Bài tập với căn thức

3a + 9a 3
a 2
1

+
1
a+ a 2
a 1
a +2

Bài 1:Cho biểu thức: P =

a) Rút gọn P
b) Tìm ađể
P =/2/
c) Tìm các giá trị tự nhiên của a sao cho P là số tự nhiên
Giải
a) P =
=

3a + 9a 3
a2
1

+
1
( a 1)( a + 2)
a 1
a +2

3a + 3 a 3 a + 4 + a 1 a a + 2

=

( a 1)( a + 2)
a+3 a +2

=

( a + 1)( a + 2)

( a 1)( a + 2) ( a 1)( a + 2)
Điều kiện a 0vaa 1

a +1

=

a 1

b)

P =/ 2/ <=> / a + 1 / = 2 / a 1 / * a + 1 = 2 ( a 1 )
* a + 1 = 2 ( 1 - a)
* a =3
<=> a=9
*3 a = 1

<=>

c) P = 1 +

2

a +1
từ đó a { 0;4;9}

a=

1
9

Để P là số tự nhiên thì

a 1 { 1;2}

với a= 0 thì P=-1 N
a= 4 thì P = 1 N
Với a = 9 thì P= 2 N
Vậy a = 4 và a =9
Bài 2: Cho biểu thức: P =

x 4( x 1) + x + 4( x 1)
x ( 4 x 4)
2

.(1

1
)
x 1

a) Tìm điều kiện để biểu thức cónghĩa rồi rút gọn biểu thức
b) Tìm giá trị của biểu thức tại x = 5 + 2 3
Giải:
a) * ĐKXĐ: x>1 ; x 2
*P=

2
x 1
2
1 x

với x>
với 1
b) Tại x=5+2 3 => P = 3 -1
Bài 3: Cho biểu thức :
1
1 2x + x 1 2x x + x x


+
:

1

x
1

x

x
1
+
x
x





P=

a, Rút gọn P
b, Tính giá trị của P biết x = 7 - 4 3
c, Tìm giá trị lớn nhất của a để P > a


Giải: (4 điểm)
ĐKXĐ : x>0; x 1

(0,25 điểm)

1
1 2 x + x 1 2 x x + x x

+

:

1 x

x
1+ x x
1 x



a. Ta có P =

(2 x 1)( x + 1)
x (2 x 1)( x + 1)
x 1+ x
:
+

(1 + x )(1 x + x )
x (1 x )
(1 x )(1 + x )

=

2 x 1
2 x 1
+
:
x (1 x )
1 x

=

x (2 x 1)

1 x + x

=


1

x
2 x 1

+
: (2 x 1)

x (1 x )

1 x 1 x + x

=

2 x 1
2 x 1
:
x (1 x )
(1 x )(1 x + x)

=

2 x 1
(1 x )(1 x + x)

.
x (1 x )
2 x 1

=

1 x + x
x

Vậy : P = (0,75đ)
b. Ta có:

x = 7 4 3 = (2 3 ) 2

x = (2 3 ) 2 = 2 3

Thay x = 7 4 3 vào biểu thức P, ta đợc:
P=

1 (2 3 ) + 7 4 3 6 3 3 3(2 3 )
=
=
=3
2 3
2 3
2 3

Vậy: P = 3 khi x = 7 4 3
c. ta có: P =

1 x + x
1
=
+ x 1
x
x

Do: x x > 0, x 1. Nên:

x> 0

áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số
1
+ x 2.
x

x

x và

1
ta có:
x

1
=2
x

Vậy: P 2-1 P 1
Dấu = xảy ra

1
=
x

x x =1

Mà x = 1 (Không thoả mãn điều kiện xác định )
Nên: P > 1
Vậy: Giá trị lớn nhất của a để P > a là: a = 1


x+4 x4 + x4 x4

Bài 4: Cho biểu thức: A =

1

8 16
+
x x2

a, Rút gọn A.
b, Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Giải:
A, Rút gọn A (2 điểm)
A=

( x 4 + 2) 2 + ( x 4 2) 2
4

(1 ) 2
x

* Nếu 4 < x 8 thì A =
* Nếu 8 < x thì A =

2x

4x
(1 điểm)
x4

x4

(1 điểm)

b, Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên (2 điểm)
16
với x Z
x4
x 4 là ớc của 16 và 4 < x 8
x { 5;6;8} (1 điểm)
2x
Xét A =
và x Z nếu x 4 là số vô tỉ thì A cũng là số vô
x4
m m, n
tỉ nên không thoả mãn. Do đó đặt x 4 =
(
là số nguyên dn

ơng và (m; n) = 1 )
m2
2( 2 + 4)
m 8n
=2 +
Z .
Khi đó A = n m
n m
n
m
n
2 + 8 = k ( Z ) 2m 2 + 8n 2 = k . p.q
n
m
Từ đó ta thấy 2m 2 n mà (m; n) = 1 nên n là ớc của 2
Vậy n = 1 hoặc n = 2 . Tơng tự nh vậy m là ớc của 8 nên m {1;2;4;8}
Vì (m; n) = 1 nên chỉ cần thử:
+ n = 2 ; m = 1 x không phải là số nguyên.
+ n = 1 mà x > 8 nên m { 4;8} thoả mãn khi đó x { 20;68} (1 điểm)

Xét A =

4x
=4 x4

Bài 5: Cho : A=

x 2 x 1 + x + 2 x 1
x 2 4( x 1)

1
.(1 )
x

a. Tìm tập xác định của A và rút gọn A
b. Tìm x để A =1
Giải Tìm đợc tập xác định:

x > 2
1 < x < 2


( 0.5 điểm)


(1 x 1) 2 + (1 + x 1) 2 x 2
.
Viết đợc A=
x 1
( x 2) 2

=

1 x 1 +1+ x 1 x 2
.
x2
x 1

Nếu 1 < x < 2 tính đợc A=
(

Nếu x > 2 đợc A =

2
1 x

2
x 1

b) Tìm đợc x = 5
Bài 6 : ( 2 điểm ) Cho biểu thức
x 1

A =
x +1

x +1 1
x
.


2
x 1 2 x

2

a) Rút gọn A
A

b) Tìm x để

>2

x

c) Giải
a. Rút gọn A : ĐK x > 0 và x 1 ( 1 )

(

) (

)

2

2

x 1 x +1 1 x
.

A=
x 1
2 x
2
x 2 x + 1 x 2 x 1 (1 x )
.
x 1
4x
2
4 x (1 x )

=
.
1 x
4x
1 x

=

2

=

x

b. Muốn

A
x

> 2 thì

Vì x > 0 nên : 1 x > 2x
1 > 3x

1 x

( x)

2

>2

1 x
>2
x

1
>x
3

Kết hợp với điều kiện ( 1 ) ta có với
Bài 7: (5,0 điểm). Cho biểu thức:
x y

+
x y


x3 y 3
yx


:



(

x y

)

2

+ xy

x+ y

a) Tìm ĐKXĐ của Q và rút gọn
b) Chững minh Q 0
c) So sánh Q với Q

Q=

0
A
1
>2
thì
3
x


Giải
x 0
y 0
x y

a) ĐKXĐ

Q=



(

x

y



(






= ( x + y )



=

=

x+

y

x+

Vậy, Q =

(

y

)(

)+(

(

)(

y x

)(

) (

y x + xy + y
:
y x
y+ x

x

)(

)

x

y

)

2

xy + y

y

x+

y

=

y x xy + y
xy
x xy + y

).

x+

)

y

x xy + y
xy

x xy + y

với x,y thoả mãn ĐKXĐ.

b) xy 0 x ; y 0
x + y 2 xy ( áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm x, y)
Mà x y x + y > 2 xy ú x - xy + y > xy 0
ú x - xy + y > 0
Vậy, Q =

xy
x xy + y

Theo câu b, ta có

0

x, y 0 và x y

x-

Chia 2 vế của (1) cho x -

xy + y >

(1)

xy

xy + y > 0 =>

xy
x xy + y

Vậy, 0 Q < 1
Nếu Q = 0 => Q = Q
0 < Q < 1 => Q ( Q - 1) < 0 => Q Q < Q x, y 0 và x y
Bài 8: Cho biểu thức:
A=

x ( 1 - x2 )
ổx3 - 1
ửổ
ử
x3 + 1
ữ
ữ
ỗ
ỗ
+

x
x
:
ữ
ữ
ỗ
ữỗ
ữ x2 - 2
ỗx- 1
ỗx +1
ố
ứố
ứ

2

Q <0

;

a, Rút gọn biểu thức A;
b, Tính giá trị của biểu thức A khi x =
c, Tìm giá trị của x để A = 3;

6+2 2 ;

)

x+

xy + y
x+ y
.
y+ x
x xy + y

y x x+

) (x +

.

y

x + xy + y
x+ y
.
x+ y
x xy + y

x+

xy

x+

x

= ( x + y )

(

)(

<1

2

+ xy
y


Giải
x2 - 2
x2)2

a. A = (x + 1)2 . (x - 1)2 . x.(1 -

=

b. Đ/K: x 0 ; x 1; x 2 (*)
6+2 2 A =

6+2 2 2

x2 2
x

;
với x =

4+2 2

=

6+2 2
6+2 2
2
x 2
c. A = 3
= 3 x2 3x - 2 = 0
x

Bài 9: ( 3 điểm ) Cho A =

x + x2 4x
x x2 4x



x x2 4x
x + x2 4x

a. Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa.
b. Rút gọn A.
c. Tìm x để A <

5

Giải

A

=

x + x2 4x
x x2 4x



x x2 4x
x + x2 4x

a Tập xác đinh của A :

x 0

x( x 4) 0
x 4


2
x x 4x x 0

x 0
x x 2 4 x


Vậy x 0 hoặc x 4 thì A cố nghĩa
x2 4 x 0

2
x x 4x 0

2
x + x 4 x 0

b

A =

x + x2 4x
x x2 4x



x x2 4x
x + x2 4x

(x + x 4x ) ( x x 4x )
=
( x x 4x )( x + x 4 x )
2

2

2

2

x 0

x 4


2

2

=

4 x x2 4 x
=
4x

x2 4x

Vậy A = x 2 4 x với x 0 hoặc x 4
C

Để A 5 x 2 4 x 5 x 2 4 x 5 x 2 4 x 5 0 1 x 5

Ta cố -1 x 0 hoặc 4 x 5

Bài 10: Cho biểu thức.
A=

2 x 9

x5 x +6

x + 3 2 x +1

;
x 2 3 x

a. Rút gọn A.
b. Tìm các giá trị của x để cho A < 1.


c. Tìm các giá trị x z sao cho A z.
Giải
a.

A=

2 x 9

x5 x +6

=

2 x 9

x 2 ) x 3 )

(
(
x 9 ( x + 3)( x 3) + ( 2
( x 2)( x 3)

2

x + 3 2 x +1

x 2 3 x

)(

x +1

x + 3 2 x +1
+
x2
x 3
x 2

)

2 x 9 x + 9 + 2x 3 x 2
x 2 x3

=

(

=

)(

)

x x 2
x 2 x 3

(

)(
)
( x 2)( x + 1)
( x 2)( x 3)

=

x +1
x 3

=

b. ĐKXĐ: x 0 , x 4 và x 9
x +1
<1
x 3

A <1

4
<0
x 3

=

.

x +1
1 < 0
x 3

x 3 < 0 x < 9

Kết hợp với đk ta phải có: 0 x 9 và x 4
x +1
4
= 1+
x 3
x 3
4
Z x 3 là ớc của 4.
Để A Z ta phải có
x 3
2; 4;
x 3 nhận các giá trị : 1 ;

c. Ta có

A=

Giải ra và đối chiếu với giá đk đợc các giá trị của x là:
1 ; 16; 25 ;
49;

.
Bài 11: Cho biểu thức:
A=(

x+2
x x 1

+

x

1

+

x + x +1 1 x

):

x 1
(với x > 0; x 1 )
2

a, Rút gọn biểu thức A.
b, Chứng minh rằng: 0 < A < 2
Giải
A=
=

=

x + 2 + x ( x 1) ( x + x + 1)
( x 1)( x + x + 1)

.

2
x 1

2( x + 2 + x x x x 1)
( x 1) 2 ( x + x + 1)

(

2( x 1) 2

) (x +

x 1

2

Vậy: A =

)

x +1

=

2
x + x +1

2
x + x +1

với x > 0; x 1 .


1

b, Vì x>0 nên 0 <
Suy ra: 0 < A =

2
x + x +1

x + x +1

<1

<2

Vậy: 0Bài 12: Cho biểu thức:P=

3m + 9m 3
m 2
1

+
m+ m 2
m 1
m +2

a) Rút gọn P
b) Tìm m để P = 2
c) Tìm các giá trị của m tự nhiên sao cho P là số tự nhiê
Giải
a) P =

P=

3m + 9m 3
( m 1)( m + 2 _

m 2
1
+
1
m 1
m+2

3m + 3 m 3 m + 4 + m 1 m m + 2
( m 1)( m + 2)

m+3 m +2
=
( m 1)( m + 2)
( ĐK: m 0; m 1)

P=

m +1
m 1

b) Ta có: P = 2
ú



m +1

=2

m +1
m 1

m +1

ú{

=2
m + 1 = 2( m 1)
m + 1 = 2(1 m)



m =3 m = 9
3 m =1

1
ú m=
9
2
c) P = 1+
Để P là số tự nhiên thì 2 m 1 hay
m 1
=> m { 0;4;9}
Với m = 0 => P = -1 N
m = 4 => P = 1 N
m = 4 => P = 2 N

Vậy m = 4 hoặc m = 9


Bài 13: Cho biểu thức: A =

a

3+ a

+

a + 9 3 a +1
1


:
9 a a 3 a
a

a. Tìm điều kiện xác định của A.
b.Rút gọn A.
c. Tìm a để A = - 1

m 1 { 1;2}



a
a + 9 3 a +1
1
:

A =
+

a3 a

9

a
3
+
a
a

Giải

a) Tìm đợc điều kiện xác định của A là:

a>0; a 9

b) Rút gọn đúng

a
a + 9 3 a +1
1
:

A =
+



a
3+ a 9a a 3 a
=
=
=

c)

a( a 3) (a + 9) 3 a + 1 ( a 3)
:
( a + 3)( a 3)
a ( a 3)

a- 3 a (a + 9)
( a + 3)( a 3)
- 3( a + 3)

:

.

2 a +4
a ( a 3)
a ( a 3)

( a + 3)( a 3) 2( a + 2)

A = -1

3 a
2( a + 2)

=

3. a ( a 3 )
( a 3).2( a + 2)

=

3 a
2( a + 2)

= 1 -3 a = 2( a + 2)

3 a = 2 a + 2)
a = 4 a = 16

Ta thấy a=16 toả mãn điều kiện a>0; a 9
Vậy với a = 16 thì A =-1

(0,5 điểm)

Bài 14 : Cho biểu thức :
1

P=

x +1



3
x x +1

a) Rút gọn biểu thức P
b) Chứng minh rằng : 0 P 1
Giải
a) Điều kiện để P có nghĩa : x 0 .
Đặt x = a (a 0) ta có :
P=

1
3

2
3
+ 2
a +1 a +1 a +1 a

a 2 a + 1 3 + 2(a + 1) a 2 + a a (a + 1)
= 3
= 3
P=
a 3 +1
a +1
a +1

P=

a
x
. Vậy P =
a a +1
x x +1
2

1
2

b) Ta có : x x + 1 = ( x - ) 2 +

3
>0
4

+

2
x x +1


Do đó : P =
Xét 1-P = 1-

x

0

x x +1
x

=

x x +1

( x 1) 2
x x +1

0 P 1

Vậy 0 P 1
Bài 15: Cho biểu thức
x x +1 x 1
x

: x +
với x > 0 và x 1

A =


x 1
x 1
x 1

a) Rút gọn A
2) Tìm giá trị của x để A = 3
Giải
a)

x x +1

x

( x + 1)( x x + 1)
x 1 x ( x 1)

:

+
( x 1)( x + 1)

x

1

x 1



=

=
=
=
=>

x x +1 x +1
x 1
x +2
x 1

:

x
x 1

:

x
x 1

=

x +2
x 1

x 1
x

2 x
x

2 x
=3
x

=> 3x +
x x 1

x -2=0

(

a,Rút gọn P
b,Tìm x nguyên để P có giá trị nguyên.
ĐK: x 0; x 1

(

2 x 1z
a, Rút gọn: P = 2 x( x 1) :
x( x 1)
x 1

=> x = 2/3

)

x x +1 2 x 2 x +1
x 1

:

Bài 16: Cho biểu thức: P =

x

x
x
+
x



Giải:

x

x 1

x x +1 x 1 x x + x

:

x

1
x

1
x

1




=

b) A = 3

x 1

: x +


A =

x

1
x

1
x

1




Ta có:

)

2





P=

x 1
( x 1)

x +1
= 1+

x 1

b. P =

x +1

=

2

x 1

2
x 1

Để P nguyên thì
x 1 = 1

x =2 x=4

x 1 = 1 x = 0 x = 0
x 1 = 2 x = 3 x = 9
x 1 = 2 x = 1( Loai )

Vậy với x= { 0;4;9} thì P có giá trị nguyên.
Bài 17:

2 x 9

Cho biểu thức M =

x5 x +6

+

2 x +1
x 3

+

x +3
2 x

a. Tìm điều kiện của x để M có nghĩa và rút gọn M
b. Tìm x để M = 5
c. Tìm x Z để M Z.
Giải:
M=

2 x 9

+

x5 x +6

2 x +1
x 3

+

x +3
2 x

a.ĐK x 0; x 4; x 9
M=

2 x 9

(

)(

) (

(

)(

)

Biến đổi ta có kết quả: M =
M=

(
(

)(
x 3)(
x +1

)M =
x 2)

x 2

x 1

b. . M = 5

(

x 3

x +1
x 3

=5

x +1= 5 x 3

)

x + 1 = 5 x 15
16 = 4 x
16
x=
= 4 x = 16
4

c. M =

x +1
x 3

=

)(

x + 3 x 3 + 2 x +1
x 2 x 3

x 3+ 4
x 3

= 1+

4
x 3

(

x 2

)

x x 2
x 2

)(

x 3

)


x 3 là ớc của 4

Do M z nên

x 3 nhận các giá trị: -4; -2; -1;

1; 2; 4
x {1;4;16;25;49} do x 4 x {1;16;25;49}
x2 +1 x

Bài 18: a)Xác định x R để biểu thức :A =

1
x2 +1 x

Là một số tự nhiên
b. Cho biểu thức:
x

P=

xy + x + 2

+

y
yz + y + 1

Biết x.y.z = 4 , tính

+

2 z
zx + 2 z + 2

P.

Giải:
x2 +1 + x

a.A = x + 1 x
2

( x + 1 x).( x + 1 + x)
2

2

= x 2 + 1 x ( x 2 + 1 + x ) = 2 x

A là số tự nhiên -2x là số tự nhiên x =

k
2

(trong đó k Z và k 0 )
b.Điều kiện xác định: x,y,z 0, kết hpọ với x.y.z = 4 ta đợc x,
y, z > 0 và xyz = 2
(0.25đ)
Nhân cả tử và mẫu của hạng tử thứ 2 với x ; thay 2 ở mẫu của hạng
tử thứ 3 bởi xyz ta đợc:
P=


x
xy + x + 2

+

xy
xy + x + 2

+

2 z
z ( x + 2 + xy

=

x + xy + 2
xy + x + 2

=1

P = 1 vì P > 0

x +1

x +1

x+2



+
Bài 19: Cho biểu thức N =

x

1
x
+
x
+
1
1

x
x


a. Tìm ĐK để N có nghĩa .

b. CMR N > -

1

3

c. Tìm giá trị của x để N nhận giá trị nguyên .
Giải:
a. ĐK : x 0 ; x 1
N=-

x
x + x +1

Với x 0 ; x 1 ta có N = -

x
x + x +1

Với x = 0 N = 0
Với x 0

N0;

1
1


= x +
+ 1
N
x

x;

áp dụng CoSi cho 2 số dơng
x+

1
x

2.

x

1
=2
x

Vậy

1
1


= x +
+ 1 -3
N
x

1
x=1 không thoả mãn ĐK
x

x=

Dấu bằng xảy ra

1
ta có
x

1
1
<3 N>N
3



x
x
b. Với x 0 ; x 1 ta có : N ==
2
1
x + x +1

x + +

2




0
3

4

1
3

c. Kết hợp vớ câu b . ta có -

Vậy N chỉ có thể nhận giá trị nguyên là 0 , khi x = 0 (thoả mãn ) .
Bài 20 :

x+ y

x y
x + y + 2 xy

: 1 +
1 xy
xy + 1


Cho P =

1

xy


a. Rút gọn P .
b. Tính giá trị của P với x =

2
2+ 3

c. Tìm giá trị lớn nhất của P .
Giải: ĐK để P có nghĩa x 0 ; y 0 ; xy 1
2 x
1+ x
2
b. x =
=4-2 3 =
2+ 3

a)P =

c. Với mọi x 0 ta có :



(

(

)

2

2

x 1 0

x+1 2 x

2 x
1
1+ x

)

3 1

Vậy P =
x-2

1 2 x
1+ x

(

)

2 x
2 3 3 +1

=
1+ x
13

x +1 0

( do x + 1 > 0 )

P 1

Vậy giá trị lớn nhất của P = 1 x = 1
Bài 21: Cho biểu thức:

3(a + 2)
2a 2 a 10 5
3
3 2
+
+

P= 3 2
: 2
.
3
2
2(a + a + a + 1 2(a + a + a + 1 a + 1 2(a + 1) 2(a 1) a 1


a)Rút gọn P.
b)Tính giá trị của P biết a =

1
3

Giải
a)

2a 2 + 2a 4 10(a 2 1) + 3( a 2 + 1)(a 1) 3(a 2 + 1)(a + 1) 2
P= 3 2
:
.
2(a 2 + 1)(a 2 1)
2(a + a + a + 1)
a 1
2(a + 2)(a 1) 2(a2 + 1)(a 2 1) 2
.
.
P=
2(a 2 + 1)(a + 1) 4(a + 2)(a 2) a- 1

P=
P=
b)

2(a + 2)(a 1) . 2(a 2 + 1)(a + 1)(a 1) . 2
2(a 2 + 1)(a + 1) . 4(a+ 2)(a- 2)(a- 1)
a 1
a2

(Đ K a 0)

2

P
=

1
5
a=
Tính
4
3
P =

7

c) P =

a 1
1
= 1+
a2
a- 2


Để P nguyên

1
nguyê
n

a2

1 (a 2) a 2 = 1
a = 3, a = 1
a)
Vậy với a = 3, a = 1 thì P nguyên
Bài 22: Với /a/ > 2 rút gọn
P=

3

(

)

(

)

a 3 3a + a 2 1 a 2 4 3 a 3 3a a 2 1 a 2 4
+
2
2

Bài 23: Cho x =

3

a+

a + 1 8a 1 3
a + 1 8a 1
+ a
3
3
3
3

Chứng minh rằng với mọi a 8 thì x là số tự nhiên.
Bài 24: Rút gọn các biểu thức sau:
1. a + b + c + 2 ac + bc + a + b + c 2 ac + bc
2.

6+ 2 2 3

3.

4+ 7 4 7 2

4.

2 + 12 + 18 128

x 2 2 x 3 x +1 4 x 3

5. A = 2 3 + 5 3 + 48
6+ 2

với 3 x 4

1+

6.
7.

3
2

3
1+ 1+
2

+

1−

3
2

1− 1−

3
2

13 + 30 2 + 9 + 4 2

(

)

(

6+2 6 + 3 + 2 − 6−2 6 − 3 + 2

8. C=

)

2

9. D =

9−6 2 − 6
3

10.

2 10 + 30 − 2 2 − 6
2
:
2 10 − 2 2
3 −1

11.

8 + 2 10 + 2 5 + 8 − 2 10 + 2 5

(

)(

12.

2 a 2 + b2 − a

13.

6 + 2 5 − 13 + 4 3

a 2 + b2 − b

)

( a,b > 0 )