Chuyên đề lượng giác và ứng dụng

Chuyên đề Lượng giác và Ứng dụng

PHẦN
PHẦN I: LƯỢNG GIÁC
-------------------------------------------

CHƯƠNG I: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (PTLG)
BÀI 1: CAC KHAI NIÊM CƠ BAN
I. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN (PTCB):
Trong lượng giác có 3 phương trình cơ bản. Dù cơ bản (chính vì cơ bản nên nó mới có tên
như vậy) nhưng cũng phải nêu ra đây bởi vì các PTLG khác nếu giải được cũng phải đưa về
một trong 3 PTCB sau đây:
1. sin x = α với α ≤ 1 , có nghiệm là:
 x = arcsin α + k 2π
 x = π − arcsin α +k2π


( k ∈ Z)

2. cos x = α với α ≤ 1 , có nghiệm là:
x = ± arc cos α+k2π

( k ∈ Z)

3. tgx = α có nghiệm là:
x = arc tgα + kπ

( k ∈ Z)

(hay là cot gx = α có nghiệm là:
x = arc cot gα + kπ )

( k ∈ Z)

Chu y: Trong cac PTCB trên ta đa co sư dung đên cac ham sơ lương giac ngươc:
1. Ham y = arcsin x :
Miên xac đinh: D = [ −1,1]

 π π
 y ∈ − ; 
y = arcsin x ⇔ 
 2 2
sin y = x

2. Ham y = arccos x :
Miên xac đinh: D = [ −1,1]

 y ∈ [ 0; π ]
y = arc cos x ⇔ 
cos y = x
3. Ham y = arc tgx :
Miên xac đinh: D = R

 π π
y ∈ − ; 
y = arc tgx ⇔ 
 2 2
tgy = x

4. Ham y = arc cot gx :
Miên xac đinh: D = R

 y ∈ ( 0; π )
y = arc cot gx ⇔ 
cot gy = x

Nhóm học sinh lớp 11A1

6


Chửụng 1: Phửụng trỡnh lửụùng giaực
Ta xet mụt sụ bi toỏn sau:
Bi toỏn 1: Giai phng trinh sau:

cos ( 3 sin x ) = cos ( sin x )
Giai

cos ( 3 sin x ) = cos ( sin x )
3 sin x = sin x + k 2
2 sin x = k 2


3 sin x = sin x + k 2
4 sin x = k 2

Do

k Z

sin x 1

sin x = k

sin x = k

2

k 1
k

k
1 k {0; 1; 2}
2
1
2

sin x = 0

1
sin x =
2

sin x = 1



sin 2 x = 0

1
sin x =

2

1
sin x =

2

l

x = 2

x = + k 2

6

x = 5 + k 2
6


7
+ k 2
x =
6


l

x = 2

x = + k

6

(l , k Z )

Võy nghiờm cua phng trinh ủa cho la
l

x = 2
(l ,k Z )

x = + k

6

Nhõn xet: õy la mụt PTLG ma viờc giai no rõt ủn gian, mõu chụt cua bai nay la vi tri quan
trong cua k. ụi luc vai tro cua k trong viờc giai PTLG rõt quan trong.Viờc xet ủiờu kiờn
k co thờ ủa ủờn mụt sụ PTLG kha hay liờn quan ủờn viờc giai mụt sụ bai toan ủai sụ, sụ
hoc nho ma ta se gp mụt sụ bi toỏn sau:
Bi toỏn 2:
(H Tụng hp Lụmụnụxụp khoa Tinh Toan va iờu Khiờn 1979-HSPII 2000)
Tim tõt ca cac nghiờm nguyờn cua phng trinh sau:


cos 3 x 9 x 2 + 160 x + 800 = 1
8


)

(

Giai
Naờm hoùc 2006 2007

7


Chuyên đề Lượng giác và Ứng dụng
Gia sư x la sơ ngun thoa man phương trinh, khi đo ta co:
π

cos  3 x − 9 x 2 + 160 x + 800  = 1
8



)

(

⇔

π
8

( 3x −

)

9 x 2 + 160 x + 800 = k 2π ( k ∈ Z )

⇔ 9 x 2 + 160 x + 800 = 3 x − 16k
3 x − 16k ≥ 0
⇔ 2
2
9 x + 160 x + 800 = ( 3 x − 16k )
3 x − 16k ≥ 0

⇔
8k 2 − 25
x
=

3k + 5


⇒

3 x − 16k ≥ 0

⇔
25 (1)
=
−
−
9
x
24
k

40
3k + 5


25
∈ Z , suy ra : k ∈ {0;-2;-10}
3k + 5

( 2)

Tư ( 2 ) , băng cach thư trưc tiêp vao (1) ta đươc:

 k = −2

  x = −7
 k = −10

  x = −31

Nhân xet: ðây la mơt PTLG cơ ban, viêc giai no thât ra la giai mơt phương trinh nghiêm
ngun hai ân ma ta se đê câp đên mơt cach cu thê ơ phân sau.Bai toan nay chi nhăm muc
đich minh hoa cho vai tro cua ‘k’.
Bài tốn 3 : Tim sơ a>0 nho nhât thoa man:
 
1 
cos π  a 2 + 2a −   − sin (π a 2 ) =0
2 
 
Giai
 

1 
π

cos π  a 2 + 2a −   − sin (π a 2 ) =0 ⇔ cos  − π ( a 2 + 2a )  = sin (π a 2 )
2 
2

 
⇔ sin π ( a 2 + 2a )  = sin (π a 2 )
π ( a 2 + 2a ) = π a 2 + k 2π
⇔
π ( a 2 + 2a ) = π − π a 2 + k 2π


a = k ∈ Z
⇔ 2
( *)
 2a + 2a − ( 2k + 1) = 0

(*)

3 −1
Do a >0 suy ra Mina =
2
k ∈ Z


Nhân xet: Bai toan nay 2 mâu chơt quan trong:

Nhóm học sinh lớp 11A1

8


Chửụng 1: Phửụng trỡnh lửụùng giaực
-Th nhõt: ta ủa s dung cụng thc c ban nhng li hai nhõt la ủụi vi cac bai toan
co dang sin a + cos b :


sin x = cos x
2

-Th hai: tim gia tri nho nhõt co thờ co cua biờn a.

Bi toỏn 4: Tim nghiờm dng nho nhõt cua phng trinh:
2
sin ( x 2 ) = sin ( x + 1)



Giai.
2
sin ( x 2 ) = sin ( x + 1)



2k + 1

x 2 = ( x + 1)2 + k 2
x = 2

(
k

Z
)


2
x 2 = ( x + 1) 2 + k 2

x + x k = 0

(k Z )

k



2k + 1
1
>0 , k Z suy ra: , ta ủc x = la nghiờm dng nho nhõt.
2
2

(+)

Xet x =

(+)

Xet phng trinh x 2 + x k = 0 (*) co:
= 1 + 4k 0

1

k

4 k 0
k Z

Th trc tiờp ta thõy khi k = 1 thi phng trinh (*) co nghiờm nho nhõt la:
x=

-1+ 5 1
> (loai)
2
2

Võy nghiờm dng nho nhõt cua phng trinh ủa cho la: x =

1
.
2

Bi toỏn 5: Tinh tụng cac nghiờm x [ 0,100] cua phng trinh sau:

cos3 x cos 2 x + 1
= cos 2 x + tg 2 x
cos 2 x
Giai.

iờu kiờn: cos 2 x 0 x


2

+ k

( k Z)

Vi ủiờu kiờn trờn phng trinh:

cos x 1 +

cos x = cos 2 x

Naờm hoùc 2006 2007

1
= cos 2 x + tg 2 x
cos 2 x

x = k 2

x = k 2
3


,k Z

9

x=

k 2
(*)
3

Z


Chuyên đề Lượng giác và Ứng dụng


  
100   50 
=
= 47
Do 0 ≤ x ≤ 100 nên 0 ≤ k ≤ 
2π   π 

  
 3  3
47.2π 

48.  0 +

3 

⇒S=
=752 π

2
Nhân xet: Bài tốn nay ngoai viêc cho ta thây vai tro cua ‘k’ con chi ro mơt vân đê: tâm quan
trong cua viêc kêt hơp nghiêm. Thư hinh dung, nêu ta khơng kêt hơp nghiêm lai dươi dang
cơng thưc (*) đon gian hơn thi ta phai tiên hanh xet 2 bât phương trinh sau:

k 2π
≤ 100
3
Như vây ta phai tơn thơi gian hơn, qua trinh giai bai toan se bi keo dai mơt cach khơng cân
thiêt.
0 ≤ k 2π ≤ 100 ;

0≤

II. KÊT HƠP CƠNG THƯC NGHIÊM:
Kêt hơp cơng thưc nghiêm trong cac PTLG chăng nhưng giup cho ta co thê loai đươc
nghiêm ngoai lai ma con co thê co đươc mơt cơng thưc nghiêm đơn gian hơn, tư đo viêc giai
qut bai toan trơ nên đơn gian hơn (giơng như bài tốn ma ta vưa xet ơ trên). ðơi luc viêc
kêt hơp cơng thưc nghiêm cung tương tư như viêc giai mơt hê phương trinh lương giac cơ ban
băng phương phap thê. Ơ đây ta khơng đê căp đên phương phap nay ma ta chi noi đên hai
phương phap chu u sau:
A. ðƯƠNG TRON LƯƠNG GIAC:
1.Cac khai niêm cơ ban:
a) ðương tron lương giac: la đương tron co ban kinh đơn vi R = 1 va trên đo ta đa chon mơt
chiêu dương ( + ) (thơng thương chiêu dương la chiêu ngươc chiêu kim đơng hơ)
b) Cung lương giac: AB (vơi A, B la 2 điêm trên đương tron lương giac) la cung vach bơi
điêm M di chun trên đương tron lương giac theo mơt chiêu nhât đinh tư A đên B.
c) Goc lương giac: khac vơi goc binh thương goc lương giac co mơt chiêu nhât đinh
2. Phương pháp biêu diên goc va cung lương giac:
a) Biêu diên cac điêm ngon cua cung lương giac biêt sơ đo co dang α + kπ :

Ta đưa sơ đo vê dang α + k

2π
.
m

Bai toan co m ngon cung phân biêt tương ưng vơi k tư 0 đên ( m-1) .
Bài tốn 1: Trên đương tron lương giac, ta lây điêm A lam gơc.
ðinh nhưng điêm M biêt sđ AB =

π
4

+k

π
2

Giai.
Ta co sđ AB =

π
4

+k

Nhóm học sinh lớp 11A1

π
2

=

π
4

+k

2π
.Suy ra co 4 điêm ngon cung phân biêt ưng vơi:
4

10


Chửụng 1: Phửụng trỡnh lửụùng giaực

( + ) k = 0 : AM =



4
3
( + ) k = 1: AM =
4

( + ) k = 2 : AM =

5
4

7
4
ờ y ta thõy rng trờn ủng trong lng giac cac ủiờm ngon cung la ủinh cua hinh vuụng

( + ) k = 3 : AM

=

M 0 M1M 2 M 3 .
Nhõn xet: Trờn ủng tron lng giac cac ủiờm ngon cung la ủinh cua mụt ủa giac ủờu m
canh.
b) Biờu diờn goc (cung) di dang cụng thc tụng quat:
Ta biờu diờn tng goc (cung) trờn ủng tron lng giac. T ủo suy ra cụng thc tụng quat.
Bi toỏn 2: Biờu diờn goc lng giac co sụ ủo sau di dang mụt cụng thc tụng quat:
x = k



x = 3 + k

Giai.
Ta biờu diờn cac ủiờm ngon cung cua x = k = k

2
2

k = 0: x = 0
k = 1: x =

Ta biờu diờn cac ủiờm ngon cung cua x =
k = 0: x =


3

+ k


3

4
3
Trờn ủng tron lng giac, ta nhõn thõy co 6 ủiờm ngon cung phõn biờt, Do ủo cụng thc
k = 1: x =

k 2 k
=
6
3
Nhõn xet: Qua bi toỏn nay ta thõy ro vai tro cua viờc kờt hp cac goc lng giac di dang
mụt cụng thc tụng quat ủn gian hn. Hn na, ủõy con la bi toỏn vờ viờc giai hờ phng

tụng quat la:

x=

trinh lng giac c ban bng phng phap biờu diờn trờn ủng tron lng giac.
Bai toan giai PTLG dung phng phap kờt hp nghiờm bng ủng tron lng giac ủờ loai
cac nghiờm ngoai lai.

Naờm hoùc 2006 2007

11


Chuyên đề Lượng giác và Ứng dụng
Bài tốn 1: Giai phương trinh:

sin x(sin x + cos x) − 1
=0
cos 2 x + sin x − 1
Giai.
ðiêu kiên:

cos 2 x + sin x − 1 ≠ 0

⇔ sin x + sin 2 x ≠ 0

sin x ≠ 0
⇔
sin x ≠ 1

 x ≠ kπ

⇔
(1)
π
 x ≠ 2 + kπ

Vơi điêu kiên đo phương trinh tương đương:

sin x ( cos x + sin x ) − 1 = 0
⇔ sin 2 x + sin x cos x − 1 = 0

⇔ cos x(sin x − cos x ) = 0

π

 x = 2 + kπ
⇔
, k ∈ Z ( 2)
 x = π + kπ

4

cos x = 0
⇔
sin x = cos x

Kêt ln: nghiêm cua phương trinh đa cho la:

π

+ kπ ;

π

+ k 2π ,( k ∈ Z )
2

2
Nhân xet: ðây la mơt bai co cơng thưc nghiêm đơn gian cho phep ta co thê biêu diên mơt
cach chinh xac trên đương tron lương giac. Tuy nhiên ta hay xet thêm bài tốn sau đê thây ro
mau săc cua bai toan biêu diên nghiêm trên đương tron lương giac.
x=

x=−

Bài tốn 2: Giai phương trinh sau:
sin 4 x
=1
cos 6 x

Giai.
ðiêu kiên đê phương trinh co nghia la:
cos 6 x ≠ 0 ⇔ 6 x ≠

π

+ kπ ⇔ x ≠

π

+

2
12
Vơi điêu kiên (1) phương trinh tương đương:
sin 4 x = cos 6 x

π

⇔ cos 6 x = cos  − 4 x 
2


π

6 x = 2 − 4 x + 2mπ
⇔
m∈Z
6 x = 4 x − π + 2mπ

2

Nhóm học sinh lớp 11A1

12

kπ
, k ∈ Z (1)
6


Chửụng 1: Phửụng trỡnh lửụùng giaực

m

x = 20 + 5

mZ
x = + m

4
So sanh cac nghiờm nay vi ủiờu kiờn ban ủõu ta ủc nghiờm cua phng trinh la:

m
va m 5n + 1 , n Z
20 5
Nhõn xet: ta nhõn thy ủụi vi bai toan nay viờc biờu diờn bng ủng tron lng giac ủa
ttr nờn kho khn va kho chinh xac. Do ủo ta hay xem phng phap hai.
x=



+

B. PHNG TRINH NGHIấM NGUYấN:
1. C s cua phng phap:
Giai phng trinh bõc nhõt hai õn ax + by = c , vi a,b,c nguyờn.
a) inh li 1: inh li vờ s tụn tai nghiờm nguyờn
Cõn va ủu ủờ phng trinh ax + by = c ,vi ( a, b, c Z ) co nghiờm nguyờn la ( a, b ) c .
Hờ qua: Nờu ( a, b ) = 1 thi phng trinh ax + by = c luụn co nghiờm nguyờn.
b) inh li 2: nờu phng trinh ax + by = c , vi ( a, b, c Z ) , a 2 + b 2 0 , ( a, b ) = 1 co
mụt nghiờm riờng ( x0 , y0 ) thi nghiờm tụng quat cua phng trinh la:

x = x0 + bt
, vi t Z

y = y0 at

Vi du: phng trinh 3 x + 2 y = 1 co nghiờm riờng la (1, 1) va nghiờm tụng quat la:
x = 1 + 2t
, vi t Z

y = 1 3t
c) Vi du: giai va biờn luõn phng trinh nghiờm nguyờn sau theo tham sụ m nguyờn
6 x 11 y = m + 2 (1)

Ta co ( 6,11) = 1 nờn phng trinh (1) luụn co nghiờm nguyờn.
Phng trinh (1) co nghiờm riờng la ( 2m + 4, m + 2 ) nờn co nghiờm tụng quat:
x = 2m + 4 11t
, t Z

y = m + 2 6t
2. Vi du: Ta xet mụt sụ bai toan dung phng trinh nghiờm nguyờn ủờ kờt hp nghiờm
hay giai hờ phng trinh hờ qua cua PTLG.
Bi toỏn 1: Giai phng trinh : tg 2 xtg 7 x = 1
Giai.
iờu kiờn:

Naờm hoùc 2006 2007

13


Chuyên đề Lượng giác và Ứng dụng

π
π kπ



 x ≠ 4 + 2 (1)
2 x ≠ 2 + kπ
⇔
,k ∈Z

 x ≠ π + kπ ( 2 )
 7 x ≠ π + kπ


14 7
2
Vơi điêu kiên trên phương trinh tương đương:
sin 2 x sin 7 x = cos 2 x cos 7 x

⇔ 9x =

⇔ cos 9 x = 0

π

+ mπ

⇔ x=

π

+

2

18
Ta xet xem nghiêm cua (3) co thoa điêu kiên (1), (2) hay khơng:

mπ
, (3) m ∈ Z
9

• Xet điêu kiên (1):
Ta giai phương trinh nghiêm ngun sau:

π
4

+k

π
2

=

π
18

+

mπ
9

⇔ 4m − 18k = 7

Dê dang nhân thây phương trinh trên co ( 4,18 ) = 2 khơng phai la ươc cua 7 nên
phương trinh nghiêm ngun vơ nghiêm.
Vây nghiêm (3) ln thoa man (1)
• Xet điêu kiên (2):
Ta giai phương trinh nghiêm ngun sau:

π

kπ π mπ
= +
14 7 18 9
⇔ 7 + 14m = 9 + 18k

+

⇔ 7 m − 9k = 1 co nghiêm riêng tơng quat la:

m = 4 + 9t
,t ∈Z

k = 3 + 7t
Do vây nghiêm cua phương trinh đa cho la:

mπ
, vơi m∈Z va m ≠ 9t + 4, n ∈ Z .
18 9
Nhân xet: ðơi vơi bai toan nay ta nhân thây cơng thưc nghiêm cua no kha phưc tap, viêc biêu
diên trên đương tron kho đươc chinh xac. Cho nên ta dung phương trinh nghiêm ngun se
chinh xac va dê dang hơn. Quay trơ lai bài tốn2 ơ muc trên ta thây nêu dung phương trinh vơ
đinh thi bai toan se nhanh hơn.

x=

π

+

Bài tốn 2: Giai hê phương trinh cơ ban sau:
cos 2 x = 1

cos x = 1
Giai.
cos 2 x = 1

cos x = 1

 x = 4kπ (1)
⇔
(k , l ∈ Z)
 x = 2lπ (2)

ðê giai hê phương trinh nay ta giai phương trinh nghiêm ngun:
Nhóm học sinh lớp 11A1

14


Chửụng 1: Phửụng trỡnh lửụùng giaực
4k = 2l

k = 1 + t

,t Z
l = 2t

Võy nghiờm cua hờ ủa cho la: x = 4 t vi t Z .
Nhõn xet: Co thờ ta cho rng bi toỏn nay cc ki ủn gian nhng no rõt quan trong. Co mụt
sai lõm thng gp vụ cung nguy hiờm: khi nhin vao hờ phng trinh ủn gian nay ta nghi
ngay ủờn ủng tron lng giac -cc ki cc ki nguy hiờm. Bi vi ủng tron lng giac co
chu ki la 2 trong khi ủo (1) co chu ki la 4 va (2) co chu ki la 2 . Ta khụng thờ s dung
ủng tron lng giac trong trng hp nay.
Chu y :Ta chi dung ủng tron lng giac khi sụ ủo goc lng giac ủo co dang:
k 2
k
hay x = +
m
m
(do ủng tron lng giac co chu ki 2 ).
x = +

Naờm hoùc 2006 2007

15