có số chính phương có dạng 4n  2

nên a 2 # 4n  2 . Do đó a 2  4n  2
Page 2


TRUNG TÂM TƯ VẤN VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC EDUFY
Số 130B Hoàng Văn Thái – Thanh Xuân – Hà Nội
Tel: 04.62 927 623
Hotline: 098 770 8400
Web:

Vì không có số chính phương có dạng 4n  2 nên a 2 # 4n  1 .
Suy ra a  4n  1  a   4n  1 
Ta có:





2

n  n  1  2n  1  2 n 2  n  4n  1

Suy ra:

n  n  1  4n  1
  n  n  1    4n  1   a

(1)

Mặt khác ta có:





2

n  n  1  0  2n  1  2 n  n  1

 4n  2 



n  n 1



2

 4n  2  n  n  1
  4n  2    n  n  1 

Hay  n  n  1  a
Từ (1) và (2) suy ra

(2)
 n


n  1   a   4n  2  ta có điều phải chứng

minh.
Nhận xét: Nếu a  b thì

 a   b 

Bài tập tự luyện:
1. Tính S 

1
1
 7 , biết a 
7
a
b

6
2

2

;b

6 2

2

2. Cho x  2  3 5 . Chứng minh rằng x là một số vô tỉ.
3. Chứng minh rằng số sau là một số nguyên:

3

6

827

27

3

6

827
27

n
4. Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên n thì  2  3  là một số tự nhiên lẻ.







Page 3