các bài toán lượng giác

Bài 1) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
A = 5 – cos
4
x + cos
2
x – sin
2
x + sin
4
x
Bài 2) Biết x là góc nhọn và tanx – cotx = m
Tính giá trị của biểu thức A = tanx + cotx theo m
Bài 3) Biết sinx + cosx = 1.2. hãy tính giá trị của biểu thức
A = sin
4
x + cos
4
x
Bài 4) chứng minh rằng nếu cos2a ≠ 0 thì tan2a + 1/cos2a = (1 – 2sin
2
a)/(1 – sin2a)
Bài 5) cho phương trình (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + m) = 3 – 4cos
2
x
a. Giải phương trình khi m = 1
b. Tìm m để m có đúng hai nghiệm trong khoảng (0; ∏).
Bài 6) cho phương trình 3sin
4
x – 2(m + 2)sin
2
xcos

2
x + (1 – m2)cos
4
x = 0
a. giải phương trình đã cho với m = 0.
b. với giá trị nào của m, phương trình đã cho có nhiều họ nghiệm thuộc khoảng (-∏/2; ∏/2)
nhất.
Bài 7) Cho phương trình (m + 2)sinx + cos2x – 1 – m = 0
a) Giải phương trình trên khi m = 1
*b) Xác định m để phương trình đã cho có nghiệm? có đúng một họ nghiệm? có nhiều hơn
một họ nghiệm?
Bài 8) Cho phương trình
a. Giải phương trình trên khi m = 3
b. xác định m để phương trình đã cho có đúng một họ nghiệm?
c. xác định m để phương trình để m có đúng một nghiệm thuộc khoảng (0; ∏)?
Bài 9) Cho phương trình (m + 1)sinx + cos2x – m = 0
a. Giải phương trình trên khi m = 2
b. Xác định m để phương trình đã cho có nghiệm.
Bài 10) Cho phương trình cos2x + (m - 2)sinx – (m + 1) = 0
a. Giải phương trình khi m = 1
b. Xác định m để phương trình có nghiệm?
Bài 11) Cho phương trình m(1 + tan2x)sinx – tan2x + 1 = 0
a. Giải phương trình với m = 1
Chỉ ra những khoảng nghiệm nào thoả mãn điều kiện tanx < 0?
b. Xác định m để phương trình có nghiệm
Bài 12) Cho phương trình sin
4
x + cos
4
x = m

a. Giải phương trình khi m = 1
b. Tìm m để phương trình trên vô nghiệm? có nghiệm?
Bài 13) Giải phương trình sin
4
U + cos
4
U = 5/8, với U = 2x/3
Bài 14) Giải phương trình cos
2
x + tan
2
x + 2cosx + 1 = 0.
Bài 15) Giải phương trình cos
4
x = 2sin
2
2x
Bài 16) Cho phương trình cos
2
x – sinxcosx – 2sin
2
x – m = 0
a. Giải phương trình khi m = 1.
b. Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm
Bài 17) Giải phương trình (1 – cos2x)/2sinx = sin2x/(1 + cos2x)
Bài 18) Giải phương trình sin
3
x + cos
3
x = 1 – (1/2)sin2x

Bài 19) Giải phương trình sin
3
x + sinxcosx + cos
3
x = 1
Bài 20) Cho phương trình sinx + cosx = m + sin2x
a. Giải phương trình khi m = 1
b. Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có nghiệm.
Bài 21) Cho phương trình mtan
2
x = (1 + cosx)/(1 - sinx)
a. Giải phương trình khi m = 1
b. Xác định m để phương trình đã cho có đúng một họ nghiệm?
Bài 22) Giải phương trình sin2x = 2cosx + 2√3 cos
2
x
Bài 23) Chứng minh rằng √3 sin5x + cos5x – 2 ≤ 0
Bài 24) Cho phương trình sinx – mcosx = 1
a. Giải phương trình trên khi m = √3
b. tìm m để phương trình vô nghiệm
Bài 25) Chứng minh rằng |sinx + cosx + sinxcosx| ≤ √2 + 1/2
Bài 26) Cho phương trình 1/sinx + 1/cosx = m
a. Giải phương trình với m = 0
b. Chứng minh rằng với mọi m, phương trình trên luôn luôn có nghiệm
Bài 27) Cho phương trình sinx + cosx = m sin2x.
a. Giải phương trình khi m = 1.
b. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, phương trình luôn luôn có nghiệm
Bài 28) Giải phương trình tanx - 2√2 sinx = 1
Bài 29) Chứng minh nếu A, B, C là 3 góc của một tam giác thì
Cot(A/2) + cot(B/2) + cot(C/2) = Cot(A/2) cot(B/2) cot(C/2)

Bài 30) Chứng minh rằng cos(2∏/7) + cos(4∏/7) + cos(6∏/7) = - 1/2
Bài 31) Tìm giá trị của tham số a sao cho bất phương trình (3a - 1)sinx – 2a < 0 nghiệm đúng với
mọi x thuộc [0; ∏/2].
Bài 32) Giải phương trình 2tan3x – 3tan2x = tan
2
2x tan3x
Bài 33) Giải và biện luận theo m phương trình
(m - 1)sin
2
x – 2(m + 1)cosx + 2m – 1 = 0
Bài 34) Giải phương trình 2cos2x – sin2x = 2(sinx + cosx)
Bài 35) Giải phương trình
cos4x + 3sin4x – 2sin2x = 0
Bài 7) Cho phương trình (m + 2)sinx + cos2x – 1 – m = 0 (1)
*b) Xác định m để phương trình đã cho có nghiệm? có đúng một họ nghiệm? có nhiều hơn một họ
nghiệm?
Giải
Ta có: (1)  (m + 2)sinx + 1 – 2sin
2
x -1 – m = 0
 – 2sin
2
x + (m + 2)sinx – m = 0
Đặt t = sinx, đk |t| ≤ 1, phương trình trở thành
-2t
2
– (m + 2) – m = 0
Phương trình có tổng các hệ số bằng 0 (a + b + c = (-2) + (m + 2) + (-m) = 0) nên
phương trình có nghiệm t
1

= 1, t
2
= c/a = -m/(-2) = m/2
+ Vì sinx = t
1
= 1
Ta có sinx = 1
 sinx = sin(∏/2)
 x = ∏/2 + 2k∏, k∈ Z
nên phương trình luôn có nghiệm với mọi m

+ Để phương trình có đúng một họ nghiệm thì t
1
= t
2
hoặc t
2
không thỏa mãn điều
kiện (loại t
2
)
Vậy t2 = t1 = 1  m/2 = 1  m = 2 (1);
|t2| >1  |m/2| > 1  m/2 < -1 hoặc m/2 > 1  m < -2 hoặc m > 2 (2)
Kết hợp (1) và (2) ta có:
Bài 13) Giải phương trình sin
4
U + cos
4
U = 5/8 (1), với U = 2x/3
Giải

Ta có: sin
4
U + cos
4
U = sin
4
U + 2sin
2
Ucos
2
U + cos
4
U - 2sin
2
Ucos
2
U
= (sin
2
U + cos
2
U)
2
- 2sin
2
Ucos
2
U = 1 - 2sin
2
Ucos

2
U (vì sin
2
α + cos
2
α = 1)
Vậy (1)  1 - 2sin
2
Ucos
2
U = 5/8
 - 2sin
2
Ucos
2
U = 5/8 – 1
 - 2sin
2
Ucos
2
U = - 3/8
 - (1/2)sin
2
2U = -3/8
 sin
2
2U = 3/4
 sin2U = √3 /2 hoặc sin2U = -√3 /2
* sin2U = √3 /2  sin2U = sin(∏/3)
 2U = ∏/3 + k2∏ hoặc 2U = ∏ - ∏/3 + k2∏

 U = ∏/6 + k∏ hoặc U = ∏/3 + k∏
+ Với U = ∏/6 + k∏  2x/3 = ∏/6 + k∏  x = ∏/4 + k3∏/2
+ Với U = ∏/3 + k∏  2x/3 = ∏/3 + k∏ x = ∏/2 + k3∏/2
* sin2U = - √3 /2  sin2U = sin(- ∏/3)
 2U = - ∏/3 + k2∏ hoặc 2U = ∏ + ∏/3 + k2∏
 U = - ∏/6 + k∏ hoặc U = 4∏/3 + k∏
+ Với U = - ∏/6 + k∏  2x/3 = - ∏/6 + k∏  x = - ∏/4 + k3∏/2
+ Với U = 4∏/3 + k∏  2x/3 = 4∏/3 + k∏ x = 2∏ + k3∏/2
m < -2 hoặc m ≥ 2
Bài 19) Giải phương trình sin
3
x + sinxcosx + cos
3
x = 1 (3)
Giải
(3)  sin
3
x + cos
3
x = 1 – sinxcosx
 (sinx + cosx)(sin
2
x – sinxcosx + cos
2
x) = 1 – sinxcosx (hằng đẳng thức: a
3
+ b
3
= (a+b)(a
2

-
ab+b
2
))
 (sinx + cosx)(1 - sinxcosx) = 1 – sinxcosx (vì sin
2
x + cos
2
x = 1)
 (sinx + cosx)(1 - sinxcosx) – (1 – sinxcosx ) = 0
 (1 – sinxcosx)(sinx + cosx - 1) = 0
 1 – sinxcosx = 0 hoặc sinx + cosx – 1 = 0
* 1 – sinxcosx = 0  sinxcosx = 1  (1/2)sin2x = 1  sin2x = 2 (vì sin2x = 2sinxcosx)
Phương trình này vô nghiệm vì -1 ≤ sin2x ≤ 1
* sinx + cosx - 1 = 0 sinx + cosx = 1  sin(x + ∏/4) = √2 /2  sin(x + ∏/4) = sin(∏/4)
 x + ∏/4 = ∏/4 + k2∏ hoặc x + ∏/4 = ∏ - ∏/4 + k2∏
 x = k2∏ hoặc x = ∏/2 + k2∏
Vậy phương trình (3) có nghiệm là: x = k2∏ hoặc x = ∏/2 + k2∏ , k ∈ Z
Bài 23) Chứng minh rằng √3 sin5x + cos5x – 2 ≤ 0
Giải:
Ta có: √3 sin5x + cos5x – 2 ≤ 0
 √3 sin5x + cos5x ≤ 2
 (√3/2)sin5x + (1/2)cos5x ≤ 2/2
 cos(∏/6)sin5x + sin(∏/6)cos5x ≤ 1
 sin(5x + ∏/6) ≤ 1 (áp dụng công thức cộng sin(a + b) = sinacosb + sinbcosa)
Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên bất đẳng thức đã cho ban đầu đúng
Bài 24) Cho phương trình sinx – mcosx = 1
a. Giải phương trình trên khi m = √3
b. tìm m để phương trình vô nghiệm
Giải

Ta có: sinx – mcosx = √(1 + m
2
)[(1/√(1 + m
2
))sinx – (m/√(1 + m
2
))cosx] = √(1 + m
2
)(sinαsinx -
cosαcosx) = √(1 + m
2
)cos(x + α)
Với sinα = 1/√(1 + m
2
); cosα = m/√(1 + m
2
);
a. Với m = √3 ta có: 1/√(1 + m
2
) = 1/2 nên sinα = 1/2  sinα = sin(∏/6)  α = ∏/6
Phương trình trở thành:
2cos(x + ∏/6) = 1
 cos(x + ∏/6) = 1/2 = cos(∏/3)
 x + ∏/6 = ∏/3 + k2∏ hoặc x + ∏/6 = - ∏/3 + k2∏
 x = ∏/6 + k2∏ hoặc x = - ∏/2 + k2∏
b. phương trình trở thành
√(1 + m
2
)cos(x + α) = 1  cos(x + α) = 1/√(1 + m
2

)
Phương trình vô nghiệm khi 1/√(1 + m
2
) >1  √(1 + m
2
) < 1  1 + m
2
<1  m
2
< 0
(không xảy ra). Vậy không có giá trị nào của m làm cho phương trình đã cho vô nghiệm
Bài 30) Chứng minh rằng cos(2∏/7) + cos(4∏/7) + cos(6∏/7) = - 1/2
Giải:
Ứng dụng công thức biến đổi tích thành tổng là để tính các biểu thức mà các cung của các giá trị
lượng giác liên tục như:
2∏/7; 4∏/7; 6∏/7
∏/9; 2∏/9; 3∏/9; 5∏/9
Nhân 2 vế của đẳng thức trên với 2sin(∏/7) ta có
2sin(∏/7) cos(2∏/7) + 2sin(∏/7) cos(4∏/7) + 2sin(∏/7) cos(6∏/7) = - (1/2) 2sin(∏/7)
2sin(∏/7) cos(2∏/7) + 2sin(∏/7) cos(4∏/7) + 2sin(∏/7) cos(6∏/7) = - sin(∏/7) (1)
Ta có: + 2sin(∏/7) cos(2∏/7) = 2 (1/2)(sin(∏/7+2∏/7) + sin(∏/7- 2∏/7))
= sin(3∏/7) + sin(-∏/7) = sin(3∏/7) - sin(∏/7) (vì sin(-x) = -sinx)
Tương tự + 2sin(∏/7) cos(4∏/7) = sin(5∏/7) - sin(3∏/7)
+ 2sin(∏/7) cos(6∏/7) = sin(7∏/7) - sin(5∏/7)
Vậy (1)  sin(3∏/7) - sin(∏/7) + sin(5∏/7) - sin(3∏/7) + sin(7∏/7) - sin(5∏/7) = - sin(∏/7)
 - sin(∏/7) + sin(7∏/7) = -sin(∏/7)
 - sin(∏/7) + sin∏ = -sin(∏/7)
 - sin(∏/7) = -sin(∏/7) (vì sin∏ = 0)
Đẳng thức cuối cùng đúng nên đẳng thức đã cho ban đầu cũng đúng