Tài liệu Chương XI: Nhận dạng tam giác pptx

CHƯƠNG XI: NHẬN DẠNG TAM GIÁC


I. TÍNH CÁC GÓC CỦA TAM GIÁC

Bài 201: Tính các góc của
ABC
Δ
nếu :

()()()()
3
sin B C sin C A cos A B *
2
++ ++ +=


Do
A BC
+ +=π

Nên:
()
3
*sinAsinBcosC
2
⇔ +−=


+−

⎛⎞
⇔−
⎜⎟
⎝⎠
−
⇔−=
−
⇔− +=
−−
⎛⎞
−=
⇔ −+−
⎜⎟
⎝⎠
−−
⎛⎞
⇔− + =
⎜⎟
⎝⎠
−
⎧
=
⎪
⎪
⇔
⎨
−
⎪
=
⎪

⎩
==
⇔
2
2
2
2
2
2
2
=
A BAB C 3
2 sin cos 2 cos 1
22 2
CAB C1
2cos cos 2cos
22 22
CCAB
4cos 4cos cos 1 0
222
CAB AB
2cos cos 1 cos 0
22 2
CAB AB
2 cos cos sin 0
22 2
CAB
2cos cos
22
AB

sin 0
2
C
2cos cos0 1
2
A
2
⎧
π
⎧
⎪
=
⎪⎪
⇔
⎨⎨
−
⎪⎪
=
=
⎩
⎪
⎩
π
⎧
==
⎪
⎪
⇔
⎨
π

⎪
=
⎪
⎩
C
23
B
AB
0
2
AB
6
2
C
3


Bài 202: Tính các góc của
ABC
Δ
biết:
()
5
cos2A 3 cos 2B cos2C 0 (*)
2
+++=


Ta có:
() ()()

2
5
*2cosA123cosBCcosBC
2
0
⇔ −+ + − + =
⎡⎤
⎣⎦


( )
() ()
() ()
()
()
⇔− −+=
⎡⎤
⇔ −−+−−
⎣⎦
⎡⎤
⇔− −+ −=
⎣⎦
−=
⎧
−=
⎧
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
=

=−
⎪⎪
⎩
⎩
⎧
=
⎪
⇔
⎨
==
⎪
⎩
2
2
2
2
2
0
0
4cos A 4 3cosA.cos B C 3 0
2cosA 3cos B C 3 3cos B C 0
2cosA 3cos B C 3sin B C 0
sin B C 0
BC 0
3
3
cos A
cos A cos B C
2
2

A30
BC75
=



Bài 203: Chứng minh
ABC
Δ
có nếu :
0
C 120=
A BC
sin A sin B sin C 2sin sin 2sin (*)
22 2
++− ⋅ =


Ta có
A BABCC ABC
(*) 2sin cos 2sin cos 2sin sin 2sin
22 2222
CAB CC AB A
2cos cos 2sin cos 2cos 2sin sin
22 22 2 2
CAB C AB
cos cos sin cos cos
22 2 22
CAB AB AB
cos cos cos cos cos

22 2 22
CAB AB
2cos cos cos cos cos
222 22
+−
⇔+=
−+
⇔+=+
−
⎛⎞
⇔+=⋅
⎜⎟
⎝⎠
−+
⎡⎤
⇔+=
⎢⎥
⎣⎦
⇔=
2
B
2
+

C1
cos
22
⇔=
(do
A

cos 0
2
>
và
B
cos 0
2
>
vì
A B
0;
22 2
π
< <
)
⇔=
0
C120

Bài 204: Tính các góc của
C
ΔΑΒ
biết số đo 3 góc tạo cấp số cộng và
33
sin A sin B sin C
2
+
++=

Không làm mất tính chất tổng quát của bài toán giả sử
A BC
<<

Ta có: A, B, C tạo 1 cấp số cộng nên A + C = 2B
Mà
A BC++=π
nên
B
3
π
=

Lúc đó:
33
sin A sin B sin C
2
+
++=


33
sin A sin sin C
32
3
sin A sin C
2
AC AC 3
2sin cos
222

BAC3
2cos cos
222
3AC3
2. cos
222
CA 3
cos cos
22 6
π+
⇔++=
⇔+=
+−
⇔=
−
⇔=
⎛⎞
−
⇔=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
−π
⇔==


Do C > A nên có:
C
ΔΑΒ
−π

π
⎧
⎧
=
=
⎪
⎪
⎪
⎪
ππ
⎪⎪
+= ⇔ =
⎨⎨
⎪⎪
ππ
⎪⎪
==
⎪⎪
⎩
⎩
CA
C
26
2
2
CA A
36
BB
33

Bài 205: Tính các góc của
ABC
Δ
nếu

( )
()
⎧
+≤
⎪
⎨
++=+
⎪
⎩
22 2
bca 1
sin A sin B sin C 1 2 2


Áp dụng đònh lý hàm cosin:
22
bca
cos A
2bc
+−
=
2
2

Do (1): nên
co
22
bca+≤
s A 0
≤

Do đó:
A
A
24
ππ
≤<π⇔≤ <
22
π

Vậy
()
A2
cos cos
242
π
≤ =∗

Mặt khác:
sin A sin B sin C
++
BC BC
sin A 2sin cos
22

+ −
=+


A BC
sin A 2cos cos
22
−
=+


2
12 1
2
⎛⎞
≤ +⋅
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

()
−
⎛⎞
≤
⎜⎟
⎝⎠
BC
do * và cos 1
2

Mà
sin A sin B sin C 1 2 do (2)++=+

Dấu “=” tại (2) xảy ra
⎧
=
⎪
⎪
⎪
⇔=
⎨
⎪
−
⎪
=
⎪
⎩
sin A 1
A 2
cos
22
BC
cos 1
2
π
⎧
=
⎪
⎪
⇔

⎨
π
⎪
= =
⎪
⎩
A
2
BC
4


Bài 206: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2004)
Cho
ABC
Δ
không tù thỏa điều kiện

( )
cos2A 2 2cosB 2 2cosC 3 *++=

Tính ba góc của
ABC
Δ


* Cách 1: Đặt M =
cos2A 2 2cosB 2 2cosC 3+ +−

Ta có: M =

2
BC BC
2cos A 4 2 cos cos 4
22
+ −
+−

⇔
M =
2
A BC
2cos A 4 2sin cos 4
22
−
+−

Do
A
sin 0
2
>
và
B - C
cos 1
2
≤

Nên
2
A

M2cosA42sin 4
2
≤ +−

Mặt khác:
ABC
Δ
không tù nên
0A
2
π
< ≤


⇒≤ ≤
⇒≤
2
0cosA1
cos A cos A
Do đó:
A
M2cosA42sin 4
2
≤+ −


2
2
2
A A

M12sin 42sin
22
AA
M4sin 42sin 2
22
A
M22sin 1 0
2
⎛⎞
⇔≤− + −
⎜⎟
⎝⎠
⇔≤− + −
⎛⎞
⇔≤− − ≤
⎜⎟
⎝⎠
4

Do giả thiết (*) ta có M=0
Vậy:
2
0
0
cos A cos A
A90
BC
cos 1
2
BC45

A1
sin
2
2
⎧
⎪
=
⎪
⎧
=
−
⎪⎪
=⇔
⎨⎨
==
⎪
⎩
⎪
⎪
=
⎪
⎩

* Cách 2:
()
* cos2A 22cosB 22cosC 3 0⇔+ + −=

()
()
()

()
2
2
2
2
2
2
2
BC BC
cos A 2 2 cos cos 2 0
22
ABC
cos A cos A cos A 2 2 sin cos 2 0
22
AABC
cos A cos A 1 1 2sin 2 2 sin cos 2 0
222
ABC BC
cos A cos A 1 2 sin cos 1 cos 0
22 2
ABC B
cos A cos A 1 2 sin cos sin
22
+−
⇔+ −=
−
⇔−++ −=
−
⎛⎞
⇔−+−+ −

⎜⎟
⎝⎠
−−
⎛⎞⎛
⇔−−−−−
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
−−
⎛⎞
⇔−−−−
⎜⎟
⎝⎠
=
⎞
=
⎟
⎠
C
0(*)
2
=

Do
ABC
Δ
không tù nên và
co
cos A 0≥
s A 1 0
− <

Vậy vế trái của (*) luôn
≤
0
Dấu “=” xảy ra
cos A 0
A BC
2sin cos
22
BC
sin 0
2
⎧
⎪
=
⎪
−
⎪
⇔=
⎨
⎪
−
⎪
=
⎪
⎩


⎧
=

⎪
⇔
⎨
==
⎪
⎩
0
0
A90
BC45
Bài 207: Chứng minh
ABC
Δ
có ít nhất 1 góc 60
0
khi và chỉ khi
sin A sin B sin C
3(*)
cos A cos B cosC
+ +
=
+ +

Ta có:

()( ) ( )
(*) sin A 3 cos A sinB 3 cosB sinC 3 cosC 0⇔− +− +− =


sin A sin B sin C 0

333
AB AB
2sin cos sin C 0
23 2 3
πππ
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⇔−+−+−=
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
+π − π
⎛⎞ ⎛
⇔−+−
⎜⎟ ⎜
⎝⎠ ⎝
⎞
=
⎟
⎠

CABCC
2sin cos 2sin cos 0
22 3 2 26 26
CABC
2sin cos cos 0
26 2 26
⎡π π⎤ − π π
⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞
⇔−− +− −
⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟
⎢⎥

⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠
⎣⎦
π⎡ − π⎤
⎛⎞ ⎛⎞
⇔−− +−=
⎜⎟ ⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠ ⎝⎠
⎣⎦
=

π− ππ
⎛⎞ ⎛⎞⎛
⇔−=∨ =−=−
⎜⎟ ⎜⎟⎜
⎝⎠ ⎝⎠⎝
CABC
sin 0 cos cos cos
26 2 26 3 2
+
⎞
⎟
⎠
AB

π−π+−+π+
⇔=∨ =− ∨ =−
CABABABA
26 2 3 2 2 3 2
B

ππ
⇔=∨=∨=CAB
33
π
3


Bài 208: Cho
ABC
Δ
và V = cos
2
A + cos
2
B + cos
2
C – 1. Chứng minh:
a/ Nếu V = 0 thì
ABC
Δ
có một góc vuông
b/ Nếu V < 0 thì
ABC
Δ
có ba góc nhọn
c/ Nếu V > 0 thì
ABC
Δ
có một góc tù

Ta có:
()()
2
11
V 1cos2A 1cos2B cos 1
22
= ++++−


()
()()
()
()(
2
2
2
1
V cos2A cos2B cos C
2
)
V cos A B .cos A B cos C
V cosC.cos A B cos C
V cosC cos A B cos A B
V 2cosCcos A cosB
⇔= + +
⇔= + −+
⇔=− −+
⇔=− −+ +
⎡⎤

⎣⎦
⇔=−

Do đó:
a / V 0 cos A 0 cos B 0 cosC 0
= ⇔=∨=∨=

⇔
ABC
Δ
⊥
tại A hay
ABC
Δ
⊥
tại B hay
ABC
Δ
⊥
tại C
b / V 0 cos A.cos B.cosC 0
< ⇔>


⇔
ABC
Δ
có ba góc nhọn
( vì trong 1 tam giác không thể có nhiều hơn 1 góc tù nên
không có trường hợp có 2 cos cùng âm )

c / V 0 cos A.cos B.cos C 0
>⇔ <


cos A 0 cosB 0 cosC 0
⇔<∨<∨<

⇔
ABC
Δ
có 1 góc tù.
II. TAM GIÁC VUÔNG

Bài 209: Cho
ABC
Δ
có
+
=
Bac
cotg
2b

Chứng minh
ABC
Δ
vuông

Ta có:
Bac

cotg
2b
+
=

++
⇔= =
B
cos
2R sin A 2R sin C sin A sin C
2
B
2R sin B sin B
sin
2

+−
⇔=
BACA
cos 2sin .cos
22
BB
sin 2 sin . cos
22
C
2
B
2

−

⇔= >
2
BBAC B
cos cos . cos (do sin 0)
22 2 2

−
⇔= >
BAC B
cos cos (do cos 0)
22 2