Giải đề Toán TS 10 - 4(9)

GIẢI MỘT SỐ ĐỀ TOÁN TUYỂN SINH 10
ĐỀ SỐ 4
(Thời gian : 120 phút)
Bài 1.
a) Tìm x biết
12 18 8 27x x+ = +
b) Chứng minh đẳng thức :
2 2 1 2
.
1 1
2 1
x x x
x x
x x x
 
+ − +
− =
 ÷
 ÷
− −
+ +
 
với x > 0 , x ≠ 1
Bài 2.
Cho hàm số y = ax
2
và y = – 2x + m có đồ thị lần lượt là (P) và (d) trên cùng một trục số
a) Tìm a để (P) đi qua điểm A(1 ;
1
2
), tìm m để (d) cũng đi qua A.

b) Vẽ đồ thị (P) và (d) với a và m vừa tìm được
c) Với a vừa tìm được ở câu a), hãy tìm m để (d) là tiếp tuyến của (P)
Bài 3.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm (O) ; H là trực tâm của tam
giác, M là điểm trên cung BC không chứa A
a) Xác định vị trí của M để tứ giác BHCM là hình bình hành.
b) Gọi N , E lần lượt là điểm đối xứng của M qua các đường thẳng AB, AC.
Chứng minh ba điểm N, H, E thẳng hàng.
c) Xác định vị trí của điểm M để NE có độ dài lớn nhất.
Bài 4.
Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 và abc ≠ 0 thì
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1
0
a b c c a b b c a
+ + =
+ − + − + −
GIẢI
Bài 1.
a)
12 18 8 27x x+ = +
⇔ 2x
3
+ 3
2
= 2x
2
+ 3
3
⇔ 2x(

3
–
2
) = 3(
3
–
2
) ⇔ 2x = 3 ⇔
3
2
x =
b)
2
( 2)( 1) ( 2)( 1)2 2 1 1
. . .
1
2 1 ( 1) .( 1)
x x x xx x x x
x
x x x x x x
 
+ − − − ++ − + +
− =
 ÷
 ÷
−
+ + + −
 
=
2 1

.
1
x
x
x
−
=
2
1x −
(đpcm)
Bài 2.
Cho hàm số y = ax
2
và y = – 2x + m có đồ thị lần lượt là (P) và (d) trên cùng một trục số
a) Tìm a để (P) đi qua điểm A(1 ;
1
2
), tìm m để (d) cũng đi qua A.
(P) đi qua A(1 ;
1
2
) ⇔
1
2
= a.1
2
⇔ a =
1
2
⇒ y =

1
2
x
2
(d) đi qua A(1 ;
1
2
) ⇔
1
2
= – 2.1 + m ⇔ m =
5
2
⇒ y = – 2x +
5
2
b) Vẽ đồ thị (P) và (d) với a và m vừa tìm được
Bảng giá trị của (P) :
x -2 -1 0 1 2
y =
1
2
x
2
2
1
2
0
1
2

2
Bảng giá trị của (d) :
x 0 1
y = – 2x +
5
2
5
2
1
2
Đồ thị của (P) và (d) :
f(x)=(1/2)x^2
f(x)=-2*x+5/2
x(t)=1 , y(t)=t
x(t)=t , y(t)=1/2
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12
-2
2
4
6
8
10
12
14
x
f(x)
c) Với a vừa tìm được ở câu a), hãy tìm m để (d) là tiếp tuyến của (P)
Lập pt hoành độ giao điểm :
1
2

x
2
= – 2x + m ⇔ x
2
+ 4x – 2m = 0
∆’ = 4 + 2m
Để (d) tiếp xúc với (P) thì pt hoành độ giao điểm phải có nghiệm kép
Tức là : 4 + 2m = 0 ⇔ m = – 2
Vậy (d) là tiếp tuyến của (P) khi m = – 2
Bài 3.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm (O) ; H là trực tâm của tam
giác, M là điểm trên cung BC không chứa A
a) Xác định vị trí của M để tứ giác BHCM là hình bình hành.
b) Gọi N , E lần lượt là điểm đối xứng của M qua các đường thẳng AB, AC.
Chứng minh ba điểm N, H, E thẳng hàng.
c) Xác định vị trí của điểm M để NE có độ dài lớn nhất.
Giải :
a) Ta có : BH ⊥ AC và CH ⊥ AB nên để BHCM là hình bình hành thì MC ⊥ AC tại C
và MB ⊥ AB tại B
Do đó AM là đường kính đường tròn tâm (O)
b) Ta có : E đối xứng của M qua AC
⇒ EC ⊥ AC và EC = MC ⇒
EC // BH và EC = BH
Vậy BHEC là hình bình hành
Chứng minh tương tự :
BNHC cũng là hình bình hành
Suy ra : HE // BC và HN // BC
Theo Tiên đề Euclide, qua H có duy nhất
Một đường thẳng song song với BC
Hay nói khác đi : N, H, E thẳng hàng

c) Theo cmt : BC =
1
2
NE ⇒ NE lớn nhất khi và chỉ khi BC lớn nhất
tức là dây cung BC lớn nhất khi và chỉ khi BC là đường kính
khi đó tam giác ABC vuông tại A nên trực tâm H trùng với A
và M là điểm đối tâm của A
NE = 1 3.04 cm
N'E' = 1 3.91 cm
E'N'
R
C'
N
K
E
M
L
J
H
O
A
B C
B'
N
K
E
M
L
J
H

O
A
B C
Bài 4.
Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 và abc ≠ 0 thì
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1
0
a b c c a b b c a
+ + =
+ − + − + −
Ta có :
a + b = -c ; b + c = - a ; c + a = - b
(a + b)
2
= c
2
⇒ a
2
+ b
2
– c
2
= – 2ab
(b + c)
2
= a
2
⇒ b
2

+ c
2
– a
2
= – 2bc
(c + a)
2
= b
2
⇒ c
2
+ a
2
– b
2
= – 2ca
Do đó :
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 2 2ab bc ca
a b c c a b b c a
+ + = − − −
+ − + − + −
= –
1
2
a b c
abc abc abc
 
+ +

 ÷
 
=
1
2
a b c
abc
+ +
 
−
 ÷
 
= 0 với abc ≠ 0