Giải đề Toán TS 10 - 6 (9)

GIẢI MỘT SỐ ĐỀ TOÁN TUYỂN SINH 10
ĐỀ SỐ 6
(Thời gian : 120 phút)
Bài 1.
Chứng minh A =
40 2 57 40 2 57− − +
là số nguyên
Bài 2.
Cho biểu thức B = y
2
– xy – 12x
2
a) Phân tích B thành nhân tử
b) Tìm các cặp số (x ; y) thỏa B = 0 và x – y + 4 = 0
Bài 3.
Cho hàm số y = (m
2
– 6m + 12)x
2
a) Tìm giá trị của m biết x = 1 và y = 5
b) Chứng tỏ hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0
Bài 4.
Cho phương trình : 2x
2
+ 2(m + 1)x + m
2
+ 4m + 3 = 0 (m là tham số)
a) Giải phương trình khi m = – 5
b) Khi phương trình có hai nghiệm x
1
; x

2
phân biệt , tìm m để biểu thức M =
1 2 1 2
2 2
x x x x
− −

đạt giá trị lớn nhất
Bài 5.
Cho đường tròn tâm O, bán kính R, đường kính AB. Đường thẳng qua trung điểm H của đoạn OB
cắt đường tròn tại M và N, gọi I là trung điểm của MN, vẽ AK vuông góc với MN, BI cắt AK tại
D.
a) Tứ giác DMBN là hình gì ?
b) Chứng minh D là trực tâm của tam giác AMN.
c) Biết AM.AN = 3R
2
và AN = R
3
. Tính diện tích tam giác AMN.
GIẢI
Bài 1.
Chứng minh A =
40 2 57 40 2 57− − +
là số nguyên
Ta có :
40 2 57+
= 32 + 25 + 2.5.4
2
= (4
2

)
2
+ 2.5.4
2
+ 5
2
= (4
2
+ 5)
2
và
40 2 57−
=
57 40 2−
=
32 2.5.4 2 25− +
=
2 2
(4 2) 2.4 2.5 5− +
=
2
(4 2 5)−

=
2
(4 2 5)−
Vậy A =
4 2 5−
− (4
2

+ 5) = – 10 : là số nguyên
Bài 2.
Cho biểu thức B = y
2
– xy – 12x
2
a) Phân tích B thành nhân tử
Ta có B =
2 2 2
1 1 49
2.
2 4 4
y xy x x− + −
=
2 2
1 7
2 2
y x x
   
− −
 ÷  ÷
   
=
1 7 1 7
2 2 2 2
y x x y x x
  
− + − −
 ÷ ÷
  

=
( ) ( )
3 4y x y x− −
b) Tìm các cặp số (x ; y) thỏa B = 0 và x – y + 4 = 0
Ta có :
( ) ( )
3 4 0
4 0
y x y x
x y
 − − =


− + =


⇔
3 0
4 0
4 0
y x
y x
x y

− =



− =




− + =

⇔
3 0
4 0
y x
x y
− =


− + =

hoặc
4 0
4 0
y x
x y
− =


− + =

⇔
2
6
x
y

=


=

hoặc
4
3
16
3
x
y

=




=


Bài 3.
Cho hàm số y = (m
2
– 6m + 12)x
2
a) Tìm giá trị của m biết x = 1 và y = 5
Với x = 1 và y = 5 thì ta có : 5 = m
2
– 6m + 12 ⇔ m

2
– 6m + 7 = 0 ⇔
3 2
3 2
m
m

= +

= −


b) Chứng tỏ hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0
Ta có : y = ax
2
nếu a > 0, nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0
Mà a = m
2
– 6m + 9 + 3 = (m – 3)
2
+ 3 > 0 , với mọi giá trị m
Vậy hàm số y = (m
2
– 6m + 12)x
2
nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x >0
Bài 4.
Cho phương trình : 2x
2
+ 2(m + 1)x + m

2
+ 4m + 3 = 0 (1) (m là tham số)
a) Giải phương trình khi m = – 5
Ta có : m = – 5 thì pt trở thành : 2x
2
- 8x + 8 = 0 ⇔ 2(x
2
- 4x + 4) = 0 ⇔ 2(x - 2)
2
= 0 ⇔ x = 2
b) Khi phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
phân biệt , tìm m để biểu thức M =
1 2 1 2
2 2
x x x x
− −

đạt giá trị lớn nhất.
Pt (1) có hai nghiệm x
1
; x
2
phân biệt khi và chỉ khi ∆’ = (m + 1)
2
– 2(m
2
+ 4m + 3) > 0

⇔ – m
2
– 6m – 5 > 0 ⇔ m
2
+ 6m + 5 < 0 ⇔ (m + 1)(m + 5) < 0 ⇔ – 5 < m < – 1 (*)
Khi đó theo định lí Vi-et :
1 2
2
1 2
1
4 3
.
2
b
m
x x
a
c m m
x x
a

+ = − = − −



+ +

= =



Do đó :
x
1
.x
2
– 2x
1
– 2x
2
= x
1
.x
2
– 2(x
1
+ x
2
) =
2
4 3
2
m m+ +
2( 1)m+ +
=
2
8 7
2
m m+ +
=
( 7)( 1)

2
m m+ +
Vì m phải tìm thỏa (*) nên với điều kiện này thì (m + 7)(m + 1) < 0
Suy ra M =
2
8 7
2
m m+ +
=
2
8 7
2
m m− − −
=
2
9 ( 4) 9
2 2
m− +
≤
Vậy giá trị lớn nhất của M là
9
2
khi và chỉ khi m = – 4 thỏa (*)
Bài 5.
Cho đường tròn tâm O, bán kính R, đường kính AB. Đường thẳng qua trung điểm H của đoạn OB cắt
đường tròn tại M và N, gọi I là trung điểm của MN, vẽ AK vuông góc với MN, BI cắt AK tại D.
a) Tứ giác DMBN là hình gì ?
b) Chứng minh D là trực tâm của tam giác AMN.
c) Biết AM.AN = 3R
2

và AN = R
3
. Tính diện tích tam giác AMN.
c) Biết AM.AN = 3R
2
và AN = R
3
⇒ AM = R
3
= AN
suy ra tam giác AMN cân tại A
Trong tam giác vuông ABN có AN = R
3
; AB = 2R ⇒
·
3
sin
2
AN
ABN
AB
= =
⇒
·
ABN
= 60
o
⇒
·
AMN

= 60
o
(cùng chắn cung AN)
Vậy tam giác AMN cân có một góc 60
o
là tam giác đều cạnh bằng R
3
Diện tích AMN =
2
3 3
4
R
(đvdt)
M'
D
K
I
N
H
A
O B
M
a) Ta có : AK ⊥ MN
Mà I là trung điểm MN nên OI ⊥ MN
Suy ra : OI là ĐTB của ∆ADB ⇒ I là trung
điểm của DB, tứ giác MDNB có hai đường
chéo MN và DB cắt nhau tại trung điểm I của
mỗi đường , nên DMBN là hình bình hành
Do đó : MD // NB (1)
b)

·
ANB
= 90
o
(chắn nửa đường tròn)
⇒ BN ⊥ AN, kết hợp với (1)
Suy ra MD ⊥ AN
MD, AK là hai đường cao của tam giác AMN,
nên D là trực tâm của tam giác AMN