Giải đề TS Toán 10 - 2 (9)

GIẢI MỘT SỐ ĐỀ TOÁN TUYỂN SINH 10
ĐỀ SỐ 2
(Thời gian : 120 phút)
Bài 1.
a) Chứng minh :
3 3
9 3 11 2 9 3 11 2
3
2
+ + −
=
b) Giải hệ phương trình :
2 2
2 2
74
( 2) ( 4) 18
x y
x y

+ =


+ + + =


Bài 2.
Cho phương trình : x
2
– 2mx + 2m – 5 = 0 , m là tham số thực
a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
b) Giả sử x

1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức
1 2
x x
−
đạt giá trị nhỏ
nhất. hãy tính giá trị nhỏ nhất này.
Bài 3.
Gọi (P) là đồ thị của hàm số
2
1
2
y x=
và (d) là đồ thị của hàm số
1
1
2
y x= +
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ
b) Dùng đồ thị (P) và (d) suy ra nghiệm của phương trình x
2
– x – 2 = 0
Bài 4. Cho đường tròn (O) , đường kính AB = 2R. M là một điểm lưu động trên cung
AB (M khác A và B). Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B lần
lượt là C và D.
a) Chứng minh : Tích AC.BD không đổi khi M lưu động trên cung AB.
b) Xác định vị trí của điểm M trên cung AB để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất.
GIẢI :

Bài 1
a) Ta có :
9 3 11 2+
=
3 3 6 3 9 2 2 2+ + +
=
3 2 2 3
3 3 3. 2 3. 3 2 2+ + +
=
3
( 3 2)+
Tương tự
3
9 3 11 2 ( 3 2)− = −
Vậy
3 3
9 3 11 2 9 3 11 2
2
+ + −
=
3 2 3 2
3
2
+ + −
=
(đfcm)
b) Giải hệ phương trình :
2 2
2 2
74

( 2) ( 4) 18
x y
x y

+ =


+ + + =


⇔
2 2
2 2
74
4 4 8 16 18
x y
x x y y

+ =


+ + + + + =


⇔
2 2
74
4 4 8 16 74 18
x y
x y


+ =

+ + + + =


⇔
2 2
74
4 8 76
x y
x y

+ =

+ = −

⇔
2 2
74
2 19
x y
x y

+ =

+ = −

⇔
2 2

(2 19) 74
2 19
y y
x y

+ + =

= − −

⇔
2
5 76 361 74
2 19
y y
x y

+ + =

= − −

⇔
2
5 76 287 0
2 19
y y
x y

+ + =

= − −


⇔
7
41
5
2 19
y
y
x y

= −





= −





= − −

⇔
13
5
5
7 41
5

x
x
y
y

= −

= −


∨
 
= −


= −



Vậy hệ có nghiệm là :
5
7
x
y
= −


= −

hoặc

13
5
41
5
x
y

= −




= −


Bài 2.
Cho phương trình : x
2
– 2mx + 2m – 5 = 0 , m là tham số thực
a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
b) Giả sử x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức
1 2
x x
−
đạt giá trị nhỏ
nhất. hãy tính giá trị nhỏ nhất này.

a) Ta có : ∆’ = m
2
– 2m + 5 = m
2
– 2m + 1 + 4 = (m – 1)
2
+ 4 > 0 , với mọi m
vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Ta có :
( )
2
1 2
x x
−
=
( )
2
1 2
x x
−
=
( )
2
1 2 1 2
4 .
x x x x
+ −
= 4m
2
– 4(2m – 5) = 4m

2
– 8m + 20
= 4(m
2
– 2m + 1 + 4) = 4(m – 1)
2
+ 16 ≥ 16
Vậy
1 2
x x
−
đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 khi và chỉ khi m = 1
Bài 3.
Gọi (P) là đồ thị của hàm số
2
1
2
y x=
và (d) là đồ thị của hàm số
1
1
2
y x= +
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ
Bảng giá trị của hàm số
2
1
2
y x=
x -2 -1 0 1 2

y 2
1
2
0
1
2
2
Bảng giá trị của hàm số
1
1
2
y x= +
x -2 0
y 0 1
Đồ thị (P) và (d)
f(x)= (1/2 )x^2
f(x)= (1/2 )x +1
x(t )=-1 , y(t)=t
x(t )=2 , y(t)=t
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
f(x)

b) Lập phương trình hoành độ giao điểm :
2
1
2
x
=
1
1
2
x +
⇔ x
2
– x – 2 = 0
Vậy số nghiệm của pt này là số giao điểm nếu có của hai đồ thị (P) và (d)
Dựa vào đồ thị , ta có (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm lần lượt có hoành độ x = -1 và x = 2
Suy ra nghiệm của phương trình x
2
– x – 2 = 0 có hai nghiệm là x = - 1 ; x = 2
Bài 4. Cho đường tròn (O) , đường kính AB = 2R. M là một điểm lưu động trên cung
AB (M khác A và B). Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B lần
lượt là C và D.
a) Chứng minh : Tích AC.BD không đổi khi M lưu động trên cung AB.
b) Xác định vị trí của điểm M trên cung AB để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất.
a) AC.BD không đổi
2
1
2
y x=
1
1

2
y x= +
D
C
B
O
A
M
Theo định lí hai tiếp tuyến ta có CA = CM và DM = DB (1)
Và OC là phân giác của góc
·
AOM
, OD là phân giác của góc
·
MOB
Mà
·
AOM
và
·
MOB
kề bù nên suy ra CO ⊥ OD
Mặt khác OM ⊥ CD và OM = R (CD tiếp tuyến của (O) tại tiếp điểm M)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OCD có : MC.MD = OM
2
= R
2
(không đổi)
Kết hợp với (1) suy ra : AC.BD = MC.MD = R
2

(không đổi) khi M lưu động trên cung AB
b) Vì AC VÀ BD là hai tiếp tuyến của (O) tại A và B nên AC // BD (AC và BD cùng
vuông góc với AB), suy ra tứ giác ABDC là hình thang vuông
Diện tích
1
( )
2
ABDC
AB AC BD
S
= +
= R(CM + MD) = R.CD (cmt) với R không đổi
Nên
ABDC
S
nhỏ nhất khi và chì khi CD nhỏ nhất
Và CD nhỏ nhất khi và chỉ khi CD hai tiếp tuyến tại A và B
⇔ M là điểm chính giữa của cung AB ,
¼
¼
MC MD=