CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Luyện thi Đại học TÍCH PHÂN
KIẾN THỨC CƠ BẢN
A. ĐẠO HÀM :
I. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp :

(u + v – w)’ = u’ + v’ – w’ ; (k.u)’ = k.u’ (k là hằng số)
(u.v)’ = u’.v + v’.u ; y’
x
= y’
u
.u’
x
'
2
u u '.v v '.u
v v
−
 
=
 ÷
 
;
'
2
1 v '
v v
−
 
=
 ÷
 

II. Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản, hàm số hợp (u = u(x)) :
Đạo hàm của các hàm số cơ cấp
cơ bản
Đạo hàm của các hàm số hợp
(x
α
)’ = α.x
α - 1

'
2
1 1
x x
 
= −
 ÷
 
(
x
)’ =
1
2 x
(u
α
)’ = α.u
α - 1
.u’

'
2

1 u '
u u
 
= −
 ÷
 
(
u
)’ =
u '
2 u
(sinx)’ = cosx
(cosx)’ = − sinx
(tgx)’ =
2
1
cos x
= 1 + tg
2
x
(cotgx)’ =
2
1
sin x
−
= −(1 + cotg
2
x)
(sinu)’ = u’.cosu
(cosu)’ = −u’. sinu

(tgu)’ =
2
u '
cos u
= u’.(1 + tg
2
u)
(cotgu)’ =
2
u '
sin u
−
= −u’.(1 + cotg
2
u)

(e
x
)’ = e
x
(a
x
)’ = a
x
.lna

(e
u
)’ = u’.e
u

(a
u
)’ = u’.a
u
.lna

( ln
x
)’ =
1
x
( log
a
x
)’ =
1
x.ln a

( ln
u
)’ =
u '
u
( log
a
u
)’ =
u '
u.ln a
1

LTĐH Biên soạn: Gv Toán Phan Công Trứ
B. NGUYÊN HÀM :
I. LÝ THUYẾT :
1.
Định nghĩa
: Giả sử f(x), F(x) là các hàm số xác định trong khoảng (a, b).
F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trong khoảng (a, b) nếu :
F’(x) = f(x), ∀x ∈ (a, b)
2.
Định lý
:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì mọi hàm số dạng F(x) + C (C
là hằng số tùy ý) cũng là nguyên hàm của f(x).
Ngược lại, mọi nguyên hàm của f(x) đều có dạng F(x) + C
3.
Tính chất
:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) và G(x) là một nguyên hàm của
g(x) thì :
• F(x) ± G(x) là nguyên hàm của f(x) ± g(x)
• k.F(x) là một nguyên hàm của k.f(x) (k là hằng số)
4. Bảng các nguyên hàm cơ bản :
Nguyên hàm của các hàm số sơ
cấp cơ bản
Nguyên hàm của các hàm số hợp
dx
∫
= x + C
x
x dx

1
α + 1
α
=
α+
∫
+ C (α ≠ −1)
dx
ln x
x
=
∫
+ C (x ≠ 0)
x x
e dx e C= +
∫
x
x
a
a dx
ln a
=
∫
+ C (0 < a ≠ 1)
cos xdx
∫
= sinx + C
sin xdx
∫
= − cosx + C

2
dx
cos x
∫
= tgx + C
2
dx
sin x
∫
= − cotgx + C
du
∫
= u + C
u
u du
1
α + 1
α
=
α+
∫
+ C (α ≠ −1)
du
ln u
u
=
∫
+ C (u ≠ 0)
u u
e du e C= +

∫
u
u
a
a du
ln a
=
∫
+ C (0 < a ≠ 1)
cos udu
∫
= sinu + C
sin udu
∫
= − cosu + C
2
du
cos u
∫
= tgu + C
2
du
sin u
∫
= − cotgu + C
5. Bảng các nguyên hàm đặc biệt :
2 2
dx 1 a x
ln C
2a a x

a x
+
= +
−
−
∫
2
2
dx
ln x x k C
x k
= + + +
+
∫
1
1 (ax b)
(ax b) dx . C
a 1
α+
α
+
+ = +
α +
∫
ax b ax b
1
e dx .e C
a
+ +
= +

∫
dx 1
ln ax b C
ax b a
= + +
+
∫
1
cos(ax b)dx sin(ax b) C
a
+ = + +
∫
6. CHÚ Ý:
2
Luyện thi Đại học TÍCH PHÂN
1. Trường hợp f(x) = sin
2n
x.cos
2n
x. Ta dùng các công thức hạ bậc chẵn :
sin
2
x =
1 cos 2x
2
−
cos
2
x =
1 cos 2x

2
+
sinx.cosx =
1
2
sin2x
2. Trường hợp f(x) = cosmx.cosnx ( hoặc sinmx.sinnx, hoặc sinmx.cosnx). Ta
dùng các công thức biến đổi tích thành tổng :
cosa.cosb =
1
2
[cos(a – b) + cos(a + b)]
sina.sinb =
1
2
[cos(a – b) – cos(a + b)]
sina.cosb =
1
2
[sin(a – b) + sin(a + b)]
II. BÀI TẬP:
1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :
a) f(x) = x
2
– 2x +
1
x
ĐS:
3
2

x
x ln x
3
− +
+ C
b) f(x) =
2
( x 1)
x
−
ĐS:
x 4 x ln x− +
+ C
c) f(x) =
x
10
(x 1)−
ĐS:
8 9
1 1
8(x 1) 9(x 1)
− −
− −
+ C
d) f(x) =
x
e
x
e 1
2

cos x
 
 ÷
 ÷
 
−
+
ĐS: e
x
+ tgx + C
e) f(x) = 2tg
2
(2x + 1) ĐS: tg(2x+1) – 2x – 1 + C
f) f(x) =
cos 2x
sin x cos x+
ĐS: sinx + cosx + C
g) f(x) =
x x
2 3+
ĐS:
x x
2 3
ln 2 ln 3
+
+ C
h) f(x) =
3
1 1
x x

−
ĐS:
2
3
3
2 x .x
2
−
+ C
i) f(x) =
1
3
x ln x
ĐS:
2
1 1
.
2 ln x
−
+ C
j) f(x) =
x
2a x+
ĐS:
x
3
2a 2
x
ln a 3
+

+ C
k) f(x) =
1
2
x(x 1)+
ĐS:
1
ln(x 1) ln x
x 1
− + +
+
+ C
l) f(x) =
2
2x
x x 1+ −
ĐS:
3 2 2
3
2
(x (x 1)
3
− −
) + C
3
LTĐH Biên soạn: Gv Toán Phan Công Trứ
m) f(x) =
3
x
x 1−

ĐS:
3 2
x x
x ln(x 1)
3 2
+ + + −
+ C
2. a) Xác định các hằng số A, B sao cho:
3x 1 A B
3 3 2
(x 1) (x 1) (x 1)
+
= +
+ + +
b) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) =
3x 1
3
(x 1)
+
+
ĐS: a) A = −2 , B = 3 ; b) F(x) =
2
3 1
x 1 (x 1)
− +
+ +
+ C
3) Cho hàm số : y =
2
3x 3x 3

3
x 3x 2
+ +
− +
a) Tìm A, B, C để y =
A B C
2
x 1 x 2
(x 1)
+ +
− +
−
b) Tìm họ nguyên hàm của y
 ĐS: A = 3, B = 2, C = 1 ; b) F(x) =
3
2ln(x 1) ln(x 2) C
x 1
− + − + + +
−
4. Tìm họ nguyên hàm các hàm số sau :
a) f(x) = tgx ĐS: −ln(cosx) + C
b) f(x) = cotgx ĐS: ln(sinx) + C
c) f(x) = tg
3
x ĐS:
1
2
(tg
2
x – ln(1 + tg

2
x))+ C
d) f(x) =
1
2 2
sin x cos x
+
ĐS: x + C
e) f(x) = sinx.cos2x ĐS:
1 1
cos3x cos x
6 2
− +
+ C
f) f(x) = cos
3
x.sin8x ĐS:
1 3 1 1
cos5x + cos7x + cos9x + cos11x
40 56 24 88
 
−
 ÷
 
+C
g) f(x) = sin
3
x.
cos x
ĐS:

2 2 4 6
8 x x x x
2.cos 1 1 cos 9cos 6cos
21 2 2 2 2
 
− + − +
 ÷
 
+C
h) f(x) =
cos x
sin x cos x+
ĐS:
2
1 1
ln(tgx 1) l n(1 tg x) x
2 2
 
+ − + +
 ÷
 
+ C
i) f(x) =
x
e
x x
e e
−
+
ĐS:

( )
2x
1
ln e 1
2
+
+ C
j) f(x) = cosx.cos2x.sin4xĐS:
3 2
4
cos x(35 84cos x 60cosx)
105
− − +
+ C
_________________________________________________________
Chủ đề 1
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
4
Luyện thi Đại học TÍCH PHÂN
I. LÝ THUYẾT:
1.
Định nghĩa:
Giả sử hàm số f(x) liên tục trên [a, b] và F(x) là một nguyên
hàm của f(x).
Hiệu F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x)
Kí hiệu :
b
b
a
a

f (x)dx F(x) F(b) F(a)= = −
∫
2.

Chú ý
:
b b
a a
f (x)dx f (t)dt=
∫ ∫
, t tùy ý
3. Các tính chất :
i)
a
a
f (x)dx
∫
= 0
ii)
b a
a b
f (x)dx f (x)dx= −
∫ ∫
iii)
b
a
cdx c(b a)= −
∫
iv)
x

a
F(x) f (t)dt=
∫
là một nguyên hàm của f(x)
v)
b c b
a a c
f (x)dx f (x)dx f (x)dx= +
∫ ∫ ∫
với c∈(a, b)
vi)
b b
a a
k.f (x)dx k f (x)dx=
∫ ∫
vii)
b b b
a a a
[f(x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx± = ±
∫ ∫ ∫
viii) Nếu f(x) ≥ g(x), ∀x∈[a, b] thì
b b
a a
f (x)dx g(x)dx≥
∫ ∫
Đặc biệt, nếu f(x) ≥ 0, ∀x∈[a, b] thì
b
a
f (x)dx 0≥
∫

ix) Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và m ≤ f(x) ≤ M, ∀x∈[a, b] thì :
m(b – a) ≤
b
a
f (x)dx
∫
≤ M(b – a)
II. BÀI TẬP:
1)
2
2
sin x dx
π
π
−
∫
ĐS: 2
2)
3
6
dx
2 2
sin x.cos x
π
π
∫
ĐS:
4
3
3

3)
3
1
dx
x 1 x 1+ + −
∫
ĐS:
4
(2 2)
3
−
4)
2
0
1 sin xdx
π
+
∫
ĐS:
5)
1
0
dx
4 2
x 4x 3+ +
∫
ĐS:
6)
0
4

cos xdx
π
∫
ĐS:
3
8
π
5