V]aBÀI TOÁN LÀ SỰ KẾT HỢP CÁC BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC

aBÀI TOÁN LÀ SỰ KẾT HỢP CÁC BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC ,HÌNH HỌC, ĐẠI SỐ
Ta có bài toán lượng giác quen thuộc :
sin(a+b).sin(a-b) = sin
2
a - sin
2
b với mọi a,b.
Khi đó vớiA,B là 2góc của ∆ ABC ta có:
sin(A+B).sin(A-B) = sin
2
A - sin
2
B
⇒ sinC.sin(A-B) = ( sinA +sinB ) (sinA - sinB ) .
⇒
sinB sinA
sinC

)BAsin(
BsinAsin
+
=
−
−
(với A ≠ B )
Kết hợp với hệ thức sin ta có đẳng thức:

b a
c

)BAsin(

BsinAsin
+
=
−
−
(với A ≠ B )
Kết hợp với bất đẳng thức đại số quen thuộc :

0)cb,a, (våïi
2
3
ba
c
ac
b
cb
a
>≥
+
+
+
+
+
( dấu đẳng thức xảy ra khi chỉ khi a = b = c )
ta phát biểu bài toán " mới" trong tam giác :
Bài toán * : Cho ∆ ABC có các góc đôi một khác nhau . Chứng minh :
)BAsin(
BsinAsin
−
−

+
)CBsin(
CsinBsin
−
−
+
)ACsin(
AsinCsin
−
−
>
2
3
Biến đổi biểu thức :
)
2
BA
cos(
2
C
sin
)
2
BA
cos()
2
BA
sin(2
)
2

BA
sin()
2
BA
2cos(

)BAsin(
BsinAsin
−
=
−−
−+
=
−
−
ta phát biểu bài toán " mới" tương đương:
Bài toán * *: Cho ∆ ABC có các góc đôi một khác nhau . Chứng minh :
)
2
CB
cos(
2
A
sin
−
+
)
2
AC
cos(

2
B
sin
−
+
)
2
BA
cos(
2
C
sin
−
>
2
3
°