Chuyên đề: Nhận dạng tam giác

Chuyên đề Lượng giác và Ứng dụng

CHƯƠNG II: NHẬN DẠNG TAM GIÁC
 Để làm tốt các loại bài tập này, ta cần nhớ các điều sau:
•

Nắm vững các công thức lượng giác kết hợp các góc
liên quan đặc biệt (bù, phụ), hệ thức lượng trong tam giác.

•

Nên thuộc các đẳng thức, bất đẳng thức quen thuộc trong
tam giác để tránh những biến đổi không cần thiết.

 Giải các bài toán nhận dạng tam giác ta thường:
•

Đối với các bài toán chỉ biến đổi đẳng thức: đưa về
phương trình tích.

•

Đối với các bài toán sử dụng bất đẳng thức: khi đẳng
thức xảy ra thì đó là tam giác cần nhận dạng.

 Dựa vào phương pháp giải mà ta phân loại như sau:
•

Bài toán 1: sử dụng phép biến đổi đẳng thức.

•

Bài toán 2: sử dụng bất đẳng thức

BÀI 1: SỬ DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẲNG THỨC.
Một số đẳng thức quen thuộc trong tam giác:
Cho tam giác ABC có:
A
B
C
cos cos
2
2
2
A
B C
2) cos A + cos B + cos C = 1+ 4sin sin sin
2
2
2
3)sin 2 A + sin 2 B + sin 2C = 4sin A sin B sin C
4) cos 2 A + cos2 B + cos2 C =1− 2 cos A cos B cos C

1)sin A + sin B + sin C = 4 cos

5) sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2(1 + cos A cos B cos C )
Để ý rằng tam giác ABC vuông
cos A = 0
⇔ cos B = 0
cos C = 0
Như vậy, từ đẳng thức (4) và (5) ta có bài toán sau:

Hãy nhận dạng tam giác ABC nếu biết:
a) cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1
b) sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2

Nhóm học sinh lớp 11A1

47


Chương 2: Nhận dạng tam giác
I. NHẬN DẠNG TAM GIÁC VUÔNG:
Một số phương pháp nhận dạng tam giác vuông:
Giả sử có

VABC, chứng minh VABC vuông tại A, ta chứng minh:

•

π

cos A =0 ⇔ sin  − A ÷=0 ⇔ sin A =1
2


•

sin B = cos C

Bài 1: (Đề 121/III)
Chứng minh rằng nếu trong tam giác ABC

sin A + sin B + sin C = 1 − cos A + cos B + cos C
thì ABC là tam giác vuông.
Lời giải:

Trong

VABC ta dễ dàng chứng minh
sin A + sin B + sin C = 4 cos

A
B
C
cos cos
2
2
2

1 − cos A + cos B + cos C = 4sin

A
B
C
cos cos
2
2
2

Vậy từ giả thiết ta có:
4 cos

A
B
C
A
B
C
cos cos = 4sin cos cos
2
2
2
2
2
2

⇒ cos

A
A
= sin
2
2

A
⇒tg =1
2
A π
⇒ =
2 2
Vậy tam giác ABC vuông tại A.
Bài 2:

Cho

VABC thỏa mãn hệ thức:

sin A + sin B + sin C = 1 + cos A + cos B + cos C
Chứng minh rằng

VABC là tam giác vuông.
Lời giải:

Đẳng thức đã cho tương đương với đẳng thức sau:
2sin

A+ B
A− B
C
C
A+ B
A− B
C
cos
+ 2sin cos = 2 cos
cos
+ 2 cos 2
2
2
2
2
2

2
2

⇔ cos

C
A− B
C
C
A− B
C
cos
− cos  = sin cos
−cos 

2
2
2
2
2
2

Từ (1) có hai khả năng:
1. Nếu: cos

A− B
C
A− B
C
− cos = 0 ⇔ cos

= cos
2
2
2
2

Năm học 2006 – 2007

48

(1)


Chuyên đề Lượng giác và Ứng dụng
Khi ấy ta có hoặc là: A − B = C ⇒ A = B + C ⇒ A = 900
B − A = C ⇒ B = C + A ⇒ B = 900

Hoặc là:
2. Nếu: cos

A− B
C
C
C
C
− cos ≠ 0 ⇒ cos = sin ⇒ tg = 1
2
2
2
2

2
⇒

C
= 450 ⇒ C = 900
2

như thế trong mọi trường hợp ABC đều là tam giác vuông.
Bài 3:(Đề 45/II2)
Chứng minh rằng nếu sin 2 A + sin 2 B = 4sin A.sin B thì ABC là tam giác
vuông .
Lời giải:
Theo công thức biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng ta
có
sin 2 A + sin 2 B = 2sin ( A+ B ) .cos ( A− B )
4sin A.sin B = 2 cos( A− B ) −cos( A+ B ) 
Nếu từ giả thiết ta có
sin ( A+ B ) .cos ( A− B ) = cos ( A− B ) − cos ( A+ B )

⇔ cos ( A− B ) 1−sin ( A+ B )  = cos ( A+ B )
A+ B
A+ B  2

2 A+ B −sin 2 A+ B
⇔ cos( A− B )  cos
−sin
÷ =cos
2
2 
2

2

A+ B
A+ B  
A+ B
A+ B  
A+ B
A+ B  


⇔ cos
−sin
cos( A− B )  cos
−sin
+ sin
÷− cos
÷ =0

÷
2
2 
2
2  
2
2  


Mà biểu trong ngoặc vuông viết thành
 A+ B 
 A+ B 

cos 
÷cos( A− B ) −1 − sin 
÷cos( A− B ) +1
 2 
 2 
A+ B
A− B
A+ B
A− B
.2sin 2
− sin
.2 cos 2
<0
2
2
2
2
A+ B

2 A− B >0,sin A+ B ≥0,2 cos 2 A− B >0 
 cos 2 ,2sin
÷
2
2
2


= − cos

nên ta phải có cos

A+ B
A+ B
A+ B C
= sin
⇒
=
2
2
2
2

Vậy tam giác ABC vuông tại C.
Bài 4: (Đề 19/II1)
Xác đònh tam giác ABC thỏa mãn hệ thức:
Nhóm học sinh lớp 11A1

49


Chương 2: Nhận dạng tam giác
c = c.cos 2 B + sin 2 B
Lời giải:
Hệ thức đã cho viết thành
c ( 1−cos 2 B ) = 2b sin B.cos B
⇔ sin C.2sin 2 B = 2sin 2 B.cos B
⇔ sin C =cos B
(vì sin 2 B ≠ 0 )
Vì sin C và sin B là hai góc tam giác nên
 π

C = − B ( 1)
sin C = cos B ⇒  2
C = π + B ( 2 )
 2
Trường hợp (1) tam giác ABC vuông tại sin A
Trường hợp (2) ta có góc C − B =

π
2

VABC giả vuông tại A

Bài 5:((Đề 24/III2)
Trong một tam giác ABC, gọi

r , r , r , r lần
A B C

lượt là bán kính

đường tròn nội tiếp, bàng tiếp trong các góc A,B,C.
Chứng minh rằng nếu rA = r + rB + rC thì tam giác ABC vuông
Lời giải:
Theo công thức tính diện tích tam giác dựa vào bán kính các
vòng tròn nội tiếp và bàng tiếp
Ta có
S = p.r = ( p − a ) .rA = ( p − b ) .rB = ( p − c ) .rC nên
rA = r + rB + rC
S
S

= +
p−a p
1
1
⇔
− =
p−a p
⇔

⇔

S
+
p −b
1
+
p −b

S
p −c
1
p −c

2 p − ( b + c)
a
=
p ( p − a) ( p − b) ( p − c)

⇔ p ( p − a) = ( p − b) ( p − c)
⇔ − pa = bc − p ( b + c )

⇔ p ( b + c − a ) = bc
⇔ ( b + c) = a2
2

Vậy tam giác ABC vuông tại A
Năm học 2006 – 2007

50


Chuyên đề Lượng giác và Ứng dụng
II. NHẬN DẠNG TAM GIÁC CÂN
Bài 1: Tam giác ABC có tính chất gì nếu tgA + tgB = 2 cot g

C
2

Lời giải:
Do A, B, C là 3 góc của tam giác nên cot g

C
A+ B
= tg
2
2

Vậy hệ thức đã cho viết thành:
tgA − tg

A+ B

A+ B
+ tgB − tg
=0
2
2

A− B
B− A
sin
2
2
⇔
+
=0
A+ B
A+ B
cos A.cos
cos B.cos
2
2
sin

A+ B
A 

=sin ≠ 0 ÷
 cos
2
2 


nên ta có
A− B  1
1 
−

÷= 0
2  cos A cos B 
 A− B
sin
=0
⇒
2

cos A=cos B
⇒ A= B
sin

Vậy tam giác A, B, C cân tại C
Nhận xét: Bài toán này có thể giải bằng phương pháp bất
đẳng thức. Thực chất đây là bài toán tìm min (tam giác ABC có
tính chất gì khi đẳng thức xảy ra) của bất đẳng thức sau:
tgA + tgB ≥ 2tg

A+ B
(Trong mọi tam giác nhọn ta đều có bất đẳng
2

thức trên)
Thật vậy trong một tam giác có 3 góc nhọn ABC ta có:
tgA + tgB =

sin ( A+ B )
cos A cos B

2
mà 2 cos A cos B = cos ( A+ B ) cos ( A− B ) ≤ 1 + cos ( A+ B ) = 2 cos

nên tgA + tgB ≥

A+ B
A+ B
cos
2
2 = 2tg A+ B
A+ B
2
cos 2
2

2sin

Đẳng thức xảy ra khi cos ( A− B ) = 1 ⇔ A = B
Nhóm học sinh lớp 11A1

51

A+ B
2

Chương 2: Nhận dạng tam giác
Bài 2: (Đề 90/III2)
Chứng minh rằng nếu trong

VABC có

tgA + 2tgB = tgA.tg 2 B thì tam giác ABC cân
Lời giải:
ta có tgA + 2tgB = tgA.tg 2 B
⇔ tgA + tgB = tgA.tg 2 B − tgB = ( tgAtgB −1) tgB
⇔

tgA+ tgB
=−tgB
1−tgAtgB

( A+ B ≠π ⇒tgA+tgB ≠ 0⇒1−tgAtgB ≠ 0 )
⇔ tg ( A+ B ) =−tgB
⇔−tgC =−tgB

⇔C = B( 0< A, B,C <π )
Vậy

VABC cân tại A

Nhận xét:
Với bài toán trên ta có thể giải bằng cách đưa về phương trình
bậc hai với ẩn t là tgB :
tgA.t 2 − 2t − tgA = 0
Với nghiệm t ta có phương trình tgB = t

Cuối cùng suy ra tính chất của tam giác ABC
Bài 3: (Đề 7/II2)
Tam giác ABC có tính chất gì nếu:
a.tgA+b.tgB= ( a+b ) tg

A+ B
2
Lời giải:

Theo đònh lí hàm số sin ta có a=2R sin A , b=2R sin B nên từ hệ thức
đã cho ta viết
A+ B
2
A+ B 
A+ B 


⇔ sin A. tgA −tg
÷+ sin B. tgB −tg
÷=0
2 
2 



sin A.tgA+ sin B.tgB= ( sin A+sin B ) tg

Theo công thức tga − tgb =

sin ( a −b )

ta có
cos a.cos b

A− B
B− A
sin
2
2
sin A.
+ sin B.
=0
A+ B
A+ B
cos A.cos
cos B.cos
2
2
sin

Năm học 2006 – 2007

52


Chuyên đề Lượng giác và Ứng dụng
Vì cos

A+ B
A− B
B− A

≠ 0,sin
= − sin
nên hệ thức đã cho viết thành
2
2
2
sin

A− B  sin A sin B 
−

÷= 0
2  cos A cos B 

 A− B
sin
=0
⇒
⇒ A=B
2

tgA=tgB
Vậy tam giác ABC cân tại C
Bài 4: (Đề 39/II)
Tam giác ABC có các cạnh và góc thỏa mãn hệ thức
1+ cos B
=
sin B

2a + c

4a 2 − c 2

Chứng minh rằng ABC LÀ tam giác cân
Lời giải:
Ta có
B
B
2 cos 2
cos
1+ cos B
2 =
2
=
B
B
B
sin B
2sin .cos
sin
2
2
2
Bình phương hai vế ta được
B
2
2 = ( 2a + c ) = 2a + c ⇔ 1 + cot g 2 B = 1 + 2a + c
B 4a 2 − c 2 2a − c
2
2a − c
sin 2

2

cos 2

⇔

1
4a
=
⇔ 2a − c = 2a ( 1−cos B ) ⇔ c = 2a cos B
B
2
a
−
c
2
sin
2

mà theo đònh lí hàm số sin có b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B
Vậy b 2 = a 2 + c 2 − c 2 ⇒ b = a ,

VABC cân tại C

Nhận xét:

Ta có thể giải bằng phương pháp tam

thức
Đẳng thức đã cho tương đương

Nhóm học sinh lớp 11A1

53


Chương 2: Nhận dạng tam giác

( 1+ cos B ) 2 = 2a + c
sin 2 B

⇔

2a − c

1+ 2 cos B + cos 2 B 2a + c
=
2
2a − c
1−cos B

⇔ 2a cos 2 B + ( 2a − c ) cos B − c = 0
c

cos B =

⇔
2a

cos B = −1

sin C
⇒cos B =
2sin A
⇔ 2sin A cos B =sin C
⇔ sin ( A+ B ) + sin ( A− B ) =sin C
⇔ sin ( A− B ) = 0 ⇔ A= B
Bài 5:
Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông hay cân khi và chỉ khi
a cos B -b cos A =a sin A -b sin B
Lời giải:
Theo đònh lí hàm số sin có
sin A.cos B − sin B.cos A = sin 2 A − sin 2 B
⇔ sin ( A− B ) =

( 1−cos 2 A ) −( 1−cos 2 B ) = cos 2 B −cos 2 A

2
⇔ sin ( A− B ) =sin ( A+ B ) sin ( A− B )

2

⇔ sin ( A− B ) 1−sin ( A+ B )  = 0
sin ( A− B ) =0
⇔
sin ( A+ B ) =1

Vậy tam giác ABC cân tại C hoặc vuông tại C
III NHẬN DẠNG TAM GIÁC ĐỀU
Bài 1: Chứng minh tam giác ABC có ít nhất một góc bằng 600
khi và chỉ khi

sin A+sin B +sin C
= 3
cos A+ cos B + cos C

(1)
Lời giải:

Vì ta có cos A + cos B + cos C = 1 + 4sin

A
B
C
cos cos > 0 nên
2
2
2

(1) ⇔ (sin A − 3 cos A) + (sin B − 3 cos B) + (sin C − 3 cos C ) = 0

Năm học 2006 – 2007

54


Chuyên đề Lượng giác và Ứng dụng
 π
sin A − 3 cos A = 2sin  A− ÷
3

 π

mà sin B − 3 cos B = 2sin  B − ÷
3

 π
sin C − 3 cos C = 2sin  C − ÷
3



( 1) ⇔ 2 sin  A−


Nên



π
 π
 π 
÷+ sin  B − ÷+ sin  C − ÷ = 0
3
3
3 



 
2π
  A+ B − 3
⇔ 2 sin 

2
 
 



÷
A− B
 2π

+sin  −( A+ B ) ÷ =0
÷.cos
2
 3

÷



2π
 2π


ma ø sin  −( A+ B ) ÷ = − sin  ( A+ B ) −
3
 3





 A+ B π 
 A+ B π 
− ÷cos 
− ÷
÷ = −2sin 
3
3

 2
 2

A− B
 A+ B π  
 A+ B π  
⇔ 4sin 
− ÷cos
− cos
− ÷ = 0
3 
2
3 
 2
 2
π C   A π   B π 
⇔8sin  − ÷sin  − ÷sin  − ÷=0
6 2 2 6 2 6
 A π
sin  2 − 6 ÷=0

 

 B π 
⇔ sin  − ÷=0
 2 6
 π C 
sin  6 − 2 ÷=0

 

 π
 A= 3

π
⇔  B = ( 0< A, B,C <π )
 3
 π
C =

3

Vậy tam giác ABC có ít nhất một góc bằng 600
Bài 2: Tam giác cân ABC có một góc là nghiệm của phương
trình
x 2 3
=
2
3
Chứng minh rằng ABC là tam giác đều
Lời giải:
Ta có
x

sin
x
2 3
x 
2
tgx − tg =
=
cos x ≠ 0,cos ≠ 0 ÷

2 cos x.cos x
3 
2 
2
tgx − tg

Nhóm học sinh lớp 11A1

55


Chương 2: Nhận dạng tam giác
x
2 3
⇔ 2 =
cos x 3
t
2 3
⇔
=
3

1−t 2
tg

1+ t 2
2 3 2 3 2
−
t
3
3
2 3 2
2 3
⇔t 3 +
t +t −
=0
3
3
⇔t +t 3 =

(

)


3
⇔  t 3 − ÷ t 2 + 3t + 2 =0
3 



3

t =
⇔ 3
t 2 + 3t + 2= 0


x
3
=
2
3
x π
⇔ = + kπ
2 6
π
⇔ x = + k 2π
3

t = tg

Ta chọn một góc của tam giác ABC là x =
Vậy tam giác ABC cân có một góc là
Bài 3:
Chứng minh rằng nếu

π
3

π
nên
3

VABC đều

VABC thỏa điều kiện sau thì ABC

là tam giác đều
b+c =

a
+h 3
2 a
Lời giải:

Ta có
ha =

2 S bc sin A 2 R.sin B.2 R.sin C.sin A
=
=
= 2 R.sin B.sin C
a
a
2 R.sin A

Theo đònh lí hàm số sin từ đẳng thức trên có
2sin B + 2sin C = sin A + 2 3 sin B.sin C
với sin A = sin ( B + C ) = sin B cos C + sin C cos B đẳng thức viết lại thành
 1

 1


3
3
2sin B 1 − cos C −
sin C ÷
+
2sin
C
1
−
cos
B
−
sin
B

÷
÷
 2
÷= 0 ( a )
2
2
 2





π


π

⇔ 2sin B 1 − cos  − C ÷ + 2sin C 1 − cos  − B ÷ = 0
3

3



Năm học 2006 – 2007

56


Chuyên đề Lượng giác và Ứng dụng
sin B > 0

 1 − cos  π − C   ≥ 0

÷

3


sin C > 0

π

 1 − cos  − B ÷ ≥ 0
3


 

vì

nên ta phải có


π

1 − cos  3 − C ÷ = 0




1 − cos  π − B  = 0

÷

3


 π

cos  3 − C ÷ = 1
 

⇒
cos  π − B  = 1
÷

  3

π

C = 3
⇒
B = π

3

Vậy tam giác ABC đều
Nhận xét: Từ đẳng thức (a) ta có thể dùng bất đẳng thức
B.C.S
1
3
sin C ≤ 1
 cos C +
2
2

 1
3
sin B ≤ 1 ⇒ ( a ) ≥ 0
 cos B +
2
2
sin B,sin C > 0


Đẳng thức xảy ra

1
 cos C +

⇔ 2
 1 cos B +
 2

3
sin C = 1
2
3
sin B = 1
2

Nhóm học sinh lớp 11A1

tgC = 3
⇔
tgB = 3
π

C = 3
⇔
B = π

3

57

Chương 2: Nhận dạng tam giác

BÀI 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC
I. NHẬN DẠNG TAM GIÁC VUÔNG
Bài 1: Cho

VABC có các góc thỏa mãn hệ thức

3 ( cos B + 2sin C ) + 4 ( sin B + 2 cos C ) = 15

VABC vuông

Chứng minh

Lời giải:
Theo B.C.S
3cos B + 4sin B ≤ 5
6sin C +8cos C ≤10
Đẳng thức xảy ra khi
sin B cos C 4
=
= ⇒ tgB = cot gC
cos B sin C 3
 π
B,C∈ 0; ÷
 2
π
⇒ B = −C
2
Vậy

VABC vuông tại A

Bài 2:
Chứng minh rằng

(

VABC thỏa

3S = 2 R 2 sin 3 A+ sin 3 B +sin 3 C

)

thì ABC là tam giác đều
Lời giải:
Theo công thức tính diện tích tam giác và đònh lí hàm số sin có
 a 3  b 3  c 3 
3abc
2
3S =
= 2 R 
÷ +
÷ +
÷ 
4R
 2 R   2 R   2 R  
⇒ a +b + c =3abc
theo bất đẳng thức Cauchy:
a + b + c ≥ 3abc

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Vậy

VABC đều

Năm học 2006 – 2007

58


Chuyên đề Lượng giác và Ứng dụng
II. NHẬN DẠNG TAM GIÁC CÂN
Bài 1: Cho

VABC có 2 góc nhọn A, B thỏa điều kiện

tg 2 A + tg 2 B = 2tg 2

A+ B
2

Chứng tỏ ABC là tam giác cân
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức tgA + tgB ≥ 2tg

A+ B
cho
2

VABC có 2 góc

nhọn
từ gt ta có

( tgA+tgB ) 2 ≥ 4tg 2

(

A+ B
= 2 tg 2 A +tg 2 B
2

)

⇒( tgA−tgB ) 2 ≤0⇒tgA=tgB

Vì A, B là các góc của một tam giác nên A=B

VABC cân tại C

Vậy

Bài 2: (Đề 51/II)
Cho

VABC có các góc thỏa mãn hệ thức
cos 2 A + cos 2 B 1
= ( cot g 2 A + cot g 2 B )
sin 2 A + sin 2 B 2

Chứng minh rằng ABC là tam giác cân
Lời giải:
Đẳng thức tương đương
2 − ( sin 2 A + sin 2 B )

1
cot g 2 A + 1 + cot g 2 B + 1) − 1
(
sin A + sin B
2
2
1 1
1 
⇔
=  2 + 2 ÷
2
2
sin A + sin B 2  sin A sin B 
2

2

=

1 
 1
⇔ ( sin 2 A + sin 2 B )  2 + 2 ÷ = 4
 sin A sin B 
theo bất đẳng thức Cauchy

sin 2 A + sin 2 B ≥ 2sin A.sin B
và

1
1
2
+ 2 ≥
2
sin A sin B sin A.sin B

1 
 1
2
2
suy ra ( sin A + sin B )  2 + 2 ÷ ≥ 4
 sin A sin B 
2
2
Đẳng thức xảy ra khi sin A = sin B ⇔ sin A = sin B ( sin A > 0,sin B > 0 ) ⇔ A = B

(vì A, B là 2 góc của tam giác) . Vậy tam giác ABC cân tại C
III. NHẬN DẠNG TAM GIÁC ĐỀU
Nhóm học sinh lớp 11A1

59


Chương 2: Nhận dạng tam giác
Bài 1: Chứng minh ABC là tam giác đều nếu ta có
sin A+ sin B ≥ 2sin C ( 1)


cos A+ cos B ≥ 2 cos C ( 2 )
Lời giải:
Từ (1) ta có nhận xét C không là góc lớn nhất vì khi C lớn
nhất thì cạnh c lớn nhất trong 3 cạnh a, b, c theo đònh lí hàm số sin
ta sẽ có
sin C >sin A
⇒ 2sin C > sin A + sin B

sin C >sin B
Trái gt từ hệ thức (1)
Vậy C phải là góc nhọn (do C không là góc lớn nhất) ⇒ cos C > 0
Nên 2 vế của bất đẳng thức (1) và (2) đều dương nên ta có
hệ
( sin A+ sin B ) 2 ≥ 4sin 2 C ( 3)


( cos A+ cos B ) 2 ≥ 4 cos 2 C ( 4 )
Cộng từng vế hai bất đẳng thức (3) và (4)
2 + 2 cos ( A− B ) ≥ 4 ⇔ cos ( A− B ) ≥ 1
mà cos ( A− B ) ≤ 1 nên cos ( A− B ) = 1
A, B là hai góc của tam giác nên A=B
từ (1) có 2sin A ≥ 2sin C ⇒ a ≥ c ⇒ A ≥ C
từ (2) có 2 cos A ≥ 2 cos C ⇒ A ≤ C
suy ra A=C
Vậy ABC là tam giác đều
Bài 2: Chứng minh rằng nếu trong tam giác ABC có
a cos A+b cos B + c cos C 2 p
=
a sin B + b sin C + c sin A 9 R

thì ABC là tam giác đều
Lời giải:
Ta có
a cos A+b cos B + c cos C 2 p
=
a sin B + b sin C + c sin A 9 R

Năm học 2006 – 2007

60


Chuyên đề Lượng giác và Ứng dụng
2 R sin A cos A+ 2 R sin B cos B + 2 R sin C cos C 2 p a +b + c
=
=
b
c
a
9
R
9R
a +b + c
2R 2R 2R
2 R 2 ( sin 2 A+sin 2 B +sin 2C ) a +b + c
⇒
=
ab + bc + ca
9R
8 R 2 sin A.sin B.sin C a + b + c

⇒
=
ab + bc + ca
9R
c a b
8R2 . .
2R 2 R 2 R = a +b+c
⇒
ab +bc + ca
9R
abc
a +b + c
⇒
=
ab +bc + ca
9
⇒( a +b + c ) ( ab + bc + ca ) =9abc
⇒

⇒ a ( b − c ) 2 + b( c − a ) 2 + c ( a −b ) 2 = 0
b −c =0
⇒c − a =0⇒a=b=c
 a −b = 0

Vậy tam giác ABC đều

Nhóm học sinh lớp 11A1

61